Somatório e produtório

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Tópico Especial
Somatório e produtório
1. SOMATÓRIO
1.1. Introdução
Muitos dos processos estatísticos exigem o cálculo da soma. Para simplificar a
representação da operação de adição nas expressões algébricas, utiliza-se a notação ,
letra grega sigma maiúsculo.
As principais representações são:
1) Xi
i
n
1
= X X Xn1 2 � , soma simples
2) X X X Xi n
i
n
2
1
2
2
2 2
1
� , soma de quadrados (SQ)
3) ( )Xi
i
n
1
2 = ( )X X Xn1 2
2� , quadrado da soma
4) X Y X Y X Y X Yi i n n
i
n
1 1 2 2
1
� , soma de produtos (SP)
5) X Y X X X Y Y Yi j n m
j
m
i
n
( ).( ... )1 2 1 2
11
� , produto das somas
Lê-se Xi
i
n
1
 como: somatório de X índice i, com i variando de 1 até n, onde:
n, é a ordem da última parcela ou limite superior (LS) do somatório;
i=1, é a ordem da primeira parcela da soma ou limite inferior do somatório (LI);
i, é o índice que está indexando os valores da variável X (outras letras como j, l,
k podem ser utilizadas).
Exemplo:
Considere as variáveis X e Y que representam, respectivamente, as notas de duas
disciplinas, para um grupo de 6 alunos.
X = {90, 95, 97, 98, 100, 60}
Y = {60, 70, 80, 60, 90, 75}
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Verifique se os seguintes somatórios fornecem as respostas conforme apresentado.
a) Xi
i 1
6
540 b) Xi
i
2
1
6
49738 c) Xi
i 1
6 2
291600
d) X Yi i
i 1
6
39190 e) X Yi
i
i
i1
6
1
6
234900
1.2. Número de Termos (Parcelas) do Somatório (NT)
O número de termos ou parcelas de um somatório (NT) pode ser obtido por:
NT = (LS - LI) + 1 – r,
onde r é o número de restrições a que o somatório está sujeito.
Exemplos: Obter o número de termos para os seguintes somatórios:
a) Xi
i 3
8
, NT = (8-3) + 1 = 6
b) Yk
k
k
1
9 11
15
,
, NT = (15 - 1) + 1 - 2 = 13
1.3. Propriedades de Somatório
As propriedades facilitam o desenvolvimento das expressões algébricas com a
notação do somatório. O objetivo é desenvolver as expressões até chegar às somas
simples e/ou somas de quadrados.
P.1. Somatório de uma constante k
O somatório de uma constante é igual ao produto do número de termos pela
constante.
k
i
n
1
= k + k +...+ k = nk
Exemplos:
a) = [(10 - 1) + 1](5) = 10(5) = 50
b) Yj
i 3
12
 = [(12 -3) + 1] Yj = 10 Yj
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P.2. Somatório do produto de uma constante por uma variável
O somatório do produto de uma constante por uma variável é igual ao produto da
constante pelo somatório da variável.
kXi
i
n
1
 = kX kX kX k X X X k Xn n i
i
n
1 2 1 2
1
... ( ... )
Exemplo:
i
n
i
i
i
nX
X k
1 12
1
2
1
2
,
P.3. Somatório de uma soma ou subtração de variáveis
O somatório de uma soma ou subtração de variáveis é igual à soma ou subtração
dos somatórios dessas variáveis.
Sem perda de generalidade, para três variáveis X Y e W, , tem-se:
( )X Y W X Y Wi i i i i i
i
n
i
n
i
n
i
n
1111
1.4. Somatório Duplo (opcional para o momento. Será discutido oportunamente)
Considere a Tabela a seguir:
1 2 ... j ... s
1 X11 X12 ... X1j ... X1s X j
j
s
1
1
2 X21 X22 ... X2j ... X2s X j
j
s
2
1
... ... ... ... ... ... ... ...
i Xi1 Xi2 ... Xij ... Xis Xij
j
s
1
... ... ... ... ... ... ... ...
r Xr1 Xr2 ... Xrj ... Xrs X rj
j
s
1
X i
i
r
1
1
X i
i
r
2
1
... X ij
i
r
1
... X is
i
r
1
G
Xij i = 1,2, ..., r (índice de linha)
 j = 1,2, ..., r (índice de coluna).
