GRA1583 - LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA E FÍSICA GR1790211 - A4

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Pergunta 1
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Suponha que uma partícula P desenvolve movimento circular cujo módulo da
velocidade seja constante). O deslocamento ocorre em torno da origem O de um
sistema de coordenadas cartesiano. O vetor = (r x , r y ) indica a posição de P, e
A, B, C e D são quatro pontos da trajetória que coincidem com os eixos x ou y. O
ponto E da trajetória coincide com a bissetriz do quarto quadrante).
 
 
 Fonte: Elaborada pelo autor.
 
 A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
 I. ( ) Nas posições B ou D, as componentes verticais r y do vetor posição possuem
os maiores módulos.
 II. ( ) Nas posições A ou C, as componentes horizontais v x do vetor velocidade
possuem os menores módulos.
 III. ( ) Na posição E, as componentes vertical r x e horizontal r y do vetor posição possuem o mesmo módulo.
 IV. ( ) Nas posições A, B, C, D e E, os vetores aceleração de P possuem o mesmo
módulo. 
 A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, V.
V, V, V, V.
Resposta correta. Justificativa: Sendo , , a
componente vertical possui valor máximo para ou
 que coincide com B e D. Em A ou C, a velocidade somente possui
componente vertical e a componente horizontal é zero. Na posição E, as projeções do
vetor posição são as mesmas nas direções horizontal e vertical, porque . E,
1 em 1 pontos
em um MCU, a aceleração possui módulo constante com o vetor sempre orientado
para o centro.
Pergunta 2
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Em um plano, a posição de um ponto P pode ser definida por meio de um par
ordenado de valores do tipo (x, y) em um sistema de coordenadas cartesianas.
Outra possibilidade é determinar a posição do ponto P pela distância r em relação à
origem O e pelo ângulo que a reta que une a origem O ao ponto P define com um
dos eixos cartesianos. Essa representação, expressa ( , ), é denominada
coordenadas polares.
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
A partir das descrições apresentadas, analise as afirmativas a seguir e assinale V
para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) .
II. ( ) .
 
III. ( ) .
 
IV. ( ) .
 
 
 A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, V.
V, V, V, V.
Resposta correta. Justificativa: Todas as relações de conversão entre os dois sistemas
de coordenadas podem ser deduzidas a partir de relações trigonométricas no triângulo
OxP: , , e
.
Pergunta 3
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Uma grandeza relacionada à possibilidade de um corpo sofrer torção ou alterar
rotações é denominada torque. Matematicamente, é definida em que 
 é a posição de aplicação da força em relação ao eixo de rotação. Suponha a
situação seguinte em que uma força de 10 N, no sentido positivo do eixo x, é
aplicada sobre uma barra AB de 2 m de comprimento alinhada ao eixo y.
 
 
 Fonte: Elaborada pelo autor.
 
 A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e a assinale V para a(s)
verdadeira(s) e F para a(s) falsas. 
 I. Nessa situação, o módulo do torque é .
 
II. Uma das unidades de medida do vetor é m.N.
 III. O vetor é ortogonal, simultaneamente, a e a .
 
IV. A orientação de coincide com a do vetor no eixo z.
 
 
 A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, V.
V, V, V, V.
Resposta correta. Justificativa: , porque X. Em relação
às unidades de medidas, [ ] = [ ] ⇒ [ ] = = = [L] [F], que é o produto
de um comprimento por uma força, ou seja, pode ser metro x Newton ou m.N. O vetor
resultado de um produto vetorial é ortogonal aos dois vetores multiplicadores. Pelos
cálculos anteriores, , a direção do vetor torque é na direção do eixo z, mas
com sentido oposto ao do vetor .
Pergunta 4
Suponha que o vetor posição de uma partícula P em movimento no espaço
ℝ 3 seja dado, em função do tempo, pela expressão 
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
 . Os vetores , e possuem módulo unitário
e estão alinhados, respectivamente, aos eixos x, y ou z de um sistema cartesiano
de coordenadas.
 A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 I. O componente z da aceleração vetorial é zero.
 II. A velocidade vetorial é .
 
III. A posição inicial da partícula é .
 
IV. A trajetória da partícula é helicoidal.
 A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, V.
V, V, V, V.
Resposta correta. Justificativa: .
 ⇒
. . Na
direção z, o movimento é uniforme enquanto as coordenadas x e y possuem variações
cossenoidais ou senoidais. Portanto, a partícula desenvolve trajetória helicoidal,
ascendente, a partir do plano XY.
Pergunta 5
Uma espécie de formiga registra os movimentos em um sistema mental de
coordenadas e soma deslocamentos em relação a um sistema de eixos XY.
Considere que uma delas executa movimentos de acordo com o desenho superior.
Os vetores representam os deslocamentos parciais a partir do formigueiro. A
posição final da formiga também está indicada. O desenho inferior sumariza os
deslocamentos.
 
