av1 matematica aplicada

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Av1 - Matemática Aplicada
1)O mês dezembro impulsiona as vendas por ter muito dinheiro no mercado em função do 13º salário e das férias, por isso o mercado de presentes e de beleza tem um arrecadamento muito alto. Os institutos de beleza, de olho na possibilidade de altas arrecadações, estão parcelando seus tratamentos em duas vezes iguais, vencendo a cada 12 dias, sob a taxa de juros simples de 0,16% a.d.
Uma jovem, de olho no início do verão, decidiu fazer um tratamento de bronzeamento artificial, que apresenta um custo à vista de R$ 700,00, parcelado em duas vezes sob as condições citadas. Determine o valor das parcelas.
Alternativas:
· a) R$ 350,06.
· b) R$ 603,50.
· c) R$ 360,05.
· d) R$ 536,00.
· e) R$ 605,30.
· Estamos perante uma situação de equivalência de capitais ..com o "momento zero" como ponto focal
Assim teremos
Valor Presente = [P₁/(1 + i . n₁)] + [P₂/(1 + i . n₂)]
como P₁ = P₂  ...vamos genericamente designar por apenas P
Valor Presente = [P/(1 + i . n₁)] + [P/(1 + i . n₂)]
Onde 
Valor Presente = 700
P = Parcela a pagar, neste caso a determinar
i = Taxa de juro, neste caso DIARIA 0,16% ...ou 0,0016 (de 0,16/100)
n = Prazo de atualização de cada parcela, expresso em unidades da taxa, neste caso n₁ = 12/1 = 12 ..e n₂ = 24/1 = 24
resolvendo:
Valor Presente = [P/(1 + i . n₁)] + [P/(1 + i . n₁)]
700 = [P/(1 + 0,0016 . 12)] + [P/(1 + 0,0016 . 24)]
700 = [P/(1 + 0,0192)] + [P/(1 + 0,0384)]
700 = [P/(1,0192)] + [P/(1,0384)]
colocando "P" em evidencia
700 = P [1/(1,0192)] + [1/(1,0384)]
mmc(1,0192 - 1,0384) = 1,05833728
700 = P [(1,0384 + 1,0192)/1,05833728]
700 = P (2,0576/1,05833728)
700 = P . 1,944181726 
700/1,944181726 = P
360,048647 = P <-- valor de cada parcela R$360,05 (valor aproximado)
2) É muito comum as pessoas financiarem suas aquisições e não atentarem para a taxa de juros que está sendo imposta no financiamento, mas depois de certo tempo, sentem a necessidade de conhecê-la para fazer um comparativo ou para saber quanto pagariam num outro financiamento. Veja a situação de Claudia: ela realizou uma compra de R$ 850,00, pagou uma entrada de R$ 250,00 e pagará uma parcela de R$ 606,24 após 1,5 meses.
Calcule a taxa de juros compostos anual aplicada no parcelamento de Claudia.
Alternativas:
· a) 6,90% a.a.
· b) 9,86% a.a.
· c) 8,69% a.a.
· d) 6,98% a.a.
· e) 9,68% a.a.
=> Valor á vista = 850
=> Entrada = 250
...valor efetivamente financiado = 850 - 250 = 600
Temos a fórmula (Juro Composto):
M = C(1 + i)ⁿ  
M = 606,24
C = 600
i = a determinar
n = 1,5 ..considerando como ciclo de capitalização 30 dias (1 mês)
Resolvendo:
M = C(1 + i)ⁿ  
606,24 = 600(1 + i)^(1,5)
606,24/600 = (1 + i)^(1,5)
1,0104 = (1 + i)^(1,5)
(1,0104)^(1/1,5) = (1 + i)
1,0069214 = 1 + i
1,0069214 - 1 = i
0,0069214 = i <-- taxa mensal da aplicação 0,69214%
TAXA ANUAL EFETIVA (equivalente)
T(e) = (1,0069214)¹² - 1
T(e) =  1,0862923 - 1
T(e) = 0,0862923 <-- taxa anual da aplicação 8,63% (valor aproximado)
3) É muito comum as pessoas financiarem suas aquisições e não atentarem para a taxa de juros que está sendo imposta no financiamento, mas, depois de certo tempo, sentem a necessidade de conhecê-la para fazer um comparativo ou para saber quanto pagariam num outro financiamento. Veja a situação de Claudia: ela realizou uma compra de R$ 1200,00, pagou uma entrada de R$ 300,00 e pagará duas parcelas mensais e iguais a R$ 500,00.
Determine a taxa de juros imposta ao financiamento de Claudia.
Alternativas:
· a) 2,37% a.m.
· b) 3,72% a.m.
· c) 7,32% a.m.
· d) 2,73% a.m.
· e) 3,27% a.m.
=> Valor á vista = 1200
=> Valor da entrada = 300
...estamos perante uma situação de equivalência de capitais tendo "ponto focal" ...o "momento zero"!
