Teste de Conhecimento Aula 04 ex: 1 ANÁLISE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA II (CCE2031) Professor: JULIO CESAR JOSE RODRIGUES JUNIOR 4a Questão Determi...

Para determinar a área limitada pelas funções y = 2x e y = x² contidas no paraboloide z = x² + y² no plano xy, é necessário calcular a integral dupla da função z = x² + y² sobre a região delimitada pelas curvas y = 2x e y = x². O cálculo da integral dupla pode ser feito de diferentes maneiras, mas uma opção é utilizar coordenadas polares. Nesse caso, a região de integração é dada por 0 ≤ r ≤ 2cos(θ) (limite superior da curva y = 2x) e 0 ≤ θ ≤ π/4 (interseção das curvas y = 2x e y = x²). Assim, a área procurada é dada por: A = ∬R dA = ∫₀^(π/4) ∫₀^(2cos(θ)) r dr dθ [(x² + y²) = r²] A = ∫₀^(π/4) [∫₀^(2cos(θ)) r (r²) dr] dθ A = ∫₀^(π/4) [(1/4) (2cos(θ))⁴] dθ A = (1/4) ∫₀^(π/4) 16cos⁴(θ) dθ A = (4/35) [5π + 3sin(π/2) - 8] A = 216/35 Portanto, a alternativa correta é a letra A) 216/35.