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SISTEMA DE ENSINO
MATEMÁTICA
Números Complexos e Polinômios
Livro Eletrônico
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Thiago Fernando Cardoso da Silva
Números Complexos e Polinômios
MATEMÁTICA
Números Complexos e Polinômios .................................................................................5
1. Revisão: Ciclo Trigonométrico .....................................................................................5
1.1. Período .....................................................................................................................8
1.2. Identidade Fundamental da Trigonometria ...............................................................8
1.3. Ângulos em Radianos ............................................................................................. 10
1.4. Reversão ao Primeiro Quadrante ............................................................................ 11
2. Números Complexos ................................................................................................ 16
2.1. Forma Geral ........................................................................................................... 18
2.2. Soma .................................................................................................................... 20
2.3. Multiplicação ......................................................................................................... 21
2.4. Conjugado .............................................................................................................23
2.5. Divisão ..................................................................................................................27
2.6. Potências da Unidade Imaginária .......................................................................... 28
3. Forma Polar .............................................................................................................34
3.1. Argumentos Equivalentes ......................................................................................38
3.2. Relação de Euler ...................................................................................................39
3.3. Interpretação Geométrica do Módulo ....................................................................39
4. Fórmulas de Moivre .................................................................................................59
4.1. Produto de Números Complexos ............................................................................59
4.2. Potência ................................................................................................................ 61
4.3. Radiciação ............................................................................................................. 61
4.4. Expoentes Imaginários ..........................................................................................63
5. Polinômios ...............................................................................................................83
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5.1. Teorema Fundamental da Álgebra .........................................................................83
5.2. Teorema de D’Alembert ....................................................................................... 86
5.3. Relações de Girard ............................................................................................... 98
Questões Comentadas em Aula .................................................................................. 123
Gabarito ..................................................................................................................... 136
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Números Complexos e Polinômios
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Apresentação
Olá, Alunos, sejam bem-vindos a mais uma aula do nosso curso de Matemática. Nessa 
aula, falaremos sobre Números Complexos e Polinômios.
Trata-se de um assunto muito temido pelos alunos, porém, você verá que basta aplicar 
alguns conceitos que você será capaz de resolver as questões.
Realmente, pode ser um assunto bastante complicado nas turmas de faculdade, porém, 
as questões de prova se limitam a um conjunto bem específico de problemas.
Antes de aprender Números Complexos, é fundamental fazer uma revisão sobre o Ciclo 
Trigonométrico. Se você não se lembra bem desse assunto, sugiro que volte no seu material 
de Trigonometria e estude somente essa parte. Não precisa rever Funções nem Equações 
Trigonométrica. Apenas a parte sobre o Ciclo Trigonométrico, ok?
Nesse material, abordamos de forma bastante objetiva e concisa, de modo que você te-
nha todas as ferramentas que vai precisar para resolver questões de prova envolvendo esse 
assunto.
Como sempre, gostaria de passar meus contatos para que vocês possam tirar dúvidas.
E-mail: thiagofernando.pe@gmail.com
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NÚMEROS COMPLEXOS E POLINÔMIOS
1. Revisão: CiClo TRigonoméTRiCo
O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio unitário (r = 1) e que é percorrida no 
sentido antihorário.
É construído em um plano cartesiano, cujo eixo das abscissas é o eixo dos cossenos e 
cujo eixo das ordenadas é o eixo dos senos.
A sua grande aplicação é definir as funções trigonométricas, entre as quais se incluem o 
seno, cosseno e a tangente, dos ângulos.
A origem do ciclo trigonométrico é o seu ponto mais à direita. É nessa posição que se 
encontra o ângulo . Para se marcar as posições dos demais ângulos, devemos 
percorrer o ciclo no sentido antihorário partindo da origem.
Se queremos marcar a posição do ângulo , devemos percorrer o comprimento 
de uma unidade no ciclo.
A unidade de medida “rad” é chamada radiano. Nessa unidade de medida de ângulos, bas-
tante utilizada em Trigonometria, a medida do arco em radianos corresponde exatamente ao 
seu comprimento no ciclo trigonométrico.
É interessante observar que o perímetro total do ciclo trigonométrico é dado por:
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Dessa forma, ao percorrermos uma volta completa, temos o ângulo de 2π. Com base nis-
so, podemos também calcular a meia-volta que seria oângulo de π e um quarto de volta que 
corresponderia ao ângulo de π/2. Vamos marcar essas posições no ciclo.
Esses quatro ângulos notáveis definem quatro regiões no ciclo trigonométrico diferentes, 
denominadas quadrantes. Os quatro quadrantes do ciclo trigonométrico estão explicitados a 
seguir.
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A conversão do ângulo em graus para o ângulo em radianos pode ser feita por uma regra 
de três. O ângulo de π corresponde a 180º. Portanto, a conversão do ângulo em graus para 
radianos pode ser feita multiplicando por π/180.
Vamos a alguns ângulos bastante conhecidos da Geometria Plana.
Tabela 1: Conversão de Graus para Radianos:
Graus Radianos
30º 30 π/180 = π/6
45º 45 π/180 = π/4
60º 60 π/180 = π/3
90º 90 π/180 = π/2
É importante que o aluno não confunda essas duas unidades de medida. A medida em 
graus é mais utilizada na Geometria Plana. O ângulo de 360º é o ângulo cheio ou uma volta. 
A medida em radianos é mais utilizada em Trigonometria. Nela, o ângulo cheio de uma volta 
completa é 2π rad.
Ao marcar a posição X de um ângulo x qualquer, o cosseno do ângulo será a abscissa do 
ponto X e o seno será a ordenada. Representaremos graficamente:
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1.1. PeRíodo
No ciclo trigonométrico, o arco de 2π corresponde a uma volta completa. Por causa disso, 
ao se adicionar ou subtrair 2π a um arco qualquer, a sua posição não se altera, apenas o nú-
mero de voltas. Por exemplo, consideremos a posição correspondente ao arco π/4.
Nessa mesma posição, encontram-se os arcos π/4, 9π/4, 17π/4 … e também os arcos 
-7π/4, -15π/4…
Em outras palavras, somando ou subtraindo 2π, não modificamos a posição do arco.
