Álgebra Linear: Introdução e Aplicações

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Álgebra Linear apresenta uma breve introdução à adição de matrizes, multiplicação
por escalar e transposição, para em seguida abordar, de forma bastante didática, o
algoritmo de Gauss para a resolução de sistemas de equações lineares, multiplicação
de matrizes, determinantes, geometria vetorial, espaço vetorial Rn e espaços vetoriais
gerais, entre outros. 
O livro, estruturado em cinco capítulos, contém apêndices sobre trigonometria
básica, indução e polinômios, assim como Respostas e Soluções Selecionadas.
Aplicações
Livro-texto para a disciplina Introdução à Álgebra Linear dos cursos de Matemática,
Física, Estatística, Ciência da Computação e Engenharia, bem como dos cursos de
Economia e Administração, Ciências Sociais e Química.
Capa_Nicholson.qxd 27.08.56 9:16 AM Page 1
W. Keith Nicholson
University of Calgary
ª 
Tradução Técnica
Célia Mendes Carvalho Lopes
Docente da Escola de Engenharia da Universidade Presbiteriana Mackenzie
Leila Maria Vasconcellos Figueiredo
Docente do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo
Martha Salerno Monteiro
Docente do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo
2014
Versão impressa
desta obra: 2006
1C A P Í T U L O
Em matemática e suas aplicações, freqüentemente os números aparecem, de forma natural,
em seqüências retangulares ordenadas. A seguir são apresentados alguns exemplos.
As coordenadas de um ponto no plano são geralmente escritas como um par ordenado
(x, y). Aqui, a palavra ordenado indica que a ordem das coordenadas x e y é importante.
Por exemplo, (2, 3) e (3, 2) representam pontos distintos. Analogamente, as coordenadas
de um ponto no espaço são escritas como uma tripla ordenada (x, y, z).
O sistema de equações lineares
3x − 5y = 2
4x + 7y = 1
é completamente descrito pela tabela 2 × 3 de números
[
3 −5 2
4 7 1
]
.
De fato, é dessa forma que o sistema de equações é representado em um computador.
Voltaremos a esse tópico na Seção 1.2.
Dados estatísticos são, com freqüência, dispostos em tabelas. Por exemplo, o número de
estudantes do sexo masculino, feminino, de graduação e de pós-graduação de uma pequena
faculdade é dado na seguinte tabela:
Tal tabela dá uma descrição gráfica clara dos dados, além de ter outros usos, conforme
veremos.
Grafos dirigidos, como o mostrado à direita na página 2, aparecem freqüentemente
em cronogramas de grandes projetos. Eles são descritos pela tabela de adjacências
em que colocamos o número 1 (ou 0) na linha vi e coluna vj para indicar uma seta
(ou, respectivamente, nenhuma) do vértice vi para o vértice vj. Por exemplo, os vértices
poderiam representar cidades e as setas, os vôos disponíveis. Eliminando-se as pontas
das setas e permitindo-se mais de um segmento entre dois vértices, obtém-se um
modelo para ligações químicas.
Exemplo 4
pós-graduação
3.013
3.155
graduação
256
511
sexo feminino
sexo masculino
Exemplo 3
Exemplo 2
Exemplo 1
1.1 MATRIZES
Equações Lineares
e Matrizes
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C A P Í T U L O 1 Equações Lineares e Matrizes2
Motivado por exemplos como esses, uma tabela retangular de números é chamada
uma matriz,1 e os números na matriz são chamados elementos2 da matriz. Matrizes são
geralmente denotadas por letras maiúsculas A, B, C etc.
As seguintes tabelas são matrizes:
A =
[
1 0 −3
5 3 8
]
B =
[
2 −5
]
C =
⎡
⎢
⎢
⎣
2
0
−3
⎤
⎥
⎥
⎦
D =
⎡
⎢
⎢
⎣
3 1 −1
2 0 5
−2 −2 1
⎤
⎥
⎥
⎦
Matrizes aparecem em várias formas (retangulares), dependendo do número de linhas
e colunas. Por exemplo, a matriz A do Exemplo 5 tem 2 linhas e 3 colunas. Em geral, uma
matriz com m linhas e n colunas é dita uma matriz m × n; também se pode dizer que a
matriz tem tamanho m × n. Assim sendo, as matrizes A, B, C, e D do Exemplo 5 têm
tamanhos 2 × 3, 1 × 2, 3 × 1,e 3 × 3, respectivamente. Não surpreendentemente, uma
matriz de tamanho 1 × n é denominada matriz linha ou uma n-linha, e uma de tamanho
m × 1 é chamada matriz coluna ou uma m-coluna. Uma matriz cujo número de linhas é
igual ao número de colunas é chamada matriz quadrada. Dessa forma, cada matriz
quadrada tem tamanho n × n para algum n.
