6-Lista_de_Exercicio_GAL101

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Instituto Federal de Educação Tecnológica da Bahia
Curso de Engenharia Civil
GAL101 - Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear
Sexta Lista de Exerćıcios - Retas e Planos
Professor: Josaphat Ricardo R. Gouveia Jr. Data: 19/08/2019
Aluno: Matŕıcula: 2 0
1. Ache o ângulo entre os planos π : −y+1 =
0 e α : y + z + 2 = 0.
2. Seja o plano α que passa pelos pontos
A(1, 1, 1), B(1, 0, 1), C(1, 1, 0) e β o plano
que passa pelos pontos P (0, 0, 1), Q(0, 0, 0)
e é paralelo ao vetor
−→
i +
−→
j . Ache o ângulo
entre α e β.
3. Encontre o ângulo entre o plano α : 2x −
y + z = 0 e o plano que passa pelo
ponto P (1, 2, 3) e é perpendicular ao vetor
−→
i − 2−→j +
−→
k .
4. Escreva a equação paramétrica da reta
passando por P1(1, 0, 1) e P2(2, 1, 0), en-
contre o ponto médio do segmento e faça
um esboço da reta.
5. Mostre que as equações paramétricas
r :

x = 1 + 2t
y = 2 + 6t
z = 3 + 4t
e s :

x = 2 + s
y = 5 + 3s
z = 5 + 2s
,
com t ∈ R e s ∈ R, parametrizam uma
mesma reta.
6. Determine as equações paramétricas da
reta definida pelos pontos:
(a) A(2, 1, 3) e B(1, 3, 7);
(b) A(0, 0, 0) e B(0, 5, 0);
(c) A(1, 1, 0) e B(2, 2, 0).
7. Determine as equações paramétricas da
reta que contém o ponto A(2, 1, 0) e é
perpendicular ao plano β : 2x− y + z = 0.
8. Dados A(2, 1, 3), B(4, 1, 1)e C(0, 0, 0), de-
termine as equações paramétricas da reta
que contém a mediana, relativa ao lado
AB, do triângulo ABC.
9. Encontre as equações paramétricas das re-
tas passando por P e paralela a −→n :
(a) P (3, 1, 2) e −→n = (2, 1, 3)
(b) P (2, 3, 3) e −→n = (6, 6, 2)
(c) P (2, 2, 6) e −→n = (0, 1, 0)
(d) P (0, 0, 0) e −→n = (1, 2, 3)
10. Encontre a representação paramétrica
para a interseção dos planos β : x+y+z =
1 e 2x− z = 3.
11. Ache as equações simétricas e paramé-
tricas da reta que passa pelos pontos
A(0, 1, 2) e B(1, 2, 1).
12. Encontre a equação da reta que passa pelo
ponto A(1, 2, 1) e é perpendicular ao plano
α : x− y + 2z − 1 = 0.
13. Encontre a equação do reta que passa por
A(1, 0, 1) e é paralela aos planos β : 2x+
3y + z + 1 = 0 e γx− y + z = 0.
14. Encontre as equações paramétricas para a
reta dado pela interseção dos planos:
(a) γ : 7x−2y+3z = 2 e β : 3x+y+2z+
5 = 0
(b) α : 2x+ 3y − 5z = 0 e ξ : y = 0
15. Calcule o ângulo entre as retas r1 :{
x− y + z = 0
2x− 2y + 3z = 0 e r2 : x−1 = y−1 =
p
√
2z.
16. Mostre que as retas r :

x = 3− 2t
y = 4 + t
z = 1− t
, t ∈
R, e s :

x = 5 + 2u
y = 1− u
z = 7 + u
, s ∈ R, são para-
lelas e encontre uma equação para o plano
que elas determinam. Como você verifica
que o plano determinado contém as duas
retas dada?
17. Sejam as retas r1 : x − 3 = 4t, y − 4 =
t, z−1 = 0, t ∈ R e r2 : x+1 = 12s, y−7 =
6s, z − 5 = 3s, s ∈ R
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(a) Mostre que as retas r1 e r2 são con-
correntes;
(b) Encontre o ponto de interseção.
(c) Encontre uma equação do plano que
contém as retas r1 e r2.
(d) É posśıvel modificar as coordenadas
de um ponto de uma das retas r1 ou
r2, de tal forma que r1 e r2 sejam re-
versas? Justifique sua resposta.
(e) É posśıvel modificar as coordenadas
de um ponto de uma das retas r1 ou
r2, de tal forma que r1 e r2 sejam pa-
ralelas? Justifique sua resposta.
(f) É posśıvel modificar as coordenadas
de um ponto de uma das retas r1
ou r2, de tal forma que r1 e r2 se-
jam coincidentes? Justifique sua res-
posta.
