Matematica Financeira

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Matemática financeira 
Koffi Djima amouzou
1ª Edição
Brasília/Df - 2018
Autor
Koffi Djima amouzou
Produção
Equipe Técnica de avaliação, Revisão Linguística e 
Editoração
Sumário
Organização do Caderno de Estudos e Pesquisa ..................................................................................................... 4
Introdução ............................................................................................................................................................................. 6
Aula 1
Taxa de Juros .................................................................................................................................................................. 9
Aula 2
Regime Capitalização de Juros Simples ..............................................................................................................15
Aula 3
Juro Exato e Juro Comercial ou Ordinário ..........................................................................................................27
Aula 4
Regime de Capitalização de Juros Compostos .................................................................................................38
Aula 5
Métodos de Cálculo de Valor Nominal e Valor Atual em Regime de Juros Compostos .....................52
Aula 6
Taxa de Juro Proporcional – Equivalente – Efetiva e Nominal ...................................................................62
Referências ........................................................................................................................................................................74
4
Organização do Caderno de 
Estudos e Pesquisa
Para facilitar seu estudo, os conteúdos são organizados em unidades, subdivididas em capítulos, 
de forma didática, objetiva e coerente. Eles serão abordados por meio de textos básicos, com 
questões para reflexão, entre outros recursos editoriais que visam tornar sua leitura mais agradável. 
ao final, serão indicadas, também, fontes de consulta para aprofundar seus estudos com leituras 
e pesquisas complementares.
a seguir, apresentamos uma breve descrição dos ícones utilizados na organização dos Cadernos de 
Estudos e Pesquisa.
Atenção
Chamadas para alertar detalhes/tópicos importantes que contribuam para a 
síntese/conclusão do assunto abordado.
Cuidado
importante para diferenciar ideias e/ou conceitos, assim como ressaltar para o 
aluno noções que usualmente são objeto de dúvida ou entendimento equivocado.
Importante
indicado para ressaltar trechos importantes do texto.
Observe a Lei
Conjunto de normas que dispõem sobre determinada matéria, ou seja, ela é origem, 
a fonte primária sobre um determinado assunto.
5
ORgANIzAçãO dO CAdERNO dE ESTudOS E PESquISA
Para refletir
Questões inseridas no decorrer do estudo a fim de que o aluno faça uma pausa 
e reflita sobre o conteúdo estudado ou temas que o ajudem em seu raciocínio. 
É importante que ele verifique seus conhecimentos, suas experiências e seus 
sentimentos. as reflexões são o ponto de partida para a construção de suas 
conclusões.
Provocação
Textos que buscam instigar o aluno a refletir sobre determinado assunto antes 
mesmo de iniciar sua leitura ou após algum trecho pertinente para o autor 
conteudista.
Saiba mais
informações complementares para elucidar a construção das sínteses/conclusões 
sobre o assunto abordado.
Sintetizando
Trecho que busca resumir informações relevantes do conteúdo, facilitando o 
entendimento pelo aluno sobre trechos mais complexos.
Sugestão de estudo complementar
Sugestões de leituras adicionais, filmes e sites para aprofundamento do estudo, 
discussões em fóruns ou encontros presenciais quando for o caso.
Posicionamento do autor
importante para diferenciar ideias e/ou conceitos, assim como ressaltar para o 
aluno noções que usualmente são objeto de dúvida ou entendimento equivocado.
6
Introdução
a matemática financeira é uma disciplina essencial nas mais diversas áreas do conhecimento. 
os conceitos de finanças são aplicados em geral em todas as áreas de planejamento financeiro, 
para tomar decisões em análise de riscos nas operações de investimento de capital. 
muitas vezes, aplicamos a matemática financeira até mesmo na vida pessoal para o planejamento 
das finanças pessoas sem perceber. ao calcular a taxa de juro de um empréstimo bancário, ou 
de tempo de aplicação de um investimento bancário, precisamos fazer alguns cálculos básicos 
para determinar o risco do investimento que fazemos e para termos certeza de estar fazendo 
um bom negócio, recorremos a especialistas em finanças. 
já no ambiente profissional, a matemática financeira é utilizada de forma mais estruturada, para 
encontrar as respostas para os problemas de retorno sobre investimentos e de tomar decisões 
racionais de investimento com base nas diversas estruturas de prazos das taxas de juros impostas 
pelas organizações e mecanismo de controle do mercado financeiro. Nesse caso, a matemática 
financeira pode ser utilizada para determinar o percentual de reajuste nos preços dos fornecedores, 
calcular o rendimento das aplicações financeiras da empresa, definir o risco de investimento, 
identificar a taxa de retorno sobre investimento, calcular a anuidade de capitalizações, definir 
o valor final ou o valor inicial de uma capitalização, as taxas de juros para títulos de dívida com 
diferentes vencimentos podem ser encontradas por meio da matemática financeira, além de 
saber do custo do dinheiro no tempo. Praticamente, a matemática financeira está presente 
todos os dias em nossas vidas. 
Por esses e outros motivos que a disciplina matemática financeira é tão importante para sua 
formação! Começaremos a disciplina com o conceito do valor do dinheiro no tempo onde serão 
apresentados os principais modelos de regimes de juros simples e de juros compostos. Em seguida, 
as técnicas de análise de investimentos em que serão analisados os diversos tipos de taxas de 
juros e as operações de desconto e, por fim, será apresentado o conceito de capitalização em que 
serão mostradas as técnicas de cálculo de anuidades e de amortização de débitos. 
Todos os conceitos que veremos serão ilustrados por exemplos que permitirão a você ter 
uma visão de como eles são aplicados de forma prática. Como toda disciplina que envolve 
cálculos, é fundamental que você leia o material didático com atenção e pratique os exercícios. 
E praticar mesmo muitos exercícios para fixação. Somente assim você dominará os métodos 
de matemática financeira!
a disciplina matemática financeira está dividida em três grandes competências consideradas 
nos três Circuitos que veremos na trilha da disciplina disponível on-line para que possa entender 
de forma fácil e rápida as aplicações da matemática financeira. mas aqui o Caderno conterá seis 
7
aulas divididas em três grupos de competências a seguir: Valor do dinheiro no tempo – Técnicas 
de análise de investimento e métodos de Capitalização.
Objetivos
 » Compreender técnicas de análise do valor do dinheiro no tempo que consistem na 
avaliação do retorno de um investimento, principalmente um empréstimo com base 
no método dos juros simples e na dominação das técnicas de análise de investimento 
com base nos métodos de juros composto. 
 » Entender as técnicas de análise de investimento. 
 » Compreender os métodos de capitalização.
8
9
Apresentação
Você, com certeza, já precisou de dinheiro para comprar algo importante e constatou que 
não tinha o dinheiro suficiente para essa compra. E qual é sua alternativa? Com certeza, usou 
uma dessas alternativas: usar seu cheque especial, usar seu cartão de crédito ou ligar para seu 
gerente e pedir um empréstimo, um Credito Direto ao Consumidor (CDC) na sua conta. mas o 
que geralmente as pessoas não entendem é a taxa de juros que será tomada no valor usado ou 
aplicado. Para tanto, vamos entender o que étaxa de juros. 
Objetivo
 » Definir o que é taxa de juros.
 » Explicar as expressões de taxa de juros e seusefeitos na dimensão do valor do dinheiro.
 » identificar os fatores que afetam a taxa de juros.
 » mostrar as relações da taxa do juro com o mercado financeiro. 
1AulATAXA dE JuROS
10
AulA 1 • TAXA dE JuROS
que é taxa de juro?
Literalmente, juro é, segundo o dicionário Barsa, “quantidade de dinheiro que se paga ou que se 
recebe por utilizar ou emprestar certa soma de dinheiro por um período de tempo determinado; 
interesse”; o dicionário continua definindo ainda juro como “rendimento que o credor aufere 
do dinheiro que lhe é devido” ou “prêmio pago pela cedência, gozo ou aluguel de um capital” 
ou ainda a juro mora como “indenização pago por atraso em pagamento devido”.
assim, de maneira simples, o juro será considerado, o preço que se paga por tomar dinheiro 
emprestado ou o retorno sobre uma aplicação ou investimento. 
Do ponto de vista econômico, foro (2012), define o juro como a remuneração, a qualquer título, 
atribuída ao fator capital; ou o prêmio pago a um agente econômico para proteger o consumo (poupar).
agora que sabemos o significado da taxa de juro, vamos, então, identificar os fatores que afetam 
a taxa de juro e como elas variam. Esses pontos serão discutidos a seguir. 
Fatores que afetam os juros 
Vamos considerar nas três condições acima listadas na apresentação da aula que existem dois 
fatores relevantes que afetarão os juros: o tempo do investimento que chamamos de período, 
que é o tempo que levará para pagar o dinheiro tomado ou o tempo de aplicação do seu dinheiro 
e o valor do capital ou o montante do dinheiro a ser tomado. 
De maneira geral, existem dois fatores que afetam os juros: o tempo de aplicação e o valor do 
dinheiro tomado. 
Figura 1. Fatores que afetam a taxa de juros
 
Fatores que 
afetam a taxa de 
juro
Valor da 
Aplicação 
Período 
deTempo 
de 
Aplicação 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
11
TAXA dE JuROS • AulA 1
As relações da taxa de juro com o mercado financeiro 
Sem dúvida você já deve ouvido as seguintes expressões no mercado financeiro: “taxas de juros 
altos”, vamos diminuir o consumo! ou “taxas de juros menores”, vamos comprar, vamos investir! 
Enfim, são expressões usadas pelos produtores do mercado financeiro. Saiba antes de mais nada 
que o mercado financeiro é composto de poupadores e de tomadores de empréstimo como 
ilustrado na figura 2 a seguir. as operações realizadas no mercado financeiro são consideradas 
ou chamadas de transações financeiras que consistem em tomada de empréstimos ou em 
poupança ou investimentos. 
Figura 2. Mercado financeiro
 
MERCADO 
FINANCEIRO
Poupadores 
Tomadores 
de 
Empréstimo 
Fonte: Elaborado pelo autor.
Como determinamos o valor do juro?
De forma prática, a determinação do valor do juro que é cobrado em qualquer transação financeira 
é efetuada mediante a consideração de um coeficiente denominado taxa de juros. a taxa de juros, 
que sempre é referida a certo período de tempo, mês, semestre, ano ou, até mesmo, dia; nada 
mais é do que a remuneração pela utilização da unidade de capital durante o período a que ela 
se refere. ou seja, a taxa de juros é o “preço do dinheiro” tomado ou poupado. 
as taxas de juros costumam ser apresentadas sob uma das duas formas equivalentes: forma 
unitária ou forma percentual. a figura 3 a seguir mostra as duas formas de equivalência da taxa 
de juros. 
12
AulA 1 • TAXA dE JuROS
Figura 3. Forma equivalente da taxa de juro
 