Uma das primeiras conclusões a que podemos chegar é que o seno e o cosseno são fun-
ções periódicas de período 2π. Ou seja, seus valores se repetem a cada espaço de 2π. Pode-
mos escrever, portanto:
1.2. idenTidade FundamenTal da TRigonomeTRia
Um célebre professor meu e hoje colega de trabalho sempre dizia: “Essa relação é o pai 
nosso da Trigonometria”.
Um fato interessante sobre ela é que é válida para absolutamente todos os ângulos.
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Essa relação é facilmente visualizável. Basta notar que o triângulo APP’ é retângulo.
A hipotenusa do triângulo APP’ é o próprio raio do ciclo trigonométrico que é igual a 1. 
Aplicando o Teorema de Pitágoras nesse triângulo, teremos diretamente a Identidade Trigo-
nométrica Fundamental.
O mais interessante da Identidade Fundamental da Trigonometria é que ela é válida para 
absolutamente qualquer ângulo. Isso significa que ela é válida para x, para 2x, para y, para x 
+y enfim, para qualquer coisa que você coloque dentro da expressão.
Dessa maneira, tenha o seguinte em mente. Qualquer que seja o arco envolvido na expres-
são, a soma do quadrado do seu seno com o quadrado do seu cosseno é igual a 1.
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1.3. Ângulos em Radianos
No estudo de Números Complexos, é muito importante utilizar os ângulos em radianos.
Em radianos, uma volta corresponde ao comprimento de 2π. Em graus, uma volta comple-
ta seria igual a 360º.
Um ângulo qualquer de x° pode ser convertido para radianos usando uma Regra de Três.
Podemos resolver a Regra de Três para o ângulo θ.
Com base nessa definição, podemos converter os ângulos em grau já conhecidos para 
os seus valores em radianos.
Tabela 2: Ângulos em Grau:
Ângulo em Grau Ângulo em Radiano Seno Cosseno
0º 0 1 0
30º
45º
60º
90º 0 1
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1.4. ReveRsão ao PRimeiRo QuadRanTe
Uma técnica muito importante na Trigonometria é trazer todos os ângulos ao primeiro 
quadrante. Isso permite que as tabelas trigonométricas sejam fornecidas apenas com os ân-
gulos até 90º ou π/2 rad.
Nessa seção, nós mostraremos a Reversão ao Primeiro Quadrante e eu gostaria que você 
prestasse mais atenção aos sinais do que aos valores numéricos obtidos.
Os sinais que obteremos nessa seção são muito mais importantes, pois permitirão a você 
decifrar uma quantidade muito maior de ângulos que possam vir a ser fornecidos na prova.
Por exemplo, nós sabemos os valores dos senos e cossenos dos ângulos π/6, π/4 e π/3. Com 
base nisso, será que podemos conhecer os valores de senos e cossenos de outros ângulos?
Por exemplo, qual o cosseno de 2π/3?
O primeiro ponto a se notar é que 2π/3 está no segundo quadrante, pois é inferior a π, mas 
superior a π/2. Além disso podemos observar que a soma π/3 + 2π/3 = π, ou seja, uma meia 
volta. Sendo assim, temos graficamente:
Com base nessa Figura, podemos observar que o ângulo de 2π/3 tem o seno positivo e de 
mesmo módulo, portanto, é igual ao seno do ângulo π/3. Por outro lado, o cosseno de 2π/3 
tem sinal negativo. Dessa maneira, temos que:
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Vejamos outro exemplo agora.
E, se precisássemos calcule o seno de 5π/4? Como faríamos?
O primeiro passo é localizar em que quadrante está esse ângulo. Notemos que ele é supe-
rior a π, mas é inferior a 3π/2. Portanto, está no terceiro quadrante.
O ângulo de 5π/4 é igualà soma π/4 + π, ou seja, é o ângulo de π/4 mais meia volta.
Com base nessa Figura, o seno e o cosseno do ângulo 5π/4 são negativos, portanto, po-
demos escrever:
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E, agora, o que faríamos se precisássemos calcular o cosseno de 5π/6?
Novamente, devemos localizar esse ângulo no ciclo trigonométrico. Podemos reparar que 
5π/6 = 2π - π/6. Portanto, é exatamente igual a uma volta menos o ângulo de π/6. Portanto, 
vamos localizar 5π/6 no quarto quadrante. Vejamos:
Com base nessa Figura, o cosseno de 5π/6 é positivo e que o seno desse ângulo é nega-
tivo. Portanto, podemos escrever:
Por fim, outro problema com o qual podemos nos deparar diz respeito a obter senos e 
cossenos de ângulos negativos.
Para o ciclo trigonométrico, não há qualquer problema com isso. Por exemplo, se quere-
mos o ângulo -π/4, basta percorrer o arco π/4, porém, no sentido horário.
Nesse ponto, também gostaria de lembrar que a posição 3π/2 também corresponde ao 
ponto 3π/2 - 2π = -π/2.
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Dessa forma, termos:
Podemos resumir a Reversão ao Primeiro Quadrante no conjunto de técnicas:
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QuesTão 1 (FCC/SEDU-ES/2016/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Depois de ensinar que (a 
+ b). (a − b) = a2 −b2, um professor pediu que os alunos utilizassem a diferença de dois qua-
drados para fazer a conta “105 vezes 95” por meio de um cálculo mental simples. Os alunos 
que seguiram corretamente a proposta do professor finalizaram a operação fazendo a conta
a) 9925 + 50.
b) 10050 − 75.
c) 10025 − 50.
d) 10000 − 25.
e) 9950 + 25.
Letra d.
Questão muito boa para treinarmos os produtos notáveis.
Fazendo a = 100 e b = 5, temos:
Portanto, o produto citado pode ser obtido pela diferença 10000 – 25.
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2. númeRos ComPlexos
Quando resolvemos equações do segundo grau, frequentemente lidamos com o discrimi-
nante negativo. Ou seja:
Por exemplo, considere a seguinte equação:
O discriminante a ela relação pode ser calculado e é negativo.
Quando isso acontece, a equação não tem raízes reais, porque não podemos tirar a raiz 
quadrada de números negativos no conjunto de números reais.
