Caderno ADM - Matemática FInanceira 2020 [reoferta] (1)

Prévia do material em texto

Curso Técnico em Administração 
Educação a Distância 
2020 
 
Matemática Financeira 
Arthur Filgueiras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
Arthur Filgueiras 
Curso Técnico em Administração 
 
 
Escola Técnica Estadual Professor Antônio Carlos Gomes da Costa 
 
Educação a Distância 
 
Recife 
 
2.ed. | Jun. 2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor(es) Autor(es) 
Arthur Filgueiras 
 
Revisão de Língua Portuguesa 
Eliane Azevêdo 
 
Design Educacional 
Deyvid Souza Nascimento 
Renata Marques de Otero 
 
Diagramação (2.ed. 2020) 
Jailson Miranda 
 
Catalogação e Normalização 
Hugo Cavalcanti (Crb-4 2129) 
 
 
 
 
 
Coordenação de Curso 
Antonio Silva 
 
Coordenação Executiva 
George Bento Catunda 
Terezinha Mônica Sinício Beltrão 
 
Coordenação Geral 
Paulo Fernando de Vasconcelos Dutra 
 
Conteúdo produzido para os Cursos Técnicos da 
Secretaria Executiva de Educação Profissional de Pernambuco, 
em convênio com o Ministério da Educação 
(Rede e-Tec Brasil). 
 
 
1.ed. | Janeiro, 2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
Sumário 
Introdução .............................................................................................................................................. 5 
1.Competência 01 | Capital, Juros e Taxa de Juros ................................................................................ 6 
1.1 Regime de Capitalização Simples ................................................................................................................ 7 
1.2 Regime de Capitalização Composta ............................................................................................................ 8 
1.3 Juros simples: taxas equivalentes ............................................................................................................. 10 
1.4 Valor nominal e valor presente (ou atual) no regime de juros simples ................................................... 11 
1.5 Juros Compostos ....................................................................................................................................... 14 
1.5.1 Cálculo do Montante ............................................................................................................................. 16 
1.5.2 Cálculo de Juros Compostos .................................................................................................................. 16 
1.5.3 Cálculo do Valor Atual (V) e do Valor Nominal (N) ................................................................................ 17 
1.5.4 Calculando taxas equivalentes ............................................................................................................... 18 
1.5.5 Cálculo do prazo de aplicação de Juros Compostos .............................................................................. 19 
2.Competência 02 | Cálculo de Juros, Valor Futuro, Valor Presente e Prestação a Partir do Uso da 
Calculadora Financeira HP12C .............................................................................................................. 22 
2.1 Apresentação da HP 12 C .......................................................................................................................... 22 
2.1.1 Funções básicas...................................................................................................................................... 23 
2.1.2 Troca de sinal e armazenamento de valores na Calculadora HP12C .................................................... 27 
2.2 Cálculo de Juros Simples na HP12C .......................................................................................................... 28 
2.3 Cálculo de Juros Compostos na HP12C, valor futuro e valor presente .................................................... 31 
2.3.1 Cálculo do valor futuro e de juros compostos ....................................................................................... 31 
2.3.2 Cálculo do Valor Presente ...................................................................................................................... 32 
2.4 Prestações ................................................................................................................................................. 34 
2.4.1 Pagamentos antecipados ....................................................................................................................... 35 
2.4.2 Cálculo de prestações quando existe carência ...................................................................................... 36 
3.Competência 03 | Sistemas de Amortização Price e Sistema de Amortização Constante (SAC) ..... 39 
 
 
 4 
3.1 O estudo de empréstimos......................................................................................................................... 39 
3.2 Sistema de Amortização Constante (SAC) ................................................................................................ 41 
3.2.1 SAC com prazo de carência e prazo de utilização unitária .................................................................... 43 
3.2.2 SAC com prazo de carência, juros capitalizados e prazo de utilização unitário .................................... 44 
3.3 Sistemas de Amortização Price ................................................................................................................. 45 
4.Competência 04 | Cálculo de Juros, Valor Futuro, Valor Presente e Prestação a Partir do Uso da 
Planilha Eletrônica Excel ....................................................................................................................... 50 
4.1 Noções gerais para o trabalho com a planilha Excel ................................................................................ 50 
4.2 Cálculo do Montante e do capital em Juros compostos: procedimentos para construção da planilha no 
Excel ................................................................................................................................................................ 53 
4.3 Cálculo do Valor Futuro ............................................................................................................................ 57 
4.3.1 Função VF ............................................................................................................................................... 58 
4.4 Cálculo do Valor Presente ......................................................................................................................... 62 
4.5 Cálculo de Prestações ............................................................................................................................... 63 
Conclusão ............................................................................................................................................. 68 
Referências ........................................................................................................................................... 69 
Minicurrículo do Professor ................................................................................................................... 70 
 
 
 
 
 
 
 5 
Introdução 
Prezado(a) aluno(a), primeiramente, queremos lhe dar as boas-vindas ao Módulo de 
Matemática Financeira do nosso Curso Técnico em Administração e lhe parabenizar por ter chegado 
até aqui. 
Com certeza você já ouviu falar sobre uma Matemática que é voltada para o estudo e para 
o cálculo de valores financeiros, descontos bancários, juros, dentre tantos outros conceitos que 
ouvimos falar nos noticiários na TV, na internet, nas rodas de conversa e, principalmente, quando 
vamos fazer compras no supermercado, nas lojas dos shoppings centers e ainda no momento em que 
objetivamos atuar no mercado empresarial como empreendedores e donos do nosso próprio 
negócio, tanto aplicando nosso dinheiro como também na administraçãodele para o pagamento de 
eventuais empréstimos. 
Com tantas expectativas e necessidades de nos aprofundarmos nesse conhecimento 
financeiro que envolve a Matemática Financeira, convidamos você, durante esta disciplina, para 
conhecer as noções de Juros simples e Compostos e de Capital já na primeira semana, bem como o 
estudo e o cálculo de prestações através da calculadora financeira HP12C na segunda semana, para 
os Sistemas de Amortização Constante e Price na terceira semana e, teremos ainda, em um último 
momento, a oportunidade de utilizar a planilha eletrônica Excel para o cálculo de juros e prestações 
já estudados na primeira semana. 
A seguir, estudaremos as noções de Capital para uma posterior compreensão do Conceito 
de Juro. A cada conceito trabalhado, iremos trazer exemplos dentro dos contextos em que você já 
está acostumado no seu dia a dia como também aqueles em que você irá se deparar quando estiver 
no exercício profissional como técnico em administração. Já no estudo dos conceitos de Juros Simples 
e Compostos, você terá a oportunidade de conhecer suas aplicações práticas no cotidiano e no 
mercado de consumo de bens e produtos, através de exemplos com aplicações das fórmulas como 
também através de exercícios em que você terá a oportunidade de praticar os conceitos aqui 
estudados. Vamos começar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
Competência 01 
1.Competência 01 | Capital, Juros e Taxa de Juros 
O que você achou da atividade do fórum? Acreditamos que o debate e a exposição das 
ideias sobre o material trabalhado tenham lhe deixado curioso para este momento em que 
estudaremos as noções de Juros Simples e Compostos e de Capital. 
Primeiramente, precisamos entender a noção de capital. Para Hazzan e Pompeo (2014), 
este pode ser definido como: 
 
 
 
Dentro desse contexto, o que seriam juros? Para esses mesmos autores, podemos 
conceituá-los como: 
 
 
 
É importante destacar, com essas definições, que a cobrança de juros pelo emprestador 
se deve, principalmente, ao fato de este se abster do valor emprestado por um determinado período, 
como também por uma possível perda do valor emprestado por conta da inflação ou, ainda mesmo, 
pelo risco que corre de não receber o dinheiro emprestado de volta se o tomador do empréstimo for 
um mau pagador. 
Na Matemática Financeira, o cálculo do Juro só é possível de ser efetuado mediante 
cobrança por uma taxa, conhecida como taxa de juros, que é fixada no mercado de capitais a partir 
da “interação entre as forças que regem a oferta e a procura de créditos” (GOMES e MATHIAS, 2014, 
p.4). Dessa forma, podemos definir o caminho para o cálculo de juros simples através da seguinte 
fórmula: 
 
 
Onde: J corresponde ao Juro; C, ao capital; i, a taxa; e n, ao período em que esse capital 
for disponibilizado. 
Podemos, assim, entender o conceito de Juro como o custo que temos a pagar ao tomar 
um valor emprestado de uma instituição financeira ou ainda como o valor que recebemos quando 
Qualquer valor monetário que uma pessoa física ou jurídica empresta para outra num 
determinado intervalo de tempo. 
O custo de um empréstimo para o tomador (aquele que recebe o empréstimo) ou a 
remuneração que o emprestador recebe por dispor de seu capital para uso de terceiros. 
J = C.i.n 
 
 
 
 
 
 7 
Competência 01 
emprestamos um dinheiro. Um exemplo bem prático é quando aplicamos valores em uma poupança 
e dentro de um mês já podemos obter a remuneração pelo período em que o dinheiro esteve 
aplicado. 
Vale destacar ainda a noção de Montante (M) como sendo a soma do capital inicial (C) 
com os juros (J) obtidos no período analisado: 
 
 
Antes mesmo de iniciarmos os estudos de Juros Simples e Compostos, é importante que 
você entenda as noções básicas dos regimes de capitalização simples e composta, como veremos a 
seguir, com base em Hazzan e Pompeo (2014). 
 
1.1 Regime de Capitalização Simples 
Neste regime, o juro gerado em cada período é constante e igual ao produto do capital 
pela taxa. Além disso, os juros são pagos somente no final da operação. Vejamos um exemplo: 
Exemplo: 
Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante três anos à taxa de 10% a.a. (equivalente 
a 0,10 – fruto da divisão de 10 por 100), em regime de juros simples. Nesse caso, o valor dos juros 
será obtido pela soma do valor do juro em cada período: 
• Durante o 1º ano, o juro gerado foi de 1000 (0,10) = 100. 
• Durante o 2º ano, o juro gerado foi de 1000 (0,10) = 100. 
• Durante o 3º ano, o juro gerado foi de 1000 (0,10) = 100. 
Dessa forma, somente o capital aplicado é que rende juros. O montante, após três anos, 
foi de R$ 1.300,00. O valor foi obtido a partir da soma do capital inicial com os juros de cada um dos 
períodos anteriormente calculados. 
Vamos entender a seguir o regime de capitalização composta com base nos supracitados 
autores. 
 
