AV1 mecânica NAYANNY BRUNO

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UNIVERSIDADE REGIONAL DO CARIRI – URCA 
CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA – CCT 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO – DEPRO 
DICIPLINA: MECÂNICA 2020/1 
AV1 
 
Aluna: Mayara Bruno De Oliveira Braz 
1. Determinar ϴ para que a resultante do sistema mostrado 
seja dirigida segundo o eixo x. Qual o valor dessa força resultante? 
Assumir T = 6 kN, 
Objetivo: Encontrar o ângulo θ. 
 Encontrar a força resultante (R). 
Assunto abordado: Vetores. 
1° passo: Encontrar o ângulo B. 
Para responde usaremos a lei dos Senos. 
𝐹𝑎
𝑠𝑖𝑛(𝑦)
=
𝐹𝑏
𝑠𝑖𝑛(𝛽)
=
𝑅
𝑠𝑖𝑛(𝛼)
 
 
 
Encontrando o Ângulo de B: 
8𝑘𝑁
𝑠𝑖𝑛(𝐵)
=
6𝑘𝑁
𝑠𝑖𝑛 450
 
𝐵 = 𝑠𝑖𝑛−1 (
8𝑘𝑁 𝑠𝑖𝑛 450
6𝑘𝑁
) 
B = 70,53° 
2° Passo: Encontrar o valor do ângulo θ: 
90° = θ – B 
θ = 90° − 70,53° 
θ = 19,47° 
 
3° passo: Encontrado o valo do ângulo Y. 
180°= 45°+ 70,53° + Y 
Y = 180°− 70,53° – 45° 
Y = 64,47° 
4° passo: Agora para encontrar o valor da força resultante (R) usaremos a lei dos cossenos: 
𝑅 = √𝑓𝑎2 + 𝐹𝑏2 − 2 ⋅ 𝐹𝑎 . 𝐹𝑏 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑦 
𝑅 = √62 + 82 − 2.6 ⋅ 8 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(64, 470) 
𝑅 = √64 + 36 − 41,3744 
R = 7,656 kN 
2. a) Determine o ângulo entre F e a linha BA e b) Determine a 
projeção da força F sobre um eixo segundo BA orientado de B para 
A 
Objetivo: Encontrar o ângulo θ=? 
 Encontrar a projeção da força F sobre a linha BA. 
Assunto abordado: Projeção de uma força tridimensional de um 
eixo. 
A) 1° passo: Encontrar as coordenadas de cada ponto: 
A = {0;3;0}m B = {0;0;4}m C = {4;0;0}m 
2° passo: Encontrar Vetor Posição: 
𝛱𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐴 − 𝐵 
𝛱𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (XA – XB)i.(YA−YB)J.(ZA −ZB)K 
𝛱𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (0−0).(3−0).(0−4) 
𝛱𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = {0i +3j − 4k}m 
Módulo do vetor posição: 
𝛱𝐴𝐵 = √(3)
2 + (−4)2 
|𝛱𝐴𝐵| = 5𝑚 
𝛱𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐶 − 𝐴 
𝛱𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (XC – XA)i.(YC−YA)J.(ZC −ZA)K 
𝛱𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (4−0).(0−3).(0−0) 
𝛱𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = {+4i -3j + 0k}m 
Módulo do vetor posição: 
𝛱𝐴𝐶 = √(4)
2 + (−3)2 
|𝛱𝐴𝐶| = 5𝑚 
Encontrar o Vetor Unitário: 
𝑈𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =
𝛱𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
|𝛱𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
 
𝑈𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =
3𝑗
|5|
 − 
4𝑘
|5|
 
𝑈𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =
𝛱𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
|𝛱𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
 
𝑈𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =
4𝑖
|5⃗⃗ |
 − 
3𝑗
|5|
 
 
3° passo: Encontrar o ângulo θ. 
 Podemos então encontrar o ângulo pela relação: 
cosB =
BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
|BA|
⋅
AC⃗⃗⃗⃗ ⃗
|AC|
 Lembrando: UF =𝑈𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
B = cos-1 (UBA . UF) 
B = cos−1 (
3j
5
−
4k
5
) ⋅ (
4ⅈ
5
−
3j
5
) 
Sabendo que no produto escalar de dois vetores multiplicam-se suas componentes x, y e z 
correspondentes e somam-se esses produtos: 
B = cos−1 ((
3
5
) ⋅ (−
3
5
)) 
B = 111,100° 
180° = B – θ 
180° = 111,100°− θ 
Θ = 68,9° 
b) A projeção da força F sobre um eixo segundo BA. 
1° passo: Porque a força atrativa foi aplicada ao longo de 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝛱𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐶 − 𝐴 
𝛱𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = {+4i -3j + 0k}m 
2° passo: Vetor Unitário: 
𝑈𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =
𝛱𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
|𝛱𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
 