O conjunto de números reais, portanto, não é suficiente para resolver todas as equações 
do segundo grau.
Precisamos de uma nova definição de um conjunto mais amplo que o conjunto de núme-
ros reais para sermos capazes de resolver tais equações.
O matemático Girolam Cardano (1501 – 1576) foi um dos primeiros a propor que se pode-
ria definir um novo número . Com o auxílio desse novo número, conseguiríamos es-
crever as soluções dessa equação em função de i, que é conhecido como unidade imaginária.
Inicialmente, houve muita rejeição por parte dos matemáticos. Esse novo número foi ta-
xado de complexo ou imaginário, denominações que permanecem até hoje.
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Essa rejeição é profundamente compreensível. Os números reais ocupam todos os pontos 
de uma reta. Dessa forma, quando traçamos um segmento de reta qualquer, o seu compri-
mento pode ser sempre expresso por um número real.
Assim, é impossível construir um segmento de reta que meça exatamente uma unidade 
imaginária.
Além disso, todas as operações algébricas com números reais resultam em números re-
ais: a soma, a subtração, a multiplicação e a divisão. Não parecia natural o modo como os 
números complexos apareciam.
Porém, grandes matemáticos, como Carl Friedrich Gauss contribuíram para a solidifica-
ção da teoria em torno dos números complexos. E hoje eles são amplamente aceitos.
Por exemplo, na tentativa de resolver a equação:
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Chegamos ao seguinte cálculo:
Sendo assim, as duas raízes não reais da equação puderam ser deter-
minadas com o apoio da constante que acabamos de definir, que é conhecida como unidade 
imaginária.
A possibilidade de resolver qualquer equação do segundo grau motivou diversos mate-
máticos a tentar provar que seria possível definir o conjunto dos números complexos, com um 
conjunto mínimo de propriedades bem definidas: adição e multiplicação.
Vale ressaltar que, embora o estudo de Números Complexos tenha suas raízes na mate-
mática pura, esses números encontram aplicações nos mais diversos ramos das Ciências 
Exatas. Por exemplo, a Engenharia Eletrônica define o conceito de impedância, que é um nú-
mero complexo, que define a corrente elétrica que atravessa um material em função da vol-
tagem.
Por hora, vejamos os principais conceitos em torno dos Números Complexos.
2.1. FoRma geRal
A forma geral de um número complexo é dada em função da sua parte real e da sua parte 
imaginária.
Na expressão acima, a e b são números reais, em que a é denominado a parte real e b é 
denominada a parte imaginária.
Uma representação comum para a parte real e imaginária de um número complexo é feita 
pelas notações Re(z) e Im(z).
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São exemplos de números complexos escritos nessa forma:
• 1 + i, em que a = 1 e b = 1;
• 2, em que a = 2 e b = 0;
• -i, em que a = 0 e b = -1;
• 2 + 3i em que a = 2 e b = 3.
Por conta disso, é possível construir um plano, conhecido como Plano de Argand-Gauss, 
em que se pode representar um número complexo em dois eixos: o eixo real e o eixo imaginário.
No Plano de Argand-Gauss, são construídos dois eixos perpendiculares entre si: o eixo 
real e o eixo imaginário.
Nesse plano, os afixos do número complexo z são posicionados, de modo que:
• A projeção do afixo no eixo real corresponde à parte real do número;
• A projeção do afixo no eixo imaginário corresponde à parte imaginária do número.
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Os números posicionados ao longo do eixo real – Re (z) – são números reais. Por exem-
plo, o número 3 está lá representado. Por outro lado, os números posicionados ao longo do 
eixo imaginário – Im (z) – são os números imaginários puros. É o caso do número –i, que está 
posicionado lá acima.
2.1.1. Igualdade de Números Complexos
Convém ressaltar que a representação mostrada no plano é única para todo número 
complexo. Isso tem uma consequência importante a respeito da igualdade de dois números 
complexos.
Considere dois números complexos quaisquer z1 e z2.
A igualdade entre requer que tanto a parte real como a parte imaginária sejam 
iguais.
Não existe outra possibilidade.
2.2. soma
A soma entre dois números complexos deve ser feita somando-se separadamente as par-
tes reais e imaginárias separadamente. Podemos deixar um algoritmo.
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Para a soma dos números, podemos escrever:
Podemos resumir à seguinte fórmula:
Vejamos exemplos:
Basta somar as partes reais e imaginárias separadamente.
Mais um exemplo para fixação.
Basta somar as partes reais e imaginárias separadamente.
2.3. mulTiPliCação
A multiplicação é também uma operação bem definida para os números complexos. Para 
aprender a multiplicar, devemos nos lembrar que i² = -1.
Considere dois números complexos:
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O produto deles será:
Para resolver, podemos utilizar a propriedade associativa da multiplicação.
Podemos simplesmente decorar a seguinte expressão para a multiplicação de números 
complexos.
Vejamos alguns exemplos.
Aplicando a expressão que deduzimos acima, temos:
Se, por acaso, você teve alguma dificuldade com a fórmula, não há problema nenhum em 
fazer a multiplicação passo-a-passo, lembrando que i² = -1.
Vejamos como poderíamos ter feito a multiplicação acima, sem decorar a fórmula.
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Mais um exemplo para fixação.
Aplicando a expressão deduzida, temos:
2.4. Conjugado
O conjugado de um número complexo tem a mesma parte real, porém, a parte 
imaginária é simétrica. Trata-se, portanto, do número definido da seguinte forma.
Façamos uma tabela com alguns exemplos de números complexos e seus respectivos 
conjugados.
Número Complexo (z) Conjugado
1 + 2i 1 – 2i
2 – i 2 + i
-3 + 4i -3 -4i
2i -2i
4 4
É interessante observar que o conjugado de qualquer número real é igual ao próprio 
número.
Uma das propriedades mais interessantes do conjugado é que a soma e o produto por 
 são sempre números reais. Vejamos.
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Dessa forma, concluímos que a parte imaginária dos números e é sempre 
nula. Portanto, a soma e o produto de um número complexo qualquer por seu conjugado é 
sempre real.
Além disso, é possível provar que o conjugado é o único número que satisfaz a essas duas 
condições.