(g) É posśıvel modificar as coordenadas
de um dos vetores diretores de r1 ou
r2, de tal forma que r1 e r2 sejam re-
versas? Justifique sua resposta.
(h) É posśıvel modificar as coordenadas
de um dos vetores diretores de r1 ou
r2, de tal forma que r1 e r2 sejam pa-
ralelas? Justifique sua resposta.
(i) É posśıvel modificar as coordenadas de
um dos vetores diretores de r1 ou r2,
de tal forma que r1 e r2 sejam coin-
cidentes? Justifique sua resposta.
18. Determine os valores de a e b para que as
retas r : x = 1+at, y = 2+ bt, z = −1+2t
e s : x = 2 + t, y = 1 + bt, z = −1 + 2t
sejam:
(a) paralelas;
(b) concorrentes;
(c) reversas.
19. Verifique que as retas r : x = 1 + t, y =
2 − t, z = 5 + t e s : x = −2 + 2s, y =
−5+3s, z = 2+2s, são concorrentes e de-
termine uma equação do plano que contem
essas retas.
20. Determine se os planos são paralelos:
(a) π1 : 4x−y+2z = 5 e π2 : 7x−3y+4z =
8;
(b) π1 : x − 4y − 3z − 2 = 0 e π2 : 3x −
12y − 9z − 7 = 0;
(c) π1 : 2y = 8x−4z+5 e π2 : x = 12z+
1
4y.
21. Determine se a reta e o plano são parale-
los:
(a) r : x = 5− 4t, y = 1− t, z = 3 + 2t e
π : x+ 2y + 3z − 9 = 0;
(b) r : x = 3t, y = 1 + 2t, z = 2 − t e
π : 4x− y + 2z = 1.
22. Determine se os planos são perpendicula-
res:
(a) π : 3x− y+ z− 4 = 0 e α : x+ 2z = 1;
(b) π : x−2y+3z = 4 e α : −2x+5y+4z =
1.
23. Determine se a reta e o plano são perpen-
diculares:
(a) r : x = −2− 4t, y = 3− 2t, z = 1 + 2t
e π : 2x+ y − z = 5;
(b) r : x = 2 + t, y = 1 − t, z = 5 + 3t e
π : 6x+ 6y − 7 = 0.
24. Determine os valores de a, b, c e d para
que o plano ax+ by + 3z = d seja:
(a) paralelo ao plano π : 2x+ y − 5z = 4;
(b) Verifique se os valores que você en-
controu são, de fato, os valores que
satisfazem o item (a).
(c) Represente graficamente o plano
π : 2x+ y − 5z = 4.
(d) Explique como você verifica que os va-
lores encontrados em sua solução são,
de fato, os valores que satisfazem a
condição dada no enunciado.
11. Escreva a equação do plano definido
pelo ponto A(2, 1, 3) e a interseção do
plano π : 2x − y − z = 2 com o plano xy.
Verifique que as soluções que encontrou sa-
tisfazem os valores dados do enunciado.
25. Determine a equação do plano que passa
por A(2, 1, 0) e é perpendicular aos planos
π : x+2y−3z+2 = 0 e α : 2x−y+4z−1 =
0. Verifique que as soluções que encontrou
satisfazem os valores dados do enunciado.
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26. Encontre uma equação para o plano pas-
sando pelo ponto P (2, 4, −1) que contém
a interseção dos planos π : x − y − 4z = 2
e β : 2x+ y + 2z = 3. Verifique que as so-
luções que encontrou satisfazem os valores
dados do enunciado.
27. Encontre uma equação para o plano pas-
sando pelo ponto P (2, −1, 4) que é per-
pendicular a reta de interseção dos planos
α : 4x+2y+2z = −1 e γ : 3x+6y+3z = 7.
Verifique que as soluções que encontrou sa-
tisfazem os valores dados do enunciado.
28. Seja r a reta determinada pela interseção
dos planos γ : x + y − z = 0 e β : 2x −
y + 3z − 1 = 0. Encontre a equação do
plano que passa pelo ponto A(1, 0, −1) e
contém a reta r. Verifique que as soluções
que encontrou satisfazem os valores dados
do enunciado.
29. Determine as equações paramétricas e car-
tesiana do plano que contém a reta r : x =
1 + 2t, y = −2− 3t, z = 2 + 2t e é perpen-
dicular ao plano γ : 3x+2y−z = 5. Como
você verifica que a solução encontrada na
questão é, de fato, a solução do problema?
30. Mostre que a reta r : x−5−1 =
y+3
2 =
z+1
−5 , t ∈
R é paralela ao plano γ : 3x+y+z−9 = 0.
Que argumentos utilizou para justificar a
resolução.
31. (i) Qual dos seguintes pares de planos se
corta segundo uma reta? Em caso
afirmativo escreva a equação paramé-
trica da reta.