1 em 1 pontos
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Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
De acordo com o enunciado e apoiado pela figura apresentada, analise as
asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. O vetor representa a trajetória integral da formiga.
PORQUE
 II. O vetor possui origem em (0, 0) e término na posição final.
 
 A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições falsas.
As asserções I e II são proposições falsas.
Resposta correta. Justificativa: O vetor deslocamento possui origem nas
coordenadas em que o movimento de um corpo tem início e término na posição final
do corpo em análise. Ele representa a soma dos deslocamentos parciais e,
geralmente, não possui qualquer relação com a trajetória real do corpo estudado.
Pergunta 6
Um campo de forças, ou campo vetorial, é uma função que associa um vetor a cada
ponto de coordenadas (x, y, z). Quando os valores são somente numéricos, o
campo é denominado escalar. Seja, então, um campo de forças F: 
 definido por .
 
 
 
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Considere as figuras a seguir:
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
Qual delas representa o campo vetorial F?
IV.
IV.
Resposta correta. Justificativa: O módulo da função vetorial F decai segundo o inverso
da distância em relação à origem do sistema de coordenadas, ou seja, pois 
 = , em que d é o valor da
distância do ponto (x, y), em relação ao ponto (0, 0). Como o vetor F é anti-horário
para qualquer coordenada (x, y), a orientação do campo de forças F é anti-horário.
Pergunta 7
Seja dado um triângulo de vértices A, B e C. Considere que o ponto médio do
segmento é o ponto M e que N é o ponto médio do segmento . As
propriedades da geometria euclidiana podem, também, ser definidas em termos da
notação vetorial.
 
 
1 em 1 pontos
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
Assim, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. é paralelo a .
PORQUE
 II. .
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma
justificativa correta da I.
Resposta correta. Justificativa: 
. Portanto,
. Se dois vetores são proporcionais entre si é porque possuem a mesma
direção. Então, por isso, os segmentos e são paralelos entre si.
Pergunta 8
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
Um teorema da geometria afirma que o volume de um tetraedro, quandodefinido
por meio de três vetores linearmente independentes, , e , pode ser expresso
como um produto misto do tipo . Assim, considere que os
pontos P(-10, 20, 0), Q(20, 10, -30), R(10, 10, 10) e S(30, -20, 30) definem os
vértices de um tetraedro.
 
 Assinale a alternativa que indica o volume desse sólido.
Sua resposta está incorreta. Justificativa: Podemos definir = (20-(-10), 10-
20, -30-0), = (10-(-10), 10-20, 10-0) e = (30-(-10), -20-20, 30-0).
0 em 1 pontos
Segundo o teorema, temos que X
= = u.v.
Pergunta 9
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
Segundo uma propriedade da geometria vetorial, o produto misto está
relacionado ao volume do paralelepípedo definido por esses vetores. Considere os
pontos seguintes e as suas coordenadas em um espaço euclidiano ℝ 3 : P(0, 1, 1),
Q(1, 0, 2), R = (1, -2, 0) e S(-2, 2, -2). Eles definem os vetores = (1, -1, 1), =
(1, -3, -1), = (-2, 1, -3), dentre outros.
 
A respeito desses vetores, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre
elas.
 I. Pertencem ao mesmo plano.
 PORQUE
 II. .
 
 
 A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma
justificativa correta da I.
Resposta correta. Justificativa: Pelo cálculo do produto misto X =
0. Então, o volume do paralelepípedo definido por esses vetores é nulo. Isso só pode
ocorrer se os vetores pertencem ao mesmo plano. Implica que os quatro pontos são
coplanares e quaisquer vetores definidos por eles também serão coplanares.
Pergunta 10
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Dados dois vetores, e, o produto escalar entre eles é representado e definido por
 , em que é o ângulo subentendido
entre eles. Suponha os pontos de coordenadas P(10k, 10, 0), Q(10k -1, 20K, 20) e
R(10, 30, -10) em um sistema de eixos cartesianos.
 Com base no exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 I. ( ) Os pontos P, Q e R são distintos para qualquer k.
 II. ( ) Os pontos P, Q e R definem um triângulo.
 III. ( ) Se k = 1, o triângulo é retângulo no vértice P.
 IV. ( ) Se k = 1, a área do triângulo é aproximadamente 500 u.a.
 
 A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, V.
V, V, V, F.
1 em 1 pontos
0 em 1 pontos
Comentário
da resposta:
Sua resposta está incorreta. Justificativa: Três pontos distintos no espaço R 3sempre
definem um triângulo no espaço tridimensional. Dados os pontos P, Q e R, as arestas
do triângulo identificam-se com os vetores = (-1, 20k-10, 20), = (10 – 10k, 20,
-10) e = (11 – 10k, 30 – 20k, -30). Para que o triângulo seja retângulo em P, então, 
, para que entre eles, ou seja, (-1) ⋅ (10-10k) + (20k-10) ⋅ (20)
+ (20) ⋅ (-10) = 0 ⇒ k = 1. 
 Se k = 1, o triângulo é retângulo em P e Área = u.a.