M = C + J 
 
 
 
 
 
 8 
Competência 01 
1.2 Regime de Capitalização Composta 
Quanto ao regime de Capitalização Composta observe que o juro do 1º período se agrega 
ao capital, resultando no montante M1. O juro do 2º período, que é igual ao produto de M1 pela taxa, 
agrega-se a M1, resultando no montante M2. Já o juro do 3º período, que é igual ao produto de M2 
pela taxa, agrega-se a M2, resultando em um montante M3, e assim por diante. Vejamos um exemplo: 
Exemplo resolvido: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante três anos à taxa de 
10% a.a. (equivalente a 0,10 – fruto da divisão de 10 por 100), em regime de juros compostos. Nesse 
caso, o valor dos juros será obtido da seguinte forma: 
• Durante o primeiro ano, o juro gerado foi de 1000.(0,10) = 100 e o montante após 
um ano foi de R$ 1.100,00. 
• Durante o 2º ano, o juro gerado foi de 1100.(0,10) = 110 e o montante após dois anos 
foi de R$ 1.210,00. 
• Durante o 3º ano, o juro gerado foi de 1210.(0,10) = 121 e o montante após três anos 
foi de R$ 1.331,00. 
Como você pôde perceber, em termos bem práticos, no regime de capitalização simples 
teremos a incidência de juros apenas sobre o capital enquanto que no regime de capitalização 
composta teremos o acréscimo de juros sobre o valor do montante do período anterior considerado. 
Como exemplo para esse último caso, podemos analisar os problemas que são decorrentes da falta 
de pagamento das faturas de cartão de crédito. 
Vamos pensar juntos? Caso você tenha um cartão de crédito e não efetuou o pagamento 
de sua fatura na data estabelecida, você terá uma nova dívida que corresponde aos juros cobrados 
pelo período em que você passar sem quitá-la. Tal dívida será cobrada em regime de juros compostos, 
pois ao valor que você devia na data do vencimento serão acrescidos, dentre outros encargos, os 
juros referentes aquele dia de não pagamento e, passado mais um dia, haverá a cobrança de juros 
sobre o total devido no período anterior, ou seja, serão cobrados juros sobre juros. 
Gostaria de lhe convidar, nesse momento, a dar uma paradinha com os estudos em nosso 
caderno, para assistir a uma videoaula sobre o conceito de Fluxo de Caixa e algumas de suas 
aplicações para o estudo de Juros e Capitais. 
 
 
 
 
 
 9 
Competência 01 
O que você achou da nossa videoaula? Vamos praticar um pouco os conceitos até aqui 
estudados a partir de alguns exemplos resolvidos e através de algumas atividades propostas que 
estão disponíveis na obra “Matemática Financeira” de Hazzan e Pompeo (2014). 
 
Exemplos resolvidos: 
Exemplo 01: Um capital de R$ 8.000,00 é aplicado durante um ano à taxa de 22% a.a. 
(Leia: 22% ao ano). Nessas condições, calcule o juro e o montante: 
Resolução: 
Para o cálculo do juro, basta aplicarmos a fórmula que já estudamos anteriormente: 
J = C.i.n 
J = 8.000(0,22).1 = 1.760 
Se o juro no período de um ano é de R$ 1.760,00, o montante será igual a: 
M = 8.000 + 1.760 = 9.760 
Exemplo 02: Olívia aplicou R$ 12.000,00 a juros compostos à taxa de 1% ao mês. Dois 
meses depois,fez um saque de R$ 5.000,00 e deixou o restante aplicado à mesma taxa. Qual seu 
montante três meses após o saque? 
Resolução: 
• Montante após um mês: 
12.000 + (0,01)12.000 = 12.120 
• Montante após dois meses e antes do saque: 
12.120 + (0,01)12.120 = 12.241,20 
• Montante logo após o saque: 
12.241,20 – 5.000 = 7.241,20 
• Montante um mês após o saque: 
7.241,20 + (0,01)7.241,20 = 7.313,61 
• Montante dois meses após o saque: 
7.386,75 + (0,01) 7.313,61 = 7.386,75 
• Montante três meses após o saque: 
7.386,75 + (0.01)7.386,75 = 7.460,62 
 
 
 
 
 
 10 
Competência 01 
Agora que exploramos as noções dos regimes de capitalização simples e composta, que 
tal praticarmos a partir dos seguintes exercícios? 
 
Exercícios propostos 
Considere o investimento de R$ 200,00 que retornou R$ 212,00 a seu investidor. 
Identifique: a) o capital principal; b) o montante; c) os juros; d) a taxa de juros; 
Se o prazo da aplicação do exercício 1 foi de 3 meses, qual a taxa trimestral de juros? Qual 
o regime da aplicação (simples ou composto) considerado no cálculo destes juros? 
Considerando ainda o exercício 1, qual a taxa de juros mensal simples da aplicação? 
Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 1,5% a.m. Obtenha o 
montante para o prazo de 3 meses. 
Michele aplicou R$ 10.000 a juros compostos e à taxa de 0,7% a.m. Três meses depois 
sacou R$ 6.000 e deixou o restante aplicado à mesma taxa. Calcule seu saldo um mês após o saque e 
dois meses após o saque. 
A seguir, estudaremos as aplicações referentes ao tratamento de Juros Simples. 
 
1.3 Juros simples: taxas equivalentes 
Como você viu, o conceito de Juros Simples já foi trabalhado anteriormente quando 
estudamos o Regime de Capitalização Simples. Vamos estudar agora uma particularidade dos Juros 
Simples que envolve a Equivalência de Taxas. Nesse caso, você estará diante de situações em que 
teremos a utilização de uma taxa de juros em uma unidade de tempo diferente do período em que é 
dado para utilização de um determinado capital. Diante desse problema, precisamos trabalhar com 
taxas de juros equivalentes. Mas o que são taxas equivalentes? Para Hazzan e Pompeo (2014), essas 
taxas, a título de Juros Simples, quando aplicadas em um mesmo capital e durante um mesmo 
período, deram juros iguais. Vejamos alguns exemplos: 
Exemplo 01: Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 1% a.m.? 
Resolução: Você deve, primeiramente, ter ciência de que as taxas equivalentes serão 
sempre proporcionais aos prazos a que se referem. Dessa forma, fica bastante fácil resolver 
problemas desse tipo e outros que seguem posteriormente em nosso caderno. Como o problema 
 
 
 
 
 
 11 
Competência 01 
está solicitando a taxa, em anos, equivalente a taxa de 1% ao mês, basta multiplicar a referida taxa 
por 12. Logo, teremos: 12.1% = 12% a.a. (ao ano). 
Exemplo 02: Nas mesmas condições da questão anterior, qual é a taxa mensal equivalente 
a 9% a.t (ao trimestre)? 
Resolução: Para esse problema, temos uma taxa em trimestre, sendo solicitada uma taxa 
mensal. Para seu cálculo, basta dividir a taxa em trimestre por 3, já que um trimestre possui três 
meses, e teremos a taxa mensal solicitada: 0,09 (9%): 3 = 3% a.m. (ao mês). 
Na sequência, você estudará as noções de Valor Nominal e de Valor Atual no regime de 
juros simples. 
 
1.4 Valor nominal e valor presente (ou atual) no regime de juros simples 
Os conceitos de Valor Atual e de Valor Nominal são bem elucidados e problematizados 
por Hazzan e Pompeo (2014). 
Vamos supor agora que você adquira uma dívida de R$ 11.000,00 a ser paga daqui a cinco 
meses. Se você puder aplicar seu dinheiro hoje, a juros simples e à taxa de 2% a.m., quanto precisará 
aplicar para poder pagar a dívida no seu vencimento? Em problemas desse tipo, a aplicação de um 
capital, a uma determinada taxa de juros, e a um prazo anterior ao vencimento da dívida – aqui 
chamada de Valor Nominal, terá como resultado um montante equivalente ao Valor Nominal que 
aqui denominamos de Valor Atual ou Valor Presente. Para o seu cálculo, aplicaremos a seguinte 
fórmula: 
 
 
Onde: 
N: Valor nominal 
V: Valor atual 
i: Taxa de Juros 
n: Prazo de aplicação do capital até o vencimento. 
Vejamos agora como poderemos resolver o problema anteriormente apresentado e, na 
sequência, veja mais um exemplo resolvido por Hazzan e Pompeo (2014) para que você possa praticar 
um pouco mais. 
V + V.i.n = N 
 
 
 
 
 
 12 
Competência 01 
V + V.i.n = N 
V + V.(0,02).5 = 11.000 
1,1V = 11.000 
𝑉 =
11.000
1,1
= 10.000 
 
Exemplo resolvido: considere que um investidor tenha adquirido por R$ 17.000,00 um 
título de uma empresa, cujo valor nominal seja de R$ 20.000,00. Se o prazo para vencimento for igual 
a 12 meses, a operação dará ao investidor o direito de receber R$ 20.000,00 daqui a 12 meses. Nessas 
condições: 
a) Qual é a taxa de juros dessa aplicação, no período e ao mês, no regime de juros 
simples? 
b) Supondo que seis meses antes do vencimento do título, o investidor, precisando de 
dinheiro, decida vender o título para outro investidor, supondo ainda que, nessa 
data, a taxa de juros para esse tipo de aplicação tenha caído para 1,3% a.m., qual é o 
preço de venda do título? 
 
Resolução: 
a) Primeiramente, precisamos encontrar a taxa de juros da aplicação. Para isso, basta 
dividir o valor de resgate do título pelo valor que esse foi adquirido e depois subtrair o resultado de 
um inteiro, que em Matemática Financeira, representa 100%: 
 
i = 
20.000
17.000
− 1 = 17,65% a. p. (leia ao período) 
 
Por equivalência de taxas, você já pode concluir que a taxa, ao mês, pode ser calculada 
através da divisão da supracitada taxa por 12: 
𝑖 = 
17,65%
12
= 1,47% a. m. 
 
b) Para resolver esse problema, é interessante que você registre todos os dados que o 
problema dispõe de modo a facilitar sua compreensão do que está sendo pedido. 
 
 
 
 
 
 13 
Competência 01 
Nesse caso, temos i = 1,3% a.m., n = 6 meses e N = 20.000: 
V = V.(0,013).6 = 20.000 
1,078V = 20.000 
V = 
20.000
1,078
 
V=18.552,88 
Agora que você já estudou as noções básicas envolvendo Juros Simples, que tal praticar 
mais um pouco com os seguintes exercícios propostos? 
 