Cada elemento de uma matriz é localizado pela linha e coluna em que se encontra.
As linhas de uma matriz são numeradas de cima para baixo e as colunas são numeradas
da esquerda para a direita. O elemento que está na linha i e coluna j é chamado elemento
(i, j) da matriz. Por exemplo:
O elemento (1, 2) da matriz
[
1 0 −3
5 3 8
]
é 0 e o elemento (2, 3) é 8.
Uma notação especial foi criada para os elementos de uma matriz A. Se A tem tamanho
m × n, e se o elemento (i, j) de A for denotado por aij, então A é escrita da seguinte maneira:
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a11 a12 a13 ··· a1n
a21 a22 a23 ··· a2n
··· ··· ··· ··· ···
am1 am2 am3 ··· amn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Geralmente isso é escrito simplesmente como A = [aij] e aij denota o elemento que está na
linha i e coluna j. Por exemplo, usando essa notação, uma matriz 2 × 3 genérica é escrita como 
A =
[
a11 a12 a13
a21 a22 a23
]
.
Observe que, como em pares ordenados, duas matrizes A e B são iguais (escrevemos A = B)
se elas tiverem o mesmo número de linhas e de colunas e se os elementos correspondentes
forem iguais. Mais precisamente:
Exemplo 5
1.1.1 Matrizes
v1 v2
v3 v4
v1
v2
v3
v4
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
v1 v2 v3 v4
1 Embora o termo matriz tenha sido usado pela primeira vez em 1848 por James Sylvester (1814–1897), foi Arthur Cayley
(1821–1895) quem primeiro considerou matrizes como conceito especial, em um artigo de 1858 intitulado “Uma memória
sobre a teoria de matrizes”.
2 Definições de termos novos aparecerão em negrito por todo o texto.
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lfilho
Retângulo
1.1 Matrizes 3
A = B se, e somente se,
⎧
⎨
⎩
1. A and B have the same size
2. Corresponding entries are equal
Se A = [aij] e B = [bij] têm ambas tamanho m × n, a afirmação feita pode ser reescrita 
na forma
[aij] = [bij] se, e somente se, aij = bij para todo i e todo j.
Dados A =
[
1 −3 0
2 5 0
]
, B =
[
1 −3
2 5
]
, C =
[
x y
z w
]
, discuta a possibilidade de ser ter A = B,
A = C, ou B = C.
É impossível que se tenha A = B porque A e B têm tamanhos diferentes: A é uma matriz 2 × 3
enquanto B é 2 × 2. Assim, A e B não são iguais (escrevemos, A ≠ B). Analogamente, A ≠ C.
Entretanto, é possível que ocorra B = C, se os elementos correspondentes forem iguais:
[
1 −3
2 5
]
=
[
x y
z w
]
pode ocorrer somente se x = 1, y = −3, z = 2 e w = 5.
A adição de matrizes é feita de modo muito parecido com a adição de números.
Os exemplos a seguir mostram como isso ocorre na prática.
O imposto anual sobre os rendimentos da Empresa 1 (em milhões) é composto de $ 175
milhões de imposto corporativo, $ 35 milhoões de imposto sobre a renda e $ 17 milhões em
imposto sobre as vendas. Esses dados estão resumidos na matriz de impostos sobre os
rendimentos 
T1 = [175 35 17].
Analogamente, a Empresa 2 tem matriz dos impostos igual a 
T2 = [190 41 22].
A matriz dos impostos de ambas as empresas juntas é, então,
T = [175 + 190 35 + 41 17 + 22] = [365 76 39].
Essa nova matriz é obtida somando-se os elementos correspondentes de T1 e T2.
Em geral, se A e B são duas matrizes de mesmo tamanho, sua soma A + B é definida
como a matriz do mesmo tamanho de ambas, cujos elementos são as somas dos elementos
correspondentes de A e de B. Se A = [aij] e B = [bij] , então
[aij] + [bij] = [aij + bij].
Analogamente, a diferença A − B entre A e B é obtida pela subtração dos elementos
correspondentes:
[aij] − [bij] = [aij − bij].
Como na aritmética, A − B é o resultado obtido ao se subtrair B de A. Observe que a adição
e a subtração não são definidas para matrizes de tamanhos diferentes. De fato, adotamos a
seguinte convenção:
Quando escrevemos A + B ou A − B, fica subentendido que A e B têm o mesmo tamanho.
