Oficina de Vetores

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Oficina: Vetores
HNB Matemática/Física
Vetores
Conceitos
• Direção
• Sentido
• Módulo
Representante
• Origem
• Extremidade
Ângulo entre vetores
Vetor oposto
Operações Gráficas
𝑢 + 2 Ԧ𝑣
3𝑢 −
1
2
Ԧ𝑣
𝑢 + Ԧ𝑣 + 𝑤
3𝑢 +
1
2
. Ԧ𝑣 − 𝑤
𝑢
Ԧ𝑣
𝑤
Componentes
Calculando um vetor
Calculando um vetor
Considere os seguintes pontos 𝐴 4,1 , 𝐵 −2,3
e 𝐶 1,−1 , calcule:
a) 𝐴𝐵
b) 𝐵𝐴
c) 𝐶𝐴
Operações Usuais
Considere os seguintes pontos 𝐴 4,1 , 𝐵 −2,3
e 𝐶 1,−1 , calcule:
c) 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
d) 2𝐵𝐴 − 𝐴𝐶
e) 3𝐶𝐴 −
1
2
𝐵𝐴
Módulo de vetor
Módulo de vetor
Calcule o módulo de cada vetor a 
seguir
a) 𝑢 = 3Ԧ𝑖 + 4Ԧ𝑗
b) Ԧ𝑣 = 4Ԧ𝑖 − 5Ԧ𝑗
c) 𝑤 = −8Ԧ𝑖 − 6Ԧ𝑗
Módulo de vetor e forma analítica
Módulo de vetor e forma analítica
Determine a forma analítica de 
cada vetor
a) 𝐮 = 5 e 𝜃 = 30°
b) 𝒗 = 4 𝑒 𝜃 = 135°
c) 𝒘 = 3 𝑒 𝜃 = −60°
Problema
Problema
Operações não usuais
• Produto Escalar
• Produto Vetorial
Para os cálculos a seguir, considere 𝑢 = 𝑥1Ԧ𝑖 + 𝑦1Ԧ𝑗 + 𝑧1𝑘 e
Ԧ𝑣 = 𝑥2Ԧ𝑖 + 𝑦2Ԧ𝑗 + 𝑧2𝑘
Produto Escalar
𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 𝑥1. 𝑥2 + 𝑦1. 𝑦2 + 𝑧1. 𝑧2
Exemplo:
Calcule o produto escalar entre os vetores a seguir e o módulo de cada 
um:
a) 𝑢 = 2Ԧ𝑖 + 3Ԧ𝑗 − 4𝑘 e Ԧ𝑣 = 4Ԧ𝑖 − 5Ԧ𝑗 + 2𝑘
Produto Escalar
𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 𝑥1. 𝑥2 + 𝑦1. 𝑦2 + 𝑧1. 𝑧2
Exemplo:
Calcule o produto escalar entre os vetores a seguir e o módulo de cada 
um:
b) 𝑢 = 1Ԧ𝑖 − 1Ԧ𝑗 e Ԧ𝑣 = 2Ԧ𝑖 − 3𝑘
Produto Escalar
𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 𝑥1. 𝑥2 + 𝑦1. 𝑦2 + 𝑧1. 𝑧2
Exemplo:
Calcule o produto escalar entre os vetores a seguir e o módulo de cada 
um:
c) 𝑢 = −2Ԧ𝑖 + 5Ԧ𝑗 e Ԧ𝑣 = 4Ԧ𝑖 − 7Ԧ𝑗
Propriedade do Produto Escalar e Ângulo entre 
Vetores
𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 𝑢 . Ԧ𝑣 . cos 𝜃
Exemplo:
Calcule o ângulo entre os vetores a seguir:
a) 𝑢 = 2Ԧ𝑖 + 3Ԧ𝑗 − 4𝑘 e Ԧ𝑣 = 4Ԧ𝑖 − 5Ԧ𝑗 + 2𝑘
Propriedade do Produto Escalar e Ângulo entre 
Vetores
𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 𝑢 . Ԧ𝑣 . cos 𝜃
Exemplo:
Calcule o ângulo entre os vetores a seguir:
b) 𝑢 = 1Ԧ𝑖 − 1Ԧ𝑗 e Ԧ𝑣 = 2Ԧ𝑖 − 3𝑘
Propriedade do Produto Escalar e Ângulo entre 
Vetores
𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 𝑢 . Ԧ𝑣 . cos 𝜃
Exemplo:
Calcule o ângulo entre os vetores a seguir:
c) 𝑢 = −2Ԧ𝑖 + 5Ԧ𝑗 e Ԧ𝑣 = 4Ԧ𝑖 − 7Ԧ𝑗
Produto Vetorial
Exemplos:
Calcule o produto vetorial entre os vetores a seguir:
a) 𝑢 = 2Ԧ𝑖 + 3Ԧ𝑗 − 4𝑘 e Ԧ𝑣 = 4Ԧ𝑖 − 5Ԧ𝑗 + 2𝑘
𝑢 × Ԧ𝑣 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
Produto Vetorial
Exemplos:
Calcule o produto vetorial entre os vetores a seguir:
b) 𝑢 = 1Ԧ𝑖 − 1Ԧ𝑗 e Ԧ𝑣 = 2Ԧ𝑖 − 3𝑘
𝑢 × Ԧ𝑣 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
Produto Vetorial
Exemplos:
Calcule o produto vetorial entre os vetores a seguir:
c) 𝑢 = −2Ԧ𝑖 + 5Ԧ𝑗 e Ԧ𝑣 = 4Ԧ𝑖 − 7Ԧ𝑗
𝑢 × Ԧ𝑣 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
Referências
STEINBRUCH, Alfredo e WINTERELE, Paulo. Geometria Analítica. 
McGRAW-HILL, 2a edição, 1987;
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. 
Fundamentos de física. 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 
c2009.