𝑈𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =
4𝑖
|5⃗⃗ |
 − 
3𝑗
|5|
 
3° passo: 𝑓𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐴𝐶 ⋅ 𝑈𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝐹𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 600 ⋅ (
4𝑖
5
−
3𝑗
5⃗ 
) 
𝐹𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (480i; −360j) N 
4° passo: Para que eu projete esta força no eixo BA. 
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = A – B 
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ( +3j − 4k) m 
5° passo: Vetor Unitário: 
𝑈𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =
𝛱𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
|𝛱𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
 
𝑈𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =
3𝑗
|5|
 − 
4𝑘
|5|
 
6° passo: Projetação da força 𝐹𝐴𝐶 na linha BA. 
F = FAC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ . UBA⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
Produto Escalar: 
i.i = j.j = k.k = 1 
i.j = j.k = k.i =0 
F = (480i; −360j) . (
3𝑗
|5|
 − 
4𝑘
|5|
) 
F = (480i) + (-360j . 
3𝑗
|5|
) + ( 
4𝑘
|5|
) 
F = −216N Força Escalar aplicada ao longo da linha BA. 
3. Três cabos são conectados em A, onde a força P é aplicada. Sabendo que 
TAD=305N: 
a) faça um esboço do DCL no ponto A 
b) encontre o valor de P. 
c) Determine o momento da força P em relação ao ponto B. 
Objetivo: Fazer o diagrama DCL. 
 Encontrar o valor de P. 
 Encontrar o momento da força P em relação ao ponto B. 
Assunto abordado: Momento de uma força em relação a um ponto. 
1° passo: Fazer o Diagrama de corpo livre (DCL) 
a) 
 
b) 1° Passo: Encontrar as coordenadas dos pontos. 
A = {960;240;0}mm B = {0;0;380}mm C = {0;0;-320}mm D = {0;960;-220}mm 
𝛱𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐵 − 𝐴 
𝛱𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (0-0,96)+(0-0,24)+(0,38-0) 
𝛱𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-0,96i -0,24j +0,38k)m 
𝛱𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐶 − 𝐴 
𝛱𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (0-0,96)+(0-0,24)+(-0,32-0) 
𝛱𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-0,96i -0,24j -0,32k)m 
𝛱𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = D - A 
𝛱𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (0-0,96)+(0,96-0,24)+(-0,22-0) 
𝛱𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-0,96i +0,72j -0,22k)m 
2° Passo: Modulo: 
|𝛱𝐴𝐵| = 1,06 |𝛱𝐴𝐶| = 1,04 |𝛱𝐴𝐷| = 1,22 
 
3° Passo: Vetor Unitário: 
UBA⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =
ΠBA⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
|ΠBA⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
 UBA⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-0,9056i; -0,2264j; +0,3584k) 
UAC⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =
ΠAC⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
|ΠAC⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
 UAC⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-0,9230i; -0,2307j; -0,3076k) 
UAD⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =
ΠAD⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
|ΠAD⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
 UAD⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-0,7868i; +0,5901j; -0,1803k) 
4° Passo: A atração em cada eixo 
𝑇𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑇𝐴𝐷 ⋅ 𝑈𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝑇𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 305. (-0,7868i; +0,5901j; -0,1803k) 
𝑇𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (-240i; 180j; -55k) 
𝑇𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑇𝐴𝐵 ⋅ 𝑈𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝑇𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑇𝐴𝐵. (-0,9056i; -0,2264j; +0,3584k) 
𝑇𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑇𝐴𝐶 ⋅ 𝑈𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝑇𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑇𝐴𝐶 . (-0,9230i; -0,2307j; -0,3076k) 
5° passo: Somatória das forças 
∑FRX = 0 
-240 -0,9056𝑇𝐴𝐵 -0,9230𝑇𝐴𝐶 + P =0 
Equação(I) 
 
∑FRY = 0 
180 -0,2264𝑇𝐴𝐵 -0,2307𝑇𝐴𝐶 =0 
𝑇𝐴𝐶 =
180−0,2264TAB
0,2307
 Equação (II) 
∑FRZ = 0. 
-55 +0,3584𝑇𝐴𝐵 -0,3076𝑇𝐴𝐶 = 0 Colocando a equação (II) no lugar de 𝑇𝐴𝐶. 
-55 +0,3584𝑇𝐴𝐵 -0,3076 . (
180−0,2264TAB
0,2307
) = 0 
-55 +0,3584𝑇𝐴𝐵 -239,9219 +0,3018𝑇𝐴𝐵 = 0 
𝑇𝐴𝐶 =
294,9219
0,6602
 → 𝑇𝐴𝐶 = 446,71N 
6° Passo: Colocando o valor de 𝑇𝐴𝐶 na equação (II). 
180 -0,2264𝑇𝐴𝐵 -0,2307𝑇𝐴𝐶 =0 
180 -0,2264𝑇𝐴𝐵 -0,2307 . 446,71 =0 
𝑇𝐴𝐵 =
76,944
0,2264
 → 𝑇𝐴𝐵 = 339,85N 
7° Passo: Colocando o valor de 𝑇𝐴𝐶 e 𝑇𝐴𝐵 na equação (I). 
-240 -0,9056. (339,85) -0,9230. (446,71) + P =0 
240 + 0,9056. (339,85) + 0,9230 . (446,71) = P → P = 960,08N 
 
c) Momento de uma força P em relação a um ponto. 𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ? 
Momento em relação ao um ponto P é dado pela relação: Mp⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = Π⃗⃗ xF⃗ . 
Lembrando: 𝛱𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-0,96i -0,24j +0,38k)m 
Resolvendo: P⃗⃗ = 960,08 . (0,96;0,24;0/0,9895)m → P⃗⃗ = (931,4570i; 
232,8642j) 
𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝛱𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . P⃗⃗ 
𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =(-0,96i -0,24j +0,38k). (931,4570i; 232,8642j) 
𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =(-88,4883i; +353,9566j) N.m O momento gerado pela força P em relação ao ponto B. 
 
