Problemas de Funções e Área

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284. Problema: Se \( f(x) = \frac{{\sin(x)}}{{\cos^3(x)}} \), determine o domínio de \( f(x) \). 
 Resposta: O domínio de \( f(x) \) é \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \) para \( k \in \mathbb{Z} \), 
pois a função não é definida para \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) devido à divisão por zero. 
 
285. Problema: Resolva a inequação \( \frac{{x^8 - 22x^7 + 220x^6 - 1100x^5 + 2640x^4 - 
2904x^3 + 1296x^2}}{{x^2 - 4}} \geq 0 \). 
 Resposta: A inequação é verdadeira quando o numerador e o denominador têm o 
mesmo sinal, exceto quando \( x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 \). Portanto, a solução é \( 
x \in (-\infty, -2] \cup [3, \infty) \). 
 
286. Problema: Se \( f(x) = \frac{{\tan^3(x)}}{{\sin(x)}} \), determine o domínio de \( f(x) \). 
 Resposta: O domínio de \( f(x) \) é \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \) para \( k \in \mathbb{Z} \), 
pois a função não é definida para \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) devido à divisão por zero. 
 
287. Problema: Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = \sin(x) \), o eixo \( x \) 
e as retas \( x = 0 \) e \( x = \frac{\pi}{2} \). 
 Resposta: A área é a integral definida da função \( y = \sin(x) \) de \( x = 0 \) a \( x = 
\frac{\pi}{2} \), ou seja, \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx \). 
 
288. Problema: Se \( f(x) = \frac{{\cos(x)}}{{\sin^3(x)}} \), determine o domínio de \( f(x) \). 
 Resposta: O domínio de \( f(x) \) é \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \) para \( k \in \mathbb{Z} \), 
pois a função não é definida para \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) devido à divisão por zero. 
 
289. Problema: Resolva a inequação \( \frac{{x^9 - 24x^8 + 285x^7 - 1760x^6 + 5632x^5 - 
10080x^4 + 9936x^3 - 5184x^2}}{{x^2 - 4}} \leq 0 \). 
 Resposta: A inequação é verdadeira quando o numerador e o denominador têm sinais 
opostos, exceto quando \( x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 \). Portanto, a solução é \( x \in 
(-\infty, -2] \cup [4, \infty) \). 
 
290. Problema: Se \( f(x) = \frac{{\tan^3(x)}}{{\cos(x)}} \), determine o domínio de \( f(x) \). 
 Resposta: O domínio de \( f(x) \) é \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \) para \( k \in \mathbb{Z} \), 
pois a função não é definida para \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) devido à divisão por zero. 
 
291. Problema: Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = \sin(x) \), o eixo \( x \) 
e as retas \( x = 0 \) e \( x = \pi \).