 G = total geral
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G X X X Xi
i
r
i
i
r
ij
i
r
is
i
r
1
1
2
1 1 1
... ...
X X X Xi i ij is
i
r
1 2
1
... ...
X X Xij ij
i j
r s
j
s
i
r
..
,
,
1 111
, ou ainda G X X Xij ij
j i
s r
i
r
j
s
..
,
,
1 111
Total da i-ésima linha: X Xij i
j
s
.
1
Total da j-ésima coluna: X Xij j
i
r
.
1
1.5. Exercícios Propostos
1) Considerando os seguintes valores:
X X X X
Y Y
1 2 3 4
1 2 3 4
2 6 7 9
1 4 5 11 Y Y
Calcular:
a) ( )Yi
i
2 2
1
3
b) ( )X Yi i
i
4
1
4
c) (opcional)
i
i
j
X
1
3
2
4
2( )
d) (opcional) 
i
i j
j
X Y
2
4
2
3
3( )
R: a) 14 b) -60 c) 63 d) 51
2) Efetuar
a) b) (opcional)
R: a) 5(3 + 1/j) b) 429/20
3) Calcule X1 e X3 , dado que:
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X X
X X
i
i
i
i
i i
i
i
i
i
42 364
34 324
1
6
2
1
6
2
1
1 3
6
1
1 3
6
,,
R: X1 = 2 e X3 = 6 ou X1 = 6 e X3 = 2.
4) Calcular: (opcional)
a) ( )i j
ji 2
4
1
5
b) i j
ij 1
6
5
9
a) 90 b) 735
2. PRODUTÓRIO
2.1. Introdução
O símbolo produtório é utilizado para facilitar a representação dos produtos.
Utiliza-se a notação , letra grega pi maiúsculo.
Representação: 
Fatos:
1) =
2) 	 
�� ���
3)
4)
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5) i n n
i
n
1
12 3. . ..... !
6) log log . ... log log ... log logX X X X X X X Xi n
i
n
n i
i
n
1 2
1
1 2
1
2.2. Exemplo:
Sabendo-se que:
X X
Y Y
1 2 3
1 2 3
2 3 5
3 5 7
 X
 Y
Calcular:
a)
b)
c) 3 3 27 30 8103
1
3
1
3
. ( )X Xi i
ii
d) .
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Seja uma variável X, assumindo os seguintes valores:
X = {5, 2, 3, 0, 1, 2, 6, 9, 4, 8} n=10
Calcule:
a) X i
i 1
10
 b) Xi
i
2
1
10
 c) X i
i 1
10 2
 d) 
X
X
i
i
i
i
2 1
10 2
1
10
10
10 1
e) X i
i
4
1
10
 f) X i
i
4
2
1
10
 g) 
X i
i
4
10 1
2
1
10
 h) 
X i
i 1
10
10
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2) Sabendo-se que X i
i
6
1
5
 e X i
i
2
1
5
12 , calcule:
a) 4 5
1
5
X i
i
 b) X Xi i
i
2
1
5
 c) X i
i
3
2
1
5
3) Desenvolver e calcular: (opcional)
a) b) c) 
d) e) 
4) Utilizando os dados da Tabela abaixo, calcule:
 j
i
1 2 3 4
1 8 7 5 9
2 4 0 10 2
a) X i
i
1
1
2
 b) X j
j
1
1
4
 c) (opcional) Xij
ji 1
4
1
2
 d) X ij
j
j
1
3
4
e) X j
j
2
2
3
 f) 
1
21
2
4
X jj
j
 g) 6 1
1
3
4
X j
j
j
 h) X j
j
j
2
1
2
4