calculo diferencial e integral iii - livro

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Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
1 
 
Cálculo Diferencial e 
Integral III 
Jonas da Conceição 
Luiz Gustavo Medeiros 
2ª
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Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
2 
DIREÇÃO SUPERIOR 
Chanceler Joaquim de Oliveira 
Reitora Marlene Salgado de Oliveira 
Presidente da Mantenedora Wellington Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor de Planejamento e Finanças Wellington Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor de Organização e Desenvolvimento Jefferson Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor Administrativo Wallace Salgado de Oliveira 
Pró-Reitora Acadêmica Jaina dos Santos Mello Ferreira 
Pró-Reitor de Extensão Manuel de Souza Esteves 
 
DEPARTAMENTO DE ENSINO A DISTÂNCIA 
Gerência Nacional do EAD Bruno Mello Ferreira 
Gestor Acadêmico Diogo Pereira da Silva 
 
FICHA TÉCNICA 
Direção Editorial: Diogo Pereira da Silva e Patrícia Figueiredo Pereira Salgado 
Texto: Jonas da Conceição Ricardo e Luiz Gustavo Medeiros 
Revisão Ortográfica: Rafael Dias de Carvalho Moraes 
Projeto Gráfico e Editoração: Antonia Machado, Eduardo Bordoni, Fabrício Ramos e Victor Narciso 
Supervisão de Materiais Instrucionais: Antonia Machado 
Ilustração: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
Capa: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
 
COORDENAÇÃO GERAL: 
Departamento de Ensino a Distância 
Rua Marechal Deodoro 217, Centro, Niterói, RJ, CEP 24020-420 www.universo.edu.br 
 
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universo – Campus Niterói. 
 
R488c Ricardo, Jonas da Conceição. 
Cálculo diferencial e integral III / Jonas da Conceição Ricardo 
e Luiz Gustavo Medeiro ; revisão Rafael Dias de Carvalho 
Moraes. – 2. ed. – Niterói, RJ: UNIVERSO: Departamento de 
Ensino à Distância, 2018. 
157 p. : il. 
 
 
1. Cálculo diferencial. 2. Cálculo integral. 3. Integrais. 4. 
Equações diferenciais. 5. Sequências (Matemática). 6. Séries 
(Matemática). 7. Matemática. 8. Ensino à distância. I. Medeiros, 
Luiz Gustavo. II. Moraes, Rafael Dias de Carvalho. III. Título. 
CDD 515.3 
 Bibliotecária responsável: Elizabeth Franco Martins CRB 7/4990 
Informamos que é de única e exclusiva responsabilidade do autor a originalidade desta obra, não se r esponsabilizando a ASOEC 
pelo conteúdo do texto formulado. 
© Departamento de Ensi no a Dist ância - Universidade Salgado de Oliveira. 
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida, arquivada ou transmitida de nenhuma forma 
ou por nenhum meio sem permissão expressa e por escrito da Associação Salgado de Oliveira de Educação e Cultura, mantenedora 
da Univer sidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO). 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
3 
 
 
Pa lavra da Reitora 
 
Acompanhando as necessidades de um mundo cada vez mais complexo, 
exigente e necessitado de aprendizagem contínua, a Universidade Salgado de 
Oliveira (UNIVERSO) apresenta a UNIVERSOEAD, que reúne os diferentes 
segmentos do ensino a distância na universidade. Nosso programa foi 
desenvolvido segundo as diretrizes do MEC e baseado em experiências do gênero 
bem-sucedidas mundialmente. 
São inúmeras as vantagens de se estudar a distância e somente por meio 
dessa modalidade de ensino são sanadas as dificuldades de tempo e espaço 
presentes nos dias de hoje. O aluno tem a possibilidade de administrar seu próprio 
tempo e gerenciar seu estudo de acordo com sua disponibilidade, tornando-se 
responsável pela própria aprendizagem. 
O ensino a distância complementa os estudos presenciais à medida que 
permite que alunos e professores, fisicamente distanciados, possam estar a todo o 
momento, ligados por ferramentas de interação presentes na Internet através de 
nossa plataforma. 
Além disso, nosso material didático foi desenvolvido por professores 
especializados nessa modalidade de ensino, em que a clareza e objetividade são 
fundamentais para a perfeita compreensão dos conteúdos. 
A UNIVERSO tem uma história de sucesso no que diz respeito à educação a 
distância. Nossa experiência nos remete ao final da década de 80, com o bem-
sucedido projeto Novo Saber. Hoje, oferece uma estrutura em constante processo 
de atualização, ampliando as possibilidades de acesso a cursos de atualização, 
graduação ou pós-graduação. 
Reafirmando seu compromisso com a excelência no ensino e compartilhando 
as novas tendências em educação, a UNIVERSO convida seu alunado a conhecer o 
programa e usufruir das vantagens que o estudar a distância proporciona. 
 
Seja bem-vindo à UNIVERSOEAD! 
Professora Marlene Salgado de Oliveira 
Reitora 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
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Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
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Sumário 
 
Apresentação da Disciplina............................................................................................. 07 
Plano da Disciplina ............................................................................................................ 09 
Unidade 1 – Integrais Múltiplas ..................................................................................... 11 
Unidade 2 – Integrais de Linha....................................................................................... 41 
Unidade 3 – Integrais de Superfície .............................................................................. 61 
Unidade 4 – Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) ............................................... 73 
Unidade 5 – Sequências................................................................................................... 107 
Unidade 6 – Séries ............................................................................................................. 121 
Considerações Finais ........................................................................................................ .147 
Conhecendo o Autor ........................................................................................................ 149 
Referências .......................................................................................................................... 151 
Anexos.................................................................................................................................. 153 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
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Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
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Apresentação da Disciplina 
 
Prezado aluno, 
Uma nova etapa se inicia e, com ela, vamos conquistar mais um pouco de 
novos aprendizados. 
Nesta disciplina, você terá a oportunidade de conhecer um pouco mais sobre 
Integrais Duplas e Triplas, Integrais de Linha, Integrais de Superfície, Equações 
diferenciais, Sucessões e Séries, que são uma parte importante do conteúdo 
matemático para a conclusão do seu curso. 
O sucesso do seu aprendizado dependerá da sua participação junto a sua 
comunidade virtual e do compromisso com você mesmo. Se em cada unidade você 
doar um pouco mais do seu tempo, com certeza terá um grau de excelência muito 
maior no final e a oportunidade de ter absorvido muito mais conhecimento. 
Essa disciplina foi elaborada com o objetivo de oferecer material suficiente 
para que possa ter base e seguir o seu caminho, agregando valor ao conhecimento 
que você já adquiriu até aqui no seu curso e conduzi-lo a um pensamento 
matemático elevado. 
 
Um mundo lá fora te espera e precisa do seu conhecimento! 
Sucesso! 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
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Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
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Plano da Disciplina 
 
A disciplina de Cálculo Diferencial e Integral III fundamenta-se no estudo de 
integrais múltiplas, de linha e de superfície, equações diferenciais, sucessões e 
séries, com esses estudos, procuramosdar um maior embasamento teórico aos 
alunos do curso de matemática e engenharias. 
O conteúdo desta disciplina está dividido, para efeito didático e estrutural, em 
seis unidades de estudo que abordarão desde o conceito das integrais múltiplas, 
de linha e superfície, EDO, sucessões e séries. 
 
Seguiremos com a apresentação de cada unidade: 
 
Unidade 1: Integrais Múltiplas 
Nesta unidade, vamos introduzir o estudo das integrais duplas e triplas de 
funções de duas e três variáveis. 
Objetivos: Aprender a calcular integrais duplas e triplas , calcular área e volume 
através de integrais duplas, calcular a massa e centro de massa de sólidos 3D. 
 
Unidade 2: Integrais de Linha 
Nesta unidade, vamos introduzir o estudo das integrais de linha de campo 
escalar e de campo vetorial, além do Teorema de Stokes. 
Objetivos: Calcular integrais de linha sobre curvas planas e espaciais Resolver 
problemas através do Teorema de Green. 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
10 
 
Unidade 3: Integrais de Superfície 
Nesta unidade, vamos introduzir o estudo das integrais de superfície de 
campo escalar e vetorial. O teorema de Stokes e de Gauss serão apresentados. 
Objetivos: Calcular integrais de superfície; calcular o fluxo de campos vetoriais 
sobre superfícies. 
 
Unidade 4: Equações Diferenciais Ordinárias 
Nesta quarta unidade, iremos fazer um estudo sobre os tipos de soluções de 
uma equação diferencial, sua representação e suas soluções particulares. 
Objetivo: Reconhecer e solução uma equação diferencial ordinária. 
 
Unidade 5: Sequências 
Nesta unidade, iremos abordar o conceito de sucessões, limites de sucessões é 
critério de convergências; 
 
Objetivos: Reconhecer uma sucessão, verificar se há limites nessa sucessão e 
verificar os critérios de convergências. 
 
Unidade 6: Séries 
Nesta unidade, iremos estudar os tipos de séries, convergência de séries e os 
testes necessário para saber se uma série é convergente ou divergente. 
Objetivos: Verificar através de testes quando uma série é convergente e 
divergente em cada tipo de série apresentada. 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
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Integrais Múltiplas 1 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
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Nesta unidade, vamos introduzir o estudo das integrais duplas e triplas de 
funções de duas e três variáveis. Serão estudados vários tipos de sistemas 
coordenados para facilitar a resolução dos problemas e suas aplicações físicas. 
 
Objetivo da Unidade: 
 Aprender a calcular integrais duplas e triplas; 
 Calcular área e volume através de integrais duplas; 
 Calcular a massa e centro de massa de sólidos 3D. 
 
Plano da Unidade: 
 Integral Dupla 
 Integrais Duplas em Regiões Gerais 
 Área por Integral Dupla 
 Integrais Duplas em Coordenadas Polares 
 Aplicações na Física 
 Integrais Triplas 
 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas 
 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas 
 Aplicações da Integrais Triplas 
 
Bons Estudos! 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
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Nos cursos anteriores de Cálculo, você estudou sobre as integrais indefinidas e 
definidas de funções de uma variável. No curso de Calculo III , iremos abordar a 
resolução de integrais para funções de duas ou mais variáveis. 
 
Integral Dupla 
 
Vamos considerar uma função f de duas variáveis, cuja base no plano x, y é 
definida como um retângulo fechado R, tal que: 
R ൌ ሾa, bሿxሾc, dሿ ൌ ሼx, yሽ ∈ Թଶ|	a ൑ x ൑ b, c ൑ y ൑ dሽ 
A função f(x, y) é representada pelo gráfico de z ൌ fሺx, yሻ e seja S o sólido que 
está abaixo de f(x, y) e acima da região R, conforme mostrado na figura 1.1. 
Figura 1.1: Representação da região R e do sólido S 
 
Vamos subdividir o retângulo R em sub-retângulos R୧୨ (ver figura 1.2) com 
diferença de altura ∆y e ∆x e escolher pontos amostrais ሺx୧∗, y୧∗ሻ ∈ R୧୨ com a qual 
poderemos aproximar a área S como uma caixa retangular infinitesimal e calcular 
sua soma: 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
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S୬ ൌ ෍෍fሺx୧∗, y୧∗ሻ∆x∆y
୬
୧ୀଵ
୬
୨ୀଵ
ൌ ෍ fሺx୧∗, y୧∗ሻ∆A
୬
୧,୨ୀଵ
 
Essa soma é conhecida como Soma de Riemann de f e se lim୬→ஶ S୬ ൌ L 
existir, dizermos que f é integrável. O número L é dito a integral de f sobre um 
conjunto D ⊂ R, fechado e limitado. 
 
Figura 1.2: Subdivisão da região R 
 
Fonte: STEWART, 2009, p.905 
 
Assim a integral dupla de f sob o retângulo R é definida como: 
ඵ݂ሺݔ,ݕሻ݀ݔ݀ݕ
ோ
ൌ lim୬→ஶ෍෍fሺx୧
∗, y୧∗ሻ∆x∆y
୬
୧ୀଵ
୬
୨ୀଵ
 
Observe que a integral dupla representa o volume do sólido S, com o “teto” 
sendo a função z=f(x, y) e a base a região R, assim: 
VolሺSሻ ൌ ඵfሺx, yሻdxdy
ୖ
 
A seguir, listamos algumas propriedades úteis das integrais duplas: 
(i) ∬ ሾfሺx, yሻ ൅ gሺx, yሻሿdxdyୖ ൌ ∬ fሺx, yሻdxdyୖ ൅∬ gሺx,yሻdxdyୖ . 
(ii) ∬ k	fሺx, yሻdxdyୖ ൌ k	∬ 	fሺx, yሻdxdyୖ , onde k é uma constante. 
(iii) ܦ ൌ ܦଵ ∪ ܦଶ ⇒ ∬ ݂ሺݔ, ݕሻ݀ܣ஽ ൌ ∬ ݂ሺݔ,ݕሻ݀ܣ஽భ ൅ ∬ ݂ሺݔ,ݕሻ݀ܣ஽మ 	 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
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Integrais Iteradas 
Para calcularmos uma integral dupla, devemos utilizar um método prático 
para transformá-la em duas integrais iteradas, ou repetidas, unidimensionais, 
conhecido como Teorema de Fubini. 
 
 
 
 
 
 
 
A integral do lado direto é chamada de integral iterada, ou repetida, e significa 
que primeiro integramos em relação a y com limites de integração de c a d e 
depois em relação a x, com limites de integração de a até b. 
 
Exemplo: 
 
Calcule ∬ xyଶdxdyୖ , onde R ൌ ሾ0,1ሿ	x	ሾെ1,0ሿ 
 
ඵxyଶdxdy
ୖ
ൌ න න xyଶdydx
଴
ିଵ
ଵ
଴
 
 
Assim calculamos primeiro a integral de dentro em y, depois a integral 
de fora em x: 
 
න න xyଶdydx
଴
ିଵ
ଵ
଴
ൌ න x
ଵ
଴
ቈy
ଷ
3 ቉ିଵ
଴
ൌ 13න x
ଵ
଴
ሾ0 െ ሺെ1ሻሿdx ൌ 13න x
ଵ
଴
dx ൌ 
ൌ 13 ቈ
xଶ
2 ቉଴
ଵ
ൌ 13 .
1
2 ൌ
1
6∎ 
 
ඵfሺx, yሻdxdy
ୖ
ൌ න ቈන fሺx, yሻdy
ୢ
ୡ
	቉
ୠ
ୟ
dx ൌ න ቈන fሺx, yሻdx
ୠ
ୟ
	቉dy
ୢ
ୡ
 
Teorema de Fubini: Se f for contínua no retângulo R ൌ
ሾa, bሿxሾc, dሿ ൌ ሼx, yሽ ∈ Թଶ|	a ൑ x ൑ b, c ൑ y ൑ dሽ, então: 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
16 
 
Em geral, estamos interessados em calcular a área e o volume entre duas 
curvas representadas por funções gerais y ൌ gଵሺxሻ e y ൌ gଶሺxሻ. 
 
Integrais Duplas em Regiões Gerais 
 
Vamos definir dois tipos de região, sobre as quais queremos calcular o valor de 
uma integral dupla. Uma região do Tipo I (ver figura 1.3), ou simplesmente 
vertical, é tal que D é limitada à esquerda por uma reta vertical ܠ ൌ ܉ e à direita por 
ܠ ൌ ܊. E limitada superiormente por uma função y ൌ gଶሺxሻ e inferiormente por 
y ൌ gଵሺxሻ, ou seja: 
D ൌ ሼሺx, yሻ ∈ Թଶ; a ൑ x ൑ b	e	gଵሺxሻ ൑ y ൑ gଶሺxሻ	ሽ 
 
Figura 1.3: Representação de regiões do Tipo I Erro! Fonte de referência não 
encontrada.. 
 