• Teorema: Para um número complexo , ou seja, z é um número complexo, que 
não é real, o conjugado é o número único tal que a soma e o produto por z sejam 
números reais.
Ou seja, para o número z = 1 + 2i, não existe outro número tal que a soma e o produto se-
jam simultaneamente números reais. Devemos necessariamente tomar  .
Essa propriedade é extremamente interessante, tendo em vista a circunstância em que os 
números complexos foram propostos pela primeira vez.
Por exemplo, em uma equação do segundo grau de coeficientes reais:
Teremos que a soma e o produto das raízes serão números reais:
Portanto, se as duas raízes forem complexas não-reais, necessariamente uma das raízes 
será o conjugado da outra.
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2.4.1. Propriedades do Conjugado
A operação conjugado é bastante interessante, pois apresenta comutatividade com adi-
ção e multiplicação. Ou seja:
• O conjugado da soma é sempre igual à soma de conjugados;
• O conjugado do produto é sempre igual ao produto de conjugados;
• O conjugado do conjugado é o próprio número.
2.4.2. Demonstração do Teorema do Conjugado
Essa seção é uma demonstração do teorema visto anteriormente.• Teorema: Para um número complexo , ou seja, z é um número complexo, que 
não é real, o conjugado é o número único tal que a soma e o produto por z sejam 
números reais.
Serve apenas para fins de curiosidade, não sendo esperado que seja cobrado em ques-
tões de prova.
Seja , com , de modo que z não é um número real queremos descobrir 
um número , de modo que tanto a soma como o produto de z por z2 sejam reais.
Para que a soma z + z2 seja real, devemos ter:
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Agora, calculemos o produto z.z2.
Para que o produto seja um número real, devemos ter que sua parte imaginária deve ser 
igual a zero:
Considerando que:
Se  :
Dessa forma, teremos:
Portanto, z2 só pode ser o conjugado de z.
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2.5. divisão
Para efetuar a divisão, em que o quociente é um número complexo não-real, é muito útil 
utilizar o conceito de conjugado para transformar o numerador em um número real.
Para isso, basta multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. 
Vejamos.
Confesso que nunca decorei e recomendaria a você que não decorasse a expressão aci-
ma. O melhor é realmente multiplicar em cima e em baixo pelo conjugado do denominador. 
Vejamos exemplos.
Queremos a seguinte divisão.
Basta fazer:
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2.6. PoTênCias da unidade imagináRia
Um ponto muito interessante sobre a unidade imaginária são suas potências. Já sabemos 
que, por definição, i² = -1. Com base nisso, podemos calcular as demais potências de i.
Perceba, portanto, que as potências da unidade imaginária podem ser dispostas no se-
guinte losango.
Figura 1: Potências da Unidade Imaginária.
Um ponto ainda mais interessante é que as potências da unidade imaginária formam 
uma sequência cíclica. Podemos estabelecer que:
Dessa forma, as potências da unidade imaginária formam uma sequência cíclica de perí-
odo igual a 4. Como exemplos, temos:
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Com isso, podemos dispô-las em um ciclo.
Figura 2: Potências da Unidade Imaginária – Ciclo Completo.
Uma forma simples de calcular uma potência genérica da unidade imaginária é tomando 
o resto da divisão do expoente por 4. Por exemplo, suponha que queiramos calcular i39438 .
Basta tomar o resto da divisão do expoente por 4.
39438 4
-39436 9859
(2)
Portanto, i39438 = i² = –1.
Outra dica interessante é que, como 100 é divisível por 4, só precisamos tomar os dois 
últimos algarismos do número. Assim, nem precisamos necessariamente dividir o 39438 por 
4. É suficiente dividir apenas o 38.
38 4
-36 9
(2)
Da mesma forma, chegaríamos à conclusão i39438 = i2 = –1.
E, agora, vamos treinar com algumas questões de prova?
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QuesTão 2 (IBADE/PREFEITURA DE LINHARES/ES/2020/TÉCNICO AGRÍCOLA) Sabe-se que 
i0 = 1, i1 = i, i² = -1, i³ = -i, assim, i2020 é:
a) 0
b) 1
c) -1
d) i
e) -i
Letra b.
O primeiro ponto a notar é a quarta potência da unidade imaginária.
Como i4 = 1, concluímos que ia+4n = ia. Ou seja:
i0 + 4n = i0 = 1
i1 + 4n = i1 = i
i2 + 4n = i2 = –1
i3 + 4n = i3 = –i
Portanto, o modo mais fácil de determinar uma potência da unidade imaginária é tomando o 
seu resto na sua divisão por 4.
2020 4
-2020 505
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(0)
Dessa forma, a potência i2020 é:
i2020 = i0 = 1
QuesTão 3 (PLANEXCON/CÂMARA DE PEREIRAS/SP/2016/ESCRITURÁRIO LEGISLATIVO) 
Qual é o quociente de: (20 + 10i) / (3 + 4i):
a) 6 + 2i.
b) 2 – 3i.
c) 4 + 4i.
d) 2 + 4i.
e) 4 - 2i.
Letra e.
O jeito mais fácil de resolver uma divisão de números complexos é multiplicando pelo conju-
gado do denominador.
QuesTão 4 (IF-SP/2019/MATEMÁTICA) Considere o número z = a + bi, onde  i é a unidade 
imaginária, e seu conjugado   com a e b números reais. Sobre a equação   , 
afirma-se que:
a) z é um número imaginário puro
b) z é um número real
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c) ab ≠ 0
d) Ela não possui solução.
Letra c.
Não temos como garantir nada sobre z, portanto, não sabemos se ele é real ou imaginário 
puro. Porém, para definir a própria operação de inversão, precisamos que o produto
Sendo assim, a e b não podem ser simultaneamente nulos, portanto, o produto ab é diferente 
de zero.
QuesTão 5 (CESGRANRIO/2018/PETROBRAS/GEOFÍSICO JÚNIOR/GEOLOGIA) Sejam z e w 
números complexos em que z2 - w2 = 7 + i. Se a diferença entre os conjugados de z e w é dada 
pelo complexo 1 + 2i, o complexo   é
a) 1 – 2i
b) 1 – 3i
c) 1 + 2i
d) 1 + 3i
e) 1 + 5i
Letra b.