Assim sabemos que 
Valor á vista = Valor da entrada/(1 + i)⁰ + P1/(1 + i)¹ + P2/(1 + i)²
..como P1 = P2 = 500
1200 = 300/(1 + i)⁰ + 500/(1 + i)¹ + 500/(1 + i)²
1200 = 300/1 + 500/(1 + i)¹ + 500/(1 + i)²
1200 - 300 = 50/(1 + i)¹ + 500/(1 + i)²
900 = 500 . {[1/(1 + i)¹] + [1/(1 + i)²]}
900/500 = [1/(1 + i)¹] + [1/(1 + i)²]
1,8 = [1/(1 + i)¹] + [1/(1 + i)²]
...simplificando ..mmc = (1 + i)²
1,8(1+i)² = [(1 + i)²/(1 + i)¹)] + 1
1,8(1+i)² = (1 + i)¹+ 1
..veja que estamos 'erante uma equação do 2º grau ...se considerarmos (1+i) = x ..teremos
1,8x² - x - 1 = 0
..aplicando a fórmula resolvente encontramos 2 raízes:
R₁ = - 0,518 ...que não interessa pois a taxa de juro ñ pode ser negativa
R₂ = 1,0732
como R₂ = x = (1 + i), então
(1 + i) = 1,0732
i = 1,0732 - 1
i = 0,0732 <-- taxa de juro do financiamento 7,32%
4) Uma empresa necessita honrar alguns compromissos e para tal deverá antecipar o recebimento em seis dias de um título de R$ 16.000,00. A instituição financeira que antecipará o título, atendendo à necessidade da empresa, cobra uma taxa administrativa nominal de 0,24% a.d.
Calcule o valor a ser resgatado pela empresa.
Alternativas:
· a) R$ 17.569,60.
· b) R$ 15.769,60.
· c) R$ 16.759,60.
· d) R$ 17.659,60.
· e) R$ 19.576,60.
· Resposta: R$15,769,60
· Explicação passo-a-passo:
· x=16000-(16000*0,24/100*6)
· x=16000-(3840/100*6)
· x=16000-(38,40*6)
· x=16000-230,40
· x=15769,60
5) Uma companhia de viagens está anunciando uma viagem em duas parcelas mensais e iguais a R$ 900,00 sob o regime de taxa de juros compostos de 6% a.m. Uma pessoa interessada em realizar essa viagem apresenta a proposta de pagá-la com uma entrada de R$ 600,00 e duas parcelas mensais e iguais a R$ 700,00 sob o mesmo regime de juros compostos.
Determine a taxa de juros compostos mensal utilizado no cálculo da proposta.
Alternativas:
· a) 53,25% a.m.
· b) 21,53% a.m.
· c) 15,23% a.m.
· d) 32,51% a.m.
· e) 31,25% a.
Temos que calcular primeiro o "Valor á vista" da viagem ...ou seja o Valor Atual (VA) das 2 parcelas de R$900,00
Assim, teremos:
VA = [P₁/(1 + i)¹] + [P₂/(1 + i)²]
como P₁ = P₂ = 900  ...e i = 6% ..ou 0,06
VA = [900/(1 + 0,06)¹] + [900/(1 + 0,06)²]
VA = [900/(1,06)¹] + [900/(1,06)²]
VA = (900/1,06) + (900/1,1236)
VA = 849,0566038 + 800,996796
VA = 1650,0534 <-- Valor á vista (momento zero)
PROPOSTA DA PESSOA INTERESSADA NA VIAGEM
=> Entrada = 600
=> 2 parcelas iguais mensais de 700
..valor efetivamente financiado =  1650,0534 - 600 = 1050,0534
Temos de novo a fórmula:
VA = [P₁/(1 + i)¹] + [P₂/(1 + i)²]
como P₁ = P₂ = 700  ...e i = a determinar
1050,0534 = [700/(1 + i)] + [700/(1 + i)²]
1050,0534 = 700 . [(1/1 + i) + (1/1 + i)²]
1050,0534/700 = [(1/1 + i) + (1/1 + i)²]
1,500076285 = [(1/1 + i) + (1/1 + i)²]
...m.m.c = (1 + i)²
1,500076285(1 + i)² = (1 + i) + 1
..igualando a "0"
1,500076285(1 + i)² - (1 + i) - 1 = 0
...considerando (1 + i) como "x" teremos:
1,500076285(x)² - (x) - 1 = 0
..aplicando a fórmula resolvente vamos encontrar 2 raízes:
R₁ =  -0,548575093 ...que não interessa pois a taxa não pode ser negativa
R₂ =  1,215207857
..note que R₂ = x = (1 + i) ..donde resulta:
(1 + i) = 1,215207857
i = 1,215207857 - 1
i = 0,215207857 ..ou ainda 21,52% (valor aproximado)
Av2 - Matemática Aplicada
1- Um serviço de reforma de uma casa cujo valor à vista é R$ 11.200,00 foi financiado em 12 parcelas mensais e iguais, sob o regime de taxa de juros composto de 2,2%, com entrada de R$ 2.500,00.
Determine o valor das parcelas desse financiamento.
Alternativas:
· a) R$ 238,98.
· b) R$ 328,89.
· c) R$ 832,89.
· d) R$ 889,23.