Fonte: STEWART, 2009, p.888 
 
Assim, para calcular a integral dupla sobre a região D do Tipo I, temos: 
 
ඵfሺx, yሻdxdy
ୈ
ൌ න ቈන fሺx, yሻdy
୥మሺ୶ሻ
୥భሺ௫ሻ
	቉
ୠ
ୟ
dx 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
17 
 
Uma região do Tipo II (ver figura 1.4), ou simplesmente horizontal, é tal que D 
é limitada inferiormente por uma reta horizontal y ൌ c e superiormente por ݕ ൌ d. 
E limitada à esquerda por uma função x ൌ hଵሺyሻ à direita por x ൌ hଶሺyሻ, ou seja: 
D ൌ ሼሺx, yሻ ∈ Թଶ;c ൑ y ൑ d	e	hଵሺyሻ ൑ x ൑ hଶሺyሻሽ 
 
Figura 1.4:Representação de regiões do Tipo II 
 
Fonte: STEWART, 2009, p.888 
 
Assim, para calcular a integral dupla sobre a região D do Tipo II, temos: 
ඵfሺx,yሻdxdy
ୈ
ൌ න ቈන fሺx, yሻdx
୦మሺ୷ሻ
୦భሺ௬ሻ
	቉
ୢ
ୡ
dy 
 
Exemplo: 
 
Calcule a integral dupla de fሺx, yሻ ൌ xy sobre a regiãoD limitada pelas curvas 
y ൌ x e y ൌ xଶ. 
 
Antes de calcular o a integral, é importante desenharmos esquematicamente a 
região D. Para isso, precisamos saber onde as curvas y ൌ x e y ൌ xଶ se interceptam, 
isso ocorre quando: 
x ൌ xଶ ⇒ xଶ െ x ൌ 0 ⇒ xሺx െ 1ሻ ൌ 0	 ⇒ x ൌ 0	ou	x ൌ 1	
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
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Assim os pontos de intersecção são (0,0) e (1,1), podemos então esboçar a 
região D como: 
 
Logo, temos uma região do Tipo I com D ൌ ሼሺx, yሻ ∈ Թଶ; 0 ൑ x ൑ 1	e	xଶ ൑ y ൑
x	ሽ. Portanto, calculando a integral temos: 
 
ඵxy	dxdy
ୈ
ൌ න ቈන xy	dy
୶
୶మ
	቉
ଵ
଴
dx ൌ න x ቈy
ଶ
2 ቉௫మ
௫ଵ
଴
dx ൌ 12න xሺݔ
ଶ െ ݔସሻ
ଵ
଴
dx ൌ 
ൌ 12න ሺݔ
ଷ െ ݔହሻ
ଵ
଴
dx ൌ 12 ቈ
ݔସ
4 െ
ݔ଺
6 ቉଴
ଵ
ൌ 12 ൬
1
4 െ
1
6൰ ൌ
1
24 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
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Área por Integral Dupla 
 
Como vimos na seção 1.1 o volume de um sólido S, que está abaixo de f(x,y) e 
acima da região D é dado por VolሺSሻ ൌ ∬ fሺx, yሻdxdyୖ . Assim, podemos calcular a 
área da superfície D no plano xy por meio de uma integral dupla sobre a essa 
região, logo: 
ܣሺܦሻ ൌඵdxdy
ୈ
 
Dessa forma, para calcular a área de uma região D qualquer limitada por duas 
curvas yଵሺxሻe	yଶሺxሻ, precisamos calcular a integral dupla dessa região. 
Exemplo: 
Calcule a área da região plana D limitada pelas curvas y ൌ xଷ e y ൌ √x. 
Traçando o esboço da região D, com os pontos de intersecção (0,0) e (1,1), temos: 
 
Assim, podemos definir a região como D ൌ ሼሺx, yሻ ∈ Թଶ; 0 ൑ x ൑ 1	e	xଷ ൑ y ൑
xଵ/ଶ	ሽ. Logo a área de D será: 
AሺDሻ ൌ ඵdxdy
ୈ
ൌ න න dydx
୶భమ
୶య
ଵ
଴
ൌ න ൫xଵ ଶ⁄ െ xଷ൯dx
ଵ
଴
ൌ ቈ23 x
ଷ ଶ⁄ െ x
ସ
4 ቉଴
ଵ
ൌ 23 െ
1
4 
ܣሺܦሻ ൌ 512 u. a 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
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Integrais Duplas em Coordenadas Polares 
 
Calcular uma integral dupla em regiões circulares ou semicirculares através de 
coordenadas cartesianas representa um esforço matemático desnecessário. Para 
isso, devemos usar as coordenadas polares que são definidas da seguinte forma: 
rଶ ൌ xଶ ൅ yଶ	; 		x ൌ rcosθ	; 		y ൌ rsenθ	
 
Desta forma, mudamos as cordenadas cartesianas (x,y) para as coordenadas 
polares ሺr, θሻ. Essa mudança é mostrada na figura 1.5. 
 
Figura 1.5: Coordenadas polares 
 
Fonte: STEWART, 2009, p.926 
 
Para realizar a mudança de variáveis na integral dupla, devemos substituir os 
operadores diferenciais dx e dy por dr	e	dθ. Essa mudança é feita através da 
fórmula: 
ඵfሺx, yሻdxdy
ୈ
ൌ ඵ fሺrcosθ, rsenθሻ	rdrdθ
ୈ୰஘
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
21 
Observe que dxdy foi substituido por r	drdθ. Assim, a área de uma região D 
em coordenadas polares é escrita como: 
AሺDሻ ൌ ඵ 	rdrdθ
ୈ୰஘
 
Exemplo: 
Calcule a integral dupla abaixo em coordenadas cilíndricas sendo D a região 
limitada pela curva y ൌ √1 െ xଶ e pelo eixo x: 
ඵe୶మା௬మdxdy
ୈ
 
Para esboçar a região D, vemos que a equação	y ൌ √1െ xଶ pode ser reescrita 
como yଶ ൌ 1 െ xଶ ⇒ xଶ ൅ yଶ ൌ 1 que é a equação de uma circunferência de raio 1. 
Como a região D é limitada pelo eixo x , temos uma semicircunferência de raio 1: 
 
Fazendo a mudança de variáveis para coordenadas polares temos: 
൞
ݔ ൌ ݎܿ݋ݏߠ
ݕ ൌ ݎݏ݁݊ߠ
݀ݔ	݀ݕ ൌ ݎ݀ݎ݀ߠ
ݔଶ ൅ ݕଶ ൌ ݎଶ
 
Observando o esboço de D, vamos que r varia de 0 a 1 e ߠ varia de 0 a ߨ. Assim 
os limites de integração serão: 0 ൑ r ൑ 1	e	0 ൑ θ ൑ π. Substituindo esses dados na 
integral, temos: 
ඵe୶మା௬మdxdy
ୈ
ൌඵe୰మݎ	݀ݎ݀ߠ
ୈ
ൌ න න e୰మݎ	݀ߠ݀ݎ
஠
଴
ଵ
଴
ൌ ߨන e୰మݎ	݀ݎ
ଵ
଴
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
22 
Fazendo rଶ ൌ u temos du ൌ 2r	dr ⇒ r	dr ൌ ଵଶ du. Logo: 
πන e୰మr	dr
ଵ
଴
ൌ π2 න e
୳du
ଵ
଴
ൌ π2 ൣe
୰మ ൧଴
ଵ ൌ ૈ૛ ሺ܍ െ ૚ሻ∎ 
 
Aplicações na Física 
 
Uma das aplicações das integrais duplas é no cálculo da massa de placas 
planas delgadas. Suponha que exista uma função ߜ positiva que represente a 
densidade superficial de massa de uma placa, isto é, a quantidade de massa por 
unidade de área. Assim, podemos escrever: 
δሺx, yሻ ൌ MAሺDሻ 
No entanto, sabemos que para calcular a área de uma região D limitada, 
devemos calcular sua integral dupla tal que AሺDሻ ൌ ∬ dxdyୈ . Assim, podemos 
definir a massa de uma placa plana delgada como ܯ ൌ δሺx, yሻ. AሺDሻ ou ainda: 
ܯ ൌ ඵδሺx, yሻ	dxdy
ୈ
 
Caso a função densidade seja constante, isto é δሺx, yሻ ൌ k ൌ cte, a massa M 
será igual a ݇ . ܣሺܦሻ neste caso, dizemos que a lâmina D é homogênea. 
Podemos, ainda, determinar o centro de massa de um sistema de partículas 
através das integrais duplas. Lembrando da Física, temos que o momento de um 
sistema de partículas em relação a um eixo fixo é igual ao produto da massa pela 
distância perpendicular ao eixo: 
M୶ ൌ ෍m୧y୧
୬
୧ୀଵ
	e	M୷ ൌ ෍m୧x୧
୬
୧ୀଵ
 
Dessa forma, o centro de massa é o pontoሺxത, yതሻ que se comporta como se toda 
a massa estivesse concentrada nele em equilíbrio (ver figura 1.6). 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
23 
 
Figura 1.6: Representação do centro de massa em uma placa plana D 
 
Fonte: STEWART, 2009, p.933 
 
Sendo M a massa total do sistema, temos a definição das coordenadas do 
centro de massa: 
M.xത ൌ M୷	e	M.yത ൌ M୶ 
 
xത ൌ ܯ௬ܯ 	݁	yത ൌ
ܯ௫
ܯ 
Sabendo que a massa de uma placa plana é dada por ܯ ൌ ∬ δሺx,yሻ	dxdyୈ , 
podemos reescrever as equações das coordenadas do centro de massa em função 
dessa equação. Assim, temos as equações finais na forma: 
 
ܠത ൌ ∬ ܠ. ઼ሺܠ, ܡሻ	܌ܠ܌ܡ۲ ۻ 
ܡത ൌ ∬ ܡ.઼ሺܠ, ܡሻ	܌ܠ܌ܡ۲ ۻ 
Se quisermos, ainda, calcular o momento de inércia de uma placa plana D em 
relação aos eixos basta utilizar as seguintes fórmulas: 
۷ܠ ൌ ඵܡ૛.઼ሺܠ, ܡሻ	܌ܠ܌ܡ۲ 
۷ܡ ൌ ඵܠ૛. ઼ሺܠ, ܡሻ	܌ܠ܌ܡ۲ 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
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Exemplos: 
Calcule a massa, o centro de massa e o momento de inércia em relação ao eixo 
x, da região D, limitada pelas curvas x ൌ yଶ e xെ y ൌ 2. Onde a densidade 
superficial da placa é δሺx, yሻ ൌ 3. 
A intersecção das curvas é encontrada igualando as funções yଶ െ y െ 2 ൌ 0, 
cujas raízes são y ൌ െ1 e y ൌ 2. Logo os pontos de intersecção são (1,-1) e (4,2), 
traçando o esboço da região D, temos: 
 
Podemos perceber que D é uma região do Tipo II tal que: D ൌ ሼሺx, yሻ ∈
Թଶ;െ1 ൑ y ൑ 2	e	yଶ ൑ x ൑ 2 ൅ yሽ 
1° Cálculo da Massa: 
M ൌඵδሺx,yሻ	dxdy
ୈ
ൌ න න 3	dxdy
ଶା୷
୷మ
ଶ
ିଵ
ൌ 3න ሺ2 ൅ y െ yଶሻdy
ଶ
ିଵ
ൌ 
ൌ 3 ቈ2ݕ ൅ ݕ
ଶ
2 െ
ݕଷ
3 ቉ିଵ
ଶ
ൌ 3൤൬4 ൅ 2 െ 83൰ െ ൬െ2 ൅
1
2 ൅
1
3൰൨ 
M ൌ 272 ∎ 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
25 
2° Centro de Massa: 
 
xത ൌ ∬ x.δሺx, yሻ	dxdyୈ M 
yത ൌ ∬ y. δሺx, yሻ	dxdyୈ M 
ඵx.δሺx, yሻ	dxdy
ୈ
ൌ න න 3	x	dxdy
ଶା୷
୷మ
ଶ
ିଵ
ൌ 3න ቈx
ଶ
2 ቉୷మ
ଶା୷
dy
ଶ
ିଵ
ൌ 
ൌ 32න ሺ4 ൅ 4y ൅ y
ଶ െ yସሻdy
ଶ
ିଵ
ൌ 32 ቈ4y ൅ 2y
ଶ ൅ y
ଷ
3 െ
yହ
5 ቉ିଵ
ଶ
 
ൌ 32 ൤൬8 ൅ 8 ൅
8
3 െ
32
5 ൰ െ ൬െ4 ൅ 2 െ
1
3 ൅
1
5൰൨ 
ඵx. δሺx, yሻ	dxdy
ୈ
ൌ 32
. 72
5 ൌ
108
5 ∎ 
ඵy. δሺx, yሻ	dxdy
ୈ
ൌ න න 3	y	dxdy
ଶା୷
୷మ
ଶ
ିଵ
ൌ ૛ૠ૝ ∎ 
Logo, 
xത ൌ 108/527/2 ൌ
8
5∎ 
yത ൌ 27/427/2 ൌ
1
2∎ 
 
3° Momento de Inércia: 
I୶ ൌඵyଶ.δሺx, yሻ	dxdyୈ ൌ න න 3	y
ଶ	dxdy
ଶା୷
୷మ
ଶ
ିଵ
ൌ 3න ݕଶሺ2 ൅ y െ yଶሻdy
ଶ
ିଵ
ൌ 
3න ሺ2ݕଶ ൅ yଷ െ yସሻdy
ଶ
ିଵ
ൌ 3 ቈ2ݕ
ଷ
3 ൅
ݕସ
4 െ
ݕହ
5 ቉ିଵ
ଶ
ൌ 
۷ܠ ൌ
૚ૡૢ
૛૙ ∎ 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
26 
 
Integrais Triplas 
 
Na seção 1.1 definimos o conceito de integral dupla para funções de duas 
variáveis f (x, y). Podemos estender esse conceito para funções de três variáveis f 
(x,y,z) e definir as integrais triplas. Considerando uma região W no Թଷ , limitada e 
fechada, existe uma caixa retangular tal que B ൌ ሼሺx, y, zሻ|a ൑ x ൑b, c ൑ y ൑ d, e ൑
z ൑ fሽ . Dividindo em n subcaixas de forma análoga as integrais duplas com 
volume ∆V ൌ ∆x∆y∆z, definimos a soma tripla de Riemann: 
S୬ ൌ෍෍෍fሺx୧∗, y୧∗ሻ∆x∆y∆z
୬
୩ୀଵ
୬
୨ୀଵ
୬
୧ୀଵ
ൌ ෍ fሺx୧∗, y୧∗ሻ∆V
୬
୧,୨,୩ୀଵ
 
Da mesma forma, dizemos que se lim୬→ஶ S୬ ൌ L existir então f(x,y,z) é 
integrável e L é a integral tripla de f sobre o sólido W: 
මfሺx, y, zሻdxdydz
୆
 
Em geral, as integrais triplas possuem as mesmas propriedades das duplas. 
Assim, podemos calcular o volume da região W usando a seguinte equação: 
VሺWሻ ൌ මdxdydz
୛
 
Além disso, podemos utilizar o mesmo método para transformar a integral 
tripla em várias integrais iteradas unidimensionais. Definimos então o Teorema de 
Fubini para integrais triplas como: 
 
 
 
