Módulo 09 -Ângulos

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CURSO ÁGAPE
	EEAR
2018/2019
	Geometria Plana
	
	
	MÓDULO 09
 Prof. Carlos
ÂNGULOS 
1. Definição:
 É a reunião de duas semi-retas de mesma origem e não-colineares.
 (
O 
é o vértice
 
e 
 são os lados
 
) Na figura:
 B
 lado
O
 lado A
 Vértice
INDICAÇÃO DO ÂNGULO:
2. Medida de um ângulo:
Um ângulo pode ser medido através de um instrumento chamado Transferidor e que tem o grau como unidade. 
A unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e segundo
 
Simbolicamente:
· Um ângulo de 25 graus e 40 minutos é indicado por: 
· Um ângulo de 12 graus, 20 minutos e 45 segundos é indicado por: 
3. Ângulos congruentes:
· Dois ângulos são congruentes se as suas medidas são iguais.
 A C
 
 O 
 B D
Indicação:
 (significa: é congruente a)
 
4. Bissetriz de um ângulo:
 É semi-reta com origem no vértice do ângulo e
 que o divide em dois outros ângulos congruentes.
 A
 
 O 
 M
 B
 Se , e então é bissetriz de .
 
5. Ângulos reto, agudo e obtuso:
 As ângulos recebem nomes especiais de acordo com suas medidas:
♣ Ângulo reto é aquele cuja medida é .
♣ Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que .
♣ Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que .
ÂNGULO ÂNGULO ÂNGULO
 RETO AGUDO OBTUSO
6. Retas perpendiculares:
Quando duas retas se interceptam formando ângulos retos, dizemos que elas são perpendiculares. 
 r 
 s 
7. Ângulos complementares:
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é .
 A
 B 
 O
 C
 
8. Ângulos suplementares:
 Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é .
 B
 A O C
 
Exemplos:
EX1: e são ângulos suplementares, porque 
EX2: e são ângulos suplementares, porque 
11. Ângulos opostos pelo vértice:
Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois a dois, opostos pelo vértice.
 â
 
 
 
Na figura:
♣ são opostos pelos vértice.
♣ são opostos pelos vértice.
TEOREMA Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
12. Ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal:
 Duas retas r e s, interceptadas pela transversal t, formam oito ângulos.
 t
 
 2 A 1 r
3 4
 6 5
 B s
 7 8
 
 Os pares de ângulos com um vértice em A e o outro em B são assim denominados:
BIZUUUUUU:
♣ ALTERNOS: Um de cada “lado” da transversal
♣ COLATERAIS: ambos do mesmo “lado” da transversal
 EXTERNOS
 INTERNOS
 EXTERNOS
POLÍGONOS 
Definição: É a união de segmentos consecutivos.
 Classificação dos polígonos:
a) Polígono convexo
	
b) Polígono não-convexo (côncavo)
	