4. Determine o momento da força de 5 kN, em relação ao ponto O. 
Apresente o resultado usando a notação de vetor cartesiano. 
 
Objetivo: Encontrar o momento em relação ao ponto O (Mo). 
Assunto abordado: Momento de uma força em relação a um ponto. 
1° passo: Decompor a força (F). 
FX = F . cos 45° 
FX = 5 . cos 45° 
FX = 3,5355 ou 3,54kN 
FY = F . sen 45° 
FY = 5 . sen 45° 
Fy = 3,5355 ou 3,54kN
 
2° passo: Decompor as medidas. 
dX = d . cos 30° 
dX = 3 . cos 30° 
dX = 2,5980 ou 2,60m 
dY = d . sen 30° 
dY = 3 . sen 30° 
dY = 1,5m 
 
*Associando as forças e as medidas. 
 
 
*Projetando as forças de acordo com a 
distância perpendicular. 
 
Obs.: Usando regra da mão direita. 
 
3° passo: Encontrar o momento total 
Mo = MFX + MFY 
Mo = FX . dy + FY . dX 
Mo = −3,54 . 1,5−3,54 . 2,60 
Mo = −5,31 −9,204 
Mo = −14,514kN.m 
4° passo: Momento vetorial 
 𝑀0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝛱𝑂𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ X F⃗ 
𝑀0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-2,60i -1,5j) X (3,54i −3,54j) 
𝑀0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 9,204k + 5,31k 
 
 5. Determine: a) os cossenos diretores da força resultante e b) o momento da 
força resultante atuando no mastro AO em relação ao ponto B. Apresente o 
resultado usando a notação de vetor cartesiano. 
Objetivo: Encontrar os ângulos diretores da FR. 
 Momento da FR em relação ao ponto B. 
 Momento da FR em notação de vetor cartesiano. 
Assunto abordado: Momento de uma força em relação a um ponto. 
a) Os cossenos diretores da força resultante. 
1° Passo: Encontrar as coordenadas dos pontos. 
A = {0;0;6}m B = {0;2,5;0}m C = {2;-3;0}m 
2° Passo: Encontrar o Vetor posição 
𝛱𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐶 − 𝐴 
𝛱𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = {+2i; -3j; - 6k}m onde |𝛱𝐴𝐶| = 7𝑚 
𝛱𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐵 − 𝐴 
𝛱𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = {0i; 2,5j ; -6k}m onde |𝛱𝐴𝐵| = 6,5𝑚 
 
3° Passo: Decompor as forças na forma vetorial cartesiana. 
𝐹𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐹𝐴𝐶 ⋅ 𝑈𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝐹𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 420. (+0,2857i; -0,4285j; - 0,8571k) 
𝐹𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (120i -180j -360k)N 
𝐹𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐹𝐴𝐵 ⋅ 𝑈𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝐹𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 780. (0,3846j ; -0,9230k) 
𝐹𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (300j -720k)N 
4° Passo: Encontrar a força resultante. 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐹𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐹𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (120i -180j -360k) + (300j -720k)N 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (120i +120j -1080k)N 
Para Encontrar os ângulos diretores da resultante é necessário a intensidade da força 
resultante. 
𝐹𝑅 = √1202 + 1202 + (−1080)2 
𝐹𝑅 = 1.093,252 Nm 
5° Passo: Ângulos diretores. 
𝜃𝑥 = 𝑐𝑜𝑠
−1. (
𝐹𝑅𝑥
𝐹𝑅
) 
𝜃𝑥 = 𝑐𝑜𝑠
−1. (
120
1.093,252
) 
𝜃𝑥 = 83,70° 
𝜃𝑦 = 𝑐𝑜𝑠
−1. (
𝐹𝑅𝑦
𝐹𝑅
) 
𝜃𝑦 = 𝑐𝑜𝑠
−1. (
120
1.093,252
) 
𝜃𝑦 = 83,70° 
𝜃𝑧 = 𝑐𝑜𝑠
−1. (
𝐹𝑅𝑧
𝐹𝑅
) 
𝜃𝑧 = 𝑐𝑜𝑠
−1. (
−1080
1093,252
) 
𝜃𝑧 = 171,07° 
 
 
 
 
 
 
 
b) Momento da força resultante atuando no mastro AO em relação ao ponto B. 
𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝛱𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ x 𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (2,5j ; -6k) x (120i +120j -1080k) 
𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = -300k +2700i +720j – 720i 
𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (1980i +720j -300k)Nm