මfሺx,y, zሻdxdydz
୆
ൌ න න න fሺx, y, zሻdxdydz
ୠ
ୟ
ୢ
ୡ
୤
ୣ
 
Teorema de Fubini para Integrais Triplas: Se f(x,y,z) for 
contínua na caixa retangular B ൌ ሼሺx, y, zሻ|a ൑ x ൑ b, c ൑ y ൑
d, e ൑ z ൑ fሽ, então: 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
27 
Exemplo: 
Calcule a integral tripla ∭ ݔݕݖଶ	݀ݔ݀ݕ݀ݖ஻ onde B é a caixa retangular dada por: 
B ൌ ሼሺx, y, zሻ|0 ൑ x ൑ 1, െ1 ൑ y ൑ 2, 0 ൑ z ൑ 3ሽ 
 
මݔݕݖଶ	݀ݔ݀ݕ݀ݖ
஻
ൌ න න න ݔݕݖଶ݀ݔ݀ݕ݀ݖ
ଵ
଴
ଶ
ିଵ
ଷ
଴
ൌ න න ቈݔ
ଶݕݖଶ
2 ቉଴
ଵ
݀ݕ݀ݖ
ଶ
ିଵ
ଷ
଴
ൌ 
ൌ න න ݕݖ
ଶ
2 ݀ݕ݀ݖ
ଶ
ିଵ
ଷ
଴
ൌ න ቈݕ
ଶݖଶ
4 ቉ିଵ
ଶ
݀ݖ
ଷ
଴
ൌ න 3ݖ
ଶ
4 ݀ݖ
ଷ
଴
ൌ ቈݖ
ଷ
4 ቉଴
ଷ
ൌ 274 ∎ 
 
De forma semelhante as integrais duplas, podemos calcular a integral tripla de 
uma região limitada mais geral. Vamos definir a função f(x,y,z) como uma projeção 
no plano x,y ܦ௫௬, semelhante àquela usada para as integrais duplas, e um sólido E 
com alturas definidas por funções z ൌ uଵሺx, yሻe	z ൌ uଶሺx, yሻ conforme mostrado na 
figura 1.7. Assim temos: 
E ൌ ሼሺx, y, zሻ|ሺx, yሻ ∈ D,uଵሺx, yሻ ൑ z ൑ uଶሺx, yሻሽ 
Essa região é definida como do Tipo I e podemos calcular a integral tripla da 
seguinte forma: 
මfሺx,y, zሻdxdydz
୉
ൌඵ ቈන fሺx, y, zሻdz
୳మሺ୶,୷ሻ
୳భሺ୶୷ሻ
቉dxdy
ୈ
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
28 
Figura 1.7: Região sólida do tipo I 
 
Fonte: STEWART, 2009, p.942 
 
De forma geral, podemos ter ainda os limites de x e de y definidos como 
funções assim como no caso de z. Nesses casos, devemos proceder no cálculo da 
integral tripla da mesma forma como fizemos na região I e substituir os limites 
pelas intersecções das funções. O método de resolução será mostrado nos 
exemplos abaixo. 
 
Exemplos: 
Calcule ∭ ݁௫మ݀ݔ݀ݕ݀ݖா onde E é o conjunto : 
E ൌ ሼሺx, y, zሻ|	0 ൑ x ൑ 1, 0 ൑ y ൑ x,0 ൑ z ൑ 1ሽ 
Definimos E como uma região D୶୸ com limites constantes e y variando de 0 a 
x. Assim, a integral tripla fica da forma: 
ම݁௫మ݀ݔ݀ݕ݀ݖ
ா
ൌ ඵ ቈන ݁௫మdy
୶
଴
቉ dxdz
ୈ౮౰
ൌඵ xe୶మdxdz
ୈ౮౰
ൌ න න xe୶మdxdz
ଵ
଴
ଵ
଴
ൌ 
ൌ ቈ݁
௫మ
2 ቉଴
ଵ
න dz
ଵ
଴
ൌ ݁ െ 12 ∎ 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
29 
Calcule o volume do sólido limitado pelos paraboloides z ൌ xଶ ൅ yଶ	e	z ൌ 8െ
xଶ െ yଶ 
Primeiro vamos calcular a interseção das superfícies: 
൜ z ൌ x
ଶ ൅ yଶ
z ൌ 8െ xଶ െ yଶ → x
ଶ ൅ yଶ ൌ 8 െ xଶ െ yଶ → 2ሺxଶ ൅ yଶሻ ൌ 8 → xଶ ൅ yଶ ൌ 4∎	
 
Portanto, a interseção dos paraboloides é a circunferência ܠ૛ ൅ ܡ૛ ൌ ૝, 
situada no plano ݖ ൌ 4. O esboço das superfícies fica então: 
 
Definimos, então, o sólido W como: 
W ൌ ሼሺx, y, zሻ|ሺx, yሻ ∈ D୶୷	e	xଶ ൅ yଶ ൑ z ൑ 8 െ xଶ െ yଶሽ 
E onde D୶୷ é a circunferência xଶ ൅ yଶ ൑ 4. Calculando assim o volume através 
da integral tripla: 
VሺWሻ ൌමdxdydz
୛
ൌඵ ቈන dz
଼ି୶మି୷మ
୶మା୷మ
቉ dxdy
ୈ౮౯
ൌඵ ሾ8 െ 2ሺxଶ ൅ yଶሻሿdxdy
ୈ౮౯
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
30 
 
Observe que resolver a integral dupla resultante ∬ ሾ8 െ 2ሺxଶ ൅ yଶሻሿdxdyୈ౮౯ 
usando coordenadas cartesianas seria muito trabalhoso. Portanto, devemos usar as 
coordenadas polares para facilitar o trabalho. Logo, temos: 
൞
ݔ ൌ ݎܿ݋ݏߠ
ݕ ൌ ݎݏ݁݊ߠ
݀ݔ	݀ݕ ൌ ݎ݀ݎ݀ߠ
ݔଶ ൅ ݕଶ ൌ ݎ
 
 
Lembrando que D୶୷ é a circunferência xଶ ൅ yଶ ൑ 4, temos que o raio é igual a 
2 e a circunferência é completa, assim 0 ൑ r ൑ 2	e	0 ൑ θ ൑ 2π e: 
 
VሺWሻ ൌ න න ሺ8 െ 2rଶሻ	r	dθdr
ଶ஠
଴
ଶ
଴
ൌ 2ߨන ሺ8r െ 2rଷሻ		dr
ଶ
଴
ൌ ቈ4ݎଶ െ ݎ
ସ
2 ቉଴
ଶ
ൌ 
VሺWሻ ൌ 2πሺ16 െ 8ሻ ൌ 16π	u. v∎ 
Obs: Note que é importante desenhar as superfícies para entender melhor 
como definir os limite de integração. Caso o aluno tenha dificuldade em traçar os 
gráficos das curvas 3D, recomenda-se revisar o conteúdo de Cálculo II. 
 
Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas 
 
No caso das integrais duplas usamos o sistema de coordenadas polares para 
resolver os problemas no plano (x,y), que eram convenientemente descritos para 
regiões curvas. No caso tridimensional, existe um sistema de coordenadas análogo 
em que um ponto P é representado pelas coordenadas ሺr, θ, zሻ, chamado de 
Coordenadas Cilíndricas (ver figura 1.8). Definimos, então, as equações para 
converter o sistema cartesiano em coordenadas cilíndricas: 
x ൌ rcosθ	; y ൌ rsenθ	, z ൌ z 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
31 
Figura 1.8: Coordenadas cilíndricas de um ponto. 
 
Fonte: STEWART, 2009, p.950 
 
Logo, ao transformarmos uma integral tripla em coordenadas cartesianas em 
coordenadas cilíndricas, temos: 
මfሺx, y, zሻ	dxdydz
୛
ൌ ම fሺrcosθ, rsenθ, zሻ	r	drdθdz
୛౨ಐ౰
 
Observe que como no caso das coordenadas polares, os difenciais ܌ܠ܌ܡ܌ܢ se 
transformam em ܚ	܌ܚ܌ી܌ܢ. Isso se deve ao jacobiano, que calcula a distorção na 
conversão de coordenadas. 
 
Exemplo: 
 
1- Calcule a integral tripla ∭ሺxଶ ൅ yଶሻ	dxdydz୉ , onde E é definido como: 
E ൌ ሼሺx, y, zሻ| െ 2 ൑ x ൑ 2,െඥ4 െ ݔଶ ൑ y ൑ ඥ4 െ ݔଶ,ඥݔଶ ൅ ݕଶ ൑ z ൑ 2ሽ 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
32 
Vamos fazer o esboço do sólido E: 
Os limites de y podem ser reescritos como 	ݕ ൑ √4െ ݔଶ ⇒ ݕଶ ൑ 4 െ ݔଶ ⇒
࢞૛ ൅ ࢟૛ ൑ ૝. Logo, temos que a projeção de E no plano (x,y) é uma circunferência 
plana de raio r=2. A superfície inferior de E ݖ ൌ ඥݔଶ ൅ ݕଶ é a equação de um cone 
e a superfície superior é o plano z=2. Assim, o esboço da região E fica: 
 
Passando para coordenadas cilíndricas, temos: 
 
ۖە
۔
ۖۓ ݔ ൌ ݎܿ݋ݏߠݕ ൌ ݎݏ݁݊ߠ
ݖ ൌ ݖ
݀ݔ	݀ݕ݀ݖ ൌ ݎ݀ݎ݀ߠ݀ݖ
ݔଶ ൅ ݕଶ ൌ ݎଶ
 
 
A região E, é descrita, então, como: E ൌ ሼሺr, θ, zሻ|0 ൑ θ ൑ 2π,0 ൑ r ൑ 2, r ൑
z ൑ 2ሽ e assim: 
මሺxଶ ൅ yଶሻ	dxdydz
୉
ൌ න න න ݎଶ	ݎ	݀ݖ݀ݎ݀ߠ
ଶ
௥
ଶ
଴
ଶ஠
଴
ൌ න න ݎଷሺ2 െ ݎሻ݀ݎ݀ߠ
ଶ
଴
ଶ஠
଴
ൌ 
ൌ න ቈݎ
ସ
2 െ
ݎହ
5 ቉଴
ଶ
݀ߠ	
ଶ஠
଴
ൌ න 85݀ߠ	
ଶ஠
଴
ൌ 2ߨ.85 ൌ
૚૟࣊
૞ ∎ 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
33 
 
Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas 
 
Existe ainda um outro sistema de coordenadas muito útil para representar 
regiões esféricas e cônicas. As coordenadas esféricas ሺρ,φ,θሻsão definidas por: 
ۖە
۔
ۖۓ x ൌ ρ	senφ	cosθy ൌ ρ	senφ	senθ
z ൌ ρ		cosθ
dx	dydz ൌ ρଶ	senφ	dρdφdθ
xଶ ൅ yଶ ൅ zଶ ൌ ρଶ
 
Assim, o cálculo da integral tripla em coordenadas esféricas (ver figura 1.9) fica 
na forma: 
මfሺx, y, zሻ	dxdydz
୛
ൌ මfሺρ	senφ	cosθ,ρ	senφ	senθ,ρ		cosθሻ	ρଶ	senφ	dρdφdθ
୛ಙಞಐ
 
Figura 1.9: Coordenadas esféricas de um ponto P 
 
Fonte: STEWART, 2009, p.954 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
34 
Exemplo: 
2.Calcule o volume da esfera xଶ ൅ yଶ ൅ zଶ ൑ aଶ 
O esboço da equação da esfera é: 
 
Usando as coordenadas esféricas a equação da esfera xଶ ൅ yଶ ൅ zଶ ൌ aଶ fica 
ߩ ൌ ܽ. Assim, os limites de integração serão: Wൌ ሼሺߩ, φ, θሻ|0 ൑ ߩ ൑ a,0 ൑ φ ൑
π, 0 ൑ θ ൑ 2πሽ. Logo, 
 
VሺWሻ ൌ මdxdydz
୛
ൌ ම	ρଶ	senφ	dρdφdθ
୛ಙಞಐ
ൌ න න න ρଶ	senφ	dρdφdθ
ୟ
଴
஠
଴
ଶ஠
଴
ൌ 
ൌ න ρଶ	
ୟ
଴
න senφ	
஠
଴
න dθdφdρ
ଶ஠
଴
ൌ 2πන ρଶ	
ୟ଴
න senφ	
஠
଴
dφdρ ൌ 2πሾെcosφሿ଴஠න ρଶ	dρ
ୟ
଴
 
ൌ 4π ቈρ
ଷ
3 ቉଴
ୟ
ൌ 4πa
ଷ
3 	u. v.∎ 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
35 
Observe que esse resultado é exatamente aquele que conhecemos da 
matemática básica para o volume de uma esfera. 
 
Aplicações das Integrais Triplas 
 
Da mesma forma que fizemos para as integrais duplas, podemos usar as 
integrais triplas para calcular a massa, centro de massa e momentos de inércia de 
objetos tridimensionais. Seja a função δሺx, y, zሻ contínua e positiva represetando a 
densidade volumétrica, isto é, massa por unidade de volume, então, a massa de 
uma região E será dada por: 
ܯ ൌමδሺx,y, zሻ. dxdydz
୉
 
Logo, as coordenadas do centro de massa ሺxത, yത, zതሻ serão dadas por: 
xത ൌ∭ 	x.δሺx, y, zሻ	dxdydz୉ ܯ 
yത ൌ∭ 	y.δሺx, y, zሻ	dxdydz୉ ܯ 
zത ൌ∭ 	z.δሺx, y, zሻ	dxdydz୉ ܯ 
 
O momento de inércia em relação aos três eixos coordenados serão: 
I୶ ൌමሺyଶ ൅ zଶሻ. δሺx, y, zሻ	dxdydz
୉
 
I୷ ൌමሺxଶ ൅ zଶሻ. δሺx, y, zሻ	dxdydz
୉
 
I୸ ൌ මሺxଶ ൅ yଶሻ. δሺx, y, zሻ	dxdydz
୉
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
36 
Terminamos aqui a unidade 1, onde você estudou sobre as integrais duplas e 
triplas, além de suas aplicações na física. 
 
É hora de se avaliar 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
37 
 
Exercícios – Unidade 1 
 
 
1.Calcule as seguintes integrais iteradas: 
 
a) ׬ ׬ ye୶୷	dxdyଶଵ
ଶ
ଵ 
b) ׬ ׬ xଶ/yଶ	dydx୶ଵ
ଶ
ଵ 
 
2.Determine o valor da integral abaixo: 
 
න න sen	xcosݕ dydx
గ/ଶ
଴
గ/ଶ
଴
 
 
3.Determine o valor da integral abaixo: 
 
න න 4e୶మdydx
୶/ଶ
଴
ଶ
଴
 
 
4.Calcule usando integral dupla a área da região D limitada pelas curvas 
y ൌ 4xെ xଶ e y ൌ x. 
 
5.Encontre o volume do sólido W limitado pelos planos y ൌ 0, z ൌ 0	e	y ൌ 4 e 
pelo cilindro parabólico z ൌ 4 െ xଶ. Dica: O esboço do sólido W é dado por: 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
38 
 
6.Calcule a integral tripla abaixo: 
 
න න න ze୷	dxdzdy
√ଵି௭మ
଴
ଵ
଴
ଷ
଴
 
 
7.Calcule o valor da seguinte integral iterada: 
න න න 6xz	dydxdz
௫ା௭
଴
୸
଴
ଵ
଴
 
 
8.Calcule o volume através de integral tripla do sólido delimitado pelo cilindro 
x ൌ yଶ e pelos planos z ൌ 0 e x ൅ z ൌ 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.Determine a massa do sólido E que está abaixo do planos z ൌ 1 ൅ x ൅ y e 
acima da região do plano xy limitada por y ൌ √x , y ൌ 0	e	x ൌ 1, sabendo que 
função densidade é dada por δሺx, y, zሻ ൌ 2. 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
39 
 
10.Calcule o centro de massa do sólido descrito no problema 9. 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
40 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
41 
 
Integrais de Linha 2 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
42 
 
Nesta unidade, vamos estudar o conceito de integral de linha, ou curvilínea de 
campos escalares e vetoriais. Além disso, um dos mais famosos teoremas da 
matemática será apresentado: o Teorema de Green. 
 