Taxa de Juro
UnitáriaPercentual 
Fonte: Elaborado pelo autor.
Genericamente, se consideramos como i a taxa de juros, C0 o capital aplicado (emprestado) e C1 
o capital recebido no final de dado período de tempo, que tomaremos como unidade, teremos 
os juros J auferidos na transação ou como preço do dinheiro tomado ou, ainda, como prêmio 
do capital investido (emprestado) como:
 
Sendo a taxa de juros equivalente relativa ao período considerada será: 
a. Na forma unitária
 
b. Na forma percentual
% 
quais os fatores que afetam taxas de juros pagos aos 
poupadores?
De acordo com foro (2012), como o capital no mundo pode economicamente ser considerado um 
bem escasso, os juros podem ser entendidos como a remuneração paga por um agente econômico 
pela utilização, em determinado período de tempo, do capital de outro agente econômico. assim, 
a taxa de juros paga aos poupadores depende basicamente de quatro fatores:
 » taxa de retorno que os agentes poupadores esperam obter sobre o capital investido;
 » das referências pelo tempo de consumo atual versus consumo futuro;
13
TAXA dE JuROS • AulA 1
 » do quão arriscado é o empréstimo; 
 » da taxa de inflação esperada no futuro. 
Figura 4. Fatores que afetam as taxas de juros pagos aos poupadores 
 
FATORES QUE 
AFETAM A 
TAXA DE JUROS 
PAGOS AOS 
POUPADORES 
Retorno 
sobre o 
capital 
investido 
Tempo de 
consumo 
atual versus
futuro 
Risco do 
empréstimo 
Inflação 
esperada no 
futuro
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Fatores que afetam o custo do dinheiro 
Você sabia que existem fatores que afetam o valor do dinheiro no tempo?
Segundo Brighan (2016), existem quatro fatores fundamentais que afetam o custo do dinheiro: 
 » oportunidades de produção;
 » preferências pelo tempo de consumo; 
 » risco; 
 » inflação do mercado. 
Como isso acontece no mercado? 
Para entender melhor o que são juros e os fatores que afetam o custo do dinheiro que operam 
no mercado, partiremos do exemplo do Brighan em que considera uma comunidade de ilha 
isolada de pescadores. a seguir, leia o exemplo e preste bem atenção a cada detalhe para você 
entender melhor como os fatores operam no mercado financeiro. 
imagina uma comunidade em uma ilha isolada onde as pessoas vivem da pesca. Elas têm 
um estoque de equipamentos de pesca que lhes permite sobreviver razoavelmente bem, mas 
gostariam de obter mais peixes. agora suponha que o Sr. josué tenha tido uma ideia brilhante 
14
AulA 1 • TAXA dE JuROS
para um novo tipo de rede de pesca que possibilitaria dobrar sua pesca diária. Porém ele levaria 
um ano para aperfeiçoar seu desenho, construir sua rede e aprender a usá-la eficientemente, 
e provavelmente morreria de fome antes que pudesse colocar sua nova rede em operação. 
Entretanto, ele poderia sugerir à Sra. josiane, ao Sr. joão, e a vários outros habitantes que lhe 
dessem um peixe por dia durante um ano, e ele devolveria dois peixes por dia durante o ano 
seguinte. Se alguém aceitasse a oferta, o peixe que a Sra. josiane ou algum de outros habitantes 
dessem ao Sr. josué se constituiria em poupança; essa poupança poderia ser investidas na rede 
de pesca, e os peixes extras obtidos pela rede se constituiriam em retorno sobre o investimento. 
obviamente quanto mais produtiva o Sr. josué imaginasse a nova rede de pescar, mais ele poderia 
oferecer aos potenciais investidores em troca de suas poupanças. Nesse exemplo, supusemos 
que o Sr. josué tenha pensado que seria capaz de pagar, e assim ofereceu uma taxa de retorno 
de 100% – ele propôs dar de volta dois peixes para cada um que recebesse. Ele podia ter tentado 
atrair poupança por menos – por exemplo, ele poderia ter oferecido somente 1,5 peixe para o 
próximo ano para cada um que ele recebesse naquele, o que representaria uma taxa de retorno 
de 50% para os potenciais poupadores. 
o atrativo da oferta do Sr. josué para um potencial poupador dependeria em grande parte da 
preferência pelo tempo de consumo desse poupador. Por exemplo, a Sra. josiane poderia estar 
pensando na aposentadoria e estar disposta a negociar o peixe de hoje pelo de amanhã na base de 
um para um. Entretanto, o Sr. joão poderia ter uma esposa e várias crianças pequenas e necessitar 
de seu peixe atual, de maneira que poderia não estar disposto a “emprestar” um peixe diário por 
qualquer coisa abaixo de três peixes para o próximo ano. o Sr. joão seria conhecido como tendo 
alta preferência pelo tempo de consumo atual, e a Sra. josiane seria conhecida como tendo baixa 
preferência pelo tempo. observe que, se a populaçãointeira estivesse vivendo exatamente no nível 
de sobrevivência, as preferências pelo tempo de consumo atual seriam necessariamente altas, a 
poupança agregada seria baixa, as taxas de juros seriam altas e a formação de capital seria difícil. 
Sintetizando
Vamos tirar as seguintes conclusões importantes para análise da taxa de juros com base no exemplo anterior da ilha isolada 
de pescadores. Lembre-se sempre que quando estiver analisando um investimento, seja ele empréstimo ou uma aplicação, 
deverá levar em consideração dois fatores importantes que afetam o valor do investimento no futuro: o risco e a inflação do 
mercado nas seguintes condições: 
o risco inerente no projeto da rede de pesca e, portanto, a habilidade do Sr. josué de pagar o empréstimo também afetaria o 
retorno que os investidores requeriam: quanto maior for o risco percebido, mais alta será a taxa de retorno requerida. 
além disso, em uma sociedade mais complexa, há vários outros negócios além da pesca tão bons quanto o do Sr. josué, e 
muitos poupadores iguais à Sra. josiane e ao Sr. joão. Dessa forma, as pessoas usam o dinheiro como meio de troca em lugar 
de permuta com peixe. Quando o dinheiro é usado, seu valor no futuro, que é afetado pela inflação, faz parte do jogo: quanto 
mais alta for a taxa esperada de inflação, maior será o retorno requerido. 
agora que você já sabe o que é taxa de juros, vamos a seguir para entender o regime de juros simples. Preparado para o 
próximo conceito? 
15
Apresentação 
as decisões de investimento de capital ou dinheiro têm sido altamente racionalizadas, conforme 
evidenciado pela variedade de técnicas que são disponíveis atualmente. Em comparação às 
decisões de precipitação ou de marketing, as de investimento de capital podem normalmente 
ser feitas com alto nível de confiança, pois as variáveis que afetam as decisões são relativamente 
bem conhecidas e podem ser quantificadas com relativo alto grau de exatidão.
as decisões de aplicações financeiras são normalmente feitas com relação à menor taxa aceitável 
de retorno sobre o investimento. isto é, muitas vezes, referido como taxa limiar de retorno. Como 
ponto de partida, a taxa limiar ou taxa de retorno pode ser considerada como o custo do capital 
investido, necessário para subscrever as despesas. Certamente um investimento não será feito 
se ele não retornar, no mínimo, o custo do capital. 
Entendemos por regime de capitalização o processo de formação do juro. Este processo pode 
ser sob a forma descontínua (discreta) ou contínua. 
assim nessa habilidade faremos uma introdução ao regime de capitalização de juros simples com 
base no modelo de capitalização discreto ou descontinuo no qual os juros são acrescidos ao final de 
determinado período discreto de tempo que é período a que se refere a taxa de juros considerada.
Você que gosta de fazer compras, talvez já ouviu falar sobre o regime de capitalização de juros 
simples. Se não é um fã das compras ou que use seu cartão de crédito ou cheque especial à 
vontade, também não se preocupe, pois você vai entender melhor como funciona o regime de 
capitalização de juros simples caso considere-se um grande poupador de dinheiro ou que se 
abstém no uso do seu dinheiro porque finalmente, nesse segundo conceito o tema principal 
trata disso de forma mais detalhada.
Objetivos 
 » Entender os conceitos de capitalização descontínua ou discreta.
 » Dominar o método de juros simples.
 » Determinar o juro exato de um investimento na capitalização simples.
2
AulA
REgIME CAPITALIzAçãO dE 
JuROS SIMPLES
16
AulA 2 • REgIME CAPITALIzAçãO dE JuROS SIMPLES
O que é uma capitalização descontínua ou discreta? 
No mercado financeiro, na prática, o juro só é formado no fim de cada período de tempo a que 
se refere a taxa de juros considerada. Esse procedimento é mais adotado no caso de aplicações 
em cadernetas de poupança e em Recibos de Depósitos Bancários (RDBs). 
o processo de capitalização descontínua pressupõe que os juros são acrescidos ao final de 
determinado período discreto de tempo que é o período a que se refere a taxa de juros considerada. 
Sendo assim, o capital sofre, no fim de cada período de tempo, um acréscimo que é diretamente 
proporcional a esse capital; sendo o fator de proporcionalidade, i, a taxa de juros para o período 
considerado.
ainda assim, existe nesse caso, uma variação com relação à base sobre a qual a taxa de juros 
incidirá. Dois tipos de regimes de juros podem ser utilizados para calcular essa taxa de juros: 
o regime de juros simples e o regime de juros compostos. Vamos aqui ver, a seguir, como isso 
funciona no caso do regime de juros simples.
Você sabe como as taxas de juros incidem no regime de 
juros simples?
No regime de juros simples as taxas de juros incidirão somente sobre o capital inicial, C0. Como 
já sabemos, os juros são definidos como a diferença entre o valor aplicado e o valor recebido ao 
final de uma aplicação. No caso de um único período:
ou seja, o montante C1 no final do primeiro período é igual ao capital inicial C0 mais os juros 
que lhe são devidos por sua utilização durante um período a que se refere a taxa de juros 
i considerada. 
No caso de dois períodos de tempo de aplicação à mesma taxa de juros i, os juros serão acrescidos 
ao capital inicial duas vezes. 
Generalizando no caso de uma aplicação de n períodos de tempo ao mesmo valor da taxa de 
juros equivalente ao período, os juros serão acrescidos ao valor inicial n vezes. 
assim sendo, juro simples é aquele pago unicamente sobre o capital inicial C0, também chamado 
principal, e é diretamente proporcional a esse capital e ao tempo em que esse é aplicado; sendo 
o fator de proporcionalidade a taxa de juros por período i.
17
REgIME CAPITALIzAçãO dE JuROS SIMPLES • AulA 2
Relações entre juro e suas componentes em regime de 
juros simples
Considerando C0 o valor principal ou capital inicial, i, a taxa de juros, e n o período de aplicação, 
expresso em número de períodos a que se refere a taxa i, o juro, J, é obtido no fim do período 
ou prazo de aplicação, e será:
j = C0 . i . n Equação 1
Com base nessa fórmula de juros, deduzimos as seguintes relações entre suas componentes: 
Figura 5. Relações entre juros e suas componentes em regime de juros simples
 