Usaremos essa convenção sem comentários ao longodo livro.
Se A =
[
2 −1 7
−3 5 0
]
e B =
[
4 6 −2
8 1 9
]
, então
A + B =
⎡
⎣
2 + 4 −1 + 6 7 − 2
−3 + 8 5 + 1 0 + 9
⎤
⎦
A − B =
⎡
⎣
2 − 4 −1 − 6 7 − (−2)
−3 − 8 5 − 1 0 − 9
⎤
⎦
=
⎡
⎣
6 5 5
5 6 9
⎤
⎦
=
⎡
⎣
−2 −7 9
−11 4 −9
⎤
⎦
Exemplo 8
Exemplo 7
1.1.2 Adição de Matrizes
S O L U Ç Ã O
Exemplo 6
A e B têm o mesmo tamanho
Os elementos correspondentes são iguais
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Muitas propriedades gerais da adição numérica também valem para a adição de matrizes.
Se A, B e C são matrizes do mesmo tamanho, então:
A + B = B + A
A + (B + C) = (A + B) + C
(Propriedade Comuttiva)
(Propriedade Associativa)
De fato, se A = [aij], então B = [bij], então os elementos (i, j) de A + B e de B + A são,
respectivamente, aij + bij e bij + aij. Como para cada i e j essas somas são iguais, temos:
A + B = [aij + bij] = [bij + aij] = B + A.
Isso demonstra a propriedade comutativa. A propriedade associativa é verificada de modo
análogo.
A matriz m × n cujos elementos são todos iguais a zero é chamada matriz nula desse
tamanho, e é denotada por 0 (ou 0mn se for necessário indicar o tamanho).3 É claro que
0 + A = A para toda matriz A de tamanho m × n .
A oposta da matriz A de tamanho m × n (denotada por –A) é a matriz m × n obtida
tomando-se os opostos de cada elemento de A. Se A = [aij] podemos escrever
−[aij] = [−aij].
Em outras palavras, o elemento (i, j) de –A é −aij. Como a adição de matrizes é feita
componente a componente, temos:
A + (−A) = 0 para toda matriz A de tamanho m × n ,
em que 0 denota a matriz nula de tamanho m × n . O teorema a seguir junta essas quatro
propriedades básicas da adição de matrizes para referência posterior.
Se A, B, e C denotam matrizes m × n arbitrárias, então:
(1) A + B = B + A.
(2) A + (B + C) = (A + B) + C.
(3) 0 + A = A em que 0 denota a matriz nula de tamanho m × n .
(4) A + (−A) = 0.
Se A =
[
3 1
6 4
]
e B =
[
1 −2
0 4
]
, encontre uma matriz X tal que X + B = A.
Para resolver uma equação numérica x + b = a, simplesmente subtraímos b de ambos os
lados da equação obtendo x = a − b. Analogamente, a equação matricial X + B = A leva a 
X = A − B =
[
3 − 1 1 − (−2)
6 − 0 4 − 4
]
=
[
2 3
6 0
]
.
Você pode verificar que a matriz X realmente satisfaz a equação original X + B = A.
As propriedades apresentadas no Teorema 1 têm muitas conseqüências úteis. Por
exemplo, a propriedade (2) afirma que a soma A + (B + C) = (A + B) + C é a mesma,
independentemente de como é feita. Por isso, pode ser escrita simplesmente como
A + B + C. Analogamente, a soma A + B + C + D independe de como é feita. Por exemplo, é
igual a (A + B) + (C + D) e a A + [B + (C + D)]. Além disso, a propriedade (1) do Teorema
1 garante que, por exemplo, B + D + A + C = A + B + C + D. Em outras palavras, a ordem
na qual essas quatro matrizes são somadas não importa. Observações análogas se aplicam a
cinco ou mais matrizes.
Exemplo 9
TEOREMA 1
C A P Í T U L O 1 Equações Lineares e Matrizes4
3 O mesmo símbolo 0 é comumente usado para uma matriz nula e para o número 0. Na prática, isso causa muito pouca confusão já
que o significado quase sempre fica claro pelo contexto.
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Suponha (como no Exemplo 7) que uma empresa tem uma matriz de impostos sobre 
os rendimentos igual a T = [350 65 40]que nos informa que o imposto anual sobre
os rendimentos da empresa é composto por $ 350 milhões de imposto corporativo, $ 65
milhões de imposto sobre a renda e $ 40 milhões de imposto sobre as vendas.