Objetivo da Unidade: 
 Calcular integrais de linha sobre curvas planas e espaciais 
 Resolver problemas através do Teorema de Green 
 
Plano da Unidade: 
 Parametrização de Curvas e Superfícies 
 Integral de Linha de Campo Escalar 
 Integral de Linha de Campo Vetorial 
 Integral de Linha Independente do Caminho 
 Teorema de Green 
 
 
Bons Estudos! 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
43 
Antes de começarmos o estudo das integrais de linha e suas aplicações, é 
conveniente introduzir os conceitos de parametrização de curvas e superfícies. 
Esses conceitos são fundamentais para que possamos entender a metodologia por 
trás das integrais de linha e posteriormente das integrais de superfície. 
 
Parametrização de Curvas e Superfícies 
 
Para descrever curvas e superfície no espaço, usamos frequentemente as 
chamadas funções vetoriais. Essas funções relacionam um conjunto de pontos no 
Թଶ	ou	Թଷ a um conjunto de vetores. Em geral, escrever uma função vetorial r em 
função do vetor posição ܚሺܜሻ que pode ser descrito através de suas componentes: 
ܚሺܜሻ ൌ 〈݂ሺݐሻ, ݃ሺݐሻ, ݄ሺݐሻ〉 ൌ ݂ሺݐሻ࢏ ൅ ݃ሺݐሻ࢐ ൅ ݄ሺݐሻ࢑ 
Para descrever uma Curva C espacial usamos a definição de função vetorial e 
relacionamos os pontos (x,y,z) com um vetor posição ܚሺܜሻ, que define as chamadas 
equações paramétricas de C e t é conhecido como o parâmetro. Observe na 
figura 2.10, que a curva C é descrita como se fosse traçada pelo movimento de uma 
partícula, cuja posição no instante t é dada pelo vetor ܚሺܜሻ. 
Figura 2.10:Curva espacial C 
 
Fonte: STEWART, 2009, p.780 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
44 
 
Da mesma forma, definimos uma curva C no plano através de uma 
parametrização com o vetor posição rሺtሻ ൌ ሾxሺtሻ, yሺtሻሿ , conforme mostrado na 
figura2.11. 
Figura 2.11: Curva C no plano (x,y). 
 
 
Exemplo: 
 
Determine a parametrização da semicircunferência C abaixo: 
 
 
 
Estamos interessados em mapear a curva C e para isso devemos encontrar as 
equações componentes do vetor posição rሺtሻ ൌ ሾxሺtሻ, yሺtሻሿ. Observe que podemos 
decompor as componente xሺtሻ usando o ângulo t e o raio 3 da seguinte forma: 
cos t ൌ xሺtሻ3 	⇒ ܠሺܜሻ ൌ ૜ ܋ܗܛܜ 
Fazendo o mesmo com y(t) obtemos yሺtሻ ൌ 3	sen	t. Como estamos 
trabalhando com uma semicircunferência, temos que 0 ൑ t ൑ π. Portanto, as 
equações xሺtሻ ൌ 3 cos t e yሺtሻ ൌ 3	sen	t são a parametrização da curva C. 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
45 
 
No caso de Superfícies S no Թଷ(ver figura 2.12), escrevemos as equações 
paramétricas em função de dois parâmetros t	e	u, por exemplo, e assim o vetor 
posição é descrito como: 
Figura 2.12: Superfície S no Թ૜ . 
 
rሺt, uሻ ൌ ሾxሺt, uሻ, yሺt, uሻ, zሺt, uሻሿ 
 
Exemplo: 
Seja S a superfície da semiesfera ilustrada abaixo, encontre uma 
parametrização. 
 
Nesse caso, devemos fazer a parametrização em função dos ângulos ߠ, ߮. 
Utilizando o mesmo princípio do exemplo anterior, vamos decompor x,y e z em 
função dos eixos coordenados, obtendo assim: 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
46 
ቐ
xሺθ,φሻ ൌ 3	senθ cosφ
yሺθ, φሻ ൌ 3	sen	θsenφ
zሺθ, φሻ ൌ 3	 cosθ											
, com	0 ൑ θ ൑ π2 	e	0 ൑ φ ൑ 2π 
Note que ambas as parametrizações obtidas nos exemplos 1 e 2, valem para 
quaisquer curvas C e superfície S semiesféricas de raio r. Onde o valor de 3 deve ser 
substituído pelo raio correspondente. 
Muitas vezes estamos interessados em obter a parametrização de uma curva C 
resultante da intersecção de sólidos de revolução com retas ou planos. Observe o 
exemplo abaixo: 
Exemplo: 
Determine a parametrização da curva C obtida pela intersecção do cilindro 
ܠ૛ ൅ ܡ૛ ൌ ૚	 com o plano ܡ ൅ ܢ ൌ ૛. 
O esboço da curva C é obtido traçando o cilindro e marcando os pontos 
correspondentes de intersecção do plano. 
Figura 2.13: Esboço da curva C 
 
Fonte: STEWART, 2009, p.781 
 
Vemos, portanto, que a curva C está representada no Թଷ , logo, precisamos 
escrever as 3 componentes x,y e z em função de um parâmetro t. Observa-se que a 
projeção de C no planoxy é a circunferência xଶ ൅ yଶ ൌ 1, z ൌ 0 e sabemos do 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
47 
exemplo 1 que a parametrização para este caso é xሺtሻ ൌ r cos t e yሺtሻ ൌ r	sen	t . 
Como nesse caso r=1, temos que a parametrização para x e y é : 
ܠሺܜሻ ൌ ܋ܗܛܜ 	e	ܡሺܜሻ ൌ 	ܛ܍ܖ	ܜ	, 0 ൑ t ൑ 2π 
Falta agora definir a parametrizaçãopara z, sabemos que a curva C faz parte 
do plano	y ൅ z ൌ 2 e como já temos uma parametrização para y substituindo esse 
valor na equação do plano obtemos: 
sen	t൅ z ൌ 2 ⇒ ܢሺܜሻ ൌ ૛ െ ܛ܍ܖ	ܜ 
A equação parametrizada de C fica então: 
ܚሺܜሻ ൌ 〈ሺ܋ܗܛ ܜሻ, ሺܛ܍ܖ	ܜሻ, ሺ૛ െ ܛ܍ܖ	ܜሻ〉 
 
Integral de Linha de Campo Escalar 
 
Vamos definir agora as chamadas Integrais de Linha ou Integrais 
Curvilíneas, que são muito similares as integrais convencionais unidimensionais. A 
diferença é que em vez de integrarmos em um intervalo ሾa,bሿ, vamos integrar 
sobre uma curva C. Sejam as equações paramétricas : 
rሺtሻ ൌ ሾxሺtሻ, yሺtሻሿ	, a ൑ t ൑ b 
E uma curva C no plano xy, vamos dividi-la em n subintervalos de igual 
tamanho fazendo com que a curva C seja dividida em n subarcos (Lê-se sub arcos) 
de comprimento ∆sଵ,∆sଶ,… ∆s୬ (ver figura 2.14). 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
48 
Figura 2.14: Divisão de uma curva C em n subarcos 
 
Fonte: STEWART, 2009, p.982 
 
Tomando os pontos arbitrários P୧∗ሺx୧∗, y୧∗ሻ onde se calcula a função f e 
multiplicando pelo comprimento ∆s୧, obtemos a uma soma semelhante a soma de 
Riemann: 
෍fሺx୧∗, y୧∗ሻ	∆s୧
࢔
࢏ୀ૚
 
Tomando o limite dessa soma, definimos o conceito de integral de linha de f 
sobre uma curva C: 
න܎ሺܠ, ܡሻ܌ܛ
࡯
ൌ ܔܑܕܖ→ஶ෍܎ሺܠ
∗ܑ, ܡ∗ܑሻ	∆ܛܑ
ܖ
ܑୀ૚
	
 
Em geral, escrevemos a função f(x,y) na sua forma parametrizada f[xሺtሻ, yሺtሻሿ e 
assim, precisamos trocar o diferencial ds por dt. Essa relação é dada pela seguinte 
fórmula: 
܌ܛ ൌ ඨ൬܌ܠ܌ܜ൰
૛
൅ ൬܌ܡ܌ܜ൰
૛
܌ܜ 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
49 
Assim, chegamos à definição para calcular a integral de linha de uma função 
f(x,y) sobre uma curva ܥ ∈ Թଶem termos parametrizados f൫xሺtሻ, yሺtሻ൯ em um 
intervalo [a,b]: 
න܎ሺܠ, ܡሻ܌ܛ
۱
ൌ න ܎൫ܠሺܜሻ, ܡሺܜሻ൯
܊
܉
ඨ൬܌ܠ܌ܜ൰
૛
൅ ൬܌ܡ܌ܜ൰
૛
܌ܜᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇥ
܌ܛ
 
Ou seja, para calcular a integral de linha, devemos parametrizar a função f(x,y) 
em função de t e encontrar a norma da derivada das funções componentes 
xሺtሻ, yሺtሻ , isto é: 
||	f′൫xሺtሻ, yሺtሻ൯|| ൌ ds ൌ ඨ൬dxdt൰
ଶ
൅ ൬dydt൰
ଶ
dt 
Se f(x,y)=1 temos que a integral de linha ׬ fሺx, yሻdsେ representa o 
comprimento de C. 
 
Exemplo: 
4.Calcule a integral de linha ׬ ሺ૛൅ ܠ૛ܡሻ܌ܛ۱ onde a curva C é a parte superior 
da circunferência unitária ܠ૛ ൅ ܡ૛ ൌ ૚. 
Para calcular a integral de linha, precisamos parametrizar a curva C em função 
do parâmetro t. Sabemos da seção 2.1 que uma parametrização para a 
circunferência é dada por é xሺtሻ ൌ r cos t e yሺtሻ ൌ r	sen	t e nesse caso como r=1 
temos: 
ܠሺܜሻ ൌ ܋ܗܛ ܜ 	e	ܡሺܜሻ ൌ 	ܛ܍ܖ	ܜ	 
Como estamos tratando somente da parte superior da circunferência, temos 
que t varia somente até π logo, 0 ൑ t ൑ π . Assim, aplicando a fórmula de integral 
de linha, temos: 
නሺ2 ൅ xଶyሻds
େ
ൌ න ሺ2 ൅ cosଶ ݐ sen	tሻ
ୠ
ୟ
ඨ൬dxdt൰
ଶ
൅ ൬dydt൰
ଶ
dt ൌ 
xሺtሻ ൌ cos t ⇒ dxሺtሻdt ൌ െsen	t ⇒ ൬
dx
dt൰
ଶ
ൌ senଶt 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
50 
yሺtሻ ൌ 	sen	t	 ⇒ dyሺtሻdt ൌ cos	t ⇒ ൬
dy
dt൰
ଶ
ൌ cosଶ t 
ൌ න ሺ2 ൅ cosଶ t sen	tሻ
஠
଴
ඥsenଶt൅ cosଶ tᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ
ୀଵ
dt ൌ න ሺ2 ൅ cosଶ t sen	tሻ
஠
଴
	dt ൌ 
ൌ ቈ2t ൅ cos
ଷ t
3 ቉଴
஠
ൌ ૛ૈ൅ ૛૜∎ 
 
Podemos ainda calcular a integral de linha de curvas lisas por partes, isto é , C 
pode ser dividida em partes finitas Cଵ,Cଶ,…C୬. Nesse caso, definiremos a integral 
de linha de C como a soma das integrais de linhas de suas partes, assim: 
න܎ሺܠ, ܡሻ܌ܛ
۱
ൌ න ܎ሺܠ, ܡሻ܌ܛ
۱૚
൅න ܎ሺܠ,ܡሻ܌ܛ
۱૛
൅ ⋯൅න ܎ሺܠ, ܡሻ܌ܛ
۱ܖ
 
 
Exemplo: 
5. Calcule ׬ ܠ܌ܛ۱ onde C é formado pelo segmento de reta ࡯૚ de (0,2) até (0,1) , 
seguido do arco de parábola ܡ ൌ ૚ െ ܠ૛ de (0,1) a (1,0). 
O esboço da curva C é da seguinte forma: 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
51 
A integral de linha será da forma: ׬ xdsେ ൌ ׬ xdsେభ ൅ ׬ xdsେమ . 
1. Cálculo de ׬ xdsେభ : 
Uma parametrização para a reta é x=0, y=t onde 1 ൑ ݐ ൑ 2. 
Logo ds ൌ ටቀୢ୶ୢ୲ቁ
ଶ ൅ ቀୢ୷ୢ୲ቁ
ଶ dt ൌ ds ൌ ඥሺ0ሻଶ ൅ ሺ1ሻଶdt ⇒ ܌ܛ ൌ ૚܌ܜ. 
න xds
େభ
ൌ න o	dt
ଶ
ଵ
ൌ 0 
2. Cálculo de ׬ xdsେమ : 
Podemos parametrizar y ൌ 1 െ xଶ usando o próprio x, fazendo xሺtሻ ൌ t 
obtemos yሺtሻ ൌ 1 െ tଶ e vemos no esboço que 0 ൑ x ൑ 1 portanto 0 ൑ t ൑ 1. 
Assim, calculandos derivadas, temos 
ୢ୶
ୢ୲ ൌ 1 e 
ୢ୷
ୢ୲ ൌ െ2ݐ, 
logo,	ds ൌ ඥሺ1ሻଶ ൅ ሺെ2ݐሻଶdt ⇒ ܌ܛ ൌ √૚൅ ૝ܜ૛܌ܜ. Logo: 
න xds
େమ
ൌ න ݐඥ1 ൅ 4tଶdt
ଵ
଴
 
Fazendo tdt ൌ ୢሺଵାସ୲మሻ଼ , ou 1 ൅ 4tଶ ൌ u ,temos: 
 
න ݐඥ1 ൅ 4tଶdt
ଵ
଴
ൌ 18න ሺ1 ൅ 4t
ଶሻଵ/ଶdሺ1൅ 4tଶሻ
ଵ
଴
ൌ ൤18 .
2
3 	ሺ1 ൅ 4ݐ
ଶሻଷଶ൨
଴
ଵ
ൌ 
න xds
େమ
ൌ ૚૚૛ ሺ૞√૞ െ ૚ሻ∎ 
 
Integral de Linha de Campo Vetorial 
 
Os campos vetoriais são úteis para representar os campos de forças, 
velocidades e campos elétricos. Em geral, definimos um campo vetorial ∈ Թଶ 
como: 
FሬԦሺx, yሻ ൌ Pሺx, yሻıԦ ൅ Qሺx, yሻȷԦ 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
52 
Onde P e Q são as componentes do campo vetorial. Em geral, queremos saber 
o trabalho realizado por um campo de forças FሬԦሺx, yሻ sobre uma partícula que se 
desloca sobre uma curva lisa C (ver figura 2.15 ). 
Figura 2.15: Campo de forças F(x,y) sobre uma curva C. 
 