� � �� �� ��
� � ��� ��
� � ��� ��
� � �� �� ��
�� �
�
�� �
�� � ��+ J
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Relações entre juro, o valor futuro e o capital inicial em regime de 
juros simples
Considere a equação 2 a seguir: 
. Equação 2 
Nessa equação, o montante final ou (Valor futuro) Cn, obtido pela aplicação de um capital inicial 
C0, à taxa i, durante n período deduzimos as relações entre juro, valor futuro e o capital inicial 
mostradas a seguir: 
18
AulA 2 • REgIME CAPITALIzAçãO dE JuROS SIMPLES
Figura 6. Relações entre juro, o valor futuro e o capital inicial em regime de juros simples
 
� � C�. i. n
C��C� � � i. n
n �
C�C� �� �
i i �
C�C� �� �
n
� � C� - C�
C� �
C�
� � i. n
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Embora já tenha sido especificado, convém frisar que a equação 1 só pode ser empregada 
colocando-se o prazo ou período de aplicação, n, expresso na mesma unidade de tempo a que 
se refere a taxa i considerada. 
Portanto, se quisermos calcular o juro devido a um investimento de R$ 50.000,00 à taxa de juros 
simples de 6% ao mês, no fim de 1 ano, devemos entrar na equação com n = 12 meses e teremos:
J = C. i. n = 50.000 × 0,06 × 12 = R$ 36.000,00 
Períodos fracionários no regime de juros simples?
Do ponto de vista teórico, no regime de capitalização descontínua a juros simples, de que estamos 
tratando, o juro só é formado no fim de cada período de tempo a que se refere a taxa considerada. 
No exemplo a seguir, considere que joão aplicou R$ 2.000,00, à taxa de juros simples de 20% ao 
ano, pelo prazo de um ano. Porém, antes do encerramento do prazo, no fim dos oito meses ele 
resolve resgatar sua aplicação. 
Como a taxa é anual, os juros sóseriam formados no fim de um ano e, assim, de acordo com a 
convenção de capitalização descontinua, no fim de oito meses ainda não se teria formado nenhum 
juro. Portanto, interpretando-se a convenção ao pé da letra, Sr. joão resgataria somente o valor 
principal de R$ 2.000,00, o que seria um absurdo, pois ele deixaria de ter qualquer remuneração 
pela aplicação do seu capital durante esses oito meses. 
19
REgIME CAPITALIzAçãO dE JuROS SIMPLES • AulA 2
Para contornar situações como essas, que surgiriam em qualquer tipo de aplicação, criou-se, 
então, a convenção adicional de que a formação dos juros simples, ao longo do período a que 
se refere a taxa, siga estritamente uma função linear, sem descontinuidades. 
ou seja, admite-se que os juros simples devidos pela utilização de certo principal durante a 
fração própria p/q, onde p < q, do período a que se refere a taxa, é igual à fração p/q do juro 
que seria devido no fim do período. a figura 7 a seguir representa esta convenção adicional de 
período fracionário. 
figura 7. Representação da convenção de períodos fracionários
 
J1 Jp
q
0 p
q
 1 Períodos 
R$ 
Fonte: Baseado em Foro, Clovis. Introdução à Matemática Financeira. Rio de Janeiro: Editora FgV, 2012. 
Como os triângulos da figura 7 são idênticos, podemos escrever que a razão entre seus catetos 
é uma constante, isto é:
= Equação 3 
Dessa forma, se consideramos que p = 8 meses e que q = 12 no exemplo anterior, e que o valor 
principal do investimento é de R$ 2.000,00 à taxa de juro de 20% ao ano, a solução do nosso 
exemplo passa a ser: 
J = 2.000.0,2.
8
12
= R$ 266,66 
Como isso acontece no mercado? 
Para ilustrar os acontecimentos de regime de juros simples no mercado, vamos considerar o 
seguinte caso: suponha que você procurou ultimamente seu gerente e tomou um empréstimo 
de CDC no valor de R$ 8.000,00 a uma taxa de 7,5% ao mês pagos na modalidade de regime de 
juros simples por um período de 24 meses. Pede-se:
a. o valor total dos juros a serem pago ao banco? 
b. Qual é o valor da sua dívida no final do contrato? 
20
AulA 2 • REgIME CAPITALIzAçãO dE JuROS SIMPLES
Resolução: 
algumas definições importantes antes de começar:
 
Sendo assim, aplicando a equação 1 encontramos 
a. a. J = i. n. C� = ����� � �� � ���� = ����.��� 
b. b. �� = C��1 + �. �� = 8.000 × �1 + 24 × 0,075� = ��22.400,00����������������������������������������� 
assim, no final do contrato você terá pago R$ 22.400,00 por uma dívida de R$ 8.000,00 à taxa de 
7,5% a.m. no regime simples e terá pago um total de juros no valor de R$ 14.400,00, imagine, 
então, como o crédito é caro no seu banco. 
Efeito do imposto de renda em uma aplicação no regime de 
juros simples
o efeito do imposto de Renda em uma aplicação no regime de juros simples se observa no caso 
de títulos de renda fixa, ou no caso de letra de câmbio ou um certificado de depósito bancário 
com valor de emissão e com prazo de vencimento igual a um período da taxa de rendimento, 
denominada taxa bruta de rentabilidade e denotada por ib.
a seguir, vamos analisar o efeito do iR no fluxo de caixa ou os rendimentos dos títulos aplicados 
no regime de juros simples.
Fluxo de Caixa da Tributação 
Para entendermos melhor os efeitos do iR em uma aplicação no regime de juros simples vamos 
considerar que você tenha aplicado em um título de renda fixa, ou uma letra de câmbio ou, até mesmo, 
um Certificado de Depósito Bancário (CDB) com um valor de emissão VE, com prazo de vencimento 
igual a um período da taxa de rendimento, denominada taxa bruta de rentabilidade e denotado por ib.
antes da cobrança do iR, podemos caracterizar a transação por meio do seguinte esquema 
mostrado na figura 8, que chamaremos de fluxo de caixa (cash flow).
Figura 8. Fluxo de caixa antes da tributação 
Período da taxa ib 1 
VE 
0 
Fonte: Elaborada pelo autor.
21
REgIME CAPITALIzAçãO dE JuROS SIMPLES • AulA 2
adotando o ponto de vista do investidor, você fará um desembolso igual a VE, donde a seta para 
baixo, na data de emissão do título (denotada época zero). um período após você receberá a 
quantia de investida VE, acrescida dos juros à taxa bruta ib, ou seja, receberá, donde a seta para 
cima, a soma de VE + VE.ib. 
Dois tipos de cobrança do iR são aqui tratados: o postecipado e o antecipado, ilustrado na figura 
9 a seguir. 
Figura 9. Tipos de cobrança de IP em aplicações no regime de juros simples
 Fonte: Elaborada pelo autor. 
a cobrança de iR Postecipado é o mais comum atualmente e a cobrança antecipada fui muito 
utilizada já há algum tempo. Por essas duas formas levarem a diferentes taxas líquidas ou efetivas 
il elas serão tratadas em dois momentos distintos. 
Efeito do IR postecipado no regime de juros simples 
Considerando que esse tipo é a situação, atualmente mais comum, da cobrança de imposto 
de Renda, calculada pela aposição da alíquota t (aqui expressa sob a forma unitária), sobre o 
rendimento (juros), teremos um tributo, T, pelas fórmulas representadas na figura 10 a seguir:
Figura 10. IP Postecipado no regime de juros simples
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
22
AulA 2 • REgIME CAPITALIzAçãO dE JuROS SIMPLES
Suponha que o imposto de Renda, ou seja, o tributo T seja cobrado na data do resgate do título, 
o fluxo de caixa que passa a caracterizar a aplicação pode ser esquematizado como representado 
na figura 11 a seguir: 
Figura 11. Fluxo de caixa após a tributação (IR Postecipado)
 
Período da taxa ib 1 
VE 
0 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Diante da cobrança do tributo, a questão que se apresenta é a determinação da taxa de rentabilidade 
efetivamente auferida por você como investidor chamada de taxa líquida de rentabilidade. 
Partindo da relação básica do regime de juros simples, tem-se na figura 12 a seguir:
Figura 12. Relação básica do regime de juros simples
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Considerando 
FV = VE. 1 + 1 − t . i e VP = VE e se n = 1 
 Teremos a seguinte relação da taxa líquida iL resumido na figura a seguir:
23
REgIME CAPITALIzAçãO dE JuROS SIMPLES • AulA 2
Figura 13. Relação da taxa líquida de rentabilidade do título (IR Postecipado)
 
i =Taxa Líquida de de 
Rentabilidade do Título 
.
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Efeito do Imposto de Renda Antecipado no Regime de 
Juros Simples
Você sabe como se deduzia antigamente o imposto de renda dos títulos de renda fixa? acompanhe 
aqui a situação um pouco estranha, mas muito usada há algum tempo, em que o iR era cobrado 
antecipadamente, na própria data da aplicação; ou seja, você tinha a cobrança do imposto de 
Renda, antes mesmo de ocorrer a renda, absurdo né? mas acredite, era assim. 
Nesse caso, considerando t’ a alíquota do imposto de Renda, o investidor teria que desembolsar, 
na data da aplicação, o tributo T = t’ VE.ib, além de do valor de emissão VE. Desse modo, o fluxo de 
caixa que caracteriza o investimento será esquematizado como mostrado na figura 14 a seguir:
Figura 14. Fluxo de caixa após a tributação (IR Antecipado)
 