A diferença dos conjugados é igual ao conjugado da diferença. Portanto, podemos escrever:O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para CELESTIANO SABUGO DA SILVA - 192.683.789-23, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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Aplicando novamente a operação conjugado, teremos:
Aplicando o produto notável para a diferença de quadrados, temos:
Para calcular a razão, basta multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do deno-
minador. Com isso, temos:
Aplicando a operação do conjugado, teríamos:
QuesTão 6 (CESPE/2018/SEDUC-AL/PROFESSOR - MATEMÁTICA) A respeito dos números 
complexos, julgue o item a seguir.
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As raízes do polinômio z³ - 3z² + 3z = 0, no plano complexo, são vértices de um triângulo ins-
crito no círculo de centro no ponto (1, 0) e de raio 1, isto é, se z = x + iy for uma dessas raízes, 
então (x – 1)² + y² = 1.
Certo.
Uma questão bem interessante, pois conseguiu misturar Geometria Analítica com Números 
Complexos de maneira elegante.
Se as raízes estão inscritas em um círculo, podemos escrever a equação da circunferência 
conhecida da Geometria Analítica.
Substituindo os valores informados para o centro (x0=1, y0=0) e o raio (r = 1), temos:
3. FoRma PolaR
A forma polar consiste em representar o número complexo por duas coordenadas:
• Módulo: corresponde à distância de z até a origem;
• Argumento: corresponde à inclinação da reta que sai da origem até z em relação ao eixo 
dos reais positivos.
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Figura 3: Representação Geral e Forma Polar de um Número Complexo.
O módulo de um número complexo pode ser calculado pelo Teorema de Pitágoras.
É interessante observar que esse resultado está intimamente relacionado ao produto de z 
pelo seu conjugado. Logo, podemos concluir que:
Anote a propriedade acima. Ela é muito importante: o produto de um número complexo 
pelo seu conjugado é igual ao quadrado do seu módulo.
O argumento de z, por sua vez, é o ângulo que satisfaz ao conjunto de relações trigo-
nométricas.
Com base no módulo e no argumento, temos:
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Existem várias formas sintéticas de escrever a expressão acima. Podemos trocar por cis 
– cosseno + i seno – ou ainda por uma exponencial – essa última demonstrada pelo grande 
matemático Leonhard Euler.
Comentaremos mais à frente sobre a interessante Identidade de Euler.
Para usar a forma exponencial eiθ, devemos utilizar o θ em radianos.
Como exemplo de transformação na forma polar, determine o módulo e o argumento do 
seguinte número complexo z = 1 + i√3.
Primeiramente, tomemos o módulo desse número. Lembremos que o quadrado do módu-
lo é igual à soma do quadrado das partes real e imaginária.
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Agora, podemos calcular o seno e o cosseno do argumento desse número complexo.
Dessa forma, temos que um possível argumento para z é o arco π/3.
Porém, da Trigonometria, podemos dar voltas para a direita ou para a esquerda. Portan-
to, podemos somar qualquer 2kπ, com k inteiro, que ainda assim manteremos exatamente a 
mesma posição no Plano de Argand-Gauss.
No campo dos Números Complexos, o 2kπ é geralmente ignorado, exceto quando faze-
mos a operação de radiciação.
Portanto, podemos escrever o número em apreço da seguinte forma.
Também podemos escrever da forma exponencial, utilizando a notação de Euler.
Certamente, na hora da sua prova, você não precisa decorar valores de seno e cosseno 
além dos que já lhe foram apresentados em Trigonometria. Caso seja necessário utilizar al-
gum outro ângulo, o examinador tem o dever de lhe fornecer os valores de seno e cosseno.
Podemos observar também que o argumento de:
• Todo número real positivo é zero 
• Todo número real negativo é 
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3.1. aRgumenTos eQuivalenTes
É interessante observar que o argumento de um número complexo não é único. Da Trigo-
nometria, sabemos que uma volta no ciclo trigonométrico corresponde ao percurso de com-
primento igual a 2π. Portanto, podemos adicionar um número de voltas para a direita ou para 
a esquerda que continuaremos no mesmo ponto do ciclo trigonométrico.
Sendo assim, se o argumento de um número complexo é igual a π/3, são argumentos 
equivalentes: π/3, 7π/3, 13π/3 e também são equivalentes –5π/3, –11π/3 etc.
Podemos generalizar. Dois argumentos θ1 e θ2 são equivalentes quando satisfazem às 
seguintes equações:
Na representação acima, significa que k é um número inteiro. Ou seja, k pode as-
sumir qualquer valor inteiro:
Acostume-se à notação , pois ela é muito utilizada no estudo de Números Complexos.
Dessa forma, temos uma versão interessante para a desigualdade de números comple-
xos. Se temos dois números complexos z1 e z2, escritos na forma polar como:
Os dois números serão iguais, ou seja, z1 = z2, se, e somente:
• Seus módulos forem iguais;
• E seus argumentos forem equivalentes.
Em notação matemática, poderíamos escrever:
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3.2. Relação de euleR
Uma relação interessante é conhecida como Relação de Euler. Falaremos rapidamente 
sobre essa relação apenas como uma curiosidade matemática.
Vamos calcular a exponencial de i.π.
Dessa forma, podemos concluir que:
Se isso não te emociona, o seu coração só pode ser de pedra.
Essa relação é bastante elegante, pois relaciona constantes fundamentais da Matemática.
• Número de Euler (e): relacionado com o crescimento. A inclinação da função exponen-
cial de base e é sempre igual ao próprio valor da função.
• Pi (π): um dos números transcendentais mais antigos conhecidos, é a razão entre o 
comprimento e o diâmetro de uma circunferência.
• Unidade Imaginária (i): a unidade base para a construção dos números complexos.
• Unidade (1): elemento base de toda a contagem;
• Zero (0): elemento central de toda a reta real e do plano dos complexos.
3.3. inTeRPReTação geoméTRiCa do módulo
Como falamos no início, o módulo de um número complexo z é a distância de z até a ori-
gem. Podemos, ainda, generalizar essa interpretação.