Assim, seja C uma curva definida pela função vetorial rሺtሻ ൌ ሾxሺtሻ, yሺtሻሿ	, a ൑
t ൑ b e seja FሬԦሺx, yሻ um campo vetorial contínuo sobre C. O trabalho realizado por F 
sobre C é definido como ׬ ۴. ܂	܌ܛ۱ , onde T é o vetor tangente unitário no ponto (x, 
y) sobre C. Com algumas manipulações, podemos escrever a integral de linha 
acima como: 
න۴. ܂	܌ܛ
۱
ൌ න۴. ܌ܚ
۱
ൌ න ۴൫ܚሺܜሻ൯. ܚ′ሺܜሻ	܌ܜ
࢈
܉
 
Vale ressaltar que F൫rሺtሻ൯ é escrito como F൫xሺtሻ, yሺtሻ൯ em função da 
parametrização e: 
rᇱሺtሻ ൌ drሺtሻ dt⁄ ൌ ቆdxሺtሻdt ,
dyሺtሻ
dt ቇ 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
53 
Exemplo: 
6.Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças ۴Ԧሺܠ, ܡሻ ൌ ܠ૛଍Ԧെ ܠܡ଎Ԧ em 
uma partícula que se move ao longo da curva C descrita por ܚሺܜሻ ൌ ܋ܗܛ࢚	 ࢏ ൅
࢙ࢋ࢔	࢚	࢐	, ૙ ൑ ܜ ൑ ૈ/૛. 
Temos, então, que a parametrização de C é dada por xሺtሻ ൌ cos t	 	e	yሺtሻ ൌ
sen	t. Assim, vamos escrever a integral de linha: 
නF.dr
େ
ൌ න F൫rሺtሻ൯. r′ሺtሻ	dt
௕
ୟ
 
Onde Fሺrሺtሻ ൌ cosଶ t	i െ cos t	sen	t j e ݎᇱሺݐሻ ൌ െݏ݁݊	ݐ	݅ ൅ cosݐ	 ݆, portanto, 
temos: 
	නF.dr
େ
ൌ න ሺcosଶ t	ܑ െ cos t	sen	t ܒሻ. ሺെݏ݁݊	ݐ	࢏ ൅ cos ݐ	 ࢐ሻ	dt
గ/ଶ
଴
ൌ 
ൌ න െ2 cosଶ ݐ ݏ݁݊	ݐ		dt
గ/ଶ
଴
ൌ ቈ2 cos
ଷ ݐ
3 ቉଴
గ
ଶ
ൌ െ ૛૜∎ 
 
Integral de Linha Independente do Caminho 
 
Seja FሬԦሺx, yሻ ൌ Pሺx, yሻıԦ ൅ Qሺx, yሻȷԦ um campo vetorial, dizemos que este é 
conservativo se existe uma função f tal que ׏f ൌ FሬԦ. Onde ׏f ൌ i ப୤ப୶ ൅ ݆
ப୤
ப୷ ൅ ݇
ப୤
ப୶ é 
chamado gradiente de f. E ainda se rot	FሬԦ ൌ 0, isto é: 
∂P
∂y ൌ
∂Q
∂x 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
54 
Dizemos então que uma integral de linha sobre um campo conservativo 
׬ F.drେ 	é independente do caminho, logo: 
නF.dr
C
=0 para todo caminho fechado C 
Uma curva C é dia fechada se seu ponto final coincide com seu ponto inicial 
(ver figura 2.16). Podemos dizer então que a integral de linha de um campo 
conservativo, não depende da trajetória que une dois pontos A e B , mas apenas 
dos pontos em si. 
Figura 2.16: Curva fechada C 
 
Fonte: STEWART, 2009, p.994 
 
Em geral, a integral de linha em uma curva fechada é escrita com a seguinte 
notação: 
රܨ.݀ݎ
஼
ൌ 0 
O teorema enunciado acima também pode ser escrito como “ Se ∮ F. drେ ് 0 
para alguma curva fechada C, então, o campo FሬԦ não é conservativo”. 
Exemplo: 
7. Determine se o campo ۴Ԧሺܠ, ܡሻ ൌ ሺܠ െ ܡሻ଍Ԧ ൅ ሺܠ െ ૛ሻ଎Ԧ é conservativo. 
Sabemos que para que um campo seja conservativo	rot	FሬԦ ൌ 0 ou seja ப୔ப୷ ൌ
ப୕
ப୶, 
assim temos Pሺx, yሻ ൌ x െ y	e	Qሺx, yሻ ൌ x െ 2 então: 
∂P
∂y ൌ 0 െ 1 ൌ െ૚			
∂Q
∂x ൌ 1 െ 2 ൌ െ૚				 ⇒૒۾
૒ܡ ൌ
૒ۿ
૒ܠ 	∎ 
Portanto FሬԦሺx, yሻ ൌ ሺx െ yሻıԦ ൅ ሺx െ 2ሻȷԦ é conservativo. 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
55 
2.5 Teorema de Green 
Vamos estudar agora um importante teorema da matemática, que estabelece 
a ligação entre as integrais de linha e as integrais duplas. Seja D uma região no 
plano fechada e delimitada por uma curva C fechada (ver figura 2.17) e FሬԦሺx, yሻ ൌ
Pሺx, yሻıԦ ൅ Qሺx, yሻȷԦ um campo vetorial , então o Teorema de Green estabelece que: 
 
Figura 2.17: Região D delimitada pela curva C. 
 
 
ර۴. ܌ܚ
۱
ൌ ර۾	܌ܠ ൅ ۿ	܌ܡ
۱
ൌ ඵ൬૒ۿ૒ܠ െ
૒۾
૒ܡ൰ 	܌ܠ	܌ܡ۲
 
 
 
 
 Em geral, usamos o Teorema de Green quando é mais fácil calcular integral 
dupla do que a integral de linha sobre C. 
 
Exemplos: 
7- Seja ۴Ԧሺܠ, ܡሻ ൌ ሺ૛ܠ ൅ ܡሻ଍Ԧ൅ ሺ૜ܡ ൅ ૝ܠሻ଎Ԧ. Calcule a integral de linha para a 
região D delimitada pelos vértices do triângulo ሺ૙, ૙ሻ, ሺ૚,૙ሻ	܍	ሺ૙,૚ሻ. 
Pelo teorema de Green: ∮ F.drେ ൌ ∮ P	dx൅ Q	dyେ ൌ ∬ ቀப୕ப୶ െ
ப୔
ப୷ቁ 	dx	dyୈ 
O esboço da região D é da seguinte forma: 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
56 
 
 Para calcular a integral de linha, teríamos que parametrizar as retas OA, AB e 
BO e calcular ∮ F.drେ em cada uma em separado. No entanto, usando o teorema de 
Green, temos para FሬԦሺx, yሻ ൌ ሺ2x ൅ yሻıԦ ൅ ሺ3y ൅ 4xሻȷԦ Pሺx, yሻ ൌ 2x ൅ y e Qሺx, yሻ ൌ
3y ൅ 4x, assim: 
∂Q
∂x ൌ 4			e		
∂P
∂y ൌ 1 
ඵ൬∂Q∂x െ
∂P
∂y൰ 	dx	dyୈ
ൌඵሺ4 െ 1ሻ	dx	dy
ୈ
ൌ 3ඵdx	dy
ୈ
 
Se lembrarmos da unidade 1, a integral ∬ dx	dyୈ corresponde a Área de D, 
ܣሺܦሻ ൌ ∬ dx	dyୈ . Que, nesse caso, se resume a área do triângulo com base igual a 
1 e altura igual 1. Logo: 
රF. dr
େ
ൌ 3ඵdx	dy
ୈ
ൌ 3ܣሺܦሻ ൌ 3. 1.12 ൌ
૜
૛∎
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
57 
 
Terminamos aqui a unidade 2, onde você estudou sobre as Integrais de Linha 
sobre campos escalares e vetoriais, além dos campos conservativos e o Teorema de 
Green. 
 
É HORA DE SE AVALIAR 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão ajudá-lo 
a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-
aprendizagem. 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
58 
 
Exercícios – Unidade 2 
 
 
1-5 Calcule as integrais de linha onde C é a curva dada: 
 
 
1- 
නyଷ	ds
େ
,				C:		x ൌ tଷ, y ൌ t, o ൑ t ൑ 2 
2- 
 
නxyସ	ds
େ
,				C:		Metade	direita	do	círculo	xଶ ൅ ݕଶ ൌ 16 
 
3- 
න൫xଶyଷ െ √x൯	dy
େ
,				C:		Arco	de	curva	y ൌ √x	de	ሺ1,1ሻa	ሺ4,2ሻ	 
 
4- 
නሺxy ൅ y ൅ zሻ	ds
େ
,				C:		rԦሺtሻ ൌ 2t	ܑ ൅ tܒ ൅ ሺ2 െ 2tሻܓ	com	o ൑ t ൑ 1	
5- 
නxyଷ	ds
େ
,				C:		x ൌ 4sen	t, y ൌ 4cost, z ൌ 3t				o ൑ t ൑ π/2	
	
6- Calcule a integral de linha de campo vetorial ׬ F.drେ onde ܨሺݔ,ݕሻ ൌ ݔݕ	݅ ൅
3ݕଶ݆	 e C é dado pela parametrização rԦሺtሻ ൌ 11tସ	ܑ ൅ tଷܒ		com	o ൑ t ൑ 1 
 
7-8 Determine se os campos vetoriais a seguir são conservativos: 
 
7- Fሺx, yሻ ൌ ሺ3 ൅ 2xyሻܑ ൅ ሺxଶ െ 3yଶሻܒ 
 
 
8- Fሺx, yሻ ൌ ሺe୶sen	yሻܑ ൅ ሺe୶ cosyሻܒ 
 
 
7-5 Use o Teorema de Green para calcular as integrais de linha abaixo: 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
59 
9- 
රሺx െ yሻ	dx ൅ ሺx ൅ yሻ	dy
େ
	C: cículo	com	centro	na	origem	e	r ൌ 2	
10- 
රሺxyሻ	dx ൅ ሺxଶyଷሻ	dy
େ
	C: triângulo	com	vértices	ሺ0,0ሻ, ሺ1,0ሻe	ሺ1,2ሻ	
	 	
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
60 
	
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
61 
 
Integrais de Superfície 3 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
62 
Nesta unidade, vamos continuar o conceito das integrais de linha e introduzir 
as chamadas integrais de superfície de campos escalares e vetoriais. Os teoremas 
de Stokes e de Gauss também serão apresentados. 
 
Objetivo da Unidade: 
 Calcular integrais de superfície 
 Calcular o fluxo de campos vetoriais sobre superfícies 
 
Plano da Unidade: 
 Integral de Superfície de Campo Escalar 
 Integral de Superfície de Campo Vetorial 
 Teorema de Stokes e de Gauss (ou Divergência) 
 
Bons Estudos! 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
63 
 
Integral de Superfície de Campo Escalar 
 
Agora, vamos estudar um tipo de integral útil para calcular a área de 
superfícies parametrizadas complexas. Suponha uma superfície S parametrizada 
em função de dois parâmetros u e v, com a seguinte equação paramétrica: 
rሺu, vሻ ൌ xሺu, vሻ	࢏ ൅ yሺu, vሻ	࢐ ൅ zሺu, vሻ	ܓ 
Definimos a integral de superfície de um campo escalar fሺx, y, zሻ sobre uma 
superfície parametrizada S com ሺu, vሻ ∈ D como: 
 
ඵ܎ሺܠ, ܡ, ܢሻ	܌ܛ
܁
ൌ ඵ܎൫ܚሺܝ,ܞሻ൯ |	ܚܝܠ	ܚܞ|܌ܝ	܌ܞᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ
܌ܛ܁
 
 
Onde r୳ 	e	r୴ são os vetores tangentes a superfície S e |	r୳x	r୴| é o módulo do 
produto vetorial desses vetores, que representa o vetor normal ao plano 
tangente a superfície S (ver figura 3.18). 
Figura 3.18: Superfície parametrizada S 
 
 
Fonte: STEWART, 2009, p.1015 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
64 
Para calcular os vetores r୳ 	e	r୴, temos as seguintes fórmulas, usando as 
coordenadas da parametrização de S ൫xሺu, vሻ	, yሺu, vሻ, zሺu, vሻ൯: 
 
r୳ ൌ
∂x
∂u 	ܑ ൅
∂y
∂u 	ܒ ൅
∂z
∂u 	ܓ 
r୴ ൌ
∂x
∂v 	ܑ ൅
∂y
∂v 	ܒ ൅
∂z
∂v 	ܓ 
 E, relembrando a fórmula de produto vetorital, temos, calculando o 
determinante da matriz abaixo: 
 
r୳x	r୴ ൌ ተ
ተ
ܑ ܒ ܓ
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
ተ
ተ ൌ ሺaሻܑ ൅ ሺbሻܒ ൅ ሺcሻܓ 
Assim, obtemos o vetor normal ao plano tangente: 
|	r୳x	r୴| ൌ ඥaଶ ൅ bଶ ൅ cଶ 
Caso a superfície S seja dada em função de uma equação z ൌ zሺx, yሻ, podemos 
parametrizá-la usando x ൌ x,y ൌ y	e	z ൌ zሺx, yሻ, logo, usamos a seguinte fórmula 
para calcular a integral de superfície: 
ඵ܎ሺܠ,ܡ, ܢሻ	܌ܛ
܁
ൌඵ܎ሺܠ, ܡ, ܢሺܠ, ܡሻሻ ඨ൬૒ܢ૒ܠ൰
૛
൅ ൬૒ܢ૒ܡ൰
૛
൅ ૚	܌ܠ	܌ܡ
ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ
܌ܛ
܁
	
 
Exemplos: 
 
1- Calcule ∬ ܠܡ	܌ܛ܁ , onde S é parametrizada por ܚሺܝ, ܞሻ ൌ ሺܝ െ ܞ	ሻ࢏ ൅
ሺܝ ൅ ܞሻ	࢐ ൅ ሺ૛ܝ ൅ ܞ ൅ ૚ሻ	ܓ com ܗ ൑ ܝ ൑ ૚ e ܗ ൑ ܞ ൑ ܝ 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
65 
Temos que ∬ fሺx,y, zሻ	dsୗ ൌ ∬ f൫rሺu, vሻ൯|	r୳x	r୴|du	dvୗ , portanto, precisamos 
calcular os vetores r୳	e	r୴ com xሺu, vሻ ൌ ሺu െ v	ሻ, yሺu, vሻ ൌ ሺu ൅ vሻ	e	zሺu, vሻ ൌ
ሺ2u ൅ v ൅ 1ሻ: 
r୳ ൌ
∂x
∂u 	ܑ ൅
∂y
∂u 	ܒ ൅
∂z
∂u 	ܓ ൌ 1ܑ ൅ 1ܒ ൅ 2ܓ ൌ ሺ1,1,2ሻ 
r୴ ൌ
∂x
∂v 	ܑ ൅
∂y
∂v 	ܒ ൅
∂z
∂v 	ܓ ൌ െ1ܑ ൅ 1ܒ ൅ 1ܓ ൌ ሺെ1,1,1ሻ 
Com isso, podemos calcular r୳x	r୴ : 
r୳x	r୴ ൌ อ
ܑ ܒ ܓ
1 1 2
െ1 1 1
อ ൌ ሺെ1ሻܑ൅ ሺെ3ሻܒ ൅ ሺ2ሻܓ 
E, finalmente |	r୳x	r୴|: 
|	r୳x	r୴| ൌ ඥሺെ1ሻଶ ൅ ሺെ3ሻଶ ൅ ሺ2ሻଶ ൌ √14 
Logo, podemos escrever a integral de superfície como: 
ඵxy	ds
ୗ
ൌඵሺu െ vሻሺu ൅ vሻ√14		du	dv
ୗ
ൌ √14ඵሺuଶ െ vଶሻ	du	dv
ୗ
ൌ 
ൌ √14න න ሺuଶ െ vଶሻ	dv	du
୳
଴
ଵ
଴
ൌ √14න ቈuଶvെ v
ଷ
3 ቉଴
୳
du
ଵ
଴
ൌ √14න ቆuଷ െ u
ଷ
3 ቇdu
ଵ
଴
ൌ 
ඵxy	ds
ୗ
ൌ √143 ሾu
ସሿ଴ଵ ൌ √
૚૝
૟ ∎ 
 
