Matematica Aplicada

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ENSINO FUNDAMENTAL :: Expressões algébricas
 A sabedoria é a coisa principal; adquire pois a sabedoria, emprega tudo o que possuis na aquisição de entendimento. Bíblia Sagrada: Provérbios 4:7
· O uso das Expressões algébricas
· Elementos históricos
· Expressões Numéricas
· Expressões algébricas
· Prioridade das operações
· Exercícios
· Monômios e polinômios
· Identificando expressões algébricas
· Valor numérico de uma expressão algébrica
· A regra dos sinais (X e ÷)
· Regras de potenciação
· Eliminação de parênteses
· Operações com expressões algébricas
· Alguns Produtos notáveis
O uso das expressões algébricas
No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.
Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.
Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressoes do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.
Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expresão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.
As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.
	Expressão algébrica
	Objeto matemático
	Figura
	A = b x h
	Área do retângulo
	
	A = b x h / 2
	Área do triângulo
	
	P = 4 a
	Perímetro do quadrado
	
Elementos históricos
Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abaci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.
O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.
Expressões Numéricas
São expressões matemáticas que envolvem operações com números.
Exemplos:
a = 7+5+4
b = 5+20-87
c = (6+8)-10
d = (5×4)+15
Expressões algébricas
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais.
Exemplos
A = 2a+7b
B = (3c+4)-5
C = 23c+4
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.
Prioridade das operações numa expressão algébrica
Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:
1. Potenciação ou Radiciação
2. Multiplicação ou Divisão
3. Adição ou Subtração
Observações quanto à prioridade:
1. Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
2. A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
3. Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.
Exemplos
1. Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim
2. P = 2 × 5 + 10 = 10 + 10 = 20
Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:
A = 2 × 9 + 10 = 18 + 10 = 28
Se A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.
3. Seja X=4A+2+B-7 e tomemos A=5 e B=7. Assim:
4. X = 4 × 5 + 2 + 7 - 7 = 20 + 2 - 0 = 22
Se A=5 e B=7, o valor numérico de X=4A+2+B-7, muda para 22.
5. Seja Y=18-C+9+D+8C, onde C= -2 e D=1. Então:
6. Y = 18 -(-2) +9 +1 + 8(-2) = 18 +2 +9 +1 -16 = 30 -16 = 14
Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.
Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.
Exemplos
1. Um triângulo eqüilátero possui os três lados com mesma medida. Calcular o perímetro de um triângulo equilátero cujo lado mede 5 cm, sabendo-se que o perímetro de um triangulo equilátero pode ser representado por uma expressão algébrica da forma: P=a+a+a=3a. Substituindo a=5cm nesta expressão, obtemos P=3×5cm=15cm.
2. Para obter a área do quadrado cujo lado mede 7cm, devemos usar a expressão algébrica para a área do quadrado de lado L que é A=L×L=L². Assim, se L=7cm, então A=7×7=49cm².
Observação: Mudando o valor do lado para L=8cm, o valor da área mudará para A=8×8=64cm².
3. Escreva expressões algébricas para representar o perímetro de cada uma das figuras abaixo:
4. Se a letra y representa um número natural, escreva a expressão algébrica que representa cada um dos seguintes fatos:
a. O dobro desse número.
b. O sucessor desse número.
c. O antecessor desse número (se existir).
d. Um terço do número somado com seu sucessor.
5. Como caso particular do exercício anterior, tome y=9 e calcule o valor numérico:
a. do dobro de y
b. do sucessor de y
c. do antecessor de y
d. da terça parte de y somado com o sucessor de y
6. Calcular a área do trapézio ilustrado na figura, sabendo-se que esta área pode ser calculada pela expressão algébrica A=(B+b)×h/2, onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é a medida da altura.
Monômios e polinômios
São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na tabela:
	Nome
	No.termos
	Exemplo
	monômio
	um
	m(x,y) = 3 xy
	binômio
	dois
	b(x,y) = 6 x²y - 7y
	trinômio
	três
	f(x) = a x² + bx + c
	polinômio
	vários
	p(x) = ao xn +a1 xn-1 + a2 xn-2 +...+ an-1 x + an
Identificação das expressões algébricas
Com muita frequência, as expressões algébricas aparecem na forma:
3 x² y
onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes como:
p(x,y) = 3 x² y
para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y.
Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.
Valor numérico de uma expressão algébrica identificada
É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.
Exemplo: Tomando p(x,y)=3x²y, então para x=7 e y=2 temos que:
p(7,2) = 3 × 7² × 2 = 294
Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos outro valor numérico:
p(-1,5) = 3 × (-1)² × 5 = 3 × 5 = 15
mas dependendo da mudança de x e de y, poderíamos ter o mesmo valor numérico que antes. Se x=-7 e y=2, teremos:
p(7,2) = 3 × (-7)² × 2 = 294
A regra dos sinais (produto ou divisão)
 (+1) x (+1) = +1 (+1) ÷ (+1) = +1
 (+1) x (-1) = -1 (+1) ÷ (-1) = -1
 (-1) x (+1) = -1 (-1) ÷ (+1) = -1
 (-1) x (-1) = +1 (-1) ÷ (-1) = +1
Regras de potenciação
Para quaiquer números reais x e y não nulos, e, m e n números inteiros, tem-se que:
	Propriedades
	Alguns exemplos
	xº=1 (x não nulo)
	5º = 1
	xm xn = xm+n
	5².54 = 56
	xm ym = (xy)m
	5² 3² = 15²
	xm ÷ xn = xm-n
	520 ÷ 54 = 516
	xm ÷ ym = (x/y)m
	5² ÷ 3² = (5/3)²
	(xm)n = xmn
	(53)² = 125² = 15625 = 56
	xm÷n = (xm)1/n
	53÷2 = (53)1/2 = 1251/2
	x-m = 1 ÷ xm
	5-3 = 1 ÷ 53 = 1/125
	x-m/n = 1 ÷ (xm)1/n
	5-3/2 = 1 ÷ (53)1/2= 1 ÷ (125)1/2
Eliminação de parênteses em Monômios
Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (eantes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais. Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo.
Exemplos:
 A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x
 B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x
 C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = - 3x
 D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x
Operações com expressões algébricas de Monômios
1. Adição ou Subtração de Monômios
Para somar ou subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os parênteses e depois realizar as operações.
Exemplos:
1. A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x
2. B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x
3. C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = -3x
4. D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x
2. Multiplicação de Monômios
Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
1. A = -(4x²y).(-2xy) = +8x³y²
2. B = -(4x²y).(+2xy) = -8x³y²
3. C = +(4x²y).(-2xy) = -8x³y²
4. D = +(4x²y).(+2xy) = +8x³y²
3. Divisão de Monômios
Para dividir monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
1. A = -(4x²y)÷(-2xy) = 2x
2. B = -(4x²y)÷(+2xy) = -2x
3. C = +(4x²y)÷(-2xy) = -2x
4. D = +(4x²y)÷(+2xy) = 2x
4. Potenciação de Monômios
Para realizar a potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar a potenciação do valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as potências literais e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
1. A =(+4x²y)³= 4³ x²y x²y ²y = 256 x6 y³
2. B =(-4x²y)³ = -4³x²y x²y x²y = -256x6 y³
Alguns Produtos notáveis
No link Produtos Notáveis, existem outros trinta (30) produtos notáveis importantes.
1. Quadrado da soma de dois termos
Cuidado: Sabemos que x²=x.x, y²=y.y, mas não é verdade que
x² + y² = (x+y)²
a menos que um dos dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum, mas o correto é:
(x+y)² = x² + 2xy + y²
Isto significa que o quadrado da soma de dois números sem sempre é igual à soma dos quadrados desses números.
Existe um algoritmo matemático que permite obter o quadrado da soma de x e y, e este algoritmo é semelhante àquele que permite obter o quadrado de um número com dois dígitos. Por exemplo, o número 13 pode ser decomposto em 10+3:
		    x+y
	    x+y  
	  +xy+y²
	x²+xy    
	x²+2xy+y²
	Compare
as duas
operações
		    10+3
	    10-3   
	   +10.3+3²
	10²+10.3   
	10²+2.10.3+3²
Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo:
(x+y)² = x² + 2xy + y²
Exemplos:
(x+8)² = x²+2.x.8+8² = x²+16x+64
(3k+y)² = (3k)²+2.3k.y+y² = 9k²+6ky+y²
(1+x/5)² = 1+ 2x/5 +x²/25
Exercícios: Desenvolver as expressões:
 (a+8)² =
 (4y+2)² =
 (9k/8 +3)² =
Pensando um pouco:
1. Se (x+7)²=x²+[  ]+49, qual é o termo que deve ser colocado no lugar de [  ]?
2. Se (5a+[   ])² = 25a²+30a+[  ], quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [  ]?
3. Se ([   ]+9)² = x²+[  ]+81, quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [  ]?
4. Se (4b+[   ])² = l6b²+36b+[  ], substitua os [  ] por algo coerente.
5. Se (c+8)²=c²+[  ]+[  ], substitua os [  ] por algo coerente.
2. Quadrado da diferença de dois termos
Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:
(x-y)² = x² - 2xy + y²
Exemplos:
 (x-4)² = x²-2.x.4+4² = x²-8x+16
 (9-k)² = 9²-2.9.k+k² = 81-18k+k²
 (2/y -x)² = (2/y)²-2.(2/y).x+x²
Exercícios: Complete o que falta.
 (5x-9)² =[ ]
 (k-6s)² =[ ]
 (p-[ ])² = p²-10p+[ ]
3. Produto da soma pela diferença de dois termos
Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.
		    x+y
	    x-y 
	  -xy-y²
	x²+xy   
	x²   -y²
	Compare
as duas
operações
		    10+3
	    10-3   
	   -10.3-3²
	10²+10.3   
	10²  -  3²
Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o quadrado de y.
(x+y)(x-y) = x² - y²
Exemplos:
 (x+2)(x-2) = x²-2x+2x-4 = x²-4
 (g-8)(g+8) = g²-8g+8g-64 = g²-64
 (k-20)(k+20) = k²-400
 (9-z)(9+z) = 81-z²
Exercícios: Complete as expressões:
 (6-m)(6+m) =
 (b+6)(b-6) =
 (6+b)(b-6) =
 (6+b)(6-b) =
 (100-u)(100+u) =
 (u-100)(100+u) =
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Home-page atualizada em 17-nov-2006.