Se o governo decidisse aumentar todos os tipos de imposto em 50%, a nova matriz
de impostos sobre rendimentos passaria a ser 
T1 =
[
3
2 · 350 32 · 65 32 · 40
]
= [525 97.5 60].
Essa nova matriz é calculada a partir de T multiplicando-se cada elemento por 32 .
Em geral, se A é uma matriz e c é um número, o produto de matriz por escalar4 é a
matriz cA obtida pela multiplicação de cada elemento de A pelo número c. Se A = [aij], então 
cA = [caij],
ou seja, o elemento (i, j) de cA é c aij. Observe que a matriz cA tem o mesmo tamanho que a
matriz A.
Se A =
[
1 0 −3
2 7 3
]
e B =
[
5 −6 1
8 8 9
]
, temos
3A =
[
3 0 −9
6 21 9
]
, 12 B =
⎡
⎣
5
2 −3
1
2
4 4 92
⎤
⎦, e
5A − 2B =
[
5 0 −15
10 35 15
]
−
[
10 −12 2
16 16 18
]
=
[
−5 12 −17
−6 19 −3
]
.
Se A é uma matriz qualquer, os seguintes fatos são claros:
1A = A e (−1)A = −A.
Além disso, para todo escalar c e toda matriz A, temos:
c0 = 0 e 0A = 0.
Observe que o símbolo 0 desempenha dois papéis na equação 0A = 0. Ele representa o
número 0 no lado esquerdo da igualdade e representa a matriz nula no lado direito. Essa
ambigüidade é inofensiva já que é sempre claro pelo contexto qual o significado correto.
Há quatro propriedades básicas da multiplicação de matriz por escalar, que registramos
para referência.
Sejam A e B matrizes e sejam c e d números. Então:
(1) c(A + B) = cA + cB.
(2) (c + d)A = cA + dA.
(3) c(dA) = (cd)A.
(4) 1A = A.
Já tínhamos mencionado a propriedade (4). Para verificar a validade de (1), escreva A = [aij]
e B = [bij]. Então A + B = [aij + bij] como antes, e o elemento (i, j) da matriz c(A + B) é 
c(aij + bij) = caij + cbij.
Mas caij e cbij são os elementos (i, j) de cA e cB, respectivamente. Logo, caij + cbij é o
elemento (i, j) de cA + cB, provando (1). As verificações de (2) e (3) são análogas, e deixadas
como exercícios.
D E M O N S T R A Ç Ã O
TEOREMA 2
Exemplo 11
Exemplo 10
1.1.3 Multiplicação de Matriz por Escalar
1.1 Matrizes 5
4 Em álgebra linear, números são freqüentemente chamados escalares; daí o nome.
97,5
Algebra_Chap01_PORTUGUES.qxd 31.08.56 11:20 AM Page 5
C A P Í T U L O 1 Equações Lineares e Matrizes6
As propriedades (1) e (2) no Teorema 2 são chamadas propriedades distributivas. Elas se
estendem a somas de mais de duas matrizes. Por exemplo,
c(A + B + C) = cA + cB + cC,
(c + d + e)A = cA + dA + eA.
Expressões análogas valem para mais de duas parcelas. Esses fatos, juntamente com as
propriedades no Teorema 1, nos permitem simplificar expressões matriciais, somando
termos semelhantes, expandindo e colocando em evidência fatores comuns, exatamente da
mesma forma que expressões algébricas são simplificadas. Eis alguns exemplos.
Simplifique a expressão matricial 3(8A − 5B) + 4(4B − 6A).
O procedimento é o mesmo como se A e B fossem números:
3(8A − 5B) + 4(4B − 6A) = 24A − 15B + 16B − 24A = B.
Assim, a expressão simplifica bastante.
Encontre A sabendo que 15
{
4A −
[
1
−2
]}
=
[
0
5
]
− 2A.
Ao multiplicarmos ambos os lados da expressão por 5, obtemos:
4A −
⎡
⎣
1
−2
⎤
⎦ = 5
⎧
⎨
⎩
⎡
⎣
0
5
⎤
⎦ − 2A
⎫
⎬
⎭
4A −
⎡
⎣
1
−2
⎤
⎦ =
⎡
⎣
0
25
⎤
⎦ − 10A.
A soma de 10A a ambos os lados fornece 14A −
[
1
−2
]
=
[
0
25
]
; em seguida, a soma de 
[
1
−2
]
a
ambos os lados dá
14A =
[
0
25
]
+
[
1
−2
]
=
[
1
23
]
.
Finalmente, a divisão por 14 resulta em A = 114
[
1
23
]
=
⎡
⎣
1
14
23
14
⎤
⎦.
