METODOS INTERARIVOS JACOBI E SEIDEL

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INDICE 
Introdução ......................................................................................................................... 2 
Sistema Linear .................................................................................................................. 3 
Resolução de sistemas lineares ................................................................................. 4 
Classificação de sistemas lineares ................................................................................ 5 
Sistemas lineares de duas equações .......................................................................... 6 
Motivação para método de Jacobi .................................................................................... 8 
Critério de Parada ....................................................................................................... 10 
Motivação para o Método de Gauss-Seidel .................................................................... 10 
Forma Matricial do Método de Gauss-Seidel ............................................................. 11 
Conclusão ....................................................................................................................... 12 
Bibliografia ..................................................................................................................... 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
No presente trabalho abordaremos um tema de extrema importância para a resolução de 
sistemas lineares, nas áreas de ciências da natureza e da matemática, a busca por valores 
desconhecidos fez com que fossem desenvolvidos métodos de resolução de sistemas 
lineares, como o método da adição, igualdade e substituição para sistemas que possuem 
duas equações e duas incógnitas, e a regra de Kramer e o escalonamento, que resolvem 
sistemas lineares de duas equações, mas que são mais convenientes para sistemas linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Objetivos 
Geral 
 Conhecer os métodos interativos de Gauss-Jacobi & Gauss-Seidel 
Especifico 
 Saber resolver exercícios pelo método de Gauss-Jacobi e pelo método de Gauss-
Seidel 
 
Metodologia 
 Consulta a manuais e livros referentes a disciplina; 
 Pesquisas individuais e em grupo do referido tema; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sistema Linear 
Sistemas lineares são sistemas formados apenas por equações lineares, podendo ser 
sistemas de duas, três ou mais equações lineares. 
As equações lineares são equações da forma , em 
que são coeficientes da equação, são incógnitas e é um 
valor numérico chamado de termo independente. 
Exemplo de equação linear: 
 é uma equação linear com três incógnitas. 
De modo geral, um sistema linear com n equações tem a seguinte forma: 
 
 
Exemplos de sistemas lineares: 
→ Sistema linear com duas equações. 
→ Sistema linear com três equações. 
Resolução de sistemas lineares 
A resolução de sistemas lineares é dada pelo conjunto de valores numéricos que 
satisfazem todas as equações simultaneamente. 
https://escolaeducacao.com.br/resolucao-de-sistemas-lineares/
 
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Exemplo: No sistema , os valores de x e y que satisfazem a equação 
são: x= 3 e y= -2. 
Veja que se substituirmos esses valores no primeiro lado da igualdade, obtemos o termo 
independente nas duas equações: 
 
3 + (-2) = 1 
2.3 – (-2) = 8 
Portanto, a solução do sistema corresponde aos valores das incógnitas que tornam 
verdadeiras ambas as equações do sistema. 
Classificação de sistemas lineares 
Um sistema linear pode ser classificado em três diferentes tipos, em relação à 
quantidade de soluções que possui: possível determinado, possível indeterminado ou 
impossível. 
1. Sistema possível e determinado (SPD): é um sistema que possui uma única 
solução; 
2. Sistema possível e indeterminado (SPI): é um sistema que possui infinitas 
soluções; 
3. Sistema impossível (SI): é um sistema que não possui solução. 
Se um sistema linear possuir o mesmo número de incógnitas e equações, podemos 
determinar se ele possui uma única solução, ou não, bastando escrever o sistema 
na forma matricial e calcular o determinante. 
 
Exemplo: Vamos mostrar que o sistema , que possui duas incógnitas e 
duas equações, admite uma única solução. 
https://escolaeducacao.com.br/matrizes/
https://escolaeducacao.com.br/determinante-de-uma-matriz/
 
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→ Matriz de coeficientes associada: 
→ Determinante: 
Como o determinante é diferente de zero, então, o sistema possui uma única solução, 
que inclusive já calculamos no exemplo anterior, é o par ordenado . 
Sistemas lineares de duas equações 
Para resolver sistemas lineares de duas equações, podemos utilizar três métodos 
diferentes: método da adição, método da substituição e método da comparação. 
Método da adição 
No método da adição, somamos as equações buscando o cancelamento de termos 
opostos (um positivo e um negativo), para eliminar uma das incógnitas. Por fim, 
resolvemos uma equação com uma só incógnita. 
Método da substituição 
No método da substituição, isolamos uma das incógnitas em uma das equações e 
substituímos o seu valor na outra equação. Dessa forma, obtemos uma equação com 
uma só incógnita e podemos resolvê-la. 
Método da comparação 
No método da comparação, escolhemos uma das incógnitas e isolamos ela nas duas 
equações. Por fim, fazemos a comparação entre as duas igualdades obtidas, 
determinando o valor da outra incógnita. 
Em todos os três métodos, após determinar a primeira incógnita, a segunda incógnita é 
determinada substituindo-se o valor da primeira incógnita em qualquer uma das 
equações do sistema. 
 