(a) π
{
x+ 2y − 3z − 4 = 0
x− 4y + 2z + 1 = 0
(b)
{
2x− y + 4z − 3 = 0
4x− 2y + 8z = 0
(ii) Para cada um dos itens acima, como
você verifica que sua resolução é, de
fato, a solução do problema?
32. (i) Qual dos seguintes pares de equações
representa um reta? Em caso afirma-
tivo escreva a equação paramétrica
da reta.
(a)
{
x− y = 0,
y − z = 0
(b)
{
x+ y − 2z = 1,
x+ y − 2z = 1
(c)
{
2x− y + z = 2,
6x− 3y + 3z = 6
(ii) Para cada um dos itens acima, como
você verifica que sua resolução é, de
fato, a solução do problema?
33. (a) Mostre que os planos ι : 2x−y+z = 0
e κ : x+2y−z = 1 se interceptam se-
gundo uma reta r.
(b)Verifique que a sua solução encon-
trada no item anterior satisfaz os da-
dos do enunciado, explique em deta-
lhes.
(c) Ache a equação da reta que passa pelo
ponto A(1, 0, 1) e intercepta a reta r
ortogonalmente.
(d) Verifique que a sua solução encon-
trada no item (c) satisfaz os dados
do enunciado, explique em detalhes.
34. (i) Encontre o ponto de interseção da reta
r : x−9−5 =
y+1
−1 =
z−3
1 e o plano
π : 2x− 3y + 4z + 7 = 0;
(ii) Verifique que sua solução encontrada
satisfaz os dados do enunciado. Ex-
plique em detalhes.
35. (i) Determine o ponto de interseção da
reta r : x = 1 + t, y = −2, z = 4 + 2t
com cada um dos seguintes planos:
(a) φ : x− 2y + 3z = 8
(b) γ2x+ z = 5
(c) π : x = 2
(ii) Verifique que sua solução, satisfaz os
dados do enunciado. Explique em de-
talhes.
36. Verifique que a reta r : x = −1 + t, y =
2 + 3t, z = 5t está contida no plano
φ : 2x + y − z = 0. Verifique que sua so-
lução, satisfaz os dados do enunciado. Ex-
plique em detalhes.
37. Verifique que a reta r : x = 2 + 2t, y =
1 + t, z = 2 + 3t não intercepta o plano
γx + y − z = 3. Que argumentos utilizou
para justificar sua resposta e explique em
detalhes.
38. Encontre a equação do plano:
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(a) paralelo ao eixo z e que contém os
pontos A(2, 0, 0) e B(0, 3, 2);
(b) paralelo ao eixo y e que contém os
pontos A(2, 1, 0) e B(0, 2, 1);
(c) paralelo ao plano yz e que contém o
ponto A(3, 4, −1);
(d) perpendicular ao eixo z e que contém
o ponto A(1, 1, 1).
(e) Para cada item, desta questão, verifi-
que se sua solução satisfas as condi-
ções dadas pelo enunciado e justifique
em detalhes. etc
39. Encontre a equação do plano que passa por
Q(1, 0, 2) e é paralelo ao plano γ : 2x−y+
5z−3 = 0. Confira sua resposta e explique
que argumentos utilizou, em detalhes.
40. Encontre uma equação para o plano que
contém a reta x = −1 + 3t, y = 5 +
2t, z = 2−t e que é perpendicular ao plano
π : 2x−4y+2z = 9. Confira sua resposta e
explique que argumentos utilizou, em de-
talhes.
41. Encontre uma equação para o plano que é
perpendicular ao plano π : 8x−2y+6z = 1
e que passa pelos pontos P1(−1, 2, 5) e
P2(2, 1, 4). Confira sua resposta e expli-
que que argumentos utilizou, em detalhes.
42. Encontre o vetor unitário, normal ao plano
que passa pelos pontos A(1, 0, 0), B(0, 2, 0)
e C(0, 0, 3) Confira sua resposta e explique
que argumentos utilizou, em detalhes.
43. Encontre uma equação do plano passando
pela origem e é paralelo ao plano γ : 7x +
4y − 2z = 3. Confira sua resposta e expli-
que que argumentos utilizou, em detalhes.
44. Encontre a equação do plano que passa
por Q(−2, 1, 7) e é perpendicular a reta
r : x−42 =
y+2
3 =
z
−5 . Confira sua resposta
e explique que argumentos utilizou, em de-
talhes.
45. Encontre a equação do plano paralelo ao
eixo z e que contém a interseção dos pla-
nos γ : x+ 2y+ 3z = 4 e π : 2x+y+ z = 2.
Confira sua resposta e explique que argu-
mentos utilizou, em detalhes. Dê exemplo
de três pontos distintos que pertencem a
interseção dos planos γ e π. Mostre como
verifica se sua solução está correta.