Já observamos que o produto de matriz por escalar cA é a matriz nula se ou c = 0
é o número zero ou A = 0 é a matriz nula. O próximo resultado útil mostra que a
recíproca é verdadeira.
Se cA = 0, então ou c = 0 ou A = 0.
Se c = 0, não há o que demonstrar; se c ≠ 0, devemos mostrar que A = 0. Escreva A = [aij]
onde aij denota o elemento (i, j) da matriz A. Como cA = 0, temos c aij = 0 para cada i e
cada j (c aij é o elemento (i, j) de cA). Como c ≠ 0, temos aij = 0 para cada i e j, ou seja,
A = 0.
Escrever matrizes coluna é complicado e ocupa espaço. A idéia da transposta de uma matriz
ajuda nesse problema por transformar colunas em linhas (há também muitos outros usos
como veremos adiante). Antes de dar a definição, vamos discutir uma outra noção
importante.
Se A = [aij] é uma matriz m × n , a diagonal principal de A consiste dos elementos
a11, a22, a33, · · · .
1.1.4 A Transposta de uma Matriz
D E M O N S T R A Ç Ã O
TEOREMA 3
S O L U Ç Ã O
Exemplo 13
S O L U Ç Ã O
Exemplo 12
Algebra_Chap01_PORTUGUES.qxd31.08.56 11:20 AM Page 6
1.1 Matrizes 7
Assim sendo, os elementos da diagonal estão sobre a linha diagonal que começa no canto
superior esquerdo de A. Por exemplo, em cada uma das matrizes a seguir, a diagonal
principal é formada pelos elementos a e b:
[
a x
y b
] [
a x p
y b q
]
⎡
⎢
⎢
⎣
a x
y b
r s
⎤
⎥
⎥
⎦
Observe que a diagonal principal de uma matriz quadrada se estende do canto superior
esquerdo até o canto inferior direito.
Vamos agora definir, de modo informal, a transposta de uma matriz A de tamanho m × n
como sendo a matriz AT, de tamanho n × m , obtida quando A é “refletida” sobre sua
diagonal principal.
Encontre a transposta de cada uma das seguintes matrizes:
A =
[
3
5
]
, B =
[
0 −1
2 11
]
, C =
[
5 −2 3
]
, D =
[
1 6 9
3 2 7
]
.
AT =
[
3 5
]
, BT =
[
0 2
−1 11
]
, CT =
⎡
⎢
⎢
⎣
5
−2
3
⎤
⎥
⎥
⎦
, DT =
⎡
⎢
⎢
⎣
1 3
6 2
9 7
⎤
⎥
⎥
⎦
.
Claramente a transposta de qualquer matriz-linha é uma matriz coluna e a transposta de
uma matriz coluna qualquer é uma matriz-linha. Isso permite uma nova maneira de pensar
na transposta de uma matriz A:
As colunas de AT são exatamente as transpostas das linhas de A, na mesma ordem.
As linhas de AT são exatamente as transpostas das colunas de A, na mesma ordem.
Esse fato é ilustrado pelas matrizes do Exemplo 14, e leva a uma descrição mais formal de
AT:
Se A = [aij], então AT = [bij] onde bij = aji para todo i e j.
O teorema a seguir agrega quatro propriedades básicas da transposição que serão usadas
repetidamente e sem comentários.
Sejam A e B matrizes do mesmo tamanho e seja c um escalar.
(1) Se A for uma matriz m × n , então AT é uma matriz n × m .
(2) (AT)T = A.
(3) (cA)T = c AT.
(4) (A + B)T = AT + BT.
(1) é parte da definição de AT, e (2) é verdadeira porque (AT)T é o resultado de “refletir”
duas vezes, o que faz retornar a A. Analogamente, (cA)T é o resultado obtido ao multiplicar
de cada elemento de A por c e depois refletir, que é o mesmo que o resultado de primeiro
refletir A e depois multiplicar por c.
Mesmo podendo demonstrar (4) do mesmo modo que anteriormente, usaremos agora a
definição formal. Escreva A = [aij] e B = [bij], de modo que AT = [aji] e BT = [bji] são
obtidos pela troca de i por j em cada posição. Como A + B = [aij + bij], tem-se
(A + B)T = [aji + bji] = [aji] + [bji] = AT + BT.
Isso é o que queríamos.
D E M O N S T R A Ç Ã O
TEOREMA 4
S O L U Ç Ã O
Exemplo 14
Algebra_Chap01_PORTUGUES.qxd 31.08.56 11:20 AM Page 7
lfilho
Retângulo
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