Exercícios propostos 
1) Qual é a taxa de juros simples que transforma R$ 4.500,00 em um montante de R$ 8.100,00 em 
um ano? 
2) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu R$ 1.200,00 em 180 dias. Qual é a taxa anual de juros simples 
obtida? 
3) Uma loja de eletrodomésticos anuncia que seus aparelhos são vendidos para se pagar após 60 
dias sem juros. No entanto, concede um desconto de 10% para compras à vista. Qual a taxa de 
juros bimestral cobrada, disfarçada pelo marketing financeiro da loja? 
4) (Cespe/UnB – Chesf/2002) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de herança, sob a condição de 
investir todo o dinheiro em dois tipos particulares de ações, X e Y. As ações do tipo X pagam 7% 
a.a e as ações do tipo Y pagam 9% a.a. Qual é a maior quantia que a pessoa pode investir nas 
ações x, de modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano? 
5) Se um capital de R$ 2.000,00 rendeu R$ 840,00 de juros em dois anos, qual é a taxa de juros 
equivalente trimestral? 
6) Qual é o valor de resgate de R$ 500,00 aplicados por 16 meses à taxa de juros simples de 12% 
a.t.? 
7) A escola Pontual pratica, para o quinto ano do ensino fundamental I, a mensalidade de R$ 615,00. 
O título encontra-se “em aberto” desde o dia 10/01/2015. Quanto será cobrado pela 
mensalidade se a mesma for quitada hoje? 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Instruções (Texto de responsabilidade do Cedente): 
DESCONTO DE R$ 10,00 ATÉ: 05/01/2015 
 
 
 
 
 
 14 
Competência 01 
MULTA DE 2% 
JUROS DE 0,03% AO DIA 
NÃO RECEBER APÓS 30 DIAS DO VENCIMENTO 
PAGUE PREFERENCIALMENTE NAS CASAS 
LOTÉRICAS--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
1) Um título de R$ 24.000,00 vence daqui a dez meses. 
a) Qual seu valor atual hoje, se a taxa de juros simples para esse título for de 2,2% a.m.? 
b) Qual seu valor atual três meses antes do vencimento, se, nesse momento, a taxa de juros 
simples para aplicações neste título for de 2,6% a.m.? 
c) Qual seu valor atual 65 dias antes do vencimento, se, nessa data, a taxa de juros simples para 
aplicações neste título for de 2,1% a.m.? 
Agora que você praticou os conceitos relacionados a Juros Simples, queremos lhe 
convidar para assistir a uma videoaula onde iremos resolver mais alguns exercícios envolvendo esse 
conceito. Na sequência, iremos iniciar os estudos de Juros Compostos e suas aplicações na 
Matemática Financeira. 
 
1.5 Juros Compostos 
Assim como você já estudou em Juros Simples, vimos que sua estruturação se dá no 
regime de capitalização simples. Do mesmo modo, você irá perceber, a partir de agora, que o estudo 
dos Juros Compostos se dá nas condições do regime de capitalização composta em que os juros de 
um período anterior são agregados ao montante, produzindo juros no período seguinte, ou seja, é o 
acúmulo de juros sobre juros. 
Esse caso é bastante comum em nosso dia a dia quando observamos o não pagamento 
de dívidas oriundas de cartões de crédito e outros tipos de financiamento de crédito. As instituições 
financeiras não estão aí no mercado para brincadeira, e sim, para lucrar. Como você já sabe, vivemos 
num mundo globalizado capitalista cuja ordem maior é lucrar. Logo, ninguém vai perder tempo, 
emprestando dinheiro ou crédito a terceiros a título de juros simples. Nesse acúmulo de juros sobre 
juros, trazemos a seguir, a fórmula que servirá de base para que você possa aplicar aos problemas 
envolvendo juros compostos: 
 
 
 
 
 
 15 
Competência 01 
 
Onde: 
M: Montante 
C: Capital 
i: Taxa de aplicação 
n: Tempo – sempre expresso na mesma unidade de tempo em que é dada a taxa. 
(1+i)n: Fator de capitalização. 
Com base no gráfico a seguir, apresentado por Araújo (2013), você poderá observar e 
comparar os montantes a título de Juros Simples e a título de Juros Compostos. Como em Juros 
Compostos, há um acúmulo de juros sobre o montante, podemos visualizar que a formação do 
montante ocorre de forma exponencial, enquanto que, a título de Juros Simples, essa formação 
ocorre de forma linear: 
 
 
 
 
 
Gráfico 1 - Montante a título de juros simples e compostos. 
Fonte: Araújo, 2013, p.1 
Descrição: Temos, no supracitado gráfico, a disposição do tempo no eixo das abscissas (linha horizontal), enquanto que 
o Montante pode ser visualizado no eixo das ordenadas (linha vertical) do plano cartesiano. Observe que o tempo 
marcado no eixo horizontal vale 1 e que, nesse momento, os montantes a Juros Simples (Ms) e a Juros Compostos (Mc) 
são equivalentes. Observe também que, após o período de um ano, os Juros Compostos começam a se tornar maiores 
que os Juros Simples sob a forma exponencial que é decorrente da fórmula de montante que já expomos anteriormente. 
 
Que tal praticarmos um pouco para consolidar o que já estudamos? Na sequência, você 
irá estudar exemplos resolvidos e propostos em que se pedirá o cálculo do Montante, dos Juros, do 
Tempo e da Taxa de Juros. 
M=C.(1+i)n 
 
 
 
 
 
 
 16 
Competência 01 
1.5.1 Cálculo do Montante 
Como você já estudou, a fórmula para se calcular o montante é a seguinte: M =C.(1+i)n. 
Através dessa fórmula, é possível entender que a taxa de juros faz referência à mesma unidade de 
tempo utilizada para n períodos e que o montante gerado será expresso como uma função 
exponencial do capital inicial aplicado. 
 
Exemplo Resolvido: Uma pessoa toma R$ 1.000,00 emprestado a juros de 3% a.m. (ao mês) no prazo 
de 10 meses com capitalização composta. Qual é o montante a ser devolvido após esse período? 
Resolução: C = 1.000 
i = 3% a.m. 
n = 10 meses 
 
Temos: M = C.(1 + i )n 
Logo: M10 = C.(1 + i )10 
M10 = 1000.( 1+ 0,o3 )10 
M10 = 1000.(1,3439163) 
M10 = 1343,9163 
 
Exercício proposto: Uma pessoa fez um empréstimo de R$ 2.000,00 a juros de 2% a.m. (ao mês) no 
prazo de 20 meses com capitalização composta. Qual é o montante a ser devolvido após esse 
período? 
 
1.5.2 Cálculo de Juros Compostos 
Para o cálculo de Juros Compostos (J), iremos utilizar a seguinte equação que pode ser 
obtida através da diferença entre o montante e um dado capital inicial. Daí, teremos: 
 
 
 
J = C0 [ ( 1 + I )n - 1 ] 
 
 
 
 
 
 
 17 
Competência 01 
Como destacam Gomes e Mathias (2014), a obtenção do Juro Composto através da sua 
separação entre o Montante e o Capital Inicial é extremamente relevante em abatimentos fiscais em 
que os juros são produzidos para as pessoas física e jurídica. Observe, agora, sua aplicação em um 
exemplo proposto pelos referidos autores: 
 
Exemplo Resolvido: qual é o valor dos juros pagos em um empréstimo de R$ 1.000,00 a uma taxa de 
juros compostos de 2% a. m e pelo prazo de 10 meses? 
Resolução: São dados os seguintes valores: 
C = 1.000 
i = 2% 
n = 10 
Aplicando-os à equação de Juros Compostos, teremos: 
J = C.[( 1 + I )n - 1] 
J = 1000. [( 1 + 0,02 )10 - 1] 
J = 1000. [1,21899 -1] 
J = 1000. [0,21899] = R$ 218,99 
 
Exercício proposto: qual é o valor do juro gerado por um capital aplicado às seguintes condições: 
a) Taxa de 10% a.a. (ao ano) e prazo de 2 anos; 
b) Taxa de 4% a.t. (ao trimestre) e prazo de 12 meses. 
 
1.5.3 Cálculo do Valor Atual (V) e do Valor Nominal (N) 
Assim como você já estudou em Juros Simples, em Juros Compostos também são 
presentes e importantes as aplicações das noções de valor atual e de valor nominal. Recapitulando 
tais conceitos, entendemos que o valor atual corresponde ao valor da aplicação em uma data inferior 
ao seu vencimento, já o valor nominal é o próprio valor do título na data em que está programado 
para vencer. Seu conhecimento é de grande importância para que você possa, já no seu dia a dia, 
aplicá-los para a quitação antecipada de bens financiados, tendo como consequência uma boa 
economia de dinheiro em seu orçamento. Dessa forma, vejamos como estabelecer uma relação entre 
o valor atual e o valor nominal a partir da equação do Montante: 
 
 
 
 
 
 18 
Competência 01 
 
Sejam V = valor atual na data zero (correspondente ao capital inicial) e N = valor nominal 
na data n (correspondente ao próprio Montante), teremos a seguinte equação: 
 
 
Com base nessa equação, podemos facilmente perceber que o valor atual é apenas o valor 
inverso do montante, podendo ser obtido através da divisão do valor nominal pelo fator de 
capitalização: 
 
 
 
Exemplo resolvido: Por quanto devo comprar um título, vencível daqui a 5 meses com o valor nominal 
de 1.131,40, se a taxa de juros compostos composto corrente for de 2,5% a.m. (ao mês)? (GOMES e 
MATHIAS, 2014, p.86) 
 
Resolução: 
Dados: N = 1.131,40 
i = 2.5% a.m. 
 n = 5 meses 
Substituindo esses valores na fórmula: V = 
𝐍
(𝟏 + 𝐢)𝒏
 
Teremos: V = 
𝟏.𝟏𝟑𝟏,𝟒𝟎
(𝟏,𝟎𝟐𝟓)𝟓
= 𝑹$ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
1.5.4 Calculando taxas equivalentes 
Há situações, assim como você já estudou no caso de juros simples, em que os problemas 
apresentam uma taxa de aplicação de juros em um período diferente do tempo dado. 
Diferentemente dos juros simples, em que o prazo e a taxa eram obtidos por proporcionalidade, em 
juros compostos, precisaremos considerar uma nova regra para efeito de cálculo das taxas 
M = C.(1 + i)n 
 
N = V.(1 + i)n 
 
V = 
𝐍
(𝟏 + 𝐢)𝐧
 
 
 
 
 
 
 
 19 
Competência 01 
equivalentes. Mas, o que são taxas equivalentes, em regime de juros compostos? Uma boa definição 
pode ser encontrada em Gomes e Mathias (2014), quando afirmam que: 
 
 
 
 
 
 
Para o cálculo de taxas equivalentes, a título de juros compostos,podemos fazer uso da 
seguinte fórmula, onde “q” corresponde ao período de correspondência já dado num problema e i 
corresponde à taxa dada: 
 
 
 
 
Exemplo resolvido: Dada a taxa de juros de 9.2727% ao trimestre, determine a taxa de juros 
compostos equivalente mensal. 
 
