Lista de exercícios resolvidos curso de verão do PROFMAT 5

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Pela propriedade de limitação, b2+ba+1 < 2 rab+i edaí b < a. Além disso, b?+ab+1 > a—b. 
A igualdade b(0? +ab+1)-a(b2+ba+1)=b-—a implica que a —b é divisível por 6? + da +1. 
Se a-b£0,então 5? +ab+1<a- 5 Mas isso é um absurdo, logo a—b=0. 
1.1 Problemas Propostos 
Problema (7. Mostre que se 3/a+7b então 3|a+b. 
Problema Mostre que se 7 |a+3b então 7|130+11b 
Problema (13/ Mostre que se 19/37 +'7y então 19 | 432 + 754 
Problemali4 Mostre que se 17/32 +2b então 17 | 100 +b 
Problema Encontre todos os inteiros positivos n tais que n + 2009 divide nº + 2009 e 
n+2010 divide nº + 2010. , . 
Problema f6.)Seja n>1 e k um inteiro positivo qualquer. Prove que (n— 1)? | (nt — 1) se, e 
somente se, (n— 1) | k. 
Problema 17. (OBM 2005) Prove que a soma 1*+2k +... +nt, onde n éuminteiroe k é 
ímpar, é divisível por 1+2+...+n.- 
“ Problema 18. O número de seis dígitos X = abcdef satisfaz a propriedade de que abc — def é 
divisível por 7. Prove que X também é divisível por 7. 
Problema 19) (Bielorússia 1996) Inteiros m e n, satisfazem a igualdade 
mn 
= 9)2 = — mem 
(mn) m+n-—l 
a) Prove que m-+n é um quadrado perfeito. 
b) Encontre todos os pares (m, n) satisfazendo a equação acima. 
“Problema (Olimpíada de Leningrado) Os números naturais «, b e c têm a propriedade que 
o3 é divisível por b, b? é divisível por c e c* é divisível por a. Prove que (a +b+c)? é divisível 
por abe. o 
Problema (OBM 2000) É possível encontrar duas potências de 2, distintas e com o mesmo 
número de algarismos, tais que uma possa ser obtida através de uma reordenação dos dígitos da 
outra? (Dica: Lembre-se do critério de divisibilidade por 9) 
Problema 22, (IMO 1998) Determine todos os pares de inteiros positivos (x,y) tais que 2y"+y+7 
divide sy Fr +y.
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