Período da taxa ib 
��� �� � ��)
1 
VE + T = VE. (1 + t’. ib) 
0 
Fonte: Elaborada pelo autor.
No caso do iR antecipado, temos VP = VE×(1+t’.ib ), e fV=VE.(1+.ib ), segue-se a taxa líquida de 
rentabilidade para investidor, agora denotada por iL’ e será mostrada na figura 15 a seguir: 
24
AulA 2 • REgIME CAPITALIzAçãO dE JuROS SIMPLES
Figura 15. Relação da taxa líquida de rentabilidade (IR Antecipado)
 
i =Taxa Líquida de 
Rentabilidade do Título 
.(1 + t'.ib)
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Como isso acontece no mercado?
Para entender como os efeitos do imposto de Renda no regime de juros simples acontecem no 
mercado como imposto de Renda cobrado postecipado ou antecipado, vamos usar dois exemplos 
aqui que ilustram esses casos: 
Exemplo 1 
uma letra de câmbio com prazo de 320 dias apresenta valor de emissão de R$ 75.000,00 e 
rendimento especificado de 60%. Dado que o imposto de Renda na fonte, para o caso do prazo 
considerado, é cobrado antecipadamente e segundoa alíquota de 50%, incidente sobre 20% 
do rendimento, pergunta-se: quais serão, em termos anuais, as taxas de rentabilidade bruta e 
líquida para o comprador da letra?
Resolução:
Desconsiderando o imposto de Renda, o comprador desembolsará R$ 75.000,00, recebendo, no 
fim de 320 dias (32/36 do ano), os R$ 75.000,00 mais o rendimento. 
Vamos determinar o rendimento r = R$ 75.000,00 × 0,60 = R$ 45.000,00
Sendo assim, fV o valor final do título ou o valor de resgate é igual ao valor de emissão mais o 
rendimento, seja:
FV = VE + r = 75.000 + 45.000 = R$120.000,00
25
REgIME CAPITALIzAçãO dE JuROS SIMPLES • AulA 2
Dessa forma, temos as seguintes variáveis: 
320
360
=?
 agora vamos determinar a taxa de rentabilidade bruta. 
Lembre-se da fórmula que vimos na figura de relação entre as taxas de juros e valores nominais. 
Então, agora que a usaremos: 
i = = = = = 0,6750 ou 67,50% a. a. 
 importante prestar atenção em um detalhe do enunciado antes de continuarmos no cálculo da 
alíquota para o comprador. Bem, observe que o enunciado diz que o imposto de Renda será cobrado 
antecipadamente segundo a alíquota de 50%, sobre 20% do rendimento e já calculamos o rendimento 
no valor de R$ 45.000,00, então a alíquota de 50% será incidente sobre 20% de 45.000,00. 
agora vamos proceder ao cálculo do imposto de Renda, seja 
T = 0,50 x 0,20 x 45.000 = R$ 4.500,00, o comprador pagará um tributo de imposto de Renda no 
valor de T = R$ 4.500,00 cobrado antecipadamente. Sendo assim, o comprador deverá desembolsar 
o valor de R$ 75.000 + R$ 4.500 = R$ 79.500,00.
Para encontrarmos a rentabilidade líquida devemos proceder da seguinte maneira:
320
360
=?
 Novamente com base nas fórmulas teremos:
 
 i = = = = = 0,5731 ou 57,31% a. a. 
 
Concluímos, então, que a taxa de rentabilidade bruta é de 67,50% a.a. e a taxa de rentabilidade 
líquida é de 57,31% a.a. 
Sintetizando
Nesta aula aprendemos que:
 » o fator de proporcionalidade do regime de juros simples: o juro simples é aquele pago unicamente sobre o capital inicial 
C0, também chamado principal, e é diretamente proporcional a esse capital e ao tempo em que este é aplicado; sendo o 
fator de proporcionalidade a taxa de juros por período i.
26
AulA 2 • REgIME CAPITALIzAçãO dE JuROS SIMPLES
 » a equação 1 só pode ser empregada colocando-se o prazo ou período de aplicação, n, expresso na mesma unidade de 
tempo a que se refere a taxa i considerada.
 » Imposto de Renda Postecipado: o tributo é cobrado na data do resgate do título e o valor de resgate ou valor final 
FV = VE + VE.ib - T, onde fV é o valor final ou de resgate VE o valor de emissão do título, ib a taxa de rentabilidade bruta e T 
o valor do tributo. 
 » Imposto de Renda Antecipado: o tributo é cobrado antecipadamente, antes mesmo do rendimento da aplicação junto 
com seu valor de emissão. Sendo que, nesse caso, o investidor teria que desembolsar, na data de aplicação, o tributo 
T = VE.ib.t’ (onde t’ é a alíquota de imposto de renda), além do valor de emissão. Ele terá que desembolsar para aquisição 
do título, um valor total equivalente a VE + T.
27
Apresentação
Em operações correntes de curto prazo em que o regime de juros simples é usualmente aplicado, 
os prazos de aplicação costumam ser expressos em dias, embora as taxas usuais sejam anuais. 
Nesse caso, para usar a equação ou expressão j = C0.i.n tem que expressar o prazo n em unidade 
de ano, o que pode ser feito de duas maneiras:
a. Considerando-se o ano civil de 365 dias ou 366 dias.
b. Considerando o ano comercial de 360 dias. 
Conforme se considere o ano civil na conversão, o juro é dito juro exato. 
Como vivos anteriormente sobre o juro exato que ocorre devido a resgate de título com antecipação 
da data de vencimento, em que consideramos o ano civil com 365 dias ou 366 dias; no caso de 
título com resgate antecipado, consideramos o juro comercial quando os cálculos são feitos com 
360 dias definido universalmente como ano comercial no mercado financeiro. muito embora 
as taxas usuais sejam as anuais, no caso para usar a equação ou expressão j = C0. i. n tem que 
expressar o prazo n em unidade de ano, o que pode ser feito considerando o ano comercial de 
360 dias. Conforme se considere o ano comercial na conversão, o juro é dito juro comercial.
Objetivos
 » Entender a definição de juro exato.
 » Entender a conversão de cálculo de juros exatos. 
 » Compreender a equação ou fórmula de juro exato.
 » Calcular o valor nominal e valor atual ou presente de uma aplicação. 
 » Entender os juros comerciais e ordinários. 
 » Calcular juros comerciais ou ordinários.
3
AulA
JuRO EXATO E JuRO COMERCIAL Ou 
ORdINÁRIO
28
AulA 3 • JuRO EXATO E JuRO COMERCIAL Ou ORdINÁRIO
Equação ou fórmula do juro exato 
Vamos descobrir como deve se achar a fórmula para o juro exato. Entenda que o juro exato é 
aquele juro equivalente a uma aplicação com antecipação de resgate; para tanto, precisamos 
converter o prazo de aplicação à taxa de juro anual. 
No mercado financeiro nem sempre que ao aplicar um investimento a juro simples a uma taxa 
anual, temos condições de esperar até a data de vencimento para resgatar essa aplicação. Nesse 
caso de resgate antecipado, seremos obrigados a fazer uma conversão da taxa de juro anual em 
juro exato equivalente ao tempo de aplicação expresso em dias.
Para tanto, considere uma aplicação C0, a taxa anual i a juros simples, durante n dias, teremos o 
juro exato dado pela seguinte equação:
Figura 16. Equação de juro exato
 Fonte: Elaborada pelo autor. 
Valor nominal e valor atual ou valor presente 
Quando consideramos na data de hoje, uma aplicação financeira pagável em determinada data no 
futuro no seu vencimento; o valor futuro do resgate dessa aplicação, em sua data de vencimento, 
denomina-se valor nominal (fV). 
Lembre-se, então, de que: Valor Nominal é o montante do resgate na data do vencimento da 
aplicação chamado ainda de valor futuro. 
Também, denomina-se valor atual ou valor presente (VP) de uma aplicação, a determinada 
taxa de juros, o capital que, se colocado a render juros a partir da data de hoje, nos daria um 
montante igual ao valor nominal (fV). 
Lembre-se de que o valor atual é o valor presente, é o capital que, aplicado a juros simples, daria 
um montante equivalente ao valor nominal na data de vencimento. 
29
JuRO EXATO E JuRO COMERCIAL Ou ORdINÁRIO • AulA 3
Sendo fV o valor nominal de uma aplicação financeira, n o tempo em que o dinheiro ficou 
aplicado expresso em número de períodos a que a taxa i considerada, entre a data de hoje e a 
data de vencimento da aplicação, e VP o seu valor atual, teremos, no regime de juros simples, a 
seguinte relação de acordo com base na fórmula 
Cn = C0.(1 + i.n)
Figura 17. Fórmula do valor nominal e do valor atual
 
Fonte: elaborada pelo autor. 
Como isso acontece no mercado?
Para entender como são feitos os cálculos do juro exato, de valor nominal e de valor atual ou 
presente, vamos a seguir ilustrar dois exemplos:
Exemplo 1: Cálculo de juro exato 
joão, um estudante do último período do curso de administração das faculdades São josé, 
está com dificuldade financeira para quitar sua dívida com a faculdade e renovar sua matrícula 
no início do semestre 2016. 1. Ele, então, decidiu tomar um empréstimo com o gerente do seu 
banco e contratou um CDC no valor de R$ 4.000,00 no dia 5/1/2016, à taxa de juros simples de 
15% a.a., que deve ser pago em um ano, isto é, em 5/1/2017. Porém, antes do final do ano, joão 
foi promovido no trabalho e decidiu saldar sua dívida com o banco no dia 15/8/2016, antes do 
encerramento do contrato do CDC. qual o juro exato que o joão pagou pelo contrato de CDC 
ao Banco?
Resolução:
Como joão pagou sua dívida no dia 15/08/2016 consideramos, então, que ele antecipou 
o pagamento de sua dívida e, portanto, devemos calcular o número de dias do período de 
30
AulA 3 • JuRO EXATO E JuRO COMERCIAL Ou ORdINÁRIO
empréstimo; para tanto, vamos usar a calculadora financeiraHP12C para determinar o número 
de dias decorrentes entre a data de contratação da dívida com o banco considerada data de início 
o dia 5/1/2016 e a data de quitação da dívida considerado dia 15/8/2016. 
Como é a primeira vez que vai usar a calculadora financeira HP12C, vamos, antes, baixar o 
aplicativo no seu smartphone e depois instalar; então, abra o aplicativo e vamos aos seguintes 
passos para a operação de datas: 
Figura 18.
Fonte: https://epxx.co/ctb/hp12c.html. 
Com seu aplicativo aberto, digite [g][4]. aparecerá, então, no visor mais à direita, a notação D.m.Y
Para cálculo de número de dias entre duas datas, basta digitá-las, seguidas da função de “diferença 
de dias”. 
uma data sempre deve ser digitada com os dois primeiros dígitos (relativos ao dia no sistema 
brasileiro) separados por [.] dos demais (relativos ao mês e ano ou ao dia e ano, respectivamente). 
Então vamos calcular quantos dias decorreram entre as datas de 5 de janeiro de 2016 e 15 de 
agosto de 2016? Para isso, digite em seguida: 
[0][5][.][0][1][2][0][1][6][ENTER] [1][5][.][0][8][2][0][1][6][g][EEX] 223,00
Então, n = 223 dias é importante salientar que a calculadora apresentará o número de dias 
considerando um calendário de 365 dias (gregoriano). 
agora vamos proceder ao cálculo do juro exato com n = 223 dias com base em 365 dias ao ano. 
usando nossa fórmula do juro exato:
J =
C . i. n
365
=
4.000 × 0,15 × 223
365
= R$ 366,58 
 Concluímos, então, que joão pagou R$ 366,58 de juros pelo empréstimo com o banco. o valor 
total pago foi R$ 4.366,58.
https://epxx.co/ctb/hp12c.html
31
JuRO EXATO E JuRO COMERCIAL Ou ORdINÁRIO • AulA 3
Exemplo 2: Cálculo de valor nominal no modo do ano civil de 365 dias 
uma nota promissória (promessa de pagamento assinada por quem contrai uma dívida) datada 
de 4 de abril de 2016, com valor de face (valor da dívida na data em que está foi contraída – data 
de emissão da nota) de 2.400,00, devendo ser resgatada oito meses após sua data de emissão 
com juros de 15% ao ano sobre o valor de face (diz-se que a nota tem termo de oito meses a juros 
simples de 15% a.a.), é vendida a certa pessoa, para quem o dinheiro vale 18% a.a. no dia 12 de 
agosto de 2016. Quanto deve essa pessoa pagar pela posse da nota promissória? 
Resolução: 
objetivando uma melhor visualização do problema, consideremos o esquema apresentado na 
figura 19 a seguir: 
Figura 19. Linha de Tempo 
Tempo 
FV 
VP
04
.1
2.
20
16
 