Resolução: São dados: q =3 meses e i = 9. 2727% a.t. De acordo com equação acima descrita, teremos: 
i3 = ξ𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟗𝟐𝟕𝟐𝟕 − 𝟏
𝟑
 
i3 = 𝟏, 𝟎𝟗𝟐𝟕𝟐𝟕 − 𝟏 
i3 = 1,o3 -1 
i3 = 0,03a.m. ou i3= 3% a.m. (ao mês) 
 
1.5.5 Cálculo do prazo de aplicação de Juros Compostos 
Pelo que você já estudou até aqui, já pôde perceber que as aplicações de juros compostos 
ocorrem por via de leis exponenciais. Assim, o cálculo de prazos e taxas, através da equação que nos 
permite encontrar o montante, será facilitado por meio do trabalho com logaritmos. Dessa forma, 
você poderá utilizar a seguinte equação para o cálculo de prazos: 
 
Duas taxas são ditas equivalentes se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo 
capital, não houver diferença em aplicar em uma ou em outra taxa. Ou ainda, ao aplicar-se um 
mesmo capital por um mesmo intervalo de tempo a cada uma das taxas, ambas as taxas 
produzirão o mesmo montante caso sejam equivalentes. 
iq = ξ𝟏 + 𝐢
𝐪
 - 1 
 
 
 
 
 
 20 
Competência 01 
 
 
 
Onde: M = Montante; C = Capital; n = prazo da aplicação e i = Taxa de aplicação. 
Esse trabalho será bastante facilitado, posteriormente, quando você estudar as 
aplicações de Juros Simples e Compostos a partir da calculadora financeira HP 12-C. 
 
Exemplo resolvido: Uma pessoa aplicou R$ 2.000 em um investimento, obtendo um montante de R$ 
3.456,00. Por quanto tempo se deu essa aplicação se a taxa de juros utilizada nessa operação foi de 
20% a.m. (ao mês)? 
 
Resolução: Nesse problema, temos C = 2.000; M = 3.456,00 e i = 0.2. Substituindo os valores na 
equação, teremos: 
𝑛 =
log 3.456 − log 2.000
log(1 + 0,2)
 
n = 3 meses 
 
Exercício proposto: Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000 produzirá um montante de R$ 
146.853, à taxa de 3% a.m. (ao mês)? 
 
Agora que você já estudou as noções básicas envolvendo Juros Compostos, que tal 
praticar mais um pouco com os seguintes exercícios propostos? Antes de resolvê-los, queremos lhe 
convidar para assistir a outra videoaula onde iremos resolver mais alguns problemas envolvendo 
juros compostos. 
 
1) Determine o valor de um capital que foi aplicado durante 2 anos a uma taxa de juros compostos 
de 39,98% a.t., gerando um montante de R$ 11.750,00. 
2) Quanto devo aplicar hoje para obter um rendimento de R$ 101,25 após 6 meses, a uma taxa de 
juros compostos de 10% ao ano? 
𝒏 =
𝐥𝐨𝐠 𝑴 − 𝐥𝐨𝐠 𝑪
𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝒊)
 
 
 
 
 
 
 
 21 
Competência 01 
3) Quanto se deve depositar na data atual em uma aplicação financeira para ter acumulado R$ 
300.000,00 ao final de 1 ano e 6 meses, sabendo-se que a referida aplicação fornece uma taxa 
de juros de 2% a.m.? 
4) O capital de R$ 500,00 foi aplicado durante dois quadrimestres a uma taxa de 5% a.m. Qual o 
valor dos juros produzidos? 
5) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um montante igual ao 
triplo do capital aplicado. Qual foi a taxa trimestral da aplicação? 
6) Um investidor aplicou R$ 10.000,00 em uma instituição de crédito que paga 10% ao mês, no 
regime de capitalização composta. Se o juro recebido foi de R$ 3.310, qual foi o período em que 
o capital esteve aplicado? 
7) Desejando comprar um carro novo, Julia aplica R$ 13.569,00 a uma taxa de juros compostos de 
13% a.a. Sabendo-se que o carro custará, no momento da compra, R$ 25.000,00. Por quanto 
tempo o dinheiro deverá ficar aplicado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
Competência 02 
2.Competência 02 | Cálculo de Juros, Valor Futuro, Valor Presente e 
Prestação a Partir do Uso da Calculadora Financeira HP12C 
Seja bem-vindo a mais uma semana nos estudos da Matemática Financeira. Agora que 
você estudou e praticou bastante, através dos exercícios, conceitos envolvendo Juros Simples e 
Compostos e Capital, queremos lhe convidar para uma nova experiência envolvendo-os. 
Que tal aplicar todos esses conceitos estudados e resolver problemas de uma forma bem 
mais simples e prática? Para isso, você poderá fazer uso da calculadora financeira HP12C. Com ela, é 
possível fazer cálculos de juros simples e compostos, de valor futuro, valor presente e de prestações, 
além de muitas outras aplicações presentes no mundo dos negócios. Nesta semana, você terá a 
oportunidade de conhecer as funções básicas da HP 12C, desde as operações mais elementares, como 
a adição e a multiplicação, indo de encontro aos cálculos envolvendo os conceitos anteriormente 
descritos de uma forma bastante simples e clara. Temos certeza de que você ficará entusiasmado (a) 
com tantas funções que a calculadora é capaz de desempenhar. Que tal começarmos? 
 
2.1 Apresentação da HP 12 C 
Como futuro técnico em administração, é importante que você adquira a calculadora 
HP12C, pois ela irá facilitar bastante o seu trabalho com cálculos das mais diversas funções da 
Matemática Financeira. Caso você ainda não tenha a calculadora em mãos, sugerimos que faça o 
download do aplicativo da HP 12C, em seu celular, de modo que possa iniciar seus estudos 
imediatamente e sem restrições. 
Na figura a seguir, você pode visualizar nossa calculadora em sua versão Gold (Figura 01). 
Como destacam Hazzan e Pompeo (2014), podemos observar que a HP12C “possui quatro linhas 
(contadas de cima para baixo) e dez colunas (contadas da esquerda para a direita, sendo a última, a 
coluna zero). Então, cada tecla da HP12C pertence a uma linha e a uma coluna” (Op.Cit., p.259). 
Observe ainda que nossa HP12C apresenta teclas na cor branca, funções acima de cada 
tecla, na cor laranja, e abaixo de cada tecla, na cor azul. Cada uma dessas cores permite acesso à 
funções diferentes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
Competência 02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 - Calculadora HP12C. 
Fonte: www.fazerfacil.com.br/calculadoras/hp12c.html 
Descrição: A primeira linha (com cinco teclas) chamamos de linha financeira. Já a segunda linha, apresenta cinco teclas 
que são presentes em calculadoras científicas. A tecla f, em laranja, está localizada na quarta linha, segunda coluna e 
permite acessar as funções em laranja. Já a tecla g, em azul, localizada na quarta linha, terceira coluna, permite acessar 
as funções em azul da calculadora. Já a terceira linha apresenta as teclas especiais. 
 
Como você está percebendo, a HP12C é bastante diferente daquelas calculadoras que já 
estamos acostumados a utilizar no nosso dia a dia. Você já deve ter notado que, diferentemente das 
calculadoras tradicionais, ela não apresenta o sinal de [=], e isso é explicado pelo fato de termos que 
inserir os valores e armazená-los através da tecla [ENTER]. A seguir, iremos estudar as funções básicas 
da HP12C. 
 
2.1.1 Funções básicas 
Antes mesmo de iniciarmos os estudos envolvendo as mais diversas funções da HP12C, é 
de suma importância que você saiba operar com o teclado e com as funções básicas em sua 
calculadora: 
• Tecla [ON] (situada na quarta linha e primeira coluna): liga e desliga a calculadora. 
 
 
 
 
 
 
 
24 
Competência 02 
• Tecla [Enter]: entrada de valores na calculadora. 
• Tecla [CLX] (situada na terceira linha e quinta coluna): utilizada para apagar valores 
apresentados no visor da calculadora. Para apagar valores presentes na memória da 
calculadora e em seus registradores – que você estudará mais adiante – você 
precisará pressionar a tecla [f], para ativar as funções em laranja, seguida da tecla 
[CLEAR REG]. 
• Tecla [.]: utilizada para indicar o uso de vírgula na escrita de números decimais. 
 
Vejamos como proceder para trocar o [.] pela vírgula na HP12C: 
• Desligue a calculadora e, em seguida, pressione as teclas [.] e [ON] ao mesmo tempo.• Solte primeiramente a tecla [ON] e posteriormente a tecla [.]. 
 