https://escolaeducacao.com.br/sistemas-de-equacoes/
 
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Exemplo: Veja como obtemos a solução do sistema . 
Vamos utilizar o método da substituição: 
1º passo) Isolamos a incógnita na primeira equação: 
 
2º passo) Substituímos por na segunda equação: 
 
3º passo) Resolvemos a equação do 1º grau obtida: 
 
 
 
 
 
 
4º passo) Substituímos por -2 em na primeira equação: 
 
5º passo) resolvemos a equação do 1º grau obtida: 
 
 
Então, obtemos a solução . Com os outros dois métodos essa mesma 
solução deve ser encontrada. 
https://escolaeducacao.com.br/equacao-do-primeiro-grau/
 
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Métodos Iterativos 
A ideia central do método interativo e generalizar o método do ponto fixo utilizado na 
busca de raízes de raízes de uma equação 
Os métodos iterativos consistem na substituição do sistema original Ax=b por um outro 
equivalente da forma x=Gx+d, onde G é uma matriz n*n e d é uma matriz n*1, e na 
regeneração de uma sucessão x (k) do R por uma expressão de recorrência. 
 
Resolvendo a equação i em ordem à variável xi obtêm – se o sistema equivalente 
 
 
 
Motivação para método de Jacobi 
Motivação para o Método de Jacobi Considere um sistema linear Ax = b, em que A é 
uma matriz não-singular (supostamente esparsa) com aii 6= 0, ∀i = 1, . . ., n. 
 
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Podemos escrever o sistema da seguinte forma: 
 
 
Método de Jacob 
Dada uma aproximação inicial x (0) para a solução do sistema Ax = b, o método de 
Jacobi define a sequência de vetores {x (k)}k≥0 através da seguinte relação de 
recorrência: 
 
para k = 0, 1, . . .. 
Forma Matricial do Método de Jacobi 
 Podemos escrever o método de Jacobi na forma matricial: x (k+1) = D −1 (b − Mx(k) ) 
k = 0, 1, . . . , em que, é a matriz diagonal com os elementos 
 
 
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Critério de Parada 
A norma-∞ de um vetor y = [y1, y2, . . ., yn] T ∈ R n é o maior valor absoluto de suas 
componentes, ou seja, 
kyk∞ = max i=1:n |yi |. 
Além do número máximo de iterações, adotamos a seguinte inequação (erro relativo) 
como critério de parada do método de Jacobi: 
kx (k+1) − x (k)k∞ kx (k+1)k∞ 
 ≤ τ, em que τ > 0 é uma certa tolerância. 
Motivação para o Métodode Gauss-Seidel 
Considere um sistema linear Ax = b, em que A é uma matriz não-singular 
(supostamente esparsa) com aii 6= 0, ∀i = 1, . . ., n. 
No método de Jacobi, dado x (0), definimos 
 
Método de Gauss-Seidel 
 
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Dada uma aproximação inicial x (0) para a solução do sistema Ax = b, o método de 
Gauss-Seidel define {x (k)} k≥0 através da seguinte relação de recorrência: 
 
Forma Matricial do Método de Gauss-Seidel 
Podemos escrever o método de G
 
A forma de gauss-Seidel na forma matricial: é triangular superior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Conclusão 
Após o trabalho realizado conclui-se que os métodos iterativos, são mais eficazes que os 
métodos diretos que geralmente apresentam erros de arredondamento. Os métodos 
interativos desempenham um papel importante principalmente no cálculo de raízes de 
uma equação apresentando menos erros, o método de Gauss-Seidel evidentemente é 
superior ao método de Jacobi pois consegue obter o resultado com menos números de 
interações e que o método de Jacobi pode ser ainda mais interessante se implementado 
usando computação paralela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografia 
https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/2015/MS211/Aula9.pdf 
CAMARGO, W. C. M., Apostila de Cálculo Numérico. Departamento de Informática. 
UFPR. 
SANTOS, Vitoriano R. B., Curso de Cálculo Numérico, 4a edição, LTC, 1982. 
 
 
 
https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/2015/MS211/Aula9.pdf
 
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ANEXOS