AD1_EME_2021_1 gabarito (1)

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD1 - Elementos de Matemática e Estat́ıstica - 1/2021
Código da disciplina EAD02010 (antigo) ou EAD01081 (novo)
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Todas as respostas devem estar devidamente justificadas e com todos os cálculos.
• Em todos os exerćıcios de probabilidade defina os eventos e transcreva a pergunta do problema em probabilidades
de eventos ou operações de eventos.
Questão 1 [1,0 pt] Há 12 moças e 10 rapazes, onde 5 deles (3 moças e 2 rapazes) são filhos da
mesma mãe e os restantes não possuem parentesco. Quantos são os casamentos posśıveis?
Considerando as moças (3) que possuem irmãos (2), há: 3× 8 = 24 casamentos posśıveis.
Considerando as moças (9) que não possuem irmãos, há: 9× 10 = 90 casamentos posśıveis.
Portanto, há 24 + 90 = 114 casamentos posśıveis.
p.s.: Uma solução análoga é obtida ao se considerar os rapazes ao invés das moças.
Questão 2 [1,0 pt] Quantas permutações existem para a palavra BANANADA que começam com
N e terminam com A?
Fixando um N como a primeira letra e um A como a última letra, o problema é equivalente a descobrir
o número de permutações da palavra BANADA que é igual a
6!
3! = 6× 5× 4 = 120.
Questão 3 [4,0 pt] Considere as letras da palavra PERMUTA. Quantos anagramas de 4 letras
podem ser formados, onde:
1. não há restrições quanto ao número de consoantes ou vogais?
A(7, 4) = 7!3! = 840
Elementos de Matemática e Estat́ıstica AD1 2021/1
2. o anagrama começa e termina por vogal?
Existem C(3, 2) formas de escolher as vogais que vão começar e terminar o anagrama (posições
1 e 4). Porém como a ordem da vogal que começa e a que termina importam, temos que
multiplicar por 2!. Obtendo assim C(3, 2)× 2! formas de preencher as posições 1 e 4.
Para as posições 2 e 3, temos 4 possibilidades de consoantes e 1 de vogal. Como as consoantes
e vogal são distintas, temos A(5, 2) possibilidades para as posições 2 e 3.
Pelo prinćıpio multiplicativo, temos C(3, 2) × 2! × A(5, 2) = 120 anagramas que começam e
terminam por vogal.
3. a letra R aparece?
Existem 4 posições que a letra R pode aparecer. Uma vez que a posição foi escolhida, o
restante das possições podem ser preenchidas com qualquer conjunto ordenado de 3 letras da
palavra PEMUTA. Como temos A(6, 3) desses conjuntos ordenados, conclúımos que existem
4× A(6, 3) = 480 anagramas com a letra R.
4. a letra T aparece e o anagrama termina por vogal?
Como o anagrama termina por vogal, temos 3 possibilidades para a última posição (posição
4). Para as posições 1, 2 e 3, precisamos escolher uma para a letra T aparecer. Dessa forma,
temos 3 posśıvel posições para a letra T. Para as duas posições restantes, temos 2 vogais e 3
consoantes como possibilidades. Portanto, temos 3× 3×A(5, 2) = 180 anagramas em que a
letra T aparece e o anagrama termina por vogal.
Questão 4 [2,0 pt] ) Um estudo realizado para medir a eficácia de um medicamento foi realizado
com diversas pessoas conforme a tabela abaixo. Com base na tabela e considerando que uma dessas
pessoas será sorteada aleatoriamente para repetir o estudo,
Sexo
Idade
< 20 anos 20-50 anos 60+ anos
feminino 4 16 28
masculino 26 34 12
1. qual a probabilidade da pessoa sorteada ter 60+ anos?
Número total de pessoas = 4 + 16 + 28 + 26 + 34 + 12 = 120.
Número de pessoas com 60+ anos = 28 (feminino) + 12 (masculino) = 40
probabilidade da pessoa sorteada ter 60+ anos = número de pessoas com 60+ anos
número total de pessoas
= 40120 =
1
3 .
2. qual a probabilidade da pessoa sorteada ter menos de 20 anos ou ser do sexo masculino?
Número total de pessoas = 4 + 16 + 28 + 26 + 34 + 12 = 120.
Número de pessoas com < 20 anos ou que são do sexo masculino = 4 + 26 + 34 + 12 = 76
probabilidade da pessoa sorteada ter menos de 20 anos ou ser do sexo masculino:
número de pessoas com < 20 anos ou que são do sexo masculino
número total de pessoas
= 76120 =
19
30 .
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Elementos de Matemática e Estat́ıstica AD1 2021/1
Questão 5 [2,0 pt] Da população de uma cidade, 28% fumam cigarro, 7% fumam charuto e 5%
ambos. Calcule a porcentagem da população
Seja A o evento fuma cigarro e B o evento fuma charuto. O evento fuma cigarro e charuto = A∩B.
Do enunciado temos que P (A) = 28100 , P (B) =
7
100 e P (A ∩B) =
5
100 .
1. que não fuma nem cigarro e nem charuto.
O evento não fuma nem cigarro e nem charuto = A ∪B.
P (A ∪B) = 1− P (A ∪B)
= 1− (P (A) + P (B)− P (A ∩B))
= 1−
(28 + 7− 5
100
)
= 70100
2. que fuma charuto mas não cigarro.
As pessoas que fumam charuto podem ser divididas em dois grupos: as pessoas que fumam
charuto e cigarro e as pessoas que fumam charuto mas não cigarro.
O evento fuma charuto e cigarro = B ∩A. O evento fuma charuto mas não cigarro = B ∩A.
Escrevendo a observação inicial em termos de eventos temos que:
B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ A).
P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ A)
7
100 =
5
100 + P (B ∩ A)
Logo, P (B ∩ A) = 2100 .
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