Aula 1 - CM e momento

Prévia do material em texto

Centro de massa, Momento linear, 
Impulso e conservação do momento 
linear 
Prof. Marcos L. Andreazza 
CCET - UCS 
Sistema de partículas 
 
Centro de massa 
Dois blocos ligados por uma 
mola são colocados na 
superfície sem atrito. Quando 
os blocos são afastados e 
liberados o movimento não é 
simples, mas o centro de 
massa do sistema, assinalado 
“cm” permanece em repouso. 
 
Sistema de partículas 
Centro de massa 
Dois blocos ligados por 
uma mola são colocados na 
superfície sem atrito. 
Quando os blocos são 
afastados e liberados de tal 
forma que o sistema como 
um todo se mova para a 
direita, o movimentos de 
ambos é complexo, mas 
para o centro de massa do 
sistema, assinalado “cm” o 
deslocamento ocorre com 
velocidade constante. 
Centro de massa para um sistema de 
partículas 
Posição do centro de massa para 
um sistema de duas partículas:  2211
1
xmxm
M
xcm 
21 mmM 
Centro de massa para um sistema de 
partículas 
Posição do centro de massa para um sistema de n partículas: 



n
i
iicm xm
M
x
1
1
  nncm xmxmxm
M
x ......
1
2211



n
i
iicm ym
M
y
1
1



n
i
iicm zm
M
z
1
1
kzjyixR cmcmcm
ˆˆˆ 

kzjyixr iii
ˆˆˆ 




n
i
iicm rm
M
R
1
1 
Centro de massa de corpos contínuos 
  dmyM
y icm
1
  dmzM
z icm
1
  dmxM
x icm
1
  dmrM
r icm
 1
Método geométrico para determinação do 
centro de massa 
Método geométrico para determinação do 
centro de massa 
Centro de massa de um disco de raio R 
e massa M 
  dmrM
rcm
 1
drrdAdm   2
drrdA ..2
 


 drrr
R
rcm 

2
1
2

2
RAM T  
0
3
22
3
2
2
2












R
R
cm
R
R
cm
R
R
rdrr
R
r



Centro de massa de uma barra fina e homogênea de 
comprimento L e massa M 
  dmrM
rcm
 1
cmcm yr dydm .
LM  
 2
0
2
0 2
1
2
1
L
L
y
L
ydyy
L
y
L
cm
L
cm 







 

2
L
ycm 
yr 
Problemas 
1. Uma barra cilíndrica homogênea de 3m de comprimento é 
dobrada duas vezes em ângulo reto, intervalos de 1m, de modo 
formar três arestas consecutivas de um cubo (fig.). Ache as 
coordenadas centro de massa da barra, no sistema de 
coordenadas da figura. 
2. A Fig. ao lado mostra um sistema de três partículas, com 
massas ml = 3,0 kg, m2 = 4,0 kg e m3 = 8,0 kg. Quais são (a) a 
coordenada x e (b) a coordenada y do centro de massa do 
sistema? (c) Se m3 crescer gradualmente, o centro de massa do 
sistema se aproxima de m3, se afasta de m3 ou permanece onde 
está? 
 3. A Fig. ao lado mostra uma placa composta com dimensões 
d1=11,0cm, d2=2,80cm e d3=13,0cm. Metade da placa é 
constituída da alumínio (Al = 2,70 g/cm
3) e a outra metade de 
ferro (Fe= 7,85 g/cm
3). Quais são as coordenada x, y e z do 
centro de massa da placa? 
 
Momento linear 
Se as velocidades forem 
iguais quanto maior a 
massa maior o momento 
linear. 
Todo objeto em movimento que possue massa tem uma quantidade de 
movimento que pode é denominado de momento linear 
Momento linear 
)( vm
dt
d
dt
dv
mF 

Momento linear de uma partícula: 
vmp


Definição de Momento linear de uma partícula: 
ifif vmvmppp


Variação do momento angular: 
ii vmp

 ff vmp


Estado inicial Estado final 
Segunda Lei de Newton 
em termos do momento linear 
 
dt
dp
dt
vmd
dt
dv
mamF 


)(
dt
pd
F


Portanto: 
Se um objeto de massa m variar seu momento linear significa que 
uma força está atuando sobre ele. 
t
p
F
med




e 
Problemas 
1. Uma bola de 0,70 kg se move horizontalmente com uma velocidade de 
5,0 m/s quando atinge uma parede vertical. A bola é rebatida com uma 
velocidade de 2,0 m/s. Qual é o módulo da variação do momento linear 
da bola? 
 