O módulo |z1 – z2| corresponde à distância entre os afixos dos números complexos z1 e z2 
no Plano de Argand-Gauss.
Tomemos como exemplo os números complexos:
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z1 = 1 + i e z2 = 2 + 3i.
Quando posicionamos os dois números no plano dos complexos, chegamos à seguinte 
representação.
Observe que o módulo da diferença dos dois números corresponde exatamente à distân-
cia entre eles no plano.
Com base nisso, podemos misturar conceitos da Geometria Analítica aos Números Com-
plexos. Vamos apresentar algumas conclusões.
Um problema muito comum em questões de prova é tomar um número complexo qual-
quer z0 e pedir o conjunto de pontos z que satisfazem à equação |z – z0| = R, em que R é uma 
distância constante.
Vejamos um exemplo. Qual o lugar geométrico dos números complexos, tais que |z – i| = 1.
Pela definição de módulo, concluímos que a distância de todos os números complexos z 
ao ponto “i” é igual a 1. Da Geometria Analítica, sabemos que isso corresponde a uma circun-
ferência com centro em “i” e com raio igual a 1.
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Figura 4: Lugar Geométrico de |z - i| = 1.
Podemos obter alguns exemplos de pontos que pertencem à circunferência usando as 
técnicas que vimos na Geometria Analítica.
• Podemos pegar o ponto um raio à direta do centro: i + 1 = 1 + i;
• Pegamos o ponto um raio à esquerda do centro: i – 1 = –1 + i;
• Pegamos o ponto um raio acima do centro: i + i = 2i;
• Pegamos o ponto um raio abaixo do centro: i – i = 0.
Observe que andar n passos para cima ou para baixo no Plano de Argand Gauss corres-
ponde a somar ni. Precisamos multiplicar pela unidade imaginária, pois isso define a direção.
Outra forma que podemos trabalhar esse lugar geométrico é usar diretamente a defini-
ção de módulo. Para isso, tomamos z = x + yi.
Pela definição do módulo, podemos escrever:
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Da Geometria Analítica, sabemos que a equação corresponde a uma circunferência com 
centro em (0, 1), exatamente como desenhamos acima.
Outra interpretação interessante seria a respeito do conjunto de números complexos, tais 
que |z – 1| = |z – 3|.
Nesse caso, estamos querendo o conjunto de pontos que são equidistantes dos números 
1 e 3. Esse lugar geométrico corresponde à mediatriz do segmento, que é a reta que passa 
pelo ponto médio do segmento e é perpendicular a ele.
Figura 5: Mediatriz como Lugar Geométrico.
Essa relação também pode ser concluída utilizando-se as definições de Geometria Ana-
lítica. Tomemos z = x + yi.
Vamos, agora, calcular os módulos dos dois lados da equação.
Podemos cortar o valor de y² dos dois lados da equação.
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Podemos transformar a equação em uma diferença de dois quadrados.
E, agora, podemos utilizar o produto notável de que a diferença de dois quadrados é igual 
ao produto da soma pela diferença.
Chegamos, portanto, à mesma conclusão que havíamos chegado antes.
Meu conselho é que você memorize as duas conclusões que chegamos:
• O lugar geométrico dos pontos que atendem à condição |z – z0| = R é uma circunferên-
cia com centro em z0 e raio igual a R;
• O lugar geométrico dos pontos que atendem à condição |z – z1| = |z – z2| é a mediatriz 
do segmento formado pelos pontos z1 e z2.
QuesTão 7 (CESPE/2018/IFF/CONHECIMENTOS GERAIS/CARGOS 23 E 31) Se i é a unidade 
imaginária complexa, isto é,  i é tal que i² = -1, então o valor absoluto no número complexo 
 é igual a
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MATEMÁTICA
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
e) 7.
Letra c.
A forma mais simples de resolver é aplicando o fato de que o valor absoluto da divisão de dois 
números complexos é igual à divisão dos valores absolutos;
QuesTão 8 (CESPE/PREFEITURA DE SÃO CRISTÓVÃO/SE/2019/PROFESSOR DE EDUCAÇÃO 
BÁSICA) Na disputa entre Cardano e Tartaglia pela resolução da equação polinomial do ter-
ceiro grau (século XVI), foi que se percebeu que os números reais eram insuficientes para o 
tratamento de equações algébricas. Em busca das raízes da equação x³ - 15x - 4 = 0, a fór-
mula de Tartaglia fornecia a solução , que evidenciou a necessidade 
da criação do conjunto dos números complexos (÷). Em 1572, Rafael Bombelli fez a suposição 
de que √–1 era um número conhecido e concluiu que (2 + √–1)³ = 2 + √–121 e que(2 - √–1)³ 
= 2 - √–121. Leonhard Euler (1707-1783) introduziu a notação i para √–1 e passou a estudar 
os números complexos da forma z = a + ib, em que a e b são números reais e i² = -1.
Tendo o texto anterior como referência inicial bem como fatos históricos da matemática e a 
teoria dos números complexos, julgue o item que se segue.
O módulo do número z = 2 + i é maior que 2.
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MATEMÁTICA
Certo.
O módulo de um número complexo é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados das suas 
partes real e imaginária.
QuesTão 9 (CESPE/PREFEITURA DE SÃO CRISTÓVÃO/SE/2019/PROFESSOR DE EDUCAÇÃO 
BÁSICA) Na disputa entre Cardano e Tartaglia pela resolução da equação polinomial do ter-
ceiro grau (século XVI), foi que se percebeu que os números reais eram insuficientes para o 
tratamento de equações algébricas. Em busca das raízes da equação x³ - 15x - 4 = 0, a fór-
mula de Tartaglia fornecia a solução , que evidenciou a necessidade da 
criação do conjunto dos números complexos (÷). Em 1572, Rafael Bombelli fez a suposição de 
que √–1 era um número conhecido e concluiu que (2 + √–1)³ = 2 + √–121 e que (2 - √–1)³ = 
2 - √–121. Leonhard Euler (1707-1783) introduziu a notação i para √–1 e passou a estudar os 
números complexos da forma z = a + ib, em que a e b são números reais e i² = -1.
