apostila-de-geometria-plana 2021 pdf

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GEOMÉTRIA PLANA ( Prof. Júlio Cordeiro ) 
ÂNGULOS 
I – Ângulos 
Região plana limitada por duas semi-retas de mesma origem. 
→ 
▪ OA 
→ 
e OB são semi-retas 
 
▪ O ponto O, origem comum às semi- 
retas, é o vértice do ângulo. 
O 
A 
 
Notação: Usamos AÔB = BÔA, o vértice Ô ou simplesmente . 
 
II – Classificação 
 
1) Seja  um ângulo qualquer. O ângulo  pode ser classificado como: 
 
 
Agudo Reto Obtuso 
 
2) Sejam  e β dois ângulos quaisquer. Dizemos que  e β são: 
 
Complementares:  + β = 90º Suplementares:  + β = 180º 
 
Obs: Seja x um ângulo. Representaremos por (90º - x) e (180º - x), respectivamente, 
o complemento e o suplemento do ângulo x. 
 
III – Considerações Importantes 
 
1) Bissetriz de um ângulo é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos 
congruentes (isto é, de medidas iguais) 
 β β 
 
 > 90º 
 
 
 = 90º 
 
 
 < 90º 
B 
 
3 
 
50º 
140o 
 
5x 
4x 
2) Retas Perpendiculares são retas concorrentes (que possuem um ponto em 
comun) que formam ângulos retos. 
Denotamos por: 
r ⊥s: r perpendicular a s 
 
 
 
 
 
3) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam oito ângulos 
que guardam algumas propriedades. 
 
▪ r  s: r é paralela a s 
▪ Observe que  + β = 180º 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esses ângulos são classificados, aos pares, de acordo com a posição que 
ocupam em relação às paralelas e à transversal. Destacamos: 
 
 
 
 
Alternos internos Colaterais externos Correspondentes 
Observe que, independente dos nomes que tenham esses ângulos, é possível 
identificar medidas de ângulos dessa figura se soubermos a medida de pelo menos um 
deles. 
Exemplos. 
 
Nas figuras acima temos:  = 50º ,  = 40º e 5x + 4x = 180º, portanto, x = 20º. 
s 
r 
β  
 r 
β 
β 
 
 s 
β 
4 
b a + b 
a 
a + c 
a c 
b 
c 
b +c 
As relações mais importantes dos estudos de ângulos são as que fazem 
referências aos ângulos do triângulo. 
 
 
IV – Teorema Angular de Tales 
 
C 
Num triângulo, a soma dos ângulos internos é 180º. 
A + B + C = 180º 
 
A B 
Traçando uma reta paralela ao lado AB passando pelo ponto C 
podemos visualizar essa propriedade. 
 C 
 
 
 
 
 
A B 
 
V – Ângulo externo de um Triângulo 
Chamamos de ângulo externo o suplemento do ângulo interno. O triângulo 
tem 3 ângulos externos. 
 
 
 
 
 
A 
C 
Observe que: 
 + C = 180º e A + B + C = 180º 
Então:  + C = A + B+ C  
 
Conclusão: 
O ângulo externo é sempre a soma dos ângulos internos não adjacentes a ele. 
 
Lembre-se que o ângulo externo é formado por um dos lados e pelo 
prolongamento de outro. 
B 
Ângulo externo 
 
 = A + B 
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VI – Classificação dos Triângulos 
Um triângulo pode ser classificado segundo o comportamento de seus ângulos ou 
de seus lados. 
 
1) Quanto aos Ângulos 
 
 
Acutângulo Retângulo Obtusângulo 
Ângulos agudos Um Ângulo reto Um Ângulo obtuso 
 
2) Quanto aos Lados 
 
 
Escaleno Isósceles Eqüilátero 
 
Vale Destacar: 
1) O Triângulo Isósceles se caracteriza por ter 2 lados iguais. 
A 
 
AB = AC  B = C 
São iguais os ângulos opostos aos lados 
iguais. 
B C 
Essa é a condição mínima para um triângulo ser A 
classificado como Isósceles, portanto, o triângulo que 
apresenta os 3 lados iguais (o eqüilátero) também representa 
um triângulo isósceles. No Triângulo eqüilátero temos: 
A = B = C = 60º B C 
 
 
 