12
.0
8.
20
16
 
04
.0
4.
20
16
 
2.400 
8 meses – 15% a.a.
114 dias – 18% a.a.
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Para você entender melhor o enunciado, vamos explicar alguns passos: suponha que você tem 
um título (nota promissória assinada no dia 4.4.2016) por reconhecimento de uma dívida a 
prazo com vencimento no dia 4.12.2016, ou seja, a pessoa prometeu pagar essa dívida após 
oito meses a juros simples de 15% ao ano. Sendo que, no decorrer do tempo, você não pode 
esperar até a data de vencimento para resgatar seu valor nominal, que seria o valor fV porque 
precisou de dinheiro no dia 12.8.2016 para a festa de dois aninhos da sua filha. E você, então, 
decidiu vender seu título nessa data a uma pessoa que disponha de dinheiro que gostaria de 
investir a uma taxa de 18% a.a., isso quer dizer que está regatando o valor do seu título 114 
dias antes da data do seu vencimento. Nesse caso, o valor de face será igual ao valor nominal 
fV que ainda não sabemos. 
Então, vamos aqui calcular o valor nominal da nota promissória; antes de mais nada, precisa 
por regra de três calcular o prazo de investimento equivalente a oito meses:
12 meses 1 ano 
8 meses x ano ↔ x =
8 × 1
12
=
2
3
 ano ↔ n = 
2
3
 ano 
 
32
AulA 3 • JuRO EXATO E JuRO COMERCIAL Ou ORdINÁRIO
Logo: 
FV = VP. 1 + i. n = 2.400 × 1 + 0,15 ×
2
3
= R$2.640,00 
 a quantia a ser paga pela nota é seu valor atual no dia 12 de agosto, valor esse calculado a partir 
do valor nominal da nota, considerando-se a taxa de juros acertada entre as partes interessadas 
(no caso 18% a.a.). os 114 dias de antecipação são calculados da mesma forma que no exemplo 
1 pela calculadora HP12C. Dessa forma, convido-lhe novamente a abrir seu aplicativo de HP12C 
e digitar logo [g][4], na sequência, digite os seguintes: 
[f ][CLX] para zerar a memória da calculadora e depois digite:
[1][2][.][0][8][2][0][1][6][ENTER] [0][4][.][1][2][2][0][1][6] [g][EEX] 114,00 dias 
agora é considerar que o comprador do título estivesse investindo um valor atual VP por um 
prazo de 114 dias que lhe renderia taxa de 18% a.a. a juros simples, um montante igual ao valor 
nominal que aqui será considerado o valor de face. Vamos, então, encontrar qual é esse valor 
atual ou valor presente VP será o valor que ele pagará ao proprietário do título.
Novamente por regra de três vamos encontrar o valor de n o prazo de 114 dias em um ano. Bem, 
aqui podemos considerar o ano de 365 dias, que não é o ano comercial que veremos mais tarde. 
 
Depois aplicamos a fórmula de VP: 
�� = ��� � �� � =
�� ���
� � �� �� � �� ���� =
�� ���
�� ���� = ���� ���� �� 
 Em conclusão, o título será vendido no dia 12 de agosto por um valor de R$ 2.499,49 com 114 
dias de antecipação de sua data de vencimento. 
Juro comercial ou ordinário
a seguir, vamos entender como são feitos os cálculos dos juros comerciais ou ordinários.
Equação do juro comercial 
Na equação do juro comercial, considera-se que todos os meses têm 30 dias. E que as aplicações 
financeiras são feitas com resgate antecipado e, portanto, deve-se considerar uma conversão do 
prazo de aplicação ou de resgate no mesmo período que a taxa de juro que usualmente é expresso 
em anos. Como o resgate é efetuado com antecipação, data menor que a data de vencimento, o 
período de aplicação real passa a ser uma fração de tempo, ou seja, uma fração de ano. 
33
JuRO EXATO E JuRO COMERCIAL Ou ORdINÁRIO • AulA 3
Dessa forma, temos a seguinte equação de juro comercial:
= 
 Equivalência de capitais de regime de juros simples 
Suponha que um capital C0 seja aplicado por n períodos a uma taxa i ao período. Logo, o montante 
ao final de n períodos é dado por: 
. 
E representado no esquema mostrado na figura 20 a seguir: 
Figura 20. Esquema de equivalência de capitais
 
Período da taxa i 
�� � ��. �� � �. ��
n 
C0 
0 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Podemos dizer, se a taxa corrente de mercado é i ao período, que nós somos indiferentes 
de dispor de C0 de reais agora ou Cn reais daqui a n períodos. Logo, essas quantias são ditas 
equivalentes. 
Generalizando, diversas quantias Q1, Q2, Q3,...........Qj, pagáveis, respectivamente, nas datas n1, 
n2, n3, .............., nj são ditas equivalentes, em determinada data, chamada de data focal, se essas 
quantias, levadas a uma mesma taxa de juros i para a data focal, produzem todas a mesma 
quantia em reais. 
Para uma mesma taxa i e para um mesmo número de dias (n) de aplicação, jComercial > jExato 
mostrado a seguir:
= > 
Na prática, é recomendado trabalhar sempre com o juro comercial ou ordinário para facilitar 
o emprego da fórmula de juro comercial, principalmente antes do advento das modernas 
calculadoras, costumava-se tabelar i chamado divisor fixo ∆, é o quociente de 360/i e também o 
inverso de ∆, denominado multiplicador fixo, m, visando-se, assim, facilitar o uso de máquinas 
de calcular com apenas quatro operações. 
34
AulA 3 • JuRO EXATO E JuRO COMERCIAL Ou ORdINÁRIO
Como isso acontece no mercado?
Para entender como são feitos os cálculos do juro comercial ou ordinário, de valor nominal e de 
valor atual ou presente, vamos, a seguir, considerar os mesmos dois exemplos anteriores e usar 
o princípio de 360 dias ao ano e refazer todos os cálculos. 
Exemplo 1: Cálculo de juro comercial 
joão, um estudante do último período do curso de administração das faculdades São josé, 
está com dificuldade financeira para quitar sua dívida com a faculdade e renovar sua matrícula 
no início do semestre 2016. 1. Ele, então, decidiu tomarum empréstimo com o gerente do seu 
banco e contratou um CDC no valor de R$ 4.000,00 no dia 5/01/2016, à taxa de juros simples 
de 15% a.a., que deve ser pago em um ano, isto é, em 5/1/2017. Porém, antes do final do ano, 
joão foi promovido no trabalho e decidiu saldar sua dívida com o banco no dia 15/8/2016, 
antes do encerramento do contrato do CDC. Qual juro comercial o joão pagou pelo contrato 
de CDC ao Banco?
Resolução:
De novo com sua calculadora financeira, vamos calcular o número de dias que decorreram de 
5.1.206 ao dia 15.8.2016, data em que ele saldou a dívida com o banco. Dessa vez, por se tratar de 
ano comercial, existe uma pequena diferença nos cálculos, portanto precisaremos digitar mais 
algumas teclas da calculadora financeira para convertemos os dias de ano civil de 365 dias em 
dias de ano comercial de 360 dias. 
abra o aplicativo HP12C no seu smartphone e, em seguida, digite [g][4] para colocá-lo no modo 
de DDmmYYYY e evitar, assim, que ele mostre erros de cálculo. 
Lembre-se de que uma data sempre deve ser digitada com os dois primeiros dígitos (relativos ao 
dia no sistema brasileiro) separados por [.] dos demais (relativos ao mês e ano ou ao dia e ano, 
respectivamente). 
Então, vamos calcular quantos dias decorreram entre as datas de 5 de janeiro de 2016 e 15 de 
agosto de 2016? Para isto digite em seguida: 
[0][5][.][0][1][2][0][1][6][ENTER] [1][5][.][0][8][2][0][1][6][g][EEX] 223,00
Então n = 223 dias. É importante salientar que a calculadora apresentará o número de dias 
considerando um calendário do ano civil de 365 dias (gregoriano). 
mas por se tratar de juro comercial precisamos fazer uma conversão, pois o ano comercial 
considera apenas 360 dias enquanto os 223 dias encontrados são considerados no ano gregoriano. 
Portanto, digite, em seguida, [X ≥ Y] e encontrará o resultado de 220 dias. 
35
JuRO EXATO E JuRO COMERCIAL Ou ORdINÁRIO • AulA 3
agora, vamos proceder ao cálculo do juro comercial com n = 220 dias com base em 360 dias ao 
ano. usando nossa fórmula do juro comercial:
J =
C . i. n
360
=
4.000 × 0,15 × 220
360
= R$ 366,67 
 
Concluímos, então, que joão pagou R$ 366,67 de juros pelo empréstimo com o banco. o valor 
total pago foi R$ 4.366,67. 
observe que joão pagou ao banco um juro exato no valor de R$ 4.366,58 e um valor de R$ 4.366,67 
de juro comercial, uma diferença de R$ 0,09 que o banco considere relevante. 
Exemplo 2: Cálculo de valor nominal com base no ano comercial de 360 dias 
uma nota promissória (promessa de pagamento assinada por quem contrai uma dívida) datada 
de 4 de abril de 2016, com valor de face (valor da dívida na data em que está foi contraída – data 
de emissão da nota) de R$ 2.400,00 devendo ser resgatada oito meses após sua data de emissão 
com juros de 15% ao ano sobre o valor de face (diz-se que a nota tem termo de oito meses a juros 
simples de 15% a.a.), é vendida a certa pessoa, para quem o dinheiro vale 18% a.a. no dia 12 de 
agosto de 2016. Quanto deve essa pessoa pagar pela posse da nota promissória? 
Resolução 
objetivando uma melhor visualização do problema, consideremos o esquema apresentado na 
figura 21 com modificações da anterior a seguir: 
Figura 21. Linha de Tempo
 