3.2 Integral de Superfície de Campo Vetorial 
Uma outra aplicação importante das integrais de superfície é no calculo de 
fluxo de campos vetoriais. Seja S uma superfície orientável e ܖሬሬԦ o vetor normal 
unitário externo a essa superfície e ainda seja FሬԦ um campo vetorial contínuo sobre 
S (ver figura 3.19), então a integral de superfície de ۴Ԧ	 em S ou o fluxo de ۴Ԧ	 em S 
é dado por: 
ඵ۴Ԧ	. ds
ୗ
ൌඵ۴Ԧ	. ܖሬሬԦds
ୗ
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
66 
Figura 3.19: Superfície S orientada pelo vetor n 
 
Fonte: STEWART, 2009, p.1031 
 
Se o campo vetorial ۴Ԧ representa um campo de velocidades de um fluido por 
exemplo, a integral ∬ ۴Ԧ	. ܖሬሬԦdsୗ representa o fluxo ou volume de fluido que atravessa 
a superfície S na direção de ܖሬሬԦ. 
Se S for parametrizada em função de rሺu, vሻ ൌ xሺu, vሻ	࢏ ൅ yሺu,vሻ	࢐ ൅ zሺu, vሻ	ܓ, 
calculamos o vetor ܖሬሬԦ	como: 
ܖሬሬԦ ൌ r୳x	r୴|r୳x	r୴|		 
Assim, usando a definiçãode integral de superfície da seção 3.1 
∬ fሺx, y, zሻ	dsୗ ൌ ∬ f൫rሺu, vሻ൯ |	r୳x	r୴|du	dvᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ
ୢୱ
ୗ , podemos escrever: 
ඵFሬԦ	. nሬԦds
ୗ
ൌ ඵF൫rሺu,vሻ൯. r୳x	r୴|r୳x	r୴| |	r୳x	r୴|du	dvᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥୢୱୗ
 
E finalmente: 
ඵ۴Ԧ	. ܖሬሬԦ܌ܛ
܁
ൌ ඵ۴൫ܚሺܝ, ܞሻ൯. ሺܚܝܠ	ܚܞሻ܁ ܌ܝ	܌ܞ 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
67 
Caso a superfície S seja dada em função da equação ܢ ൌ ܢሺܠ,ܡሻ, podemos 
parametrizá-la usando x ൌ x,y ൌ y	e	z ൌ zሺx, yሻ, logo, usamos a seguinte fórmula 
para calcular a integral de superfície: 
ඵ۴Ԧ	.ܖሬሬԦ܌ܛ
܁
ൌ ඵ۴Ԧሺܠ,ܡ, ܢሺܠ, ܡሻሻ	. ൬૒ܢ૒ܠ ,
૒ܢ
૒ܡ , ૚൰܁ ܌ܠ	܌ܡ 
 
Exemplo: 
2- Calcule o fluxo de ۴Ԧሺܠ, ܡ, ܢሻ ൌ ሺ૛ܠሻ଍Ԧ ൅ ሺܠ ൅ ܡሻ	଎Ԧെ ሺ૛࢞࢟ሻܓԦ através da 
superfície S dada por ܚሺܝ,ܞሻ ൌ ܝ	࢏ ൅ ܞ	࢐ ൅ ሺെܝ૛ െ ܞ૛ሻ	ܓ com 
ܗ ൑ ܝ ൑ ૚ e ܗ ൑ ܞ ൑ ૚ . 
 
Sabemos que o fluxo de F sobre S é dado pela integral de superfície: 
ඵFሬԦ	. nሬԦds
ୗ
ൌ ඵF൫rሺu, vሻ൯. ሺr୳x	r୴ሻୗ du	dv 
Logo, precisamos calcular o produto vetorial r୳x	r୴, com rሺu, vሻ ൌ u	݅ ൅ v	݆ ൅
ሺെuଶ െ vଶሻ	k: 
 
r୳ ൌ
∂x
∂u 	ܑ ൅
∂y
∂u 	ܒ ൅
∂z
∂u 	ܓ ൌ 1ܑ൅ 0ܒ െ 2uܓ ൌ ሺ1,0,െ2uሻ 
r୴ ൌ
∂x
∂v 	ܑ ൅
∂y
∂v	ܒ ൅
∂z
∂v	ܓ ൌ 0ܑ ൅ 1ܒ െ 2vܓ ൌ ሺ0,1,െ2vሻ 
Logo,	
r୳x	r୴ ൌ อ
ܑ ܒ ܓ
1 0 െ2u
0 1 െ2ݒ
อ ൌ ሺ2uሻܑ ൅ ሺ2vሻܒ ൅ ሺ1ሻܓ 
Assim, o fluxo de F sobre S será dado por: 
Substituindo as eq. Paramétricas rሺu, vሻ ൌ u	݅ ൅ v	݆ ൅ ሺെuଶ െ vଶሻ	k no campo 
vetorial FሬԦሺx, y, zሻ ൌ ሺ2xሻıԦ ൅ ሺx ൅ yሻ	ȷԦ െ ሺ2ݔݕሻkሬԦ , temos F൫rሺu, vሻ൯ ൌ ሺ2u, u ൅
v, െ2uvሻ: 
ඵFሬԦ	. nሬԦds
ୗ
ൌඵF൫rሺu, vሻ൯. ሺr୳x	r୴ሻୗ du	dv ൌ 
ൌ ඵሺ2u,u ൅ v,െ2uvሻ. ሺ2u, 2v, 1ሻ
ୗ
du	dv 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
68 
Lembrando da definição de produto interno uሬԦሺa,bሻ. vሬԦሺc, dሻ ൌ ab൅ cd: 
ൌ ඵሺ4uଶ ൅ 2uv ൅ 2vଶ െ 2uvሻ
ୗ
du	dv ൌඵሺ4uଶ ൅ 2vଶሻ
ୗ
du	dv ൌ 
ൌ න න ሺ4uଶ ൅ 2vଶሻ	du	dv
ଵ
଴
ଵ
଴
ൌ න ቈ4u
ଷ
3 ൅ 2uv
ଶ቉
଴
ଵ
dv ൌ
ଵ
଴
න ൬43 ൅ 2v
ଶ൰dv ൌ
ଵ
଴
 
ൌ ඵFሬԦ	. nሬԦds
ୗ
ൌ ൤43v ൅
2
3 v
ଷ൨
଴
ଵ
ൌ ૛∎ 
 
3.3 Teorema de Stokes e de Gauss (ou Divergência) 
O Teorema de Stokes, que pode ser visto como uma generalização do 
Teorema de Green, relaciona uma integral de superfície S com a integral de linha 
em torno da curva C fronteira de S. Seja FሬԦ um campo vetorial e S uma superfície 
orientada lisa, cuja fornteira é dada pela curva C (ver figura 3.20), então: 
 
ඵܚܗܜ	۴Ԧ	.ܖሬሬԦ܌ܛ
܁ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ
۴ܔܝܠܗ	܌ܗ	ܚܗܜ܉܋ܑܗܖ܉ܔ
ൌ ර۴Ԧ.܌ܚ
۱ᇣᇧᇤᇧᇥ
۱ܑܚ܋ܝܔ܉çãܗ	܌܍۴Ԧ	
 
 
Figura 3.20: Superfície S orientada e fronteira C 
 
Fonte: STEWART, 2009, p.1036 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
69 
Lembrando que ܚܗܜ	۴Ԧ é o rotacional do campo vetorial ۴Ԧ ൌ ܲ	࢏ ൅ ܳ	࢐ ൅ ܴ	࢑ 
dado por: 
ܚܗܜ	۴Ԧ ൌ ተተ
ܑ ܒ ܓ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R
ተተ ൌ ൬∂R∂y െ
∂Q
∂z൰ܑ ൅ ൬
∂P
∂z െ
∂R
∂x൰ ܒ ൅ ൬
∂Q
∂x െ
∂P
∂y൰ ܓ 
 
O Teorema de Gauss ou da Divergência, estabelece uma relação entre a 
integral tripla numa região sólida E e a integral de superfície na sua fronteira. Seja 
FሬԦ ൌ P	i ൅ Q	j ൅ R	k um campo vetorial através da superfície S e E uma região sólida 
formada pela fronteira de S, então: 
 
ඵ۴Ԧ	.ܖሬሬԦ܌ܛ
܁
ൌ ම܌ܑܞ	۴Ԧ	܌܄	
۳
 
 
Assim, o Teorema de Gauss diz que o fluxo de FሬԦ sobre S é igual a integral tripla 
do divergente de FሬԦ em uma região E, formada pelas fronteiras de S. Esse teorema é 
fundamental para o cálculo de fenômenos físicos como fluxo de campos elétricos e 
magnéticos ou fluxos de calor. 
Lembrando que div	FሬԦ com FሬԦ ൌ P	i ൅ Q	j ൅ R	k ,divergente de F é dado por: 
div	FሬԦ ൌ ∂P∂x ൅
∂Q
∂y ൅
∂R
∂z 
 
Exemplo: 
3- Calcule a integral de linha da curva C, usando o Teorema de Stokes, 
para ۴Ԧሺ࢞, ࢟,ࢠሻ ൌ െ࢟	࢏ ൅ ࢞	࢐ ൅ ࢠ	࢑ e S o paraboloide ࢠ ൌ ૚ െ ࢞૛ െ
࢟૛	ࢉ࢕࢓	ࢠ ൒ ૙ e ܖሬሬԦ a norma exterior unitária. 
O esboço de S é dado por: 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
70 
 
 
Sabemos do Teorema de Stokes que ∮ FሬԦ.drେ ൌ ∬ rot	FሬԦ	. nሬԦdsୗ , assim, 
precisamos calcular o rotacional de F e a normal unitária: 
ܚܗܜ	۴Ԧ ൌ ቮ
ܑ ܒ ܓ
ப
ப୶
ப
ப୷
ப
ப୸െy x z
ቮ ൌ ሺ0 െ 0ሻܑ ൅ ሺ0 െ 0ሻܒ ൅ ሺ1 െ ሺെ1ሻሻܓ ൌ ሺ૙,૙,૛ሻ 
Como a superfície S é dada em função da equação ࢠ ൌ ૚ െ ࢞૛ െ ࢟૛	, podemos 
parametrizá-la usando x ൌ x,y ൌ y	e	z ൌ zሺx, yሻ, logo usamos a seguinte fórmula 
vista na seção 3.1 para calcular a integral de superfície: 
ඵrot	FሬԦ	. nሬԦds
ୗ
ൌඵ rot	FሬԦ	. ൬െ ∂z∂x , െ
∂z
∂y , 1൰େ dx	dy 
൬െ ∂z∂x , െ
∂z
∂y , 1൰ ൌ ሺ2x,2y, 1ሻ 
Assim, temos: 
 
ඵrot	FሬԦ	. ൬െ ∂z∂x , െ
∂z
∂y , 1൰େ dx	dy ൌඵሺ0,0,2ሻ. ሺ2x,2y, 1ሻେ dx	dy 
ൌ 2ඵdx	dy
େ
ൌ 2	AሺCሻ ൌ 2	π.1ଶ ൌ ૛ૈ∎	
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
71 
 
Terminamos aqui a unidade 3, onde você estudou sobre as integrais de 
superfície, Teorema de Stokes e de Gauss. 
 
 
É HORA DE SE AVALIAR 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão ajudá-lo 
a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-
aprendizagem. 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
72 
 
Exercícios – Unidade 3 
 
 
1-4 Calcule as integrais de superfície abaixo: 
 
 
1- ∬ xଶݕݖ	݀ݏୗ onde S é a parte do plano ݖ ൌ 1 ൅ 2ݔ ൅ 3ݕ que está acima do 
retângulo ሾ0,3ሿxሾ0,2ሿ 
 
2- ∬ ݕݖ	݀ݏୗ onde S é a parte do plano ݔ ൅ ݕ ൅ ݖ ൌ 1 que está no primeiro 
octante. 
 
3- ∬ ݕݖ	݀ݏୗ onde S é dado por x ൌ uଶ, y ൌ u	senv, z ൌ u	cos	v	com	o ൑ u ൑ 1 e 
o ൑ v ൑ π/2 . 
 
4- ∬ xଶݖଶ	݀ݏୗ onde S é a parte do cone ݖଶ ൌ ݔଶ ൅ ݕଶ , que está entre os planos 
z=1 e z=3 
 
Para os exercícios 5 , 6 e 7, determine o fluxo de F sobre S com: 
 
 
5- FሬԦሺݔ, ݕ, ݖሻ ൌ ݔݕ	࢏ ൅ ݕݖ	࢐ ൅ ݖݔ	࢑, S é parte do paraboloide ݖ ൌ 4 െ ݔଶ െ ݕଶ que 
está acima do quadrado o ൑ x ൑ 1 e o ൑ y ൑ 1 . 
 
6- FሬԦሺݔ, ݕ, ݖሻ ൌ ݔݖ݁௬	࢏ െ ݔݖ݁௬	࢐ ൅ ݖ	࢑, S é parte do plano ݔ ൅ ݕ ൅ ݖ ൌ 1 que está 
no primeiro octante com orientação para baixo. 
 
7- FሬԦሺx, y, zሻ ൌ x	ܑ ൅ y	ܒ ൅ z	ܓ, S é a esfera xଶ ൅ yଶ ൅ zଶ ൌ 9 
 
8- Use o Teorema de Stokes para calcular FሬԦሺx, y, zሻ ൌ xଶzଶ	ܑ ൅ yଶzଶ	ܒ ൅ xyz	ܓ ,S é 
parte do paraboloide z ൌ xଶ ൅ yଶ que está dentro do cilindro xଶ ൅ yଶ ൌ 4, 
orientado para cima. 
 
9- Use o Teorema de Stokes para calcular FሬԦሺx, y, zሻ ൌ ሺx ൅ yଶሻ	ܑ ൅ ሺy ൅ ݖଶሻ		ܒ ൅
ሺz ൅ ݔଶሻ		ܓ , S é o triângulo com vértices (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). 
 
10- Use o Teorema de Stokes para calcular FሬԦሺx, y, zሻ ൌ ሺyzሻ	ܑ ൅ ሺ2xzሻ		ܒ ൅ ሺe୶୷ሻ		ܓ , 
S é a circunferência xଶ ൅ yଶ ൌ 16, z ൌ 5 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
73 
 
Sequências 4 
 
Equações Diferenciais 
Ordinárias (EDO) 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
74 
Nesta quarta unidade, iremos fazer um estudo sobre os tipos de soluções de 
uma equação diferencial, sua representação e suas soluções particulares. 
 
Objetivo da Unidade: 
 Reconhecer e solução uma equação diferencial ordinária. 
 
Plano da Unidade: 
 Conceitos Fundamentais 
 Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem 
 Equações homogêneas 
 Equações Exatas 
 Equações lineares 
 Equação de bernoulli. 
 Problema do valor inicial (PVI) 
 Equações lineares de ordem N n൒2 
 
 
 
Bons Estudos! 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
75 
 
O estudo das equações diferenciais é de extrema importância na vida do 
engenheiro. Diversos tipos de problema, nas mais variadas áreas da engenharia, 
economia e física, quando modelados matematicamente caem em uma equação 
diferencial. 
 