 
2) Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares 
 
 
 + β = 90º 
 β 
6 
C 
 
B 
B 
 
25º 
C 
 r 
 
β s 
c 
 
b a 
 r 
 
β  s 
c 
 
b a 
b + c 
3) Como conseqüência das relações angulares do triângulo tem-se: 
 
Se r // s então, θ =  + β Nesse quadrilátero côncavo 
 = a + b +c 
 
Justificativas: 
 é ângulo externo ao triângulo  é ângulo externo 
Verifiquemos então como você pode proceder para resolver um problema que 
envolva relações angulares. Tomemos o exemplo a seguir: 
 
 
Aconselho que você anote na figura as informações que foram dadas. A partir daí, o 
ângulo CBD = 25º, dado o triângulo CBD ser 
isósceles. O ângulo BCA é externo a esse 
triângulo então, BCA = 50º. Como o triângulo 
ABC também é isósceles (BA = BC) temos o 
ângulo BAC = 50º. Observe agora o 
A D
 
triângulo ABD: o ângulo  é externo a ele, 
portanto  = A + D, ou seja,  = 50º + 25º . Logo  = 75º. 
D A 
Na figura seguinte, AB = BC = CD. Calcule , sabendo que o ângulo mede 25º. 
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EXERCÍCIOS 
01. Determine  nas seguintes figuras: 
 
 
02. Nas figuras, AÔB = 80o e BÔC = 500. Calcule a medida do ângulo  sabendo-se 
que OX é bissetriz de AÔB. 
 
 
03. A medida de um ângulo é igual a 2/3 da medida de seu complemento. Calcule a 
sua medida. 
 
 
04. Dois ângulos, opostos pelo vértice, medem respectivamente 3x + 10o e x + 50o. 
Calcule o valor de cada um deles. 
 
 
 
05. Um dos ângulos formados por duas retas concorrentes é 1/8 da soma dos 
outros. Qual é o maior ângulo formado por tal figura? 
 
 
06. Determine o ângulo cujo suplemento excede em 6o o quádruplo do seu 
complemento. 
 
 
07. Dois ângulos suplementares são proporcionais ao números 2 e 3. Determine-os. 
 
 
 
→ → → → 
08. Quatro semi-retas OA , OB , OC e OD formam, em torno de um ponto, quatro 
ângulos cujas medidas são proporcionais aos números 2, 3, 5 e 8. Determine os 
ângulos. 
8 
A 

 
70o 70
o 
 
B 
 
 E E 
 
 
 
09. Na figura r e r’ são paralelas e a reta s é perpendicular a t. Se o menor ângulo 
entre r e s mede 72o, calcule o ângulo . 
 
10. Um dos ângulos formados por duas paralelas, cortadas por uma transversal, é 
1/8 da soma dos outros. Qual o maior ângulo formado por tal figura? 
 
 
11. O triângulo ABC é isósceles com AB = AC. Determine  e . 
 
C 
 
 
 
 
 
C B A B
 
 
12. Na figura seguinte, AB = BC = CD. Calcule , sabendo que D = 30º. 
 
 
 
 
 
 
A 
C 
D 
13. Calcule  em cada figura, sabendo-se que ABCD é um quadrado e DCE é um 
triângulo eqüilátero. 
A B 
A B
 
 
 
 
 
 
D C D C 
 
14. Em um triângulo obtusângulo a medida da soma dos ângulos agudos é igual à 
metade da medida do ângulo obtuso. Calcule este ângulo, sabendo que um ângulo 
agudo é o dobro do outro. 
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VII – Polígono 
 
Entendemos por polígono a região plana limitada por uma linha poligonal 
fechada. 
A linha poligonal é o conjunto formada por segmentos 
de reta consecutivos. 
 
 
 
 
 
Ex.: Pentágono 
Convexo Côncavo 
 
 
VIII – Soma dos Ângulos de um Polígono 
 
1) Ângulos internos 
 
Todo polígono pode ser dividido em Triângulos. 
 