2. Um caminhão de 2100 kg viajando para o norte a 41 km/h vira para o 
leste e acelera até 51 km/h. (a) Qual é a variação na energia cinética do 
caminhão? Quais são (b) o módulo e (c) o sentido da variação em seu 
momento? 
 
3. Na vista superior da figura ao lado, uma bola de 300 g 
com uma velocidade de módulo igual a 6,0 m/s atinge 
uma parede em um ângulo e de 30° e é então rebatida 
com velocidade de mesmo módulo e mesmo ângulo com 
a horizontal. Ela fica em contato com a parede por 10 ms. 
Em termos dos vetores unitários, quais são (a) a variação 
do momento linear da bola e (b) a força média da bola 
sobre a parede? 
Impulso e momento linear 
Impulso 
dt
pd
F

 dtFpd 

 
f
i
f
i
t
t
p
p
dtFpd

 
f
i
t
t
dtFp

 
f
i
t
t
dtFpJ

O impulso da força resultate que atua sobre um corpo durante um intervalo de 
tempo é igual a variação do momento linear do corpo durante este intervalo de 
tempo. 
Teorema Impulso-momento linear 
if pppJ 

A variação do momento linear durante um intervalo de 
tempo é igual ao impulso da força resultante que atua 
sobre um corpo durante esse intervalo. 
Unidades N.I. 
• Comparação entre momento linear, Impulso e energia 
Grandeza Unidade 
Energia N.m Kg.m2/s2 
Momento linear N.s Kg.m/s 
Impulso N.s Kg.m/s 
Momento Linear: vmp

 (Kg.m/s2) 
Impulso: vmpJ

 (Kg.m/s2) 
Impulso 
tFdtFpJ méd
t
t
f
i
  .

Impulso 
As duas figuras possuem a mesma 
área, ou seja, possuem o mesmo 
impulso, porém a colisão ocorrida em 
(a) apreaenta uma força máxima 
maior que a ocorre em (b). 
 
(a) Colisão dura e (b) colisão macia 
Momento linear e impulso 
Colisão macia 
Momento linear e impulso 
Colisão dura 
Momento linear e Impulso 
Colisão macia 
Colisões em série 
pnJ


t
J
Fméd



.
t
v
mn
t
pn
Fméd





.
Definindo m=n.m 
v
t
m
Fméd 


.
Problemas 
 1. Em fevereiro de 1955, um pára-quedista caiu 370 m a partir de um avião sem 
conseguir abrir seu pára-quedas, mas aterrissou em terreno coberto por neve, 
sofrendo apenas pequenas escoriações. Suponha que sua velocidade imediatamente 
antes do impacto era de 56 m/s (velocidade terminal), que sua massa (incluindo 
equipamentos) era de 85 kg, e que a força da neve sobre ele tenha atingido o limite de 
sobrevivência de 1,2 X 105 N. Quais são (a) a menor profundidade da neve que o teria 
parado seguramente e (b) o módulo do impulso da neve sobre o pára-quedista? 
2. Um corpo de 5 kg move-se, em trajetória 
retilínea, a partir do repouso sob a ação de uma 
força que varia com o tempo segundo o 
diagrama ao lado. Determine: (a) a velocidade 
escalar em t = 5 segundos; (b) a variação da 
quantidade de movimento entre 0 e 5 s e (c) o 
módulo do impulso médio da força que atuou 
durante os primeiros 5 segundos. 
 
Conservação do momento linear e colisões 
Segunda Lei de Newton 
 nncm rmrmrm
M
r

 ......
1
2211
No tempo    





 nncm rmrmrm
Mdt
d
r
dt
d 
......
1
2211
cm
cm v
dt
rd 


Supondo a massa constante no tempo, e que: 
si
si v
dt
rd
'
' 


nncm vmvmvmvM

 ....2211
ncm pppP

 ....21
O momento linar total (P) de um sistema de partículas em um dado 
instante de tempo é igual a soma dos momentos lineares da cada 
partícula (p). 
e 
Conservação do momento linear e colisões 
Segunda Lei de Newton 
  Famvm
dt
d
dt
Pd 


   ncm ppp
dt
d
P
dt
d 
 ....21
A variação do momento linar total (P) de um sistema de 
partículas em um dado instante de tempo é igual a 
força externa aplicada ao sistema de partículas. 
onde   .extcm FP
dt
d


e   sisi Fp
dt
d
''


next FFFF

 ....21.
Conservação do momento linear 
“Se não existirem forças externas atuando sobre um 
sistema durante um intervalo de tempo t o momento 
linear total do sistema deverá permanecer inalterado 
neste intervalo de tempo.” 
00. 
dt
Pd
Fext


