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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Câmpus Campo Mourão
LISTA DE EXERCÍCIOS:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
4. FUNÇÕES E LIMITES
**Os exercícios identi�cados com (APS) devem ser entregues no dia da avaliação**
1. Faça curvas de nível para as funções:
a. f(x, y) = (y − 2x)2
b. f(x, y) =
√
x+ y
c. f(x, y) =
√
y2 − x2
2. Faça o esboço das curvas de nível e do grá�co da função e compare-os:
a. f(x, y) = x2 + 9y2
b. f(x, y) =
√
36− 9x2 − 4y2
3. (APS) Considere as funções cujos grá�cos são dados a seguir:
Dentre tais funções, qual dos mapas de contorno, a seguir, não representa devidamente uma das 4 funções?
[1] [2] [3] [4] [5]
4. Suponha que lim
(x,y)→(3,1)
f(x, y) = 6. O que podemos dizer sobre o valor de f(3, 1)? E se a função for contínua?
5. (APS - Escolha 3 itens) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
a. lim
(x,y)→(1,2)
(5x3 − x2y2) b. lim
(x,y)→(2,1)
4− xy
x2 + 3y2
c. lim
(x,y)→(0,0)
x4 − 4y4
x2 + 2y2
d. lim
(x,y)→(0,0)
xy cos y
3x2 + y2
e. lim
(x,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2
f. lim
(x,y)→(0,0)
x2yey
x4 + 4y2
g. lim
(x,y)→(0,0)
x2 + y2√
x2 + y2 + 1− 1
h. lim
(x,y,z)→(0,0,0)
xy + yz2 + xz2
x2 + y2 + z4
i. lim
(x,y)→(0,0)
x√
x2 + y2
j. lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
k. lim
(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
x4 + y4
l. lim
(x,y)→(0,0)
2x2y
3x2 + 3y2
6. Determine o maior conjunto para o qual a função é contínua e veri�que as condições de continuidade para tais pontos:
a. F (x, y) =
xy
1 + ex−y
b. F (x, y) =
1 + x2 + y2
1− x2 − y2
c. F (x, y) = ln(x2 + y2 − 4)
7. A função f(x, y) =

x2 − y2
x2 + y2
, se (x,y)6= (0, 0)
0, se (x,y)=(0,0)
, é contínua no ponto (0, 0)? Justi�que.
8. (APS) Seja a função f(x, y) =
{
x2 + y2, se x2 + y2 ≤ 4
0, se x2 + y2 > 4
, cujo grá�co é dado a seguir. Pode-se dizer que f é contínua
para todo (x, y) ∈ R2? Justi�que.
*** Gabarito ***
1. -
2. -
3. -
4. -
5. a)1; b)27 ; c) 0; d) não existe; e) 0; f) não existe; g)2; h)não existe; i)não existe; j)não existe; k)não existe; l) 0;
6. a) R2; b) {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 6= 1}; c) {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 > 4}
7. Não.
8. -