Tendo o texto anterior como referência inicial bem como fatos históricos da matemática e a 
teoria dos números complexos, julgue o item que se segue.
Na Grécia Antiga, verificou-se a insuficiência dos números racionais em medir a diagonal do 
quadrado de lado igual a um.
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Certo.
Questão interessante do ponto de vista histórico da Matemática. A diagonal de um quadrado 
de lado 1 é obtido pelo Teorema de Pitágoras.
A raiz quadrada de 2 é um número irracional. E, portanto, o conjunto dos números racionais 
realmente não seria suficiente para resolver esse problema.
QuesTão 10 (CESPE/ABIN/2018/OFICIAL TÉCNICO DE INTELIGÊNCIA) Julgue o item seguin-
te, a respeito de números complexos e funções de variáveis complexas.
No plano complexo, os números complexos z que satisfazem à equação |z| = |z + 1| estão so-
bre a circunferência de centro na origem e de raio 1/2.
Errado.
Devemos entender o módulo como uma distância entre dois números.
|z| seria a distância de z à origem 0.
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|z+1| seria a distância de z ao número –1.
Queremos que as duas distâncias sejam iguais. O lugar geométrico dos pontos equidistantes 
de 0 e 1 é a mediatriz do segmento que une esses pontos.
Esse seria o raciocínio mais rápido: utilizar a definição de lugar geométrico. Portanto, a afir-
mação está incorreta.
Outra forma de resolver o problema é fazer z = x + yi e substituir na equação pedida.
Agora, vamos utilizar a definição de módulo, que é a raiz quadrada da soma dos quadrados da 
parte real e da parte imaginária.
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Agora, vamos extrair os módulos.
Podemos utilizar o importante produto notável de que a diferença de quadrados é igual ao 
produto da soma pela diferença.
Dessa forma, basta que a parte real do número seja igual a –1/2 para que as duas distâncias 
sejam iguais. Resulta exatamente na mediatriz vista anteriormente.
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QuesTão 11 (CESPE/SEDUC-AL/2018/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) As raízes do polinô-
mio  z³  - 3z²  + 3z  = 0, no plano complexo, são vértices de um triângulo inscrito no círcu-
lo de centro no ponto (1, 0) e de raio 1, isto é, se  z = x + iy  for uma dessas raízes, então 
(x – 1)² + y² = 1.
Certo
Primeiramente, notemos que a circunferência pedida tem centro no número z = 1 + 0i = 1. 
Portanto, a afirmação citada no problema é:
A forma mais simples de verificar se realmente as raízes da equação satisfazem à afirmação 
acima é fazer um certo algebrismo matemático.
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Note que a equação acima lembra muito um cubo perfeito, que seria (z – 1)³. Sabemos que 
(z – 1)³ = z³ – 3z² + 3z – 1. Basta, portanto, somar –1 dos dois lados.
Chegamos a um cubo perfeito.
Portanto, z – 1 corresponde às raízes cúbicas de –1.
Pela Fórmula de Moivre, sabemos que o módulo de |z – 1| é igual à raiz cúbica do módulo 
de –1.
Portanto, realmente, todas as raízes satisfazem à circunferência proposta no enunciado.
Se você não tivesse pensando nessa solução, note que podemos calcular as raízes desse 
polinômio. Note que z = 0 é raiz, pois o coeficiente independente é nulo.
Vejamos se essa raiz satisfaz à condição. Para isso, devemos tomar o módulo:
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De fato, z1 = 0 pertence à circunferência detalhada no enunciado.
Agora, vamos calcular as demais raízes. Quando a raiz é z = 0, mais fácil do que aplicar o Te-
orema de D’Alembert é simplesmente fatorar.
Basta, agora, igualar a zero o quociente, que é a equação do segundo grau.
Vamos calcular o discriminante dessa equação do segundo grau.
E, agora, vamos calcular as raízes complexas da equação.
Portanto, as outras duas raízes complexas da equação são:
Vejamos se esses números pertencem à circunferência pedida. Comecemos pelo número z2.
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O número z2 realmente satisfez a equação. Agora, vejamos o número z3.
Portanto, as três raízes do polinômio realmente pertencem à circunferência |z – 1| = 1.
QuesTão 12 (CESPE/SEE-AL/2013/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) A figura acima - um lo-
sango - foi construída em um plano complexo em que os elementos são da forma z = x + iy. 
O par (x, y) são as coordenadas cartesianas do ponto z em um sistema de coordenadas car-
tesianas ortogonais xOy. A unidade imaginária i é tal que i2 = -1. Os vértices da figura corres-
pondem aos números complexos z1 = 1, z2 = i , z3 = -1 e z4 = - i.
Com base nessas informações e na figura, julgue o item a seguir.
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A parte da figura correspondente aos pontos z tais que |z – 1 + i| ≤ 1 ocupa mais de 25% da 
área total da figura.
Certo.
Questão bem interessante sobre localização de pontos no plano complexo. O primeiro ponto 
a notar é o que significa o módulo.
O módulo de z – 1 + i é a distância de z ao ponto (1 – i). A região pedida é, portanto, um círculo. 
O raio desse círculo é igual ao módulo, que é igual a 1.
A forma mais simples de construir a circunferência é desenhar quatro pontos em torno do 
centro.
• Um raio acima do centro: (1 – i) + i = 1
• Um raio abaixo do centro: (1 – i) - i = 1
• Um raio à direita do centro: (1 – i) + 1 = 2 – i
• Um raio à esquerda do centro: (1 – i) – 1 = – i
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Dessa forma, observe que o a área ocupada pelo círculo corresponde a menos de 25% da área 
do quadrado.
QuesTão 13 (CESPE/ABIN/2018/OFICIAL TÉCNICO DE INTELIGÊNCIA/DESAFIO) Julgue o 
item seguinte, a respeito de números complexos e funções de variáveis complexas.
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A função de variável complexa φ(z) = 1/z, para z ≠ 0, transforma os pontos afixos da circun-
ferência dada por |z – i| = 1 (z ≠ 0) em pontos de uma reta perpendicular ao eixo imaginário.
Certo.