0tan  if PPPteconsP

Lei da conservação do Momento linear 
Conservaçãodo momento linear e Colisões 
Se aplica a fenômenos de colisões, espalhamentos, explosões, acoplamento e 
desacoplamento de corpos. 
 
As colisões podem ser classificadas como: 
 1. Colisões elásticas. 
 2. Colisões inelásticas. 
 3. Parcialmente elásticas. 
 
• Colisões elásticas: 
São conservados a energia cinética e o momento linear do sistema. 
• Colisões Inelásticas: 
 O momento linear do sistema é conservado e a energia cinética não. 
• Colisões Parcialmente elásticas: 
 É uma situação intermediária entre uma colisão elástica e inelástica, ou 
seja, o momento linear do sistema é conservado e há uma perda 
parcial da energia cinética. 
 
 
 
Conservação do momento linear e Colisões 
• Colisões Inelásticas: 
 0tan  if PPPteconsP

0 if KKK
0)()( 22112211  iiff vmvmvmvm

 Na colisões Inelásticas os corpos se acoplam após o impacto e 
passam a se movimentar como um único objeto, desta forma 
a massa após a colisão será m1+m2=M e a velocidade v1f=v2f=v 
 
M
vmvm
v ii 2211

 

Conservação do momento linear e Colisões 
1. Um caminhão carregado, de massa 3 toneladas, viajando para o norte a 60 Km/h, 
colide com um carro de massa total 1 tonelada, trafegando para leste a 90 km/h, num 
cruzamento. Calcule em que direção e que distância o carro é arrastado pelo 
caminhão, sabendo que o coeficiente de atrito cinético no local do acidente é de 0,5. 
 2. Um vaso inicialmente em repouso na origem de um sistema de coordenadas xy 
explode em três pedaços. Imediatamente após a explosão, um pedaço, de massa m, 
se move com velocidade (-30 m/s)i, e um segundo pedaço, também de massa m, se 
move com velocidade (-30 m/s)j. O terceiro pedaço tem massa 3m. Imediatamente 
após a explosão, quais são (a) o módulo e (b) O sentido da velocidade do terceiro 
pedaço? 
 
 
3. Na vista superior da figura ao lado, uma bola de 300 g 
com uma velocidade de módulo igual a 6,0 m/s atinge uma 
parede em um ângulo e de 30° e é então rebatida com 
velocidade de mesmo módulo e mesmo ângulo com a 
horizontal. Ela fica em contato com a parede por 10 ms. Em 
termos dos vetores unitários, quais são (a) o impulso da 
parede sobre a bola e (b) a força média da bola sobre a 
parede? 
• Colisões Elásticas: 
 0tan  if PPPteconsP

0 if KKK
0)()( 22112211  iiff vmvmvmvm

 Na colisões elásticas os corpos não se acoplam após o impacto 
 
Conservação do momento linear e Colisões 
0)
2
1
2
1
()
2
1
2
1
(
2
2
2
1
2
22
2
1 211

iif
vmvmvmvm f
Conservação do momento linear e Colisões 
Caso 1: Projétil em movimento e alvo parado, portanto v2i=0. 
if v
mm
mm
v 1
21
21
1




if v
mm
m
v 1
21
1
2
2



ffi vmvmvm 221111


2
22
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
1 ff
vmvmvm
i

Conservação do momento linear e Colisões 
Caso 1.1: Projétil em movimento e alvo parado, e massa iguais 
m1 = m2. 
01
21
21
1 


 if v
mm
mm
v

iiif vv
m
m
v
mm
m
v 11
1
1
1
21
1
2
2
22




01 fv

if vv 12 

if v
mm
mm
v 1
21
21
1




if v
mm
m
v 1
21
1
2
2



Caso 1.2: Projétil em movimento e alvo parado, e massa do 
projétil muito maior que a do alvo m1 >> m2. 
iiif vv
m
m
v
mm
mm
v 11
1
1
1
21
21
1 




iiif vv
m
m
v
mm
m
v 11
1
1
1
21
1
2 2
22




if vv 11

if vv 12 2

Conservação do momento linear e Colisões 
if v
mm
mm
v 1
21
21
1




if v
mm
m
v 1
21
1
2
2



Caso 1.2: Projétil em movimento e alvo parado, e massa do alvo 
muito maior que a do alvo m1 << m2. 
iiif vv
m
m
v
mm
mm
v 11
2
2
1
21
21
1 