Outra função muito importante que podemos atribuir à tecla [f] é a de sua utilização para 
exibição da quantidade de casas decimais no visor da calculadora financeira. Todavia, 
independentemente da quantidade de casas decimais que você possa observar em seu visor, a HP12C 
sempre irá trabalhar com nove casas decimais e, como bem destaca Santos (2001), é recomendável 
que você utilize duas casas decimais, durante os cálculos, em virtude dos centavos de nossa moeda. 
Assim, basta pressionar a tecla [f] seguida de 2 para trabalharmos com duas casas decimais. 
Falando sobre os registradores, você precisa entender que a HP12C apresenta quatro 
registradores, que aqui chamaremos de X, Y, Z e W, e também possui a capacidade de 
armazenamento de até vintes valores em sua memória. Isso se deve ao fato de essa calculadora 
financeira trabalhar com o sistema de pilhas, também chamado de Notação Polonesa Reversa. Daí a 
possibilidade de armazenamento de até quatro valores nos supracitados registradores. Mas como 
podemos fazer esse armazenamento? 
Primeiramente, você precisa entender que os valores digitados na calculadora e que 
aparecem no visor estão no registrador X. Por exemplo: você digita o valor 27 – está no visor, logo no 
registrador X. Para seu armazenamento no registrador Y, você deve pressionar o botão [ENTER] e, 
em seguida, digitar outro valor que ocupará a posição no registrador X. Para que esse novo número 
seja deslocado para o registrador Y, basta pressionar a tecla [ENTER]. Observe que o 27, 
anteriormente posicionado no registrador Y, irá ser deslocado para o registrador Z, e assim 
 
 
 
 
 
 
 
25 
Competência 02 
sucessivamente. Como afirma Santos (2011, p.22), esse processo é semelhante ao “de empilhar 
objetos, como livros ou caixas, sendo que o último objeto empilhado corresponde ao registrador X, 
o penúltimo ao Y, o antepenúltimo ao Z e o anterior a este ao W”. O referido autor ainda chama de 
“lixo” qualquer valor anteriormente armazenado. Veja como é simples trabalhar com os 
registradores: 
 
Pressione 
 
Visor Registrador 
5 5 X = 5 
 Y = lixo 
 Z = lixo 
 W = lixo 
ENTER 5,00 X = 5,00 
 Y = 5,00 
 Z = lixo 
 W = lixo 
2 2,00 X = 2 
 Y = 5,00 
 Z = lixo 
 W = lixo 
ENTER 2,00 X = 2,00 
 Y = 2,00 
 Z = 5,0 
 W = lixo 
7 7 X = 7 
 Y = 2,00 
 Z = 5,00 
 W = lixo 
 
Viu como é fácil? Que tal avançarmos rumo ao trabalho com algumas operações básicas? 
Nesse momento, nós iremos operar no sentido inverso da introdução de valores ao apertar a tecla 
[ENTER]. Isso porque, para efetuar operações como adição, multiplicação e divisão, nós iremos 
operar com os valores que se encontram nos registradores X e Y e, nesse instante, os valores que por 
ventura se encontrem nos registradores Z e W serão trazidos “para cima”, ocupando os registradores 
acima. No caso, o valor obtido através de uma operação entre os presentes em X e Y ficará no 
registrador X e os valores que estavam em Z e W serão deslocados, respectivamente, para Y e para Z. 
 
 
 
 
 
 
 
26 
Competência 02 
Vamos praticar as quatro operações básicas? Seguem dois exemplos com expressões numéricas para 
que você possa visualizar o que dissemos anteriormente: 
• Calcular 30 + 3 x 8 
Pressione 
 
Visor Registrador 
30 30 X = 30 
 Y = lixo 
 Z = lixo 
 W = lixo 
ENTER 30,00 X = 30,00 
 Y = 30,00 
 Z = lixo 
 W = lixo 
3 3 X = 3,00 
 Y = 30,00 
 Z = 30,00 
 W = lixo 
8 8 X = 8 
 Y = 3,00 
 Z = 30,0 
 W = lixo 
x 24,00 X = 24,00 
 Y = 30,00 
 Z = lixo 
 W = lixo 
+ 24,00 X = 54,00 
 Y = lixo 
 Z = lixo 
 W = lixo 
• Calcular 30 + 100 ÷ 4 
Pressione 
 
Visor Registrador 
30 30 X = 30 
 Y = lixo 
 Z = lixo 
 W = lixo 
ENTER 30,00 X = 30,00 
 Y = 30,00 
 Z = lixo 
 W = lixo 
100 100 X = 100 
 Y = 30,00 
 
 
 
 
 
 
 
27 
Competência 02 
 Z = lixo 
 W = lixo 
ENTER 100,00 X = 100,00 
 Y = 30,00 
 Z = 30,00 
 W = lixo 
÷ 25,00 X = 25,00 
 Y = 30,00 
 Z = lixo 
 W = lixo 
+ 55,00 X = 55,00 
 Y = lixo 
 Z = lixo 
 W = lixo 
 
Não é fácil efetuar esses cálculos? Antes de iniciarmos o estudo de funções básicas da 
Matemática Financeira, através da HP12C, queremos lhe convidar a dar uma paradinha na leitura do 
nosso caderno para assistir a uma videoaula, aprofundando os estudos sobre cálculos envolvendo 
operações matemáticas com o auxílio da HP12C. 
O que você achou de nossa videoaula? Antes de lhe dar as orientações para execução da 
atividade semanal, é importante que você ainda se aproprie de mais duas funções na HP12C: a troca 
de sinal e o armazenamento de valores na memória da calculadora. 
 
2.1.2 Troca de sinal e armazenamento de valores na Calculadora HP12C 
Para a troca de sinal em sua HP12C, basta pressionar a tecla [CHS] – em inglês “change 
sign” – que o valor presente no visor da calculadora irá ficar com o sinal diferente do que se 
apresentava anteriormente. É importante você saber que não se trata apenas de tornar negativo um 
número positivo, mas sim compreender que esse novo valor negativo, na Matemática Financeira, virá 
carregado de significados como, por exemplo, um pagamento feito com certo período de atraso. 
Como você já leu no comecinho desse caderno, a HP12C apresenta, além dos quatro 
registradores, uma capacidade de armazenamento de até vinte valores em memórias. Para isso, 
digite um valor e depois pressione a tecla [STO] – que significa “estocar” – seguida de uma tecla 
numérica de [0] a [9], totalizando dez memórias. As outras dez memórias podem ser obtidas 
pressionando a tecla [STO], seguida da tecla [.]e de uma tecla numérica de [0] a [9]. Feito esse 
 
 
 
 
 
 
 
28 
Competência 02 
procedimento, você pode recuperar os valores salvos nessas memórias. Para isso, basta apenas 
pressionar a tecla [RCL] – que significa “recuperar” – seguida das teclas numéricas de [0] a [9] ou [.] 
seguida das teclas de [0] a [9]. 
A seguir, estudaremos as aplicações referentes ao tratamento de Juros Simples e 
Compostos na calculadora financeira HP12C, bem como de cálculos envolvendo valor futuro, valor 
presente e de prestações. 
 
2.2 Cálculo de Juros Simples na HP12C 
Para o trabalho com Juros Simples, tomaremos como base os exemplos apresentados por 
Santos (2001), bem como pelos autores Faro e Lachtermacher (2012). De acordo com o primeiro 
autor, a HP12C apresenta certa limitação para o trabalho com juros simples, uma vez que apenas faz, 
de forma direta, o cálculo de juros. Além disso, ela irá trabalhar com a taxa de juros expressa em 
unidade de anos e, o referido prazo, em dias. 
Ao observar a calculadora HP12C (Figura 02), você poderá perceber a existência de cinco 
teclas superiores, localizadas à esquerda da máquina. Essas teclas são chamadas de registradores 
financeiros, como você pode observar na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 - HP12C – Registradores financeiros. 
Fonte: www.fazerfacil.com.br/calculadoras/hp12c.html 
Descrição: Calculadora HP12C com Ênfase sobre as cinco teclas superiores localizadas à esquerda que fazem referência 
aos registradores financeiros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
Competência 02 
Detalhando cada uma das teclas acima, teremos o seguinte: 
n: Prazo. 
i: Taxa percentual de juros. 
PV: Valor Principal (capital). 
PMT: Pagamento Periódico (utilizado para juros compostos). 
FV: Valor Futuro (utilizado para juros compostos). 
 
Que tal praticarmos um pouco? Veja, a seguir, um exemplo sobre o cálculo de juros 
simples apresentado por Faro e Lachtermacher (2012) e, na sequência, resolva alguns exercícios 
através da HP12C para praticar o que você estudou até aqui. 
 
Exemplo resolvido: 
 
 
 
 
Resolução: para resolver esse problema, você deve estar atento (a) ao fato já descrito que devemos 
utilizar o período expresso em dias e a taxa em anos. Vamos ao passo a passo: 
 
Observe que,primeiramente, foram pressionadas as teclas [f] [REG] para que 
pudéssemos limpar todos os valores salvos em registradores. É importante que você faça isso antes 
de iniciar uma nova operação. Você também pode ter se questionado o porquê de ter que digitar o 
valor 240 seguido da tecla [n]. Isso foi feito em virtude de o tempo estar expresso em meses e, como 
você já leu anteriormente, o tempo para o cálculo de juros simples é trabalhado em dias e a referida 
taxa em anos. Logo, como um mês, em juros comerciais, tem 30 dias, teremos o produto de 8 por 30, 
que equivale a 240 dias. 
[f] [REG] 240 [n] 20 [ i ] 
1000 [CHS] 
[PV]
[f] [INT]
Aparece 
no visor: 
133,33
[ + ]
Aparece 
no visor: 
1133,333
A empresta a B R$ 1.000,00 a uma taxa de juros simples de 20% ao ano, pelo prazo de um 
ano. Porém, antes do encerramento do prazo, digamos no fim de 8 meses, B resolve 
saldar sua dívida. Qual é o valor dos juros nesse período? E do montante? 
 
 
 
 
 
 
 
30 
Competência 02 
Quanto à taxa, há que se destacar que ao pressionar a tecla [i], o valor de 20% descrito 
no problema já será armazenado em valor percentual. O valor 1000 [CHS] [PV] faz referência ao 
capital inicial, também chamado de principal ou ainda de valor presente. Daí o uso da tecla [PV] que 
faz referência ao valor presente – do inglês presente value. Utilizamos também a tecla [CHS] para 
trocar o sinal da operação como uma forma de sinalizar que houve um investimento, logo uma saída 
de dinheiro do caixa. Caso não tivéssemos pressionado essa tecla, a resposta encontrada para os juros 
iria ser exibida no visor com o sinal negativo. 
Enfim, ao pressionar as teclas [f] [INT], conseguimos encontrar o valor dos juros simples 
e, ao pressionar a tecla [+], encontramos o valor do montante, visto que o valor do principal já se 
encontrava armazenado em registrador. Que tal praticarmos um pouco através dos seguintes 
exercícios? Durante sua resolução, estaremos com um fórum aberto para que possamos debater os 
valores encontrados bem como os procedimentos adotados. 
 
Exercícios propostos: 
1) Quais os juros pagos pelo uso de R$ 500,00 de uma conta especial, se a taxa cobrada pelo banco 
é de 12% a.m. e o dinheiro foi usado por 11 dias? 
2) Qual é o valor de resgate de R$ 500,00 aplicados por 16 meses a uma taxa de juros simples de 
12% a.t.? 
3) Um capital de R$ 8.000,00 é aplicado durante um ano a uma taxa de 22% a.a. Nessas condições, 
calcule o juro simples e o montante, através da calculadora HP12C. 
4) Qual o juro simples exato resultante de uma aplicação de R$ 500,00, a uma taxa de 18% a.a., 
empreendida no período de 04 de janeiro de 2006 a 25 de março de 2008? 
 