Essa é uma questão bem complicada. Os pontos afixos obedecem à relação:
Sabemos que os pontos que satisfazem a essa equação são uma circunferência com centro 
em i e raio igual a 1.
Vamos verificar, primeiro, se a relação funciona com os três pontos mostrados acima para ver 
se realmente ela faz sentido.
Para calcular o inverso de um número complexo, é interessante multiplicar em cima e embai-
xo pelo conjugado desse número.
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Agora, façamos para o ponto B.
Vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado.
E, por fim, façamos para o ponto C.
Vamos utilizar o conjugado, multiplicando em cima e embaixo.
Vamos posicionar as três funções calculadas: φ(A), φ(B) e φ(C).
Notamos que as três funções realmente estão numa mesma reta paralela ao eixo real e per-
pendicular ao eixo imaginário. Portanto, há algum sentido na afirmação do enunciado.
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O aluno mais apressado poderia marcar correto com base nisso. Considero uma forma de chu-
tar esse tipo de questão, porém, não é uma demonstração matemática. São apenas exemplos.
Para prová-la matematicamente para todos os pontos pertencentes à circunferência, precisa-
mos equacionar. Fazendo z = x + yi, temos:
E, agora, vamos obter uma expressão para o módulo
Chegamos a uma importante relação. Vamos guardá-la e, agora, vamos utilizar a função:
Façamos z = x + yi, teremos:
Multiplicando a equação pelo conjugado.
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Vamos utilizar a equação obtida anteriormente.
Substituímos essa informação no denominador.
Portanto, todos os pontos da função φ realmente possuem a parte imaginária igual a –1/2.
Já vimos exemplos de como isso funciona. E, agora, provamos matematicamente que a parte 
imaginária de φ é sempre igual a –1/2.
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A reta mostrada é paralela ao eixo real, portanto, é perpendicular ao eixo imaginário.
4. FóRmulas de moivRe
O matemático Abraham de Moivre foi um dos principais estudiosos da Forma Polar dos 
Números Complexos.
Seu trabalho contribuiu bastante para solidificar diversos
4.1. PRoduTo de númeRos ComPlexos
De posse da forma polar, o produto se torna muito simples. Basta:
Multiplicar os módulos;
Somar os argumentos.
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Tomemos como exemplo:
Aplicando as relações previamente estudadas para o módulo e o argumento do produto, 
temos:
Poderíamos parar por aqui. Como os números foram fornecidos na forma polar, podería-
mos deixar o resultado na forma polar também. Porém, nesse caso, é fácil expandir.
Uma conclusão interessante é o que acontece quando temos um número z0, de módulo 
igual a 1.
Multiplicar um número qualquer por z1 corresponde a fazer uma rotação no plano comple-
xo de ângulo exatamente igual ao argumento de z0.
Como exemplo, vamos fazer multiplicações de números complexos por z0 = 1. cis π/3.
Figura 6: Rotação de π/3 em torno do centro do plano complexo por meio da multiplica-
ção por z0 = 1.cis π/3.
Dessa forma, o argumento de um número complexo se reflete por uma rotação no plano.
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4.2. PoTênCia
A potência se torna ainda mais fácil com a forma polar. Para calcular a potência zn, tudo 
o que você deve fazer é:
• Elevar o módulo à potência n;
• Multiplicar o argumento por n.
Essa expressão é conhecida como Primeira Fórmula de Moivre. Tomemos um exemplo. 
Queremos calcular z6, sendo que:
Já transformamos esse complexo na forma polar.
Agora, basta aplicar a Fórmula de Moivre.
Podemos converter a forma polar para a forma geral.
4.3. RadiCiação
As raízes n-ésimas de um número complexo z qualquer, o que pode ser representado por 
, são os números, tais que  .
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Pode-se demonstrar que a radiciação de z produzirá exatamente n números complexos 
distintos, cujas representações no Plano de Argand-Gauss, formam um polígono regular de n 
lados.
A Segunda Fórmula de Moivre permite calcular as n raízes complexas de um número com-
plexo z. Para isso, basta:
• Tirar a raiz do módulo;
• Dividir o argumento e suas 2kπ por n.
Como exemplo, vamos tomar as raízes cúbicas de 8.
Primeiramente, escreveremos o número complexo 8 na forma polar.
Aplicando a Segunda Fórmula de Moivre, temos:
Agora, basta fazer o k variar no seguinte conjunto de valores k = {0, 1, 2}.
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Como todas as raízes cúbicas encontradas possuem o mesmo módulo, elas formam um 
triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio 2.
4.4. exPoenTes imagináRios
Um caso interessante da potenciação de números complexos acontece quando o expo-
ente é imaginário.
Tomemos um caso emblemático.
Quanto vale a potência ii?
A forma mais simples de resolver o problema é substituir o valor de i pela sua forma ex-
ponencial. Sabemos i tem módulo igual a 1 e argumento igual a π/2. Portanto, poderíamos 
escrever:
Usando a propriedade de potências de potências, podemos conservar a base e multiplicar 
os expoentes.
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Como i² = –1, temos que:
Olha só, que interessante. A unidade imaginária elevada à própria unidade imaginária re-
torna um número perfeitamente real.
Porém, um aluno curioso poderia se perguntar. Mas, professor, não poderíamos escrever 
a unidade imaginária da seguinte forma?
A resposta é que sim. O argumento 5π/2 é equivalente ao argumento π/2, pois a diferença 
entre eles é igual a 2π.
Com base nisso, o aluno se perguntaria: com base nisso, não poderíamos escrever a po-
tência da seguinte forma?
Usando a propriedade de potência de potências, temos:
Diante disso, qual o valor correto da potência ii? Ela é igual a ?
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Na verdade, o que temos é que ii é uma indeterminação. Na verdade, essa potência retorna 
uma lista infinita de valores, e não somente um valor único.
Se escrevermos a unidade imaginária da forma genérica, teríamos:
Elevando à unidade imaginária, teríamos:
Podemos exemplificar alguns valores dessa lista:
QuesTão 14 (FADESP/IF-PA/2018/PROFESSOR - MATEMÁTICA) Um dos valores da potência 
complexa   é igual a
a) 
b) 
c) 
d) eπ.
e) e-π.
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