AULA DE ANÁLISE MAT ENGENHARIA III 21 DE SETEMBRO corrigido

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AULA DO DIA 21/09/2020 
Profa. Ana Lucia 
Email: analuciamat@yahoo.com.br
CONTEÚDO DA AULA
•Equações diferenciais exatas;
•Equações diferenciais não exatas.
mailto:analuciamat@yahoo.com.br
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(EDO) – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS
0),(),( =+ dyyxNdxyxM
NdyMdxdU +=
Essa equação é denominada exata quando existe 
uma função U(x,y) tal que:
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EXEMPLO 
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A equação , 
onde M e N são funções contínuas e deriváveis é 
dita exata se e somente se 
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TEOREMA
x
N
y
M


=


0),(),( =+ dyyxNdxyxM
6
 
 Cdy
y
P
NMdxyxU
yQyxPyxU
=







−+=
+=
 ),(
)(),(),(
RESOLUÇÃO DA EDO EXATA
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EXEMPLO 1
Resolva a equação diferencial 
Verificar inicialmente se a equação é Exata.
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Agora vamos determinar U(x,y)
 
 Cdy
y
P
NMdxyxU
yQyxPyxU
=







−+=
+=
 ),(
)(),(),(
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EXEMPLO 2
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EXEMPLO 3: 
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EXEMPLO 4: 
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EXEMPLO 5: 
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EXEMPLO 6: 
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EXEMPLO 7: 
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EQUAÇÃO DIFERENCIAL NÃO EXATA
Vamos considerar a equação diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0. Se 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
≠
𝜕𝑁
𝜕𝑥
Então dizemos que a EDO não é exata, pois as derivadas parciais são diferentes.
Podemos transformar essa EDO em exata através do fator integrante.
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Fator integrante
Definição:
Um fator integrante para uma equação diferencial não exata é uma função λ(x,y) tal 
que, ao ser multiplicada pela equação irá transformá-la numa EDO exata.
𝜕𝑀
𝜕𝑦
≠
𝜕𝑁
𝜕𝑥
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 Equação não exata
Usando o fator integrante λ(x,y)
λ(x,y).M(x,y)dx + λ(x,y).N(x,y)dy = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
Equação exata
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Determinando o fator integrante
Caso particular: O fator integrante só depende de uma variável.
1. Fator integrante λ(x):
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2. Fator integrante λ(y):
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Exemplo 1: Vamos considerar a equação diferencial
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Exemplo 2: Resolva a equação diferencial (x2 – y2)dx + 2xydy = 0. 
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Exemplo 3: Resolva a equação diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒2𝑥 + 𝑦 − 1
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