Você já progrediu bastante com os estudos na nossa calculadora financeira HP12C. Vamos 
dar uma paradinha agora? Após um merecido descanso, queremos lhe convidar a mergulhar nos 
estudos de novas funções na HP12C, agora para o cálculo de juros compostos, valor futuro, valor 
presente e prestações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
Competência 02 
2.3 Cálculo de Juros Compostos na HP12C, valor futuro e valor presente 
Anteriormente, você já estudou, através de fórmulas, os conceitos e procedimentos para 
o cálculo de diversos valores em juros compostos como o capital, montante, prazos, taxas e o próprio 
juro composto. Você verá que, através da HP12C, ganharemos bastante tempo para efetuar esses 
cálculos. Todavia, foi importantíssimo que você tenha vivenciado os conceitos e procedimentos 
trabalhados na semana anterior para que, na presente semana, possa se aprofundar nos estudos da 
Matemática Financeira. Vamos começar? 
 
2.3.1 Cálculo do valor futuro e de juros compostos 
Antes de iniciarmos os procedimentos para que você aprenda a calcular o valor futuro, 
através da HP12C, é importante você compreender que aquilo que chamados de valor futuro 
corresponde ao montante, ou seja, à soma do capital inicial – valor presente – com os juros obtidos: 
 
 
 
Outra informação relevante é que, após o cálculo do valor futuro, a obtenção dos juros 
compostos será bastante simples, como você poderá verificar a seguir. Nessas condições, vejamos 
um exemplo de como calcular o valor futuro, fazendo uso da HP12C, já considerando que a tecla para 
seu cálculo é a [FV]: 
 
 
 
 
 
[ ON ]
[f] 
[REG] 
15.000 
[CHS] 
[PV]
12 [N] 1.5 [ i ]
[ FV ]
Aparece no 
visor: 
17.934,27
15.000 
[ - ] 
Aparece 
no visor 
2.934,42
VALOR FUTURO [FV] = MONTANTE 
 
Um administrador aplicou R$15.000,00 por um ano a uma taxa de juros 
compostos de 1,5% a.m. Quanto ele receberá ao fim do investimento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
Competência 02 
Pressionando a tecla [ON], ligamos a calculadora. Ao pressionar a tecla [f] [REG], você irá 
limpar todos os registradores. Ao inserir o valor de 15.000, certifique-se de pressionar a tecla [CHS] 
para indicar que esse valor representa um movimento de saída (investimento), seguida da tecla [PV] 
– valor presente / capital. Como a taxa é apresentada em meses, inserimos o período de um ano 
como 12 meses, seguido da tecla [N] que representa o período. Através da tecla [FV], você encontrará 
o valor recebido ao término do investimento. No final do cálculo, ao inserir o valor de R$ 15.000,00, 
basta pressionar a tecla [-] – que representa a subtração - para que você possa encontrar o valor dos 
juros compostos gerados no referido período. 
Que tal praticar o cálculo do valor futuro e de juros compostos através de alguns 
exercícios? 
 
Exercício 1: (BNDES - 2008 – CESGRANRIO - Adaptado) Um aplicador depositou, num determinado 
fundo, um valor inicial de R$ 2.000,00. Qual é o valor acumulado, em reais, ao final de 24 meses, 
considerando juros compostos de 1% ao mês? De quanto será o valor dos juros compostos gerados 
nesse período? 
 
Exercício 2: (ESAF - Adaptado) Quanto vale o montante e os juros gerados a partir da aplicação de um 
capital de $ 10.000,00, no regime de juros compostos, pelo período de 3 meses, a uma taxa de 10% 
ao mês, resulta, no final do terceiro mês? 
 
2.3.2 Cálculo do Valor Presente 
Quanto ao cálculo do valor presente, através da HP12C, é importante você compreender 
que aquilo que chamamos de valor presente corresponde ao capital inicial, ou seja, ao valor aplicado 
ou investido e que sua correspondente tecla na calculadora financeira é [PV]: 
 
 
Nessas condições, vejamos um exemplo de como calcular o valor presente, fazendo uso 
da HP12C e, em seguida, serão apresentados alguns exercícios para que você praticar os seguintes 
procedimentos: 
 
VALOR PRESENTE [PV] = CAPITAL INICIAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
Competência 02 
 
 
 
Pressionando a tecla [ON], ligamos a calculadora. Ao pressionar a tecla [f] [REG], você irá 
limpar todos os registradores. Ao inserir o valor de 3.500, você pode pressionar a tecla [CHS] para 
que o valor presente a ser encontrado apareça com o sinal positivo. Caso você não pressione essa 
tecla, o valor a ser encontrado será negativo. O que indicará, como já dissemos, um movimento de 
saída (investimento). Seguida da tecla [CHS], você irá pressionar a tecla [FV] – valor futuro/ montante 
para indicar que o valor de 3.500 representa o montante. Como a taxa é apresentada em meses, 
inserimos o período de um ano como 12 meses, seguido da tecla [N] que representa o período. 
Através da tecla [PV], você encontrará o capital investido. Agora que você já entendeu esse 
procedimento, que tal praticar o cálculo do valor presente através de mais alguns exercícios extraídos 
de provas de concursos públicos? 
 
Exercício 1: (TCE/RO 2007 CESGRANRIO) A Empresa Silva & Filhos obteve um empréstimo pelo qual, 
ao final de um ano, deverá pagar um montante de R$ 100.000,00, incluindo principal e juros 
compostos de 2,5% ao mês. O valor atual desse empréstimo, em reais, é: 
a) 70.000,00 
b) 74.355,48 
c) 75.000,00 
d) 76.923,08 
 
Exercício 2: (Escriturário Banco doBrasil – 2006 - FCC) Se uma empresa optar por um investimento, 
na data de hoje, receberá no final de dois anos o valor de R$ 14.520,00. Considerando a taxa mínima 
de atratividade de 10% ao ano (capitalização anual), o valor atual correspondente a esse investimento 
é: 
[ ON ] [f] [REG] 
3.500.000 
[CHS] [FV]
12 [N] 2.5 [ i ]
[ PV ]
Aparece no 
visor: 2.602,42
Que capital aplicado a juros compostos a uma taxa de 2,5% a.m., produz um 
montante de R$ 3.500,00 após um ano? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
Competência 02 
a) 13.200,00 
b) 13.000,00 
c) 12.500,00 
d) 12.000,00 
 
Convidamos você para dar uma paradinha na leitura do nosso caderno para assistir a mais 
uma videoaula. Nela, você irá estudar mais algumas aplicações da calculadora financeira HP12C para 
cálculos envolvendo prazos e taxas de aplicação. A seguir, iniciaremos o cálculo de prestações com o 
uso da HP12C e tomaremos como base os exemplos desenvolvidos por Santos (2011), na obra 
“Matemática Financeira I com a Calculadora HP12C”. 
 
2.4 Prestações 
O cálculo de prestações pode ser feito de maneira bastante simples ao utilizarmos a 
calculadora financeira HP12C. Para isso, vamos trabalhar com os registradores financeiros que, como 
já vimos (Figura 02), correspondem às cinco teclas localizadas na parte superior à esquerda. Dessa 
forma, teremos: 
n: Prazo. 
i: Taxa percentual de juros. 
PV: Valor Principal (capital). 
PMT: Valor de cada prestação em série uniforme - Pagamento Periódico 
FV: Valor Futuro 
 
Além desses registradores, iremos trabalhar com as teclas [g][BEG] e [g] [END] para 
pagamento de prestações, respectivamente, no início do financiamento (por exemplo, do tipo 1+2) e 
para pagamentos de prestações ao término do primeiro mês do financiamento. Veremos ainda como 
proceder para calcular prestações quando houver o que chamamos de período de carência. Vamos 
entender os modos [END] e [BEG]? 
O modo [END] (fim, em inglês), como descrevemos anteriormente, é utilizado quando o 
pagamento das prestações é iniciado ao final de um mês, havendo o cuidado de se observar, na 
calculadora, de que o modo BEGIN (início, em inglês) esteja desativado, uma vez que se refere a um 
 
 
 
 
 
 
 
35 
Competência 02 
pagamento antecipado. Caso contrário, basta pressionar as teclas [g][END]. Vejamos um exemplo em 
que a primeira prestação será paga após o primeiro mês do financiamento: 
 
 
 
 
Resolução: 
Para a resolução dessa questão, observe que são dados os seguintes valores: PV = 600, n 
= 3 meses e i = 10% a.m. 
 
 
Observe que, ao pressionar as teclas [f] CLEAR [FIN], você irá limpar os registradores. Ao 
pressionar a tecla [PMT], iremos encontrar o valor das prestações. Observe que, no visor, essas 
aparecem com sinal negativo por se tratar de uma saída de dinheiro. Seguindo o caminho que já 
havíamos percorrido anteriormente, poderíamos também digitar o valor do capital financiado com 
sinal negativo. 
Exercício: Um aparelho de som no valor R$ 574,00 foi financiado em 24 vezes iguais 
mensais sem entrada, com juros de 8,4% a.m. Qual o valor das prestações? 
Percebeu o quanto é simples efetuar o cálculo de prestações através da HP12C? Vamos 
estudar, a seguir, como proceder com o pagamento de prestações quando há antecipação de 
parcelas. 
 
2.4.1 Pagamentos antecipados 
Vejamos agora um exemplo para o cálculo de prestações quando há uma antecipação da 
primeira parcela do valor a ser financiado. Atente para o fato de ativar a função que indica a 
antecipação de pagamento através das teclas [g][BEG]. 
[ ON ]
[f] 
CLEAR 
[FIN] 
600[PV] 
Aparece 
no visor 
600,00
3 [N] 10 [ i ]
[ PMT ]
Aparece no 
visor: -241,27
Qual o valor das prestações de um financiamento de R$ 600,00 em 3 vezes iguais 
sem entrada a juros de 10% a.m.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
Competência 02 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
Ao pressionar as teclas [g][BEG], já sinalizamos que haverá uma antecipação de parcelas. 
Você deve estar se questionando o porquê de não termos digitado o prazo igual a dois, uma vez que 
a primeira parcela foi antecipada. Atente para o fato que o “n” irá corresponder ao número de 
parcelas a serem pagas e não ao tempo que levará para se quitar o financiamento. Quanto aos demais 
valores e funções inseridas, você já tem exercitado nos exemplos anteriores. Com o resultado, você 
pode perceber que encontramos as parcelas com o valor negativo por se tratar de uma saída de 
dinheiro. Que tal exercitar o que acabamos de estudar através da seguinte atividade? 
Exercício: Um equipamento eletrônico custa R$ 3.000,00 à vista e pode ser financiado em 
12 vezes (1 + 11) a juros de 3,5% a.m. Qual o valor de cada prestação? 
Agora que você já aprendeu a calcular prestações quando há uma antecipação de valores 
do total financiado, que tal estudarmos o cálculo de prestações quando existe uma carência? 
 