Conceitos Fundamentais 
Toda equação onde não há uma incógnita que seja uma função de uma só 
variável e que contém pelo menos uma derivada ou diferencial é denominada 
equação diferencial ordinária, ou simplesmente EDO e são da forma: 
 
 ܨ൫ݔ, ݕሺݔሻ, ݕᇱሺݔሻ,… .ݕ௡ሺݔሻ൯ ൌ 0, ݔ ∈ ܫ (4.1) 
 
Onde x é a variável independente num intervalo I e a função incognita é y=y(x) 
e suas derivadas. A EDO mais simples,é da forma yᇱሺxሻ ൌ fሺxሻ e veremos a seguir 
que para resolvê-la, basta determinar a primitiva da função y(x). Vale ressaltar que 
podemos escrever as EDOs em diferentes notações, por exemplo: 
 
ݔଶݕᇱᇱ െ 4ݔݕᇱ ൅ ݕ ൌ ݁௫ (Notação de linha) 
 
ௗ௬
ௗ௧ ൌ 2ݕ െ ݐ (Notação de Leibniz) 
 
ሺݕ െ 2ݔሻ݀ݕ ൅ 5ݔ݀ݔ ൌ 0 (Notação diferencial) 
 
Onde o símbolo de linha representa a derivada ݕᇱሺݔሻ ൌ ௗ௬ௗ௫ 	; ݕᇱᇱሺݔሻ ൌௗమ௬
ௗ௫మ	… . ݕ௡ ൌ
ௗ೙௬
ௗ௫೙	. 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
76 
Existem ainda as equações diferenciais que apresentam mais de uma variável 
independente. Essas equações são chamadas de Equações Diferenciais Parciais 
(EDP) e se apresentam na forma 
பమ୳
ப୶మ ൅
பమ୴
ப୷మ ൅
பమ୵
ப୸మ ൌ 0. São de grande importância no 
estudo da mecânica dos fluidos e outras áreas da engenharia, no entanto não serão 
abordadas no presente curso. 
 
Ordem e Grau de uma EDO 
Em uma equação diferencial, devemos sempre observar sua ordem e seu grau, 
essa observação é bem simples. A ordem de uma equação diferencial é 
determinada pela ordem da derivada de mais alta contida na equação, logo: 
 
ݔ ௗమ௬ௗ௫మ െ ቀ
ௗ௬
ௗ௫ቁ
ଷ ൅ ݕ ൌ 0 é uma EDO de ordem 2 (ou segunda ordem) 
ݕᇱᇱᇱ െ 2ݔݕᇱ ൅ ܿ݋ݏݕ ൌ 0 é de ordem 3 ( ou terceira ordem) 
 
Grau de uma equação diferencial → O grau da equação é o maior dos 
expoentes a que se está elevada a derivada de mais alta ordem contida na 
equação. 
 
Linearidade de uma Equação Diferencial 
Uma equação diferencial é dita linear se pode ser escrita na forma: 
 
ܽ௡ሺݔሻݕ௡ ൅ ⋯൅ ܽଵሺݔሻݕᇱ ൅ ܽ௢ሺݔሻݕ ൌ ݃ሺݔሻ 
 
Onde as potências de y e suas derivadas são 1 e cada coeficiente ܽ௜ é 
dependente de x ou ainda constante. Assim, podemos escrever: 
EDOs Lineares: 
ݔଶݕᇱᇱ െ ݔݕᇱ ൅ ݕ ൌ 0	; ሺܿ݋ݏݔሻݕᇱᇱ െ ݔݕᇱ െ ݕ ൌ ݏ݁݊ሺݔሻ 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
77 
 
EDOs Não Lineares: 
ݔݕᇱᇱ െ ሺݕᇱሻଶ ൅ ݕ ൌ 0	;	ݕଶ ൅ ݀ݕ݀ݔ ൌ 0 
 
EDO Homogênea 
Uma equação diferencial é dita homogênea se só apresenta nos seus termos a 
função incógnita ou derivadas dela. Logo: 
 
ݔݕᇱ ൅ ݕ ൌ 0 EDO Homogênea 
 
ݕሺݔሻ ൅ ௗ௬ௗ௫ ൌ ݔଷ EDO Não Homogênea 
 
Os termos que não apresentam a função incógnita são chamados de termos 
de heterogeneidade e, em geral, são isolados no lado direito da EDO. 
 
Solução de uma equação diferencial 
 
Solucionar ou resolver uma equação diferencial é determinar todas as funções 
que sob a forma finita, verifica-se a equação, ou seja, é a obtenção de uma 
função de várias variáveis livres que, ao substituirmos na função as 
transformamos em uma função identidade. 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
78 
Exemplo: 
݀ݕ
݀ݔ ൌ 3ݔ ൅ 2	
݀ݕ ൌ 3ݔ݀ݔ ൅ 2݀ݔ	
න ݀ݕ ൌ න3ݔ ݀ݔ ൅න 2݀ݔ	
ݕ ൌ 3ݔ
ଶ
2 ൅ 2ݔ ൅ ܿ	
 
Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem 
 
Temos que as equações de 1º ordem e 1º Grau são as equações do tipo 
:
ௗ௬
ௗ௫ ൌ ܨሺݔ, ݕሻ	ou	ܯ݀ݔ ൅ ܰ݀ݕ ൌ 0	,em que ܯ ൌ ܯሺݔ, ݕሻ	e	ܰ ൌ ሺݔ, ݕሻ, sendo as 
funções continuas no intervalo (െ∞,∞ሻ. 
 
Equações de variáveis separáveis: 
Se uma equação do tipo ܯ݀ݔ ൅ ܰ݀ݕ ൌ 0	em que M e N são: Funções de 
apenas uma variável ,Produtos com fatores de uma só variável ou Constantes. Essa 
equação é denominada equação de variáveis separáveis. Assim, podemos 
escrevê-la como: 
 
݀ݕ
݀ݔ ൌ
ܯሺݔሻ
ܰሺݕሻ 	 
ܰሺݕሻ݀ݕ ൌ ܯሺݔሻ݀ݔ 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
79 
Logo para encontrar a solução da EDO, basta integrar o lado esquerdo da 
equação em relação a y e o lado direito em relação a x: 
නܰሺݕሻ݀ݕ ൌ නܯሺݔሻ݀ݔ 
 Exemplos : 
1- Resolver as seguintes EDO’s de variáveis separáveis: 
 
a) ࢊ࢟ࢊ࢞ ൌ ૜࢞ െ ૛ 
݀ݕ ൌ 3ݔ݀ݔ െ 2݀ݔ 
න݀ݕ ൌ න3ݔ ݀ݔ െන 2݀ݔ	
ݕ ൌ 3ݔ
ଶ
2 െ 2ݔ ൅ ܿ		∎	
				 
b) ࢟ࢊ࢞െ ࢞ࢊ࢟ ൌ ૙ 
Nesse caso temos que usar um artifício: dividir os termos por x y( denominado 
fator de integração). Ao fazermos isso, não iremos alterar a equação original e, 
ainda, possibilitaremos a separação das variáveis. Com isso, temos: 
 
ݕ݀ݔ ∙ 1/ݔݕെ ݔ݀ݕ ∙ 1/ݔݕ ൌ 0	
݀ݔ
ݔ െ
݀ݕ
ݕ ൌ 0	
න ݀ݔݔ െ න
݀ݕ
ݕ ൌ ܥ	
݈݊ݔ െ ݈݊ݕ ൌ ܥ	
݈݊ݔ െ ݈݊ݕ ൌ ݈݊݇	
݈݊ݔݕ ൌ ݈݊݇	
ݔ
ݕ ൌ ݇ ⇒ ࢟ ൌ ࢑࢞		∎	
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
80 
 
cሻ ࢞ࢊ࢞െ √૝ି࢞࢟ ࢊ࢟ ൌ ૙	
Nesse caso iremos dividir ambos os membros por √4 െ x com isso, temos: 
 
ݔ
√4 െ ݔ ݀ݔ െ
√4െ ݔ
ݕ√4 െ ݔ ݀ݕ ൌ 0	
	 ݔ√4 െ ݔ ݀ݔ െ
1
ݕ ݀ݕ ൌ 0	
න ݔ√4 െ ݔ ݀ݔ െන
1
ݕ݀ݕ ൌ 0	
න ݔ√4െ ݔ ݀ݔ െ ݈݊ݕ ൌ ܥ	
	
Para calcularmos ׬ ௫√ସି௫݀ݔ , iremos fazer o seguinte : 
 
4 െ ݔ ൌ ݐଶ	
ݔ ൌ െݐଶ ൅ 4	
݀ݔ ൌ െ2ݐ	
 
Sendo assim, temos: 
 
െනെݐ
ଶ ൅ 4
ݐ ∙ 2ݐ	݀ݐ ⟹ െනሺ8 െ 2ݐ
ଶሻ݀ݐ ൌ െ8ݐ ൅ 2 ݐ
ଷ
3 	
 
 Substituindo de volta 4 െ ݔ ൌ ݐଶ: 
 
න ݔ√4 െ ݔ ݀ݔ ൌ െ8൫√4െ ݔ൯൅
2
3 ሺ4 െ ݔሻ√4 െ ݔ	
	 	
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
81 
Voltando a EDO: 
 
8൫√4െ ݔ൯൅ 23 ሺ4 െ ݔሻ√4 െ ݔ െ ݈݊ݕ ൌ ܥ	
݈݊ݕ ൌ 8൫√4 െ ݔ൯൅ 23 ሺ4 െ ݔሻ√4 െ ݔ െ ܥ	
࢟ ൌ ࢋૡ൫√૝ି࢞൯ା૛૜ሺ૝ି࢞ሻ√૝ି࢞ି࡯		∎	
 
dሻ ࢚ࢍ	࢞ ∙ ࢙ࢋࢉ࢟ ࢊ࢞ െ ࢚ࢍ	࢙࢟ࢋࢉ	࢞	ࢊ࢟ ൌ ૙	
Dividindo ambos os membros por	secݕ . ݏ݁ܿ	ݔ	, temos: 
 ݐ݃	ݔ ∙ ݏ݁ܿ ݕ
ݏ݁ܿ ݕ . ݏ݁ܿ	ݔ	 ݀ݔ െ
ݐ݃	ݕݏ݁ܿ	ݔ	
ݏ݁ܿ ݕ . ݏ݁ܿ	ݔ ݀ݕ	
ݐ݃	ݔ
ݏ݁ܿ	ݔ	 ݀ݔ െ
ݐ݃	ݕ	
ݏ݁ܿ ݕ݀ݕ	
ݏ݁݊	ݔ	݀ݔ െ ݏ݁݊	ݕ	݀ݕ ൌ 0	
න ݏ݁݊	ݔ 	݀ݔ െ නݏ݁݊	ݕ 	݀ݕ ൌ ܥ	
െܿ݋ݏ ݔ ൅ ܿ݋ݏ ݕ ൌ ܥ	
cosݕ ൌ cosݔ ൅ ܥ	
	
Aplicando cosିଵሺ	ሻ dos dois lados 
 
cosିଵሺcosݕሻ ൌ cosିଵሺcosݔ ൅ ܥሻ	
࢟ ൌ ࢞൅ ࡯૚,݋݊݀݁	ܥଵ ൌ cosିଵܥ 		∎	
 
Equações homogêneas 
 
As equações diferenciais ordinárias homogêneas são escritas na forma: 
ܡᇱ ൌ ܎ሺܠ,ܡሻ ൌ ۴ቀܡܠቁ 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
82 
Ou ainda escrevendo na forma difencial, temos: 
 
݂ሺݔ,ݕሻ ൌ െܯሺݔ, ݕሻܰሺݔ, ݕሻ 
݀ݕ
݀ݔ ൌ െ
ܯሺݔ,ݕሻ
ܰሺݔ, ݕሻ 
ࡹሺ࢞, ࢟ሻࢊ࢞ ൅ ࡺሺ࢞, ࢟ሻࢊ࢟ ൌ ૙ 
 
Uma equação é definida como homogênea se existir α	 ∈ 	Թ, tal que 
Mሺtx, tyሻ ൌ t஑Mሺx,yሻ e Nሺtx, tyሻ ൌ t஑Nሺx, yሻ. Chamado de grau de 
homogêniedade da equação. 
Exemplos: 
 
a)		൫࢞૛ ൅ ࢟૛൯ࢊ࢞ ൅ ૛࢞࢟ࢊ࢟ ൌ ૙	
Observe que substituindo ܯሺݔ, ݕሻ ൌ ሺݔଶ ൅ ݕଶሻ por Mሺtx, tyሻ ൌ ሺݐଶݔଶ ൅
ݐଶݕଶሻ ൌ ࢚૛ሺݔଶ ൅ ݕଶሻ. O mesmo pode ser feito com Nሺtx, tyሻ ൌ ࢚૛ሺ2ݔݕሻ. Portanto, 
a equação é homogênea. 
 
b)		ሺ૜࢞ ൅ ࢟ሻࢊ࢞ െ ඥ࢞૛ ൅ ૛࢞࢟ࢊ࢟	
( M e N são funções homogêneas do 1º grau) 
 
Resolução de uma equação homogênea 
Seja a equação homogênea ܯ݀ݔ ൅ ܰ݀ݕ ൌ 0, temos: 
݀ݕ
݀ݔ ൌ െ
ܯ
ܰ	
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
83 
Usaremos o mesmo princípio de exercícios anteriores, vamos dividir o 
numerador e o denominador do segundo membro por x elevando à potência 
igual ao grau de homogeneidade da equação, o que resultará uma função de y/x. 
Assim temos: 
݀ݕ
݀ݔ ൌ ܨቀ
ݕ
ݔቁ	
Na forma apresentada acima ainda não conseguimos separar as variáveis, 
sendo assim teremos que fazer outra substituição com essa finalidade, com isso, 
temos: 
Vamos substituir 	௬௫ ൌ ݑ, ficando assim ݕ ൌ ݔ ∙ ݑ 
Derivando a equação acima, em relação a x, temos : 
݀ݕ
݀ݔ ൌ ݑ ൅ ݔ
݀ݑ
݀ݔ	
Com isso, a equação original será transformada em : 
ݑ ൅ ݔݑ′ ൌ ܨሺݑሻ ∴ ݔݑ′ ൌ ܨሺݑሻ െ ݑ	
ࢊ࢛
ࡲሺ࢛ሻ െ ࢛ ൌ
ࢊ࢞
࢞ 	
Que é uma equação de variáveis separáveis, podendo ser resolvida 
simplesmente integrando os dois lados. Depois de resolvida, voltamos a variável 
original em y e encontramos a solução da EDO Homogênea. 
 