 
 
Si = 180º Si = 180º . 2 Si = 180º. 3 Si = 180º.4 
 
Um polígono de gênero “n” terá para soma dos ângulos internos: Si = 180º ( n – 2) 
 
 
2) Externos 
Como cada ângulo interno é suplemento do 
interno adjacente temos: 
Si + Se = 180º . n 
 
Então: 
Se = 180º. n – Si 
Se = 180º. n – 180º ( n – 2 ) 
Se = 180º. n – 180º n +360º 
 
Então, Se = 360º. A soma dos ângulos externos é 
constante. 
É mais fácil, portanto, determinar – caso os 
ângulos internos e externos sejam, respectivamente, iguais – a medida do ângulo 
externo de um polígono, mesmo quando queremos o interno. 
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Eqüiláteros Eqüiângulos 
Regular 
Observação: Os polígonos são classificados pelo gênero como triângulo, 
quadrilátero, pentágono, etc. e quanto ao comportamento dos lados e ângulos em 
Equilátero (lados iguais), Eqüiângulo (ângulos iguais) e Regular. 
 
Um polígono é regular quando possui lados 
e ângulos respectivamente iguais. 
 
Sendo assim, as medidas de seus ângulos interno e externo serão: 
 
Ai = 
180º (n − 2) 
n 
e Ae = 
360º 
n 
 
* Procure pesquisar que nomes recebem polígonos de 3, 4, 5, 6, ... lados e quais 
são as medidas de seus ângulos. 
 
IX – Diagonal 
 
Chamamos de diagonal de um polígono o segmento de reta que possui como 
extremos dois vértices não consecutivos do polígono. 
D E 
No polígono ABCD..., AC, BE e BD são 
exemplos de diagonais nesse hexágono. 
 
B 
F 
Observe que, decada vértice de um 
polígono de gênero n partem (n – 3) 
diagonais. 
Num total de: d = 
B A 
n(n − 3) 
2 
 
 
 
Exemplo: O decágono regular possui d = 
10.(10 − 3) 
, ou seja, 35 diagonais. Seu 
2 
ângulo externo será A = 
360
o 
= 36º e seu ângulo interno será A 
 
 
= 180º - 36º. 
e 
10 
i
 
 
O ângulo interno do decágono regular mede 144º. 
11 
G F 
 
 
G F 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Calcule o maior ângulo de um pentágono convexo ABCDE, sabendo-se que: 
C = 2A, E = 2B, D = 
C + E 
2 
e que E = 3A. 
 
 
02. Considere um eneágono regular e calcule: 
a) A soma dos ângulos internos. 
b) A soma dos ângulos externos. 
c) Seu ângulo externo. 
d) Seu ângulo interno. 
 
 
03. Qual o polígono cuja soma dos ângulos internos e externos vale 2160º? 
 
 
04. Determine o polígono regular que tem o ângulo interno igual ao triplo do ângulo 
externo. 
 
 
05. ABCDE é um polígono regular e DEFG é um quadrado. Determine a medida do 
ângulo . 
B B 
 
 
C A C A 
 
 
 
 
D E D E 
 
06. Na figura tem-se um octógono regular. Determine a medida do ângulo : 
 
(a) 22o 30’ 
(b) 30o 
(c) 45o 
(d) 60o 
(e) 90o 
 
 
 
 
07. Num polígono regular ABCD... as retas que contém os lados AB e CD formam 
um ângulo de 60º. Determine que polígono é esse. 
 
 
  
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B  
F 
08. A figura seguinte, ABCDE e DEF são polígonos regulares. Calcule o ângulo  
formado pelos prolongamentos de BC e DF. G 
 
 
 
 
 
C A 
 
 
 
 
D E 
 
09. Seja ABCD... um polígono regular. Determine o seu gênero sabendo-se que as 
diagonais AC e AG formam um ângulo de 80º. 
 
 
10. Calcule o número de diagonais do polígono convexo cuja soma dos ângulos 
internos é 1440o. 
 
 
 
11. A figura seguinte é um polígono côncavo (ou não convexo) de 
gênero sete. Trata-se de um Heptágono. A 
 
a) Quantas e quais diagonais podem ser traçadas do vértice A? 
 
b) Quantas diagonais este polígono possui? 
 
 
 
 
 
12. Num polígono regular ABCD ... a diagonal AC forma com o lado BC um ângulo 
de 20o. Calcule o gênero e o número de diagonais desse polígono. 
 
 
 
13. Um polígono regular convexo tem ângulo interno medindo 150º. Calcule o 
número de diagonais deste polígono que não passam pelo centro. 
 
 
 
14. O número de diagonais de um polígono é dado pela relação a2 - 4a, onde a é o 
número de lados do polígono. Qual é o nome desse polígono?
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