2.4.2 Cálculo de prestações quando existe carência 
O que podemos entender por carência quando tratamos de financiamentos? Para Santos 
(2001, p.104), a carência pode ser entendida como: 
 
 
A partir desse conceito e ainda de acordo com o supracitado autor, podemos afirmar que 
o “modo de financiamento end apresenta carência de 30 dias, já que o tomador do empréstimo 
[ f ] 
CLEAR 
[FIN]
[g] [BEG]
Aparece 
no visor: 
BEGIN 
600 [PV]
Aparece 
no visor: 
600,00 
3 [N] 10 [ i ]
[ PMT ]
Aparece no 
visor: -219,342
Qual o valor das prestações de um financiamento de R$ 600,00 em 3 vezes iguais 
(1 + 2) a juros de 10% a.m.? 
 
 
O prazo que decorre do ato do financiamento até o pagamento da primeira prestação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
Competência 02 
começa a amortizá-lo depois de 30 dias. Podemos dizer também que no modo begin, não há carência 
ou há carência nula” (Op.Cit, p. 104). Que tal praticarmos a partir de um exemplo? Antes de iniciar, 
todavia, é fundamental que você coloque sua calculadora no modo BEGIN, pressionando as teclas [g] 
[BEG]. 
 
Exemplo Resolvido: 
 
 
 
 
Solução: Além de colocar a calculadora no modo BEGIN, é importante que você atualize o valor 
financiado de R$ 560,00 até a data em que será efetuado o primeiro pagamento, ou seja, após 60 
dias, considerando a incidência de juros compostos no valor de 3% a.m.: 
 
Pressione 
 
Visor 
560 ENTER 560,00 
3 % 16,80 
+ 576,80 
3 % 17,30 
+ 594,10 
 
Após a atualização do valor financiado, podemos avançar rumo ao cálculo das prestações 
na HP12C, seguindo os mesmos comandos que utilizamos para o cálculo anterior: 
 
Não é fácil? Vamos praticar através do seguinte exercício como encontrar o valor das 
prestações quando há carência. 
 
[ f ] 
CLEAR 
[FIN]
[g] [BEG]
Aparece 
no visor: 
BEGIN 
594,10 
[PV]
Aparece 
no visor: 
594,10 
4 [N] 3 [ i ]
[ PMT ]
Aparece no 
visor: -115,17
Um magazine anuncia que uma cômoda no valor de R$ 560,00 pode ser financiada em 
4 vezes sob juros de 3% a.m. com o primeiro pagamento para daqui a 60 dias. Calcule o 
valor de tais prestações. 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
Competência 02 
Exercício: um estofado no valor à vista de R$ 800,00 é comprado em 4 vezes com o primeiro 
pagamento para daqui a 90 dias. Se a taxa de juros considerada é de 3,7% a.m., qual o valor das 
parcelas? 
Agora que você já estudou o passo a passo para resolver os mais variados problemas 
envolvendo juros compostos, valor futuro, valor presente e prestações, que tal praticarmos mais um 
pouco através dos seguintes exercícios propostos? As questões que você irá resolver foram extraídas 
da obra “Introdução à Matemática Financeira”, de Clovis de Faro e Gerson Lachtermacher, publicada 
em 2012 e serão facilmente resolvidas através da HP12C. Vamos começar? 
 
Exercícios propostos 
1) Qual o juro devido a um capital de R$ 1.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 5,5% a.a. 
por um prazo de 10 anos? 
2) Qual a taxa de juros,em regime de juros compostos, que torna um capital de R$ 1.000,00 em um 
montante de R$ 1.708,14, num prazo de 10 anos? 
3) Qual capital inicial que, aplicado à taxa de juros de 5,5% a.a., em regime de juros compostos, gera 
um montante de R$ 1.708,14 num prazo de 5 anos? 
4) Sendo a taxa de juros compostos de 1% a.m., quantos anos serão precisos para que o capital 
aplicado multiplique por dez? (FARO & LACHTERMACHER, 2012, p.60). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
Competência 03 
3.Competência 03 | Sistemas de Amortização Price e Sistema de 
Amortização Constante (SAC) 
Seja bem-vindo a mais uma semana nos estudos da Matemática Financeira. Agora que 
você estudou e praticou bastante, através dos exercícios e da calculadora financeira HP12C, conceitos 
envolvendo Juros Simples e Compostos e o cálculo de prestações, queremos lhe convidar para o 
estudo de dois sistemas de amortização que são fundamentais para o mundo dos negócios: o Sistema 
de amortização Price e o Sistema de Amortização Constante (SAC). 
Mas o que significa amortizar? Em que campo dos negócios você, como futuro técnico em 
administração, irá aplicar esses sistemas de amortização? Em resposta à primeira pergunta podemos 
entender a amortização como o processo de pagamento de uma dívida de forma periódica. Quanto 
ao segundo questionamento, podemos lhe antecipar a presença e a necessidade destes, por exemplo, 
para os cálculos de prestações em financiamentos de imóveis. Certamente, você conhece alguém que 
já precisou financiar o valor de um veículo ou de um imóvel em determinadas condições estabelecidas 
por instituições financeiras credenciadas a bancos. Nesses casos, são estipuladas condições para o 
pagamento dos valores dos juros e das prestações dos valores a serem amortizados. 
Que tal começarmos a explorar o que vem a ser um empréstimo para uma ampla 
compreensão dessas situações? 
 
3.1 O estudo de empréstimos 
Ao trabalhar com empréstimos o que nos chama a atenção é o que dele decorre: uma 
dívida. Esta, por sua vez, surge quando tomamos um dinheiro emprestado por certo período e a uma 
dada taxa de juros. O que você deve tomar cuidado é com o prazo com que você negocia essa dívida, 
pois, geralmente, quanto mais tempo você levar para pagar esse valor emprestado, maior será a taxa 
de juro a ser negociada. Daí a classificação dos empréstimos em três modalidades: MÉDIO, CURTO E 
LONGO PRAZOS. Os dois primeiros são saldados em até três anos. Já os de longo prazo possuem um 
tratamento especial que será fruto de nossos estudos nesta semana. Em suma, os juros são 
calculados sobre o saldo devedor e seu pagamento é previamente esquematizado entre as partes 
interessadas (o credor e o devedor). 
 
 
 
 
 
 
40 
Competência 03 
Mas o que significam esses termos em negrito? Como futuro técnico em administração é 
importante que você se aproprie de conceitos como esses, que são bastante recorrentes em 
operações financeiras envolvendo empréstimos e financiamentos de valores. Tais termos são 
expostos em Gomes e Mathias (2014, p.284) de forma bastante clara: 
• Mutuante ou credor: aquele que dá o empréstimo. 
• Mutuário ou devedor: aquele que recebe o empréstimo. 
• Taxa de juros: é aquela contratada entre as partes. A depender das condições adotadas, pode 
fazer referência ao custo efetivo do empréstimo ou não. 
• IOF: imposto sobre operações financeiras. 
• Prazo de utilização: corresponde ao intervalo de tempo em que o empréstimo é transferido do 
credor para o devedor. Quando o empréstimo é transferido em única parcela, dizemos que o 
prazo é unitário. 
• Prazo de carência: é o período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da 
primeira amortização. Durante esse período, o tomador do empréstimo paga apenas os juros. 
Existe carência quando este prazo é superior a, pelo menos, o dobro, do menor período de 
amortização das parcelas. É possível, também, que haja acordo entre as partes e os juros devidos 
no prazo de carência sejam capitalizados e pagos posteriormente de modo que não haja 
desembolso de juros durante a carência. 
• Parcelas de amortização: são as parcelas de devolução do capital emprestado. 
• Prazo de amortização: é o intervalo de tempo em que são pagas as amortizações. 
• Prazo total do financiamento: é a soma do prazo de carência com o prazo de amortização. 
• Saldo devedor: é o estado da dívida em um determinado instante de tempo. 
• Período de amortização: é o intervalo de tempo existente entre duas amortizações. 
 
Já os conceitos de prestação e de planilha são claramente descritos por Hazzan e Pompeo 
(2014, p.235): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prestação é o pagamento acrescido de impostos e outros encargos. Ao desconsiderar os 
impostos e encargos, a prestação reduz-se ao pagamento da amortização acrescida do juro em 
cada período. 
 
 
 
 
 
 
 
41 
Competência 03 
 
 
 
 
A construção de planilhas é fundamental para que você possa organizar os dados obtidos 
em situações de empréstimo. Vale lembrar que sua construção, através do Excel, será alvo de nossos 
estudos apenas na próxima semana. Logo, o que iremos tratar adiante ficará restrito ao trabalho com 
representações em tabelas. 
Antes de iniciarmos o estudo do sistema de amortização constante, queremos lhe 
convidar a dar uma paradinha na leitura do nosso caderno para assistir a uma videoaula sobre a 
construção de planilhas com base na exposição feita por Hazzan e Pompeo (2014), na obra 
“Matemática Financeira”. 
 
3.2 Sistema de Amortização Constante (SAC) 
O que você achou de nossa videoaula? Agora que você já está familiarizado com a 
construção de planilhas, podemos iniciar os estudos do SAC, aplicando o que você acabou de assistir. 
Nesse sistema, é importante que você compreenda que o credor irá exigir a devolução do 
valor tomado no empréstimo a partir de parcelas com amortização iguais. Os juros serão calculados 
a cada período, fazendo-se a multiplicação da taxa de juros pelo saldo devedor remanescente do 
período anterior. O que irá acarretar em prestações decrescentes até que a dívida seja totalmente 
amortizada. 
Os seguintes exemplos resolvidos e propostos, bem como os modelos de planilhas 
apresentados, tomaram como referência o trabalho desenvolvido por Gomes e Mathias (2014). 
 
Exemplo resolvido: 
 
 
 
 
 
 
Planilha é um quadro demonstrativo em que comparecem, em cada instante de tempo, dados 
referentes ao tempo, ao juro, à amortização, ao saldo devedor, à prestação, aos impostos e a 
outros encargos. 
 
Para um projeto de expansão, a empresa Pesqueiros Ltda. obtém um financiamento de R$ 
5.000.000,00, nas seguintes condições: 
 
a) Taxa de Juro Nominal: 8% a.a. – com pagamentos semestrais. 
b) Amortização: SAC, com pagamentos semestrais. 
c) Prazo de Amortização: 5 anos. 
 
Construir a planilha de financiamento. 
 