Exemplos 
1- Resolver a equação homogênea ሺݔଶ ൅ ݕଶሻ݀ݔ ൅ 2ݔݕ݀ݕ ൌ 0 
 
Substituindo ݕ ൌ ݔ ∙ ݑ ∴ ݀ݕ ൌ ݔ݀ݑ ൅ ݑ݀ݔ , com isso, teremos a equação : 
ሺݔଶ ൅ ݔଶݑଶሻ݀ݔ ൅ 2ݔ ∙ ݑݔሺݔ݀ݑ ൅ ݑ݀ݔሻ ൌ 0 
Dividindo tudo por ݔଶ, temos : 
ሺ1 ൅ ݑଶሻ݀ݔ ൅ 2ݑሺݔ݀ݑ ൅ ݑ݀ݔሻ ൌ 0 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
84 
ሺ1 ൅ ݑଶ ൅ 2ݑଶሻ݀ݔ ൅ 2ݑݔ݀ݑ ൌ 0 
Agora já podemos separar as variáveis, ficando: 
ሺ1 ൅ ݑଶ ൅ 2ݑଶሻ
ݔ ∙ ሺ1 ൅ 3ݑଶሻ ݀ݔ ൅
2ݑݔ
ݔ ∙ ሺ1 ൅ 3ݑଶሻ݀ݑ 
1
ݔ ݀ݔ ൅
2ݑ
ሺ1 ൅ 3ݑଶሻ ݀ݑ 
න1ݔ ݀ݔ ൅ න
2ݑ
ሺ1 ൅ 3ݑଶሻ݀ݑ 
݈݊ݔ െ 13 lnሺ1 ൅ 3ݑ
ଶሻ ൌ ݈݊ܥ 
Acabando com odenominador: 
3݈݊ݔ െ lnሺ1 ൅ 3ݑଶሻ ൌ 3݈݊ܥ 
݈݊ݔଷ െ lnሺ1 ൅ 3ݑଶሻ ൌ ݈݊ܥଷ 
ݔଷ
ሺ1 ൅ 3ݑଶሻ ൌ ܥ 
Relembrando :	௬௫ ൌ ݑ , dai temos: 
࢞૜
൬૚ ൅ ૜ ࢟࢞૛
૛൰
ൌ ࢑ 
 
2- Resolver a equação homogênea x ୢ୷ୢ୶ ൌ y ൅ xe
౯
౮, x ് 0 
 
Dividindo todos os termos por x, temos: 
dy
dx ൌ
y
x ൅ e
୷
୶	 
Substituindo então u=y/x e derivando temos: dy ൌ xdu ൅ udx	ou	yᇱ ൌ
xuᇱ ൅ u 
Substituindo o valor de y′ na equação original: 
y′ ൌ yx ൅ e
୷
୶ 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
85 
xuᇱ ൅ u ൌ u ൅ e୳ 
ݔݑᇱ ൌ ݁௨ 
u′
e୳ ൌ
1
x ⇒ EDO	de	Variáves	Separáveis 
׬ u′e୳ ൌ ׬
1
x 
െeି୳ ൌ lnx ൅ C 
Voltando a variável original y, sabendo que y/x=u: 
eି୷/୶ ൌ െlnx൅ C 
eି୷/୶ ൌ ln൬kx൰ ,onde	c ൌ ln k 
Que podemos explicitar em função de y, aplicando a definição de ln como: 
ܡ ൌ െܠܔܖ ൬ܔܖ ൬ܓܠ൰൰ 	∎ 
 
 
Equações Exatas: 
 
Dizemos que uma EDO do tipo: 
Mሺx,yሻdx൅ Nሺx, yሻdy ൌ 0 
 
É uma EDO Exata se a condição de Euler for satisfeita, ou seja, se: 
 
∂Mሺx, yሻ
∂y ൌ
∂Nሺx, yሻ
∂x 
Assim, verificado que uma equação é exata para resolvê-la devemos encontrar 
uma equação f(x,y)=c. Para isso, basta integrar a primeira igualdade em relação a x 
ou a segunda e relação a y. Esse procedimento será explicado nos exemplos a 
seguir: 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
86 
Exemplos 
 
1- Considere a equação abaixo, verifique se é exata e resolva: 
૝ܠ૜ܡ܌ܠ ൅ ሺܠ૝ ൅ ૛ܡሻ܌ܡ ൌ ૙ 
 
Para verificar se a equação diferencial é exata, basta utilizar a condição de 
Euler, onde Mሺx, yሻ ൌ 4xଷy	e	Nሺx, yሻ ൌ ሺxସ ൅ 2yሻ. Assim: 
 
∂Mሺx, yሻ
∂y ൌ 4x
ଷ	e	∂Nሺx, yሻ∂x ൌ 4x
ଷ 
 
E, portanto, a equação diferencial é exata. Para resolvê-la, devemos integrar a 
uma das igualdades em relação a variável correspondente, isto é, ׬ Mሺx,yሻ	dx ou 
׬ Nሺx,yሻ	݀ݕ. Integrando M(x,y), temos: 
 
fሺx, yሻ ൌ ׬ 4xଷy	dx ൌ y׬ 4xଷ	dx ൌ ܠ૝ܡ൅ ܏ሺܡሻ 
 
Note que ao invés de escrevermos o resultado da integral indefinida mais uma 
constante arbitrária c, optamos por escrever uma função g que só depende de y. 
Pois, essa é a expressão mais geral que podemos encontrar para f. Derivando o 
resultado encontrado em relação a y e comparando com o termo N(x,y), temos: 
 
dfሺx, yሻ
dy ൌ x
ସ ൅ g′ሺyሻ 
Fazendo ୢ
୤ሺ୶,୷ሻ
ୢ୷ ൌ Nሺx,yሻ com Nሺx, yሻ ൌ ሺxସ ൅ 2yሻ: 
xସ ൅ gᇱሺyሻ ൌ xସ ൅ 2ݕ 
Concluímos, portanto, que ܏ᇱሺܡሻ ൌ ૛࢟. Assim integrando para obter e função 
g(y): 
݃ሺݕሻ ൌ ݕଶ ൅ ݇ 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
87 
Logo a solução da EDO Exata é: 
fሺx, yሻ ൌ ܠ૝ܡ൅ ࢟૛ ൅ ࢑ ൌ ࢉ 
Assim, juntando as constantes k e c, obtemos a solução geral da EDO implícita: 
ܠ૝ܡ൅ ࢟૛ ൌ ࢉ	∎ 
 
2- Resolva a equação: 
൫ܠ૜ ൅ ܡ૛൯܌ܠ ൅ ሺ૛ܠܡ ൅ ܋ܗܛܡሻ܌ܡ ൌ ૙ 
 
1° Passo - Verificando se é exata: 
∂Mሺx,yሻ
∂y ൌ 2y	݁	
∂Nሺx, yሻ
∂x ൌ 2ݕ	 
Portanto é exata. 
2° Passo - Integrando um dos membros em relação a variável correspondente, 
com Nሺx, yሻ ൌ 2xy ൅ cosy: 
fሺx, yሻ ൌ ׬ 2xy൅ cosy	dy ൌ ܠܡ૛ ൅ ࢙ࢋ࢔࢟൅ ࢍሺ࢞ሻ 
3° Passo –Derivando o resultado em relação a x e comparando com M(x,y): 
dfሺx, yሻ
dx ൌ Mሺx,yሻ 
ݕଶ ൅ ݃´ሺݔሻ ൌ ݔଷ ൅ ݕଶ ⇒ ࢍ´ሺ࢞ሻ ൌ ࢞૜ 
4° - Integrando em relação a x para obter a função g(x): 
׬ ݃´ሺݔሻ ൌ ݔ
ସ
4 ൅ ݇ 
Portanto, a solução é fሺx, yሻ ൌ c, assim: 
xyଶ ൅ ݏ݁݊ݕ ൅ ݔ
ସ
4 ൅ ݇ ൌ ܿ 
ܠܡ૛ ൅ ࢙ࢋ࢔࢟൅ ࢞
૝
૝ ൌ ࢉ	∎ 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
88 
 
Equações lineares: 
 
São as equações da forma 	ௗ௬ௗ௫ ൅ ܲݕ ൌ ܳ , onde temos que P e Q são funções 
de x ou constantes. Ou ainda na forma: 
ݕᇱ ൅ ܲሺݔሻݕ ൌ ܳሺݔሻ 
Caso Qൌ 0, denominamos a equação como sendo Linear Homogênea ou 
Incompleta. 
 
Resolução de uma equação linear: 
 
1º Método: Método da Substituição ou Método de Lagrange. 
 Seja a equação 
ௗ௬
ௗ௫ ൅ ܲݕ ൌ ܳ, 
Na equação acima, para que possamos resolver, temos que substituir ݕ ൌ ܼ. ݐ , 
onde Z é a nova função incógnita e t a função a determinar . Derivando em 
relação a x temos: 
݀ݕ
݀ݔ ൌ ܼ
݀ݐ
݀ݔ ൅ ݐ
ܼ݀
݀ݔ 
Fazendo as substituição na equação inicial, teremos: 
ܼ ݀ݐ݀ݔ ൅ ݐ
ܼ݀
݀ݔ ൅ ܲ. ܼ. ݐ ൌ ܳ 
Colocando em evidência o termo comum, temos: 
ܼ ൬݀ݐ݀ݔ ൅ ܲ. ݐ൰ ൅ ݐ
ܼ݀
݀ݔ ൌ ܳ 
 
Para resolvermos a equação acima, devemos lembrar os dois casos iniciais, a 
saber: 
1º Caso: 
ௗ௬
ௗ௫ ൌ ܳ, o que acaba por implicar em P= 0, consequentemente 
݀ݕ ൌ ܳ݀ݔ → ݕ ൌ ׬ܳ݀ݔ ൅ ܥ 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
89 
2ª Caso:	ௗ௬ௗ௫ ൅ ܲݕ ൌ ܳ, o que corresponde a Q= 0 ( o que nos dá uma equação 
linear incompleta) , multiplicando os dois membros por dx, temos: 
݀ݕ
݀ݔ . ݀ݔ ൅ ܲݕ. ݀ݔ ൌ 0 
݀ݕ ൅ ݌ݕ݀ݔ ൌ 0 
Separando as variáveis: 
݀ݕ
ݕ ൅ ܲ݀ݔ ൌ 0 
Integrando, teremos: 
න݀ݕݕ ൅ නܲ݀ݔ ൌ ܥ 
݈݊ݕ ൅ නܲ݀ݔ ൌ ܥ 
݈݊ݕ ൌ ܥ െ නܲ݀ݔ 
Pela definição de logaritmo, pode-se escrever: 
ݕ ൌ Ղ௖ି׬௣ௗ௫ ൌ Ղ௖. Ղି ׬௣ௗ௫ 
 
Se Ղ௖ ൌ ݇, temos ݕ ൌ ܭ.Ղି ׬௣ௗ௫ , que é a solução da equação linear 
homogênea ou incompleta, porém não podemos esquecer da equação em Z: 
ܼ ൬݀ݐ݀ݔ ൅ ܲ. ݐ൰ ൅ ݐ
ܼ݀
݀ݔ ൌ ܳ 
Para conseguirmos obter a solução acima , devemos encontrar o valor de Z e t, 
ao fazermos isso teremos a solução da equação linear dita completa, já que 
ݕ ൌ ܼ. ݐ , sendo assim devemos pesquisar uma maneira de calcularmos essas duas 
funções. 
Igualando o coeficiente de Z em um determinado fator, o valor obtido será 
levado ao resto da equação, possibilitando o cálculo de Z, já que t foi calculado da 
forma citada. Desde modo, igualaremos o coeficiente a zero (pela condição 
imposta) 
݀ݐ
݀ݔ ൅ ܲݐ ൌ 0 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
90 
Observemos que a equação acima é do tipo citado no 2º caso, onde t funciona 
como y e cuja solução é: 
ݐ ൌ ܭ. Ղି׬௣ௗ௫ 
 Sendo assim, levando o valor t em ݐ ௗ௓ௗ௫ ൌ ܳ, obtendo assim o valor de Z: 
ܭ. Ղି ׬௣ௗ௫ ܼ݀݀ݔ ൌ ܳ 
ܼ݀
݀ݔ ൌ
1
݇ Ղ
׬௣ௗ௫.ܳ 
 
ܼ݀ ൌ 1݇ Ղ
׬௣ௗ௫.ܳ݀ݔ 
lembrando que ݕ ൌ ܼ. ݐ, ao integrarmos, teremos: 
 ܼ ൌ ଵ௞ ׬Ղ׬௣ௗ௫ . ܳ݀ݔ ൅ ܥ 
 
 ݕ ൌ ܭՂି׬௣ௗ௫ ቂଵ௞Ղ׬௣ௗ௫ .ܳ݀ݔ ൅ ܥቃ 
Assim: 
ݕ ൌ Ղି׬௣ௗ௫ൣՂ׬௣ௗ௫ .ܳ݀ݔ ൅ ܥ൧ 
 
2º Método: Fator Integrante 
Dada uma equação: 
ݕᇱ ൅ ܲሺݔሻݕ ൌ ܳሺݔሻ 
 
Seja fሺxሻ ൌ Ղ׬୮ୢ୶ o chamado fator integrante, temos que f ᇱ ൌ fp assim, 
multiplicando a EDO Linnear por f, temos: 
 
 
f yf
y f y fp qf y f yf qf yf qf
' ( ) '
' ' ' ( ) '       
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
91 
A fórmula acima torna a resolução da EDO Linear simples de ser obtida e é 
sugerido ao aluno que a memorize. Assim, a solução da EDO será dada integrando 
para obter: 
yf ൌ නqf dx൅ C 
ܡ ൌ ૚܎ නܙ܎܌ܠ ൅
۱
܎ 
Exemplos: 
1- yᇱ െ ୷୶ ൌ xെ 2 
 
Fator integrante f ൌ Ղ׬୮ୢ୶ , onde Pሺxሻ ൌ െଵ୶ 	e	Qሺxሻ ൌ xെ 2, assim: 
f ൌ Ղ׬ሺିଵ୶ሻୢ୶ ൌ ݁ି௟௡௫ ൌ ݁୪୬ଵ௫ ൌ 1ݔ 
Logo, usando ሺyfሻᇱ ൌ qf, temos: 
൬y 1x൰
ᇱ
ൌ ሺx െ 2ሻ1x 	⇒ 	
y
x ൌ න ൬1െ
2
x൰ dx	 
y
x ൌ xെ 2lnx൅ c	 
ܡ ൌ ܠ૛ െ ૛ܠܔܖܠ ൅ ܋ܠ	∎ 
 
2- ሺ2 cos xሻyᇱ െ ሺ2	senxሻy ൌ sen	2x 
 
Como as equações lineares são da forma yᇱ ൅ Pሺxሻy ൌ Qሺxሻ, precisamos 
eliminar o termo (2cosxሻ que aparece junto de y′. Assim, dividindo os dois lados da 
equação por 2cosx, temos: 
 
ሺ2 cosxሻyᇱ െ ሺ2	senxሻy ൌ sen	2x			 ൊ 2 cos ݔ 
yᇱ െ ሺtan ݔሻy ൌ sen	x 
Lembrando que sen	2x ൌ 2	sen	xcosݔ 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
92 
Fator integrante f ൌ Ղ׬୮ୢ୶ , onde Pሺxሻ ൌ െtan ݔ 	e	Qሺxሻ ൌ sen	x , assim: 
f ൌ Ղି׬ ୲ୟ୬ ௫ୢ୶ ൌ Ղ୪୬ୡ୭ୱ௫ ൌ cos ݔ 
Logo, usando ሺyfሻᇱ ൌ qf o, temos: 
ሺݕ cosݔሻᇱ ൌ ݏ݁݊	ݔ cosݔ 
ݕ cosݔ ൌ ݏ݁݊
ଶݔ
2 ൅ ܿ 
࢟ ൌ ࢙ࢋ࢔
૛࢞
૛܋ܗܛ࢞ ൅
ࢉ
܋ܗܛ࢞ 	∎ 
 
 
Equação de Bernoulli 
 
A equação diferencial do tipo: y′ ൅ Py ൌ Qy୬ é conhecida como equação de 
Bernoulli, onde P e Q são constantes ou funções de x e n ് 1. Essa é uma equação 
não linear, porém