Tempo 
FV 
VP
04
.1
2.
20
16
 
12
.0
8.
20
16
 
04
.0
4.
20
16
 
2.400 
8 meses – 15% a.a.
112 dias – 18% a.a.
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Vamos proceder da mesma forma na conversão do período entre 12 de agosto a 4 de dezembro 
de 2016 na base do ano comercial com 360 dias, portanto, proceda da mesma forma que o cálculo 
anterior e, no final, digite [X ≥ Y], e o resultado será 112 dias. 
Então, vamos, aqui, calcular o valor nominal da nota promissória; antes de mais nada, precisa, 
por regra de três, calcular o prazo de investimento equivalente a 8 meses:
36
AulA 3 • JuRO EXATO E JuRO COMERCIAL Ou ORdINÁRIO
12 meses 1 ano 
8 meses x ano
8 × 1
12
=
2
3
 ano ↔ n = 
2
3
 ano 
 Logo: 
FV = VP. 1 + i. n = 2.400 × 1 + 0,15 ×
2
3
= R$, 2.640,00 
 
a quantia a ser paga pela nota é seu valor atual no dia 12 de agosto, valor esse calculado a partir 
do valor nominal da nota, considerando-se a taxa de juros acertada entre as partes interessadas 
(no caso, 18% a.a.). os 112 dias de antecipação são calculados da mesma forma que no exemplo 
1 pela calculadora HP12C digitando no final [X ≥ Y]. 
Dessa forma, convido-o novamente a abrir seu aplicativo de HP12C e digitar logo [g][4]; em 
seguida, digite na sequência os seguintes: 
[f ][CLX] para zerar a memória da calculadora e depois digite:
[1][2][.][0][8][2][0][1][6][ENTER] [0][4][.][1][2][2][0][1][6] [g][EEX] [X ≥ Y] 112,00 dias 
agora é considerar que o comprador do título estivesse investindo um valor atual VP por um 
prazo de 112 dias que lhe renderia taxa de 18% a.a. a juros simples, um montante igual ao valor 
nominal que aqui será considerado o valor de face. Vamos, então, encontrar qual é esse valor 
atual ou valor presente VP será o valor que ele pagará ao proprietário do título.
Novamente por regra de três vamos encontrar o valor de n o prazo de 112 dias em ano. Bem, 
aqui, podemos considerar o ano de 360 dias que não é o ano comercial, que veremos mais tarde. 
365 dias 1 ano 
114 dias x ano
112 × 1
360
= 0,3111 ano ↔ n = 0,3111 ano 
Depois aplicamos a fórmula de VP: 
VP =
FV
1 + i. n
=
2.640
1 + 0,18 × 0,3111
=
2.640
1,0560
= R$ 2.500,00 
 Em conclusão, o título será vendido no dia 12 de agosto de 2016 por um valor de 2.500,00 com 112 
dias de antecipação de sua data de vencimento. observe aqui que ao considerar o ano comercial 
de 360 dias, o valor pago pelo título é maior que no caso anterior em que consideramos o ano 
civil de 365 dias. 
Sintetizando
 » Como a nota promissória nada mais é do que uma promessa de pagamento, deve ser caracterizada pelo valor desse 
pagamento, ou seja, pelo seu valor nominal. Por esse motivo, quando consideramos transações com notas promissórias ou 
com outros papéis similares, a primeira coisa a ser feita é a determinação dos respectivos valores nominais. 
 » a juros simples, capitais equivalentes em determinada época não o serão em outra data. Esse fato decorre da não 
cindibilidade (do prazo) característica do regime de juros simples.
37
JuRO EXATO E JuRO COMERCIAL Ou ORdINÁRIO • AulA 3
 » Valor Nominal (fV) é o montante do resgate na data do vencimento de um título chamado ainda de valor futuro. 
 » Valor Atual é o valor presente (VP) é o montante que, aplicado a juros simples, daria um montante equivalente ao valor 
nominal na data de vencimento. 
 » Valor de face é o valor nominal da nota promissória que é o valor desta na data de resgate para o prazo e a taxa estipulados 
na nota. 
 » Juro exato é o juro correspondente ao período de resgate de título inferior à sua data de vencimento, ou seja, o juro de um 
título com resgate antecipado, portanto, deverá converter o prazo ao período da taxa de juro nominal. 
38
Apresentação
Você, sem dúvida, já ouviu falar sobre juros compostos. mas será que você sabe o que é o regime 
de capitalização de juros compostos? Será que você sabe distinguir quando se considera os 
rendimentos de uma aplicação no regime de capitalização de juros compostos? Essas e várias 
outras perguntas que responderemos a seguir nesta quarta aula de matemática financeira. 
Esta quarta aula apresenta os conceitos de regime de capitalização de juros compostos. Por meio 
de conceitos e exemplos numéricos, mostra como se comporta o valor de uma aplicação ao 
longo do tempo no regime de capitalização de juros compostos. 
Contrariamente ao regime de capitalização de juros simples, no regime de capitalização 
descontínua de juros compostos, os juros devidos a cada período são somados ao capital 
para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Nesse caso, os juros são capitalizados e, 
consequentemente, rendem outros juros. assim, os juros de cada período são calculados sobre 
o saldo existente no início do respectivo período, e não apenas sobre o capitalinicial ou o valor 
principal aplicado. 
Objetivos 
 » Entender as características do regime de juros compostos.
 » Dominar os métodos e relações de capitalização em regime de juros compostos.
 » Dominar os métodos de período fracionário e crescimento exponencial de juros 
compostos.
 » Dominar os métodos de cálculo de valor nominal e valor atual em regime de juros 
compostos.
 » Entender o efeito do imposto de renda em uma aplicação no regime de juros compostos.
4
AulA
REgIME dE CAPITALIzAçãO dE 
JuROS COMPOSTOS
39
REgIME dE CAPITALIzAçãO dE JuROS COMPOSTOS • AulA 4
Características do regime de juros compostos
anote algumas das características do regime de capitalização de juros compostos:
 » os juros são definidos como a diferença entre o valor aplicado e o valor recebido no 
final de uma aplicação.
 » os juros de cada período são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos 
períodos seguintes.
 » os juros são capitalizados e, consequentemente, rendem juros.
 » os juros de cada período são calculados sobre o saldo existente no início do respectivo 
período, e não apenas sobre o capital inicial aplicado.
Figura 22. Características do regime de capitalização de juros compostos
 
Juros de 
cada período 
são somados 
ao capital 
inicial 
Regime de capitalização 
descontínua 
os juros 
rendem 
juros 
juro é a diferença entre o 
capital recebido no final 
de uma aplicação e o 
capital inicial 
os juros são 
capitalizados 
a cobrança de juros sobre 
juros é denominada 
anatocismo e tem sido 
controvérsia judiciária no 
Tribunal de Justica do Rio 
de Janeiro. 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Contrariamente ao regime de juros simples, em que só o capital inicial rende juros, no regime de 
juros compostos, temos juros devido ao principal (capital inicial), como, também, juros devidos 
aos juros formados nos períodos anteriores, donde o nome de juros compostos. 
Como isso acontece no mercado? 
Para ilustrarmos os juros compostos, vamos considerar o seguinte exemplo:
Considere que você recebeu o seu fGTS e decidiu investir todo o valor de R$ 5.000,00 que lhe 
resta após pagar algumas dívidas em um título a uma taxa de juros compostos de 12% ao ano. 
40
AulA 4 • REgIME dE CAPITALIzAçãO dE JuROS COMPOSTOS
Vamos mostrar na tabela a seguir a evolução dos valores dos juros e dos montantes finais em 
cada período nos próximos 10 anos, para que você tenha ideia de como são calculadas nossas 
dívidas com as instituições financeiras. 
Tabela 1. Evolução do montante de uma aplicação de um título de R$ 5.000,00 
Período Juros Montante da dívida no período (R$)
0 5.000,00
1 5.000 x 0,12 = 600 5.000 + 600 = 5.600
2 5.600 x 0,12 = 672 5.600 + 672 = 6.272
3 6.272 x 0,12 = 752,64 6.272 + 752,64 = 7.024,64
4 7.024,64 x 0,12 = 842,96 7.024,64 + 842,96 = 7.867,60
5 7.867,60 x 0,12 = 944,11 7.867,60 + 944,11 = 8.811,71
6 8.811,71 x 0,12 = 1.057,41 8.811,71+1057,41 = 9.869,12
7 9.869,12 x 0,12 = 1.184,29 9.869,12 + 1.184,29 = 11.053,41
8 11.053,41 x 0,12 = 1.326,41 11.053,41 + 1.326,41 = 12.379,82
9 12.379,82 x 0,12 = 1.485,58 12.379,82 + 1.485,58 = 13.865,40
10 13.865,40 x 0,12 = 1.663,85 13.865,40 + 1.663,85 = 15.529,25
Fonte: Elaborada pelo autor. 
assim como você pode observar, no final de 10 anos sua aplicação terá um resgate de R$ 15.529,25 
à taxa de juros compostos de 12% ao ano. Então é uma excelente aplicação. Com certeza, essa 
aplicação teria rendido mesmo, se considerarmos as mesmas taxas de juros no regime de juros 
simples para o mesmo período de 10 anos. isso daria apenas R$ 11.000,00 no regime de juros simples. 
Métodos e Relações de Capitalização em Regime de 
Juros Compostos
Existem métodos e relações para os cálculos dos juros de títulos de aplicações no regime de juros 
compostos que precisamos aprender a dominar e entender para que possamos analisar melhor as 
aplicações ou investimentos com rendimentos nessa modalidade de regime de juros compostos. 
Métodos de cálculo dos juros em regime de 
capitalização compostas 
No mercado financeiro, na prática, o juro só é formado no fim de cada período de tempo a que 
se refere a taxa de juros considerada. 
a juros compostos, os juros de cada período são sempre calculados sobre o saldo existente no 
início do respectivo período, havendo incidência de juros sobre juros. 
41
REgIME dE CAPITALIzAçãO dE JuROS COMPOSTOS • AulA 4
Para demonstrar isso consideremos uma aplicação de capital inicial C0, suposto pagável em 
determinada data de origem que chamamos de período zero, colocado a render juros compostos 
a determinada taxa unitária i que é referente a certo período de tempo.
No fim de um período a que se refere a taxa, ou seja, no período um, teremos juros devidos 
somente a esse principal (capital inicial), juros esses representados por j1. assim, podemos usar 
a fórmula do juro composto como a seguir: 
Figura 23. Fórmulas de capitalização de juros compostos.
 