 
 
 
 
 
 
42 
Competência 03 
Resolução: Primeiramente, você deve estar atento ao fato de a taxa de juros ser nominal 
e o pagamento ser semestral. O que nos indica que devemos fazer sua devida conversão de ano para 
semestre do mesmo modo que procedemos para o cálculo de taxas equivalentes em regime de juros 
simples: 
i =8% a.a. = 4% a.s. = 0,04 a.s. 
 
Analogamente, você deve estar atento para mais uma conversão: a do prazo de 5 anos 
para semestre – equivalente a 10 semestres. Como a amortização é constante, basta dividir o valor 
financiado por 10 para obter a equivalente em um semestre: 
 
𝐴 = 
5.000.000
10
= 𝑅$ 50.000,00 
 
Após esse cálculo, a construção da planilha torna-se bastante simples. Observe que, ao 
valor do saldo devedor, é subtraído semestralmente o valor de 500.000,00: 
 
SEMESTRE SAQUE 
SALDO 
DEVEDOR 
AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
0 5.000.000 5.000.000 - - - 
1 4.500.000 500.000 200.000 700.000 
2 4.000.000 500.000 180.000 680.000 
3 3.500.000 500.000 160.000 660.000 
4 3.000.000 500.000 140.000 640.000 
5 2.500.000 500.000 120.000620.000 
6 2.000.000 500.000 100.000 600.000 
7 1.500.000 500.000 80.000 580.000 
8 1.000.000 500.000 60.000 560.000 
9 500.000 500.000 40.000 540.000 
10 - 500.000 20.000 520.000 
Total - 1.100.000 6.100.000 
 
Vejamos, a seguir, o SAC em duas distintas situações ainda com ancoragem em Gomes e 
Mathias (2014, p.287-290). 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
Competência 03 
3.2.1 SAC com prazo de carência e prazo de utilização unitária 
Exemplo resolvido: 
 
 
 
 
Resolução: observe que há uma carência de três anos a contar da data zero. Logo, a amortização 
somente terá início no fim do terceiro ano. E, assim como no exemplo anterior, os juros serão 
calculados a partir do saldo devedor do período anterior – basta multiplicar a taxa pelo referido saldo; 
já as prestações são calculadas somando-se a amortização com os juros. Para o cálculo da parcela de 
amortização, basta dividir o valor emprestado pelo período restante após as carências: 
 
𝐴 = 
100.000,00
4
= 𝑅$ 25.000,00 
 
A planilha de financiamento será a seguinte: 
 
ANO ANO SAQUE 
SALDO 
DEVEDOR 
AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
0 0 100.000,00 100.000,00 - - - 
1 1 110.000,00 - - - 
2 2 121.000,00 - - - 
3 3 75.000,00 25.000,00 33.100,00 58.100,00 
4 4 50.000,00 25.000,00 7.500,00 32.500,00 
5 5 25.000,00 25.000,00 5.000,00 30.000,00 
6 6 - 25.000,00 2.500,00 27.500,00 
Total Total - 100.000,00 48.100,00 148.100,00 
 
 
Vejamos, a seguir, mais um caso de SAC em que os juros são capitalizados durante a 
carência. 
 
Uma empresa pede emprestado R$ 100.000,00 que o banco entrega no ato. Sabendo que o 
Banco concedeu 3 anos de carência, que os juros serão pagos anualmente, que a taxa de juros é 
de 10% ao ano e que o principal será amortizado em 4 parcelas anuais, construir a planilha. 
 
 
 
 
 
 
 
44 
Competência 03 
3.2.2 SAC com prazo de carência, juros capitalizados e prazo de utilização unitário 
Nesse caso, você irá perceber que os juros não serão pagos durante o período da carência. 
Trata-se de uma espécie de financiamento extra que é concedido a quem irá pagar a dívida – 
contemplando os juros. Gomes e Mathias (2014, p.288) afirmam que nessa modalidade de SAC: 
 
 
 
Exemplo resolvido: 
 
 
Resolução: Nesse exemplo, vale destacar que o saldo devedor nesse terceiro período de carência irá 
corresponder ao valor do saldo devedor no 2º período acrescido dos juros de 10% (0,01): 
 
Saldo devedor = 121.000 + 121.000 (0,01) = 133.100,00 
 
Já para o cálculo da amortização anual, basta dividir o valor do saldo devedor do último 
período da carência (3º ano) pelo período (total de anos) em que será pago o empréstimo: 
𝐀𝐦𝐨𝐫𝐭𝐢𝐳𝐚çã𝐨 =
133.100,00
4
= 33.275,00 
 
Para o cálculo dos demais valores da planilha, basta você proceder do mesmo modo que 
no exemplo anterior. Com a obtenção dos valores, teremos o seguinte resultado: 
ANO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
0 100.000,00 - - - 
1 110.000,00 - - - 
2 121.000,00 - - - 
3 99.825,00 33.275,00 - 33.275,00 
4 66.550,00 33.275,00 9.982,50 43.257,00 
5 33.275,00 33.275,00 6.655,00 39.930,00 
6 - 33.275,00 3.327,00 36.602,50 
Total - 100.000,00 48.100,00 153.165,00 
As amortizações são calculadas em relação ao valor inicial emprestado mais os juros 
capitalizados durante a carência. 
Uma empresa pede emprestado $ 100.000,00 que o banco entrega no ato. Sabendo que o Banco 
concedeu 3 anos de carência, que os juros serão durante a carência, que a taxa de juros é de 10% 
ao ano e que o principal será amortizado em 4 parcelas anuais, construir a planilha. 
 
 
 
 
 
 
 
45 
Competência 03 
Que tal praticarmos um pouco através dos seguintes exercícios? Durante sua resolução, 
estaremos com um fórum aberto para que possamos debater os valores encontrados bem como os 
procedimentos adotados para a construção das planilhas. 
 
Exercícios propostos: 
1) (GOMES E MATHIAS, 2014, p.335) Um empréstimo de R$ 80.000,00 deve ser pago em 4 
amortizações constantes anuais sem carência. A taxa de juro contratada é de 8% a.a. Nessas 
condições, construa a planilha de financiamento. 
2) (SANTOS, 2001, p.93) Complete a tabela a seguir, usando o sistema de amortização constante: 
 
 
 
 
 
 
 
Você já progrediu bastante com os estudos. Vamos dar uma paradinha agora? Após um 
merecido descanso, queremos lhe convidar a assistir a mais uma videoaula sobre o Sistema de 
Amortização Francês para que, em seguida, possamos iniciar os estudos do Sistema de Amortização 
Price. 
 
3.3 Sistemas de Amortização Price 
Após assistir à videoaula e compreender as noções do Sistema Francês, queremos lhe 
apresentar sua particularidade que é o Sistema de Amortização Price, também conhecido como 
 
Principal R$ 5.000,00 
Taxa de Juros 2% a.m. 
Prazo 4 meses 
Amortização Mensal 
mês juros amortização prestação dívida atual 
0 
1 
2 
3 
4 zero 
 
 
 
 
 
 
 
46 
Competência 03 
“tabela Price”. Vejamos abaixo suas principais características, como descritas por Gomes e Mathias 
(2014) e por Hazzan e Pompeo (2014): 
a) A taxa de juros contratada é dada em termos nominais. Em termos práticos, essa taxa é 
trabalhada em termos anuais. 
b) As prestações têm período menor que aquele a que se refere a taxa. De modo geral, as 
amortizações são feitas mensalmente. 
c) No cálculo, utiliza-se a taxa proporcional ao período a que se refere à prestação, calculada a partir 
da taxa nominal, do mesmo modo como já procedemos para o cálculo de taxas equivalentes no 
cálculo de juros simples. 
 
Vejamos o exemplo resolvido a seguir para melhor compreender como trabalhar com o 
Sistema Price de Amortização: 
 
 
 
 
Resolução: 
Como vimos anteriormente, o cálculo da taxa de juros é feito pela taxa proporcional 
mensal: 
𝑖 =
0,12
12
= 0,01 𝑎. 𝑚. = 1% 𝑎. 𝑚 
 
Já o cálculo da prestação pode ser feito com o auxílio da calculadora financeira HP12C. 
Conforme você aprendeu na semana passada, o caminho a ser seguido será o seguinte: 
 
O cálculo dos juros e da amortização seguirá os seguintes procedimentos: 
 
[ON] 8 [n] 1 [i] 100.000 [CHS] [PV] [PMT] Aparece no visor: 
13.069,03
Um banco emprestou $ 100.000,00, entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo-se que a 
taxa de juros cobrada pelo banco é de 12% a.a., tabela Price, e que a devolução deve ser feita em 
8 meses, construir a planilha. 
 
 
 
 
 
 
 
47 
Competência 03 
• No primeiro semestre: 
• A Prestação é de 13.069,03. Os juros serão obtidos pelo produto entre o saldo 
devedor no período anterior e a respectiva taxa: 100.000 (0,01) = 1.000,00 
• A amortização das parcelas será obtida pela subtração entre a prestação e o valor dos 
juros: 13.069,03 – 1.000 = 12.069,03. 
• Saldo devedor: é obtido pela diferença entre o saldo devedor anterior e a 
amortização: 100.000 – 12.069,03 = 87.930,97 
 
• No segundo semestre: 
• A Prestação novamente será o valor de 13.069,03 (Valor fixo). Os juros serão obtidos 
pelo produto entre o saldo devedor no período anterior e a respectiva taxa: 
87.930,97 (0,01) = 879,31 
• A amortização das parcelas será obtida pela subtração entre a prestação e o valor dos 
juros: 13.069,03 – 879,31 = 12.189,72. 
• Saldo devedor: é obtido pela diferença entre o saldo devedor anterior e a 
amortização: 87.930,97 - 12.189,72 = 75.741,25. 
 
Para os demais semestres basta seguir o mesmo caminho anteriormente desenvolvido 
até completar a seguinte planilha: 
ANO SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
0 100.000,00 - - - 
1 87.930,97 12.069.03 1.000,00 13.069,03 
2 75.741,25 12.189,72 879,31 13.069,03 
3 63.429,63 12.311,62 757,41 13.069,03 
4 50.994,90 12.434,73 634,30 13.069,03 
5 38.435,82 12.559,08 509,95 13.069,03 
6 25.751,15 12.684,67 384,36 13.069,03 
7 12.939,63 12.811,52 257,51 13.069,03 
8 - 12.939,63 129,40 13.069,03 
Total - 100.000,00 4.552,24 104.552,24 
 
Que tal exercitar o que acabamos de estudar através da seguinte