· e) R$ 983,28.
Resposta: 832,81 (valor aproximado)
Explicação passo-a-passo: .O que sabemos:
=> Temos o valor á vista = 11200
=> Temos o valor da entrada = 2500
...isto implica que o capital efetivamente financiado foi = 11200 - 2500 = 8700
=> Taxa de Juro da aplicação (mensal) = 2,2%
=> Número de parcelas = 12
2- O orçamento da recepção de um casamento apresentou valor à vista de venda de R$ 60.000,00 e está sendo financiado em 24 parcelas mensais e iguais, sob o regime de taxa de juros compostos de 2% a.m., tendo o início de seus pagamentos após 3 meses do ato da assinatura do contrato do serviço de recepção, e também com entrada de R$ 10.000,00
Determine o valor das parcelas desse financiamento.
Alternativas:· a) R$ 2.005,27.
· b) R$ 2.500,72.
· c) R$ 2.072,05.
· d) R$ 2.205,07.
· e) R$ 2.750,20.
Para resolver esse problema vamos fazer uso de uma formula que tem como objetivo determine o valor das parcelas de financiamentos com uma variação de juros compostos.
pode ser expressa por essa formula.
( V - E ) × ((1+j) ÷ 100)^(t+n-1) = P × [((1+j)÷100)^( t - 1 )] ÷ ( j ÷ 100)
Para facilitar a compreensão vamos detalhar as variaveis.
V - valor a vista, R$ 60.000,00;
E - Entrada, R$ 10.000,00;
Resposta
Para sesolvar esse problema vamos vamos fazer uso de uma formula que tem como objetivo determine o valor das parcelas de financiamentos com uma variação de juros compostos.
pode ser expressa por essa formula.
( V - E ) × ((1+j) ÷ 100)^(t+n-1) = P × [((1+j)÷100)^( t - 1 )] ÷ ( j ÷ 100)
Para fascilitar a compreensão vamos detalhar as variaveis.
V - valor a vista, R$ 60.000,00;
E - Entrada, R$ 10.000,00;
t - Número de parcelas, 24 parcelas;
n - Número de meses para iniciar o Pagamento, 3 meses.
Assim temos que organizar e adicionar os dados na formula.
( 60.000 - 10.000 ) × (1+2÷100)^(24+3-1) = P × [(1+2 ÷ 100)^24-1] ÷ ( j ÷ 100)
( 50. 000) × (1+0,02) ^ (26) = P × [(1+0,02)^24-1] ÷ 0,02)
83.670,91 = P × 30,4218625
temos que reorganizar a equação para encontra o resultado.
P = 83.670,91 ÷ 30,4218625 
P = 2750, 00
O valor das parcelas desse financiamento e aproximadamente 2750,00 R$
3- Um serviço de reparo apresentou valor à vista de R$ 2.500,00 e foi financiado em 6 parcelas mensais e iguais a R$ 363,10, sob o regime de taxa de juros composto, com entrada de R$ 500,00.
Determine o valor da taxa de juros compostos imposta no financiamento do serviço de reparo em questão. (Inicie os cálculos com 2,7% a.m. Execute os cálculos com quatro casas decimais.)
Alternativas:
· a) 0,21% a.m.
· b) 2,51% a.m.
· c) 0,52% a.m.
· d) 1,25% a.m
· e) 1,52% a.m.
4- Uma pessoa deseja restaurar seu veículo antigo e para isso deverá contratar serviços mecânico, de funilaria e de autoelétrica. Para poder pagar os serviços contratados, a pessoa resolve aplicar o dinheiro em uma aplicação que paga juros compostos de 1,15% a.m. a quantia de R$ 750,00 por mês durante um ano e meio.
Determine a quantia que essa pessoa terá ao término da aplicação.
Alternativas:
· a) R$ 14.202,09.
· b) R$ 14.229,00.
· c) R$ 14.902,20.
· d) R$ 12.942,00.
· e) R$ 12.094,02.
5- Para pagar a entrada da compra de um veículo para seu filho que acabou obter um título de nível superior, um cliente de uma Instituição Bancária investiu mensalmente R$ 860,00 durante 15 meses, e o resultado do investimento foi de R$ 13.922,40.
Calcule a taxa de juros compostos desse investimento. (Inicie seus cálculos com a taxa de juros compostos de 1,20% a.m. e realize esses cálculos com quatro casas decimais)
Alternativas:
· a) 0,18% a.m.
· b) 8,10% a.m.
· c) 8,01% a.m.
· d) 1,08% a.m.
· e) 1,80% a.m.
Essa questão envolve aplicações financeiras sucessivas, de iguais valor e taxa. Nesse caso, devemos utilizar a seguinte equação:
Onde:
M - Montante retirado ao final do investimento (valor futuro);
DM - Valor dos depósitos mensais (valor presente);
i - Taxa de juros;
n - Quantidade de períodos.
Nesse caso, temos a quantidade de períodos em meses, logo, a taxa calculada será mensal. Substituindo os dados fornecidos na equação, temos:
Portanto, a taxa de juros mensal no período era equivalente a 1,8%