��=���. � � � � � �
J� � C�- C� = C�. � � � � - C�
J� � �C�. � � � � � �
�� � ���. � � � �
�� ��
��
� � � �
� � C�C�
�
�
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Essas são as fórmulas ou métodos de cálculo de juros e montantes em regime de juro composto, 
também chamada de fórmula fundamental do juro composto, para um número inteiro de períodos. 
No mercado financeiro, na prática, o juro só é formado no fim de cada período de tempo a que 
se refere a taxa de juros considerada. 
a juros compostos, os juros de cada período são sempre calculados sobre o saldo existente no 
início do respectivo período, havendo incidência de juros sobre juros. 
Para demonstrar isso, consideremos uma aplicação de capital inicial C0, suposto pagável em 
determinada data de origem que chamamos de período zero, colocado a render juros compostos 
a determinada taxa unitária i, que é referente a certo período de tempo.
No fim de um período a que se refere a taxa, ou seja, no período um, teremos juros devidos 
somente a esse principal (capital inicial), juros esses que representaremos por j1. assim, podemos 
usar a fórmula do juro composto como a seguir: 
42
AulA 4 • REgIME dE CAPITALIzAçãO dE JuROS COMPOSTOS
Figura 24. Fórmulas de capitalização de juros compostos.
 
��=���. � � � � � �
J� � C�- C� = C�. � � � � - C�
J� � �C�. � � � � � �
�� � ���. � � � �
�� ��
��
� � � �
� � C�C�
�
�
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Essas são as fórmulas ou métodos de cálculo de juros e montantes em regime de juro composto, 
também chamada de fórmula fundamental do juro composto, para um número inteiro 
de períodos. 
Na fórmula dos juros ou montantes o fator (1 + i)n é denominada fator de capitalização ou fator 
de acumulação de capital. 
a única dificuldade que existe no cálculo do montante em regime de juro composto é a 
determinação do valor de capitalização (1 + i)n. Se dispusermos de uma calculadora financeira 
HP12C, o cálculo se torna fácil ou usamos planilhas eletrônicas que nos oferecem diversos valores 
de taxa i e do prazo n. Existe, entretanto, uma tabela chamada de tabela financeira disponível 
quando for o caso. mas recomendamos o uso da calculadora financeira HP12C para esse tipo 
de cálculo. 
Como isso acontece no mercado? 
Para ilustrar as relações ou métodos de cálculo dos juros ou montante de aplicações em regime 
de capitalização de juros compostos consideremos a seguir: 
Exemplo 1 
uma aplicação de um capital de R$ 5.000,00 aplicado em regime de juros compostos a 7,5% 
ao mês durante 24 meses. Determine o montante de resgate e o valor dos juros durante os 
oito meses. 
43
REgIME dE CAPITALIzAçãO dE JuROS COMPOSTOS • AulA 4
Resolução: 
algumas definições importantes antes de começar:
 
 Vamos fazer uma representação gráfica da linha de tempo dessa aplicação. isso a você permite 
visualizar o enunciado e recomendamos que faça isso sempre.
Figura 25. Fluxo de caixa 
 
 
 
 
 
 
n = 24
FV =?
0 
PV = R$ 5.000,00 
i = 7,5% a.m.
Tempo 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Sendo assim, aplicando a fórmula vista anteriormente,encontramos 
C� = C��1 + ��� = 5.000. �1 + 0,075��� = �����.���,�7 
�� = C�. ��1 + ��� − 1� = 5.000 × ��1 + 0,075��� − 1� = ������.���,�7���� 
Em conclusão, no final de 24 meses, você terá um resgate de R$ 28.364,37, aplicando R$ 5.000,00 
e tendo um juro de R$ 23.364,37.
Como você pode fazer esse cálculo no HP12C?
Figura 26.
Fonte: https://epxx.co/ctb/hp12c.html .
44
AulA 4 • REgIME dE CAPITALIzAçãO dE JuROS COMPOSTOS
Então, ligue seu Smartphone e abra o aplicativo HP12C, digite logo [f][CLx] para zerar a memória. 
observe bem que no HP12C, você deverá tomar alguns cuidados básicos na hora de registrar os 
dados do enunciado, portanto, sempre o valor presente é considerado um desembolso; por esse 
motivo, ele deverá ser registrado negativamente. 
agora preste atenção nas operações para ver se o valor de resgate deve proceder da seguinte forma: 
[2][4][n][7][.][5][i][5][0][0][0][CHS][PV][fV] e o visor indica 28.364,37, o que achamos usando 
os cálculos. 
Para identificarmos os juros, devemos proceder da seguinte forma usando a fórmula definida nas 
relações Jn = Cn - C0 para tanto, como ainda está com o resultado no seu visor, digite os seguintes 
para encontrar o valor do juro: [5][0][0][0][-], assim terá no seu visor o seguinte valor R$ 23.364,37. 
Vamos usar o caso em que precisamos calcular o valor do juro. 
Exemplo 2 
Qual é a taxa de juro de um capital de R$ 2.000,00 que, aplicado por 24 meses, capitaliza R$ 
8.400,00 no resgate? 
Resolução: 
Primeiro, vamos representar o fluxo de caixa representado na figura 27 para entender melhor 
o enunciado. Saiba que a seta será sempre para baixo por representar o valor desembolsado. 
Figura 27. Fluxo de caixa
 
n = 24
FV = 8.400,00
0 
PV = R$ 2.000,00
i = ? 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Com base nas informações do enunciado podemos proceder da seguinte maneira no HP12C. 
Novamente ligue seu aplicativo no smartphone e digite logo [f ][CLx] para zerar a memória. Em 
seguida, digite:
[2][4][n][2][0][0][0][CHS][PV][8][4][0][0][fV][i] e aparece no visor o resultado 6,1619, ou seja, 
6,16% a.m., assim será necessária uma taxa de 6,16% a.m. para aplicação de R$ 2.000,00 em juros 
compostos para um resgate de R$ 8.400,00 após 24 meses. 
45
REgIME dE CAPITALIzAçãO dE JuROS COMPOSTOS • AulA 4
Métodos de Período Fracionário e Convenções Adicionais 
de Juros Compostos 
No regime de juros compostos, os juros de cada período são somados ao capital para o cálculo 
de novos juros nos períodos seguintes. os juros são capitalizados e, consequentemente, rendem 
juros. assim, os juros de cada período são calculados sobre o saldo existente. 
mas existem casos em que o número de período n não é um número inteiro a que se refere a taxa de 
juros compostos considerada como, por exemplo, uma aplicação de período de quatro anos e seis 
meses. Nesse caso, como devemos solucionar o problema? uma vez que a fórmula convencional dos 
juros compostos não seria mais possível usar. Nesse caso, consideramos que o período de quatro 
anos e seis meses é quatro anos e ½ ano pode ser decompostos da seguinte maneira: m = 4 + ½.
isso que veremos a seguir no caso de montante para períodos não inteiros que só pode ser 
calculado mediante convenções adicionais. 
Montante para períodos não inteiros 
Pode ocorrer que o número de períodos financeiros não seja um número inteiro. Nesse caso, a 
fórmula fundamental não tem sentido, pois, ao determiná-la, supusemos que os juros fossem 
formados apenas no fim de cada período de capitalização. 
Desse modo, a obtenção do montante para períodos não inteiros só pode ser feita mediante 
convenções adicionais. 
Existem, nesse caso, dois tipos de convenções adicionais identificados na figura a seguir: 
 » convenção linear e; 
 » convenção exponencial. 
Figura 27. Convenções adicionais
 
CONVENÇÕES 
ADICIONAIS 
Convenção 
Linear 
Convenção 
Exponencial 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
46
AulA 4 • REgIME dE CAPITALIzAçãO dE JuROS COMPOSTOS
Vamos, a seguir, analisar cada uma das situações convencionais.
Convenção linear
No caso da convenção linear, admitimos que a formação dos juros ao longo de um período 
obedeça à uma função linear. os juros do período não inteiro são calculados por interpolação 
linear. Portanto, por um capital C0 aplicado a uma taxa i durante um prazo de aplicação � � � �	
p
q	 
do período a que se refere a taxa, onde n é um número inteiro do período de capitalização e p
q	�p < q�		 uma fração própria desse período, teremos a seguinte fórmula do juro composto na 
convenção linear.
J = C 1 + i e = C 1 + i 
 Essas são as relações entre o juro e o montante, no caso de período não inteiro na convenção 
linear considerando que 
p
q
 
Figura 28. Fórmula de juros e montante compostos em convenção linear
 
� � � � ��
com�� � �
��= ��. � � � �. � � � �� � �
��=��. � � � �. � � � ��
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Convenção exponencial 
a convenção exponencial é considerada a mais lógica, pois faz uso do conceito de taxas 
equivalentes. Na convenção exponencial, os juros do período não inteiro são calculados 
utilizando-se a taxa equivalente. 
Considere na convenção exponencial um capital C0 colocado à taxa i de juros compostos durante 
um prazo 
p
q
 com p < q rende juros normalmente, durante os n primeiros períodos, 
ou seja, rende juros à taxa i e, a seguir, esses juros são incorporados ao capital, passando esse 
montante a render juros à taxa relativa à fração p
q
 do período a que se refere a taxa i, e que seja 
equivalente à taxa i até o fim do prazo m. 
47
REgIME dE CAPITALIzAçãO dE JuROS COMPOSTOS • AulA 4
Por dedução chegamos, então, à seguinte fórmula mostrada na figura 28 a seguir.
Figura 29. Fórmula do juro e do montante compostos em convenção exponencial
 
� � � � ��
com�� � �
��= ��. � � � ����
�
� �� �
��=��. � � � ����
�
�
Fonte: Elaborada pelo autor.
Na convenção linear os juros do período não inteiro são calculados por interpolação linear. E aqui 
seguem alguns exemplos de interpolação linear em que apenas transformaremos os períodos 
não inteiros nas seguintes relações 
p
q
 com p < q.
Tabela 2. Transformação do período não inteiro em fração
m (anos e meses) n (anos) p q (anos) 
 m = 4 + 
 m = 8 + 
 m = 4 + 
 m = 5 + 
 m = 9 + 
 
m = n + pq
4 anos 3 meses 4 1 4
 (anos) 
 m = 4 + 
 m = 8 + 
 m = 4 + 
 m = 5 + 
 m = 9 + 
 
m = n + pq
8 anos e 4 meses 8 1 3
 (anos) 
 m = 4 + 
 m = 8 + 
 m = 4 + 
 m = 5 + 
 m = 9 + 
 
m = n + pq
4 anos e 2 meses 4 1 6
 (anos) 
 m = 4 + 
 m = 8 + 
 m = 4 + 
 m = 5 + 
 m = 9 + 
 
m = n + pq
5 anos e 8 meses 5 2 3
 (anos) 
 m = 4 + 
 m = 8 + 
 m = 4 + 
 m = 5 + 
 m = 9 + 
 
m = n + pq
10 anos e 9 meses 10 3 4
 (anos) 
 m = 4 + 
 m = 8 + 
 m = 4 + 
 m = 5 + 
 m = 9 + 
 
m = n + pq
Fonte: Elaborada pelo autor
Repare na Tabela 2 que 8 meses representam 2/3 de um ano e para encontrar os valores de 
p e q devemos proceder pela regra de três transformando os meses em frações de ano como 
apresentamos a seguir: 
1 ano ↔ 12 meses 
x ano ↔ 8 meses 
8
12
2
3
 