0
22
1
2
1
1
21
1
2 

 iif v
m
m
v
mm
m
v

if vv 11

02 fv

Conservação do momento linear e Colisões 
if v
mm
mm
v 1
21
21
1




if v
mm
m
v 1
21
1
2
2



Caso 2: Projétil e alvo em movimento. 
iif v
mm
mm
v
mm
m
v 2
21
12
1
21
1
2
2






Conservação do momento linear e Colisões 
0)()( 22112211  iiff vmvmvmvm

0)
2
1
2
1
()
2
1
2
1
(
2
2
2
1
2
22
2
1 211

iif
vmvmvmvm f

)()( 222111 fiff vvmvvm


)()()()( 2222211111 fifififf vvvvmvvvvm


iif v
mm
m
v
mm
mm
v 2
21
2
1
21
21
1
2






Colisão em duas dimensões 
ffii PPPP 2121


22211111 coscos  ffi vmvmvm 
ffii KKKK 2121 
2221110  senvmsenvm ff 
2
22
2
11
2
11
2
1
2
1
2
1
ffi vmvmvm 
Alvo parado e projétil em movimento 
Em x: 
Em y: 
Energia cinética: 
Problemas 
2. Um bloco de 2,0 Kg é liberado, a partir do repouso do topo de um plano sem atrito com 
uma inclinação de 22o e uma altura de 0,65 m. Na parte inferior do plano, ele colide com um 
outro bloco de 3,5 kg de massa, grudando nele. Os dois blocos deslizam juntos por uma 
distância de 0,57 m ao longo de um plano horizontal, antes de atingirem o repouso. 
Determine o coeficiente de atrito da superfície horizontal? (b) Suponha que a massa de 3,5 
kg seja liberada do topo do plano inclinado e colida com a massa de 2 kg posicionada na 
base do topo, se a colisão for elástica e o bloco de 3,5 kg percorra uma distância de 0,35 m 
até parar calcule a distância, em relação a posição da colisão entre os blocos, que a massa de 
2,0 kg irá percorrer até parar? 
 
3. Duas bolas A e B, de massas diferentes mas desconhecidas colidem. A está inicialmente 
em repouso e B possui uma velocidade v. Após a colisão, B possui uma velocidade v/2 e 
move-se perpendicularmente ao seu movimento original. (a) Encontre a direção do 
movimento da bola A após a colisão. (b) É possível determinar a velocidade de A? 
1. Na fig. ao lado, o bloco A (massa de 1,6 kg) desliza em direção ao 
bloco B (massa de 2,4 kg), ao longo de uma superfície sem atrito. 
Os sentidos de três velocidades antes (i) e depois (f) da colisão 
estão indicados; os correspondentes módulos são vAi = 5,5 m/s, vBi= 
2,5 m/s e vBf = 4,9 m/s. Quais são (a) o módulo e (b) o sentido (para 
a esquerda ou para a direita) da velocidade vAf? (c) A colisão é 
elástica? 
 
Sistemas de massa variáveis 
dt
Pd
Fres


.
dt
dM
v
dt
vd
M
dt
vMd
dt
Pd




)(
dt
dM
vFres .
fi PP


São sistemas que ao se moverem sua massa varia. 
Podem perder ou ganhar massa durante o percurso. Em caso específico podem ser 
impulsionados pela ejeção de massa como o caso do foguete, outros exemplos 
são: esteira transportadora de materiais, 
Sistemas de massa variáveis 
Esteira transportadora: 
A figura ao lado mostra um desenho esquemático 
de um esteira transportadora, suponha que o 
dispositivo de alimentação despeja uma 
quantidade de material a uma taxa de 5 kg/s. 
Determine a força necessária para a esteira 
transportar esta quantidade de material a uma 
velocidade constante de 50 cm/s? Qual será a 
potência mínima do motor para fazê-la funcionar? 
N
dt
dM
vFres 5,255,0. 
vF
dt
dx
F
dt
dW
dt
dE
P  P= 1,25 W