46. Encontre a equação do plano que passa por
A(x0, y0, z0) que é paralelo:
(a) ao plano xy,
(b) ao plano yz,
(c) ao plano xz.
Confira sua resposta e explique que ar-
gumentos utilizou, em detalhes.Para cada
um dos plano, dê exemplo de três pontos
do plano, e determine dois vetores distin-
tos que são L.I..
47. Determine a distância do ponto P (2, 1, 3)
a cada um dos planos:
(a) γ : x− 2y + z = 1;
(b) α : x+ y − z = 0;
(c) β : x− 5z = 8.
Para cada item acima, determine dois pon-
tos distintos Q(x0, y0, z0) e R(x1, y1, z1)
tal que a distância desses pontos ao planos
dados seja 3.
48. Determine a distância do ponto ao plano:
(a) (3, 1, −2) e π : x+ 2y − 2z = 4;
(b) (1, 2, 1) e α : 2x+ 3y − 4z = 1;
(c) (0, : 3, 2) e β : x− y − z = 3.
Verifique se sua resposta está correta, uti-
lizando uma segunda solução distinta da
que utilizou.
49. Encontre a distância entre os planos para-
lelos
(a) α : 3x−4y+z = 1 e θ : 6x−8y+2z = 3;
(b) α : 4x+y−3z = 0 e θ : 8x−2y+6z = 0;
(c) α : 2x− y+ z = 1 e θ : 2x− y+ z = 1;
50. Para cada item da questão anterior, deter-
mine uma equação do plano paralelo aos
planos dados cuja distância a um dos pla-
nos seja 1√
6
.
51. Para cada item da penúltima questão, dê
dois exemplos distintos de retas paralelas
aos planos dados. Use uma na forma pa-
ramétrica e a outra na forma simétrica.
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52. Determine:
(a) a distância do ponto A(5, 4, 7) a retas
r : x = 1 + 5t, y = 2− t, z = t, t ∈ R.
(b) a distância do ponto B(2, 3, 5) a cada
um dos eixos do sistema de coordena-
das.
(c) Verifique se sua resposta está correta,
nos item (a) e (b), utilizando uma se-
gunda solução distinta da que utili-
zou.
53. (i) Encontrar o ângulo e a distância entre
as retas
(a) r1 :
x−1
2 = y+1 =
z
2 e r2 : x+2 =
y−1
2 =
z−2
3
(b) r1 : x = 2t, y = 1−t, z = 2+t, t ∈
R e r2 : x+y+z = 0, 2x−y+2z =
0.
(ii) Verifique se sua resposta está correta,
para cada item acima, e justifique em
detalhes.
54. Calcule a distância do ponto P (1, 0, 2) ao
plano θ : x + y − z = 0. Encontre as co-
ordenadas de um outro ponto, distinto de
P , cuja distância ao plano é a mesma da
distância de P .
55. Seja a reta que passa pelos pontos
A(1, 0, 1) e B(0, 1, 1). Calcule a distância
do ponto C(2, 1, 2) a reta r.
56. Seja o plano que passa pela origem e é
perpendicular a reta que une os pontos
A(1, 0, 0) e B(0, 1, 0). Encontre a dis-
tância do ponto C(0, 0, 1) ao plano α.
57. Seja a reta r1 que passa pelos pontos
A(1, 0, 0) e B(0, 2, 0) e r2 a reta x− 2 =
y−3
2 =
z−4
3 .
(a) Encontre as equações da reta perpen-
dicular as retas r1 e r2;
(b) Calcule a distância entre r1 e r2.
58. Considere os pontos A(1, 2, 3), B(2, 3, 1),
C(3, 1, 2) e D(2, 2, 1).
(a) Ache as equações dos planos α e β
que passam pelos pontos A, B, C e
A, B, D, respectivamente;
(b) Calcule cos(α, β);
(c) Calcule cos(
−→
AC,
−−→
AB);
(d) Qual é a distância entre as retas que
passam por A, B e C, D, respectiva-
mente?
(e) Encontre a equação da reta que passa
por A e é perpendicular a interseção
do plano α com o plano xy.
11. Escreva nas formas paramétrica e si-
métrica a equação da reta que contém o
ponto P (1, 3, 5) e é concorrente com as
retas r : x = −1 + 3t, y = 3 − 2t, z =
2−t, t ∈ R e s : x = 2+2k, y = 1+3k, z =
1− 5k, k ∈ R.
59. Dadas as retas reversas r : x = 2 − t, y =
1 + 3t, z = 5 + t, t ∈ R e s : x = k, y =
4k, z = 2 + 3k, k ∈ R determine:
(a) a distância entre r e s;
(b) as equações paramétricas da perpen-
dicular comum as retas r e s.
(c) as equações dos dois planos paralelos
que contém as retas r e s.