 
48
AulA 4 • REgIME dE CAPITALIzAçãO dE JuROS COMPOSTOS
Sendo assim, deverá sempre deixar o valor de x em forma de fração, portanto no caso de 5 anos e 
8 meses teremos n = 5, p = 2 e q = 3 sendo m = 5 + 
2
3 como consta na penúltima linha da Tabela 2. 
Como isso acontece no mercado?
Para entender melhor como funciona as duas modalidades de convenções adicionais, vamos 
ilustrar dois exemplos para cada tipo de convenção e mostrar como são feitos os cálculos:
Exemplo 1: Convenção linear 
Quais serão os juros devidos e o montante acumulado no final de uma capitalização a juros 
compostos por 8 anos e 8 meses de uma aplicação inicial de R$ 2.700,00 à taxa de 9,75% a.a. 
utilizando a convenção linear na parte de fração de prazo?
Resolução:
Para proceder, vamos primeiro construir o fluxo de caixa dessa aplicação com 
base no enunciado:
Figura30. Fluxo de caixa
 
m = 8 anos e 8 meses 
FV =2.700,00 
0 
PV = R$ 2.700,00 
i = 9,75% a.a.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Segundo as fórmulas mostradas na figura 30 temos:
J = C 1 + i e = C 1 + i 
 
Com base no enunciado, teremos: 
�
��
�
��
�C0 = R$	2.700i = 9,75% a.a.
m = 8+ 2
3
p = 2
q =3
n = 8
↔ 
J� � 2�700 ��1 + 0,0975�� �1 + 0,0975�
2
3� � 1	� � ��	3�352,71		 
�� � 2�700 ��1 + 0,0975�� �1 + 0,0975�
2
3�	� � ��	��052,71 
 
49
REgIME dE CAPITALIzAçãO dE JuROS COMPOSTOS • AulA 4
�
��
�
��
�C0 = R$	2.700i = 9,75% a.a.
m = 8+ 2
3
p = 2
q =3
n = 8
↔ 
J� � 2�700 ��1 + 0,0975�� �1 + 0,0975�
2
3� � 1	� � ��	3�352,71		 
�� � 2�700 ��1 + 0,0975�� �1 + 0,0975�
2
3�	� � ��	��052,71 
 
Em conclusão, serão pagos juros de R$ 3.352,71 e acumulado um montante de R$ 6.052,71 por 
um capital de R$ 2.700 aplicado em 8 anos e 8 meses à taxa de juros compostos de 9,75% a.a. 
Como isso é feito no HP12C?
Figura 31.
Fonte: https://epxx.co/ctb/hp12c.html .
o HP12C procede normalmente ao cálculo de períodos fracionados de tempo. No entanto, é 
importante certo cuidado, pois o resultado dependerá de estar indicado ou não um “C” no canto 
inferior direito da sua tela.
Para cálculo de número de dias entre duas datas, basta digitá-las, seguidas da função de “diferença 
de dias”. 
Nesse caso, devemos considerar que n = 8,67 anos. Não iremos mais usar uma fração nesse caso, 
mas um número decimal. 
E, para começar, abra seu aplicativo HP12C e digite [f][CLx] para zerar a memória do seu aplicativo, 
em seguida digite sucessivamente para achar o montante: 
[8][.][6][7][n][9][.][7][5][i][2][7][0][0][CHS][PV][fV] 6.048,83
E para o juro digite ainda com o resultado do montante no seu visor, 
[2][7][0][0][-] 3.348,83 
observe que há uma pequena diferença entre os valores encontrados, isso devido às frações que 
consideramos no caso de n = 8,67. 
50
AulA 4 • REgIME dE CAPITALIzAçãO dE JuROS COMPOSTOS
Exemplo 2: Convenção exponencial 
No exemplo da convenção exponencial, vamos considerar o mesmo exemplo com os mesmos 
valores do enunciado, ou seja:
Quais serão os juros devidos e o montante acumulado no final de uma capitalização a juros 
compostos por 8 anos e 8 meses de uma aplicação inicial de R$ 2.700,00 à taxa de 9,75% a.a. 
utilizando a convenção linear na parte de fração de prazo?
Resolução: 
objetivando uma melhor visualização do enunciado, consideremos o esquema apresentado na 
figura 32 a seguir: 
Figura 32. Fluxo de caixa
 
m = 8 anos e 8 meses 
FV =2.700,00
0 
PV = R$ 2.700,00
i = 9,75% a.a.
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Considerando as fórmulas do juro e do montante da aplicação no caso da convenção exponencial 
dadas na figura 28 vista anteriormente: 
J = C . 1 + i 
C = C . 1 + i 
 
E ao considerar novamente a base de dados do enunciado, temos: 
�
��
�
��
�C0 = R$	2.700i = 9,75% a.a.
m = 8+
2
3
p = 2
q =3
n = 8
 
J 1 + 0,0975 
C = 2700 . 1 + 0,0975 = R$ 6.046,97 
 
51
REgIME dE CAPITALIzAçãO dE JuROS COMPOSTOS • AulA 4
Novamente, percebe-se que há apenas pequenas diferenças entre os valores achados na convenção 
linear dos da convenção exponencial. 
Sintetizando
Nesta aula aprendemos que: 
 » Para pequenos períodos de aplicação, fica evidenciado que uma aplicação de taxa considerada igual, nos dois regimes de 
juros simples e compostos, as diferenças do montante de juros não são muito grandes. 
 » No regime de juros simples só o capital inicial rende juros. 
 » os juros de cada período são calculados sobre o saldo existente no início do respectivo período, e não apenas sobre o 
capital inicial aplicado.
 » o cálculo de juros compostos, aqueles nos quais os juros de um período são somados ao principal, para o cálculo dos 
juros do período seguinte, popularmente conhecido como sistema de “juros sobre juros” é, de longe, o mais utilizado nos 
financiamentos em geral, tanto no sistema bancário como nas transações comerciais. 
 » o resultado na convenção linear conduz a juros maiores do que os obtidos pela convenção exponencial. 
 » Se formos fazer uso da HP12C, devemos estar atentos para verificar se ela está programada para fazer uso da convenção 
linear ou exponencial. Se a letra “C” não aparecer no visor, deverá digitar [STo][EEX] para alterar de uma convenção para 
outra, basta as teclas [STo][EEX], nessa ordem. 
 » Na HP12C, esse cálculo torna-se demasiado fácil, porque dentre outros aspectos, a calculadora possui um conjunto de 
registradores e teclas especiais para esse fim, denominado “setor financeiro”.
 » Dos quatro elementos presentes no cálculo de juros compostos (principal ou capital, taxa, prazo e montante – ou valor 
futuro), sempre que ao menos três forem fornecidos, a HP12C calculará o quarto elemento, seja ele qual for. 
 » No processo de cálculo pelo HP12C, não importa a ordem dos elementos, qualquer um pode ser digitado a qualquer 
tempo. Não há, igualmente, a necessidade de converter taxas ou prazos, desde que eles estejam em equivalência de tempo 
– taxa mês (a.m.), prazo em meses. 
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Apresentação 
Conceitos de valor nominal e de valor atual independem do regime de juros considerado; na 
verdade, o que varia com o regime de juros são as suas expressões. 
Para definirmos o conceito de valor atual necessitamos, antes, introduzir o conceito de valor 
nominal. Para tanto, consideraremos um empréstimo a ser saldado em determinada data posterior 
àquela em que nos supomos situar e cujo valor de resgate, na data de vencimento, fV. Na data 
em que nos situamos, dizemos que aquele valor fV é o valor nominal do empréstimo. 
Essa denominação valor nominal, é devida ao fato de que, por influência da taxa de juros, o 
valor do dinheiro varia com o tempo. ou seja, em qualquer data anterior à de vencimento do 
empréstimo, a quantia que o saldará será, para taxas positivas, inferior a fV.
a quantia que saldará a obrigação em data anterior à de seu vencimento, quantia essa chamada 
de valor atual, será o capital que para a taxa de juros compostos por VP, será o capital para a 
taxa de juros compostos especificada, taxa essa que, normalmente, é a corrente na data em que 
se calcula o valor atual, produza, na data original de vencimento, um montante igual ao valor 
nominal do empréstimo. 
Objetivos
No final desta aula você será capaz de:
 » Definir as expressões e as relações entre o valor nominal e o valor presente de uma 
aplicação em regime de juros compostos.
 » Entender a formulação da equação de valor nominal e valor presente de uma aplicação 
em regime de juros compostos.
 » Entender os efeitos do imposto de renda em uma aplicação de juros compostos. 
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AulA
MÉTOdOS dE CÁLCuLO dE VALOR 
NOMINAL E VALOR ATuAL EM REgIME 
dE JuROS COMPOSTOS
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MÉTOdOS dE CÁLCuLO dE VALOR NOMINAL E VALOR ATuAL EM REgIME dE JuROS COMPOSTOS • AulA 5
Expressão e relações entre os valores nominal e atual
Seguem as relações entre o valor nominal e o valor atual com base na fórmula fundamental de 
juros compostos.
Figura 33. Relação entre valor nominal e valor atual no regime de juros compostos
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Embora esteja implícito, convém frisar que as denominações valor atual e valor nominal 
dependem da data em que nos situamos. assim, na data original de vencimento, o valor atual 
se confunde com o valor nominal.
Como isso acontece no mercado?
Vamos ver aqui como isso acontece no mercado.
Considere que você deseja dispor de R$ 3.500,00 no fim de 6 meses e de R$ 4.200,00 no fim de 1,5 
ano. Que quantia você deverá depositar, na data de hoje em um estabelecimento bancário que 
pague a taxa de juros compostos de 3,5% a.m., de modo que possa fazer as retiradas indicadas, 
sem deixar saldo final?
Resolução:
o montante a ser depositado por você, m, será dada pela soma dos valores atuais dos valores 
nominais desejados na época 6 e época 18 meses, respectivamente. Com base na fórmulas 
fundamentais de juros compostos teremos a seguinte relação.
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AulA 5 • MÉTOdOS dE CÁLCuLO dE VALOR NOMINAL