c) Quanto ao gênero
	NÚMERO DE LADOS
	NOME
	3
	TRIÂNGULO
	4
	QUADRILÁTERO
	5
	PENTÁGONO
	6
	HEXÁGONO
	7
	HEPTÁGONO
	8
	OCTÓGONO
	9
	ENEÁGONO
	10
	DECÁGONO
	11
	UNDECÁGONO
	12
	DODECÁGONO
	15
	PENTADECÁGONO
	20
	ICOSÁGONO
Polígono regular: É o polígono eqüilátero e eqüiângulo.
· Soma dos ângulos internos (Si)
· Soma dos ângulos externos (Se)
· Ângulo interno e externo no polígono regular
 , onde n representa o número de lados do polígono.
 , onde n representa o número de lados do polígono.
Diagonal de um polígono convexo
a) Definição:
Define-se como diagonal de um polígono convexo qualquer segmento cujas extremidades são dois vértices não consecutivos.
b) Número total de diagonais:
O número de diagonais (d) de um polígono de n lados é dado pela relação: 
c) Número de diagonais de cada vértice: 
d) Número de diagonais que passam pelo centro: 
EXERCÍCIOS 
01) (EEAR 2/2018) O complemento do suplemento do ângulo de 112° mede
a) 18°
b) 28°
c) 12°
d) 22°
02) (EEAR 1/2018) A metade da medida do ângulo interno de um octógono regular, em graus, é
a) 67,5
b) 78,6
c) 120
d) 85
03) (EEAR 2/2017) O polígono regular cujo ângulo externo mede 24° tem _____ lados.
a) 20
b) 15
c) 10
d) 5
04) (EEAR 1/2017) Ao somar o número de diagonais e o número de lados de um dodecágono obtém-se
a) 66
b) 56
c) 44
d) 42
05) (EEAR 2/2016) Os ângulos Bˆ e Aˆ são congruentes. Sendo  = 2x + 15º e B = 5x – 9º. Assinale a alternativa que representa, corretamente, o valor de x.
a) 2º
b) 8º
c) 12º
d) 24º
06) (EEAR BCT 2/2015) Se um dos ângulos internos de um pentágono mede 100°, então a soma dos outros ângulos internos desse polígono é
a) 110°.
b) 220°.
c) 380°.
d) 440°.
07) (EEAR 2013) Se A é o número de diagonais de um icoságono e B o número de diagonais de um decágono, então A – B é igual a
a) 85
b) 135
c) 165
d) 175
08) (EEAR 2/2007) Dois polígonos convexos têm o número de lados expresso por n e por n + 3. Sabendo que um polígono tem 18 diagonais a mais que o outro, o valor de n é
a) 10.
b) 8.
c) 6.
d) 4.
09) (EEAR 2/2007) Sejam as medidas de arcos trigonométricos:
I- rad e rad
II- 1490° e – 1030°
É correto afirmar que as medidas
a) em I são de arcos côngruos.
b) em I são de arcos suplementares.
c) em II são de arcos côngruos.
d) em II são de arcos complementares.
10) O complemento e o suplemento do ângulo de medem respectivamente:
a) 
b) 
c) 
d) 
11) A terça parte de um ângulo mede . Quanto mede esse ângulo?
a) 
b) 
c) 
d) 
12) Os valores de x, y, z e w, na figura, são, respectivamente: 
a) 
b) x w
c) y z 
d) 
13) Se a soma das medidas de dois ângulos é e a medida de um deles é o dobro da medida do outro, então o maior deles mede:
a) 40° 
b) 50° 
c) 80° 
d) 100°
14) Na figura abaixo, é bissetriz do ângulo Determine o valor de e 
a) x = 10 e y =10 
b) x = 50 e y = 10 
c) x = 50 e y = 50 
d) e 
15) Na figura ao lado, o ângulo x mede:
a) 
b) 
c) x
d) x
16) Calcule x e determine o valor dos ângulos adjacentes:
a) 
b) 
c) 
d) 
17) Na figura abaixo, o valor de x em graus é:
a) 
b) 
c) 
d) 
2x 5x
18) A diferença entre o suplemento e o complemento de um ângulo qualquer é:
a) um ângulo raso 
b) um ângulo agudo
c) um ângulo reto 
d) um ângulo obtuso
19) Na figura abaixo, sendo r paralela a s, o valor de x é:
a) 
b) 
c) 
d) 
 t
 r
 
 s
20) Sendo a paralela a b, então o valor de x é:
a) 
b) 
 c) 
d) 
 u
 ab
 
21) Calcule o valor de em graus, na figura: 
a) 
b) 
c) 
d) 
22) O ângulo cujo suplemento excede de 6° e é igual ao quádruplo do seu complemento, é: 
a) 58° 
b) 60° 
c) 62° 
d) 64° 
23) A medida de um ângulo é igual à medida de seu complemento. Quanto mede esse ângulo?
a) 45°
b) 60°
c) 30°
d) 90°
24) A medida de um ângulo é a metade da medida do seu complemento. Calcule a medida desse ângulo.
a) 90°
b) 60°
c) 45°
d) 30°
25) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual ao triplo de seu complemento.
a) 33°30’
b) 33°
c) 67°
d) 67°30’
26) Dois ângulos complementares têm suas medidas expressas em graus por e . Quanto medem esses ângulos respectivamente ?
a) 35° e 55°
b) 55° e 35°
c) 60° e 30°
d) 30° e 60°
27) A quarta parte da medida de um ângulo mede . Calcule a medida do seu suplemento.
a) 150°
b) 120°
c) 60°
d) 30°
28) A medida de um ângulo é igual à medida de seu suplemento. Calcule esse ângulo.
a) 120°
b) 150°
c) 90°
d) 45°
29) Calcule a medida de um ângulo que é igual ao triplo de seu suplemento.
a) 30°
b) 45°
c) 150°
d) 135°
30) Se a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo é 2880º, então, a soma dos algarismos que formam o números de lados desse polígono é ______.
a) 6	
b) 7
c) 8	
d) 9
31) Uma das diagonais de um determinado polígono convexo o divide em dois quadriláteros. Então, esse polígono é um:
a) Octógono			
b) Decágono
c) Hexágono			
d) Pentágono
32) O número de diagonais de um hexágono que não passam pelo centro é _____.
a) múltiplo de 9		
b) múltiplo de 12
c) primo			
d) par
33) A razão entre o número de lados e o número de diagonais de um hexágono é ______.
a) 1/3	 
b) 2/3	 
c) 1/4	 
d) 3/4
34) O polígono convexo, cuja soma dos ângulos internos é 2340º, tem o número de diagonais igual a:
a) 85	
b) 90	
c) 95	
d) 100
35) A medida do ângulo externo de um octógono regular é:
a) 45º	
b) 40º	
c) 30º	
d) 20º
36) A soma das medidas dos ângulos internos e externos de um polígono convexo é 3600º. O número de diagonais desse polígono é um número:
a) par divisível por 15.	 
b) par maior que 150.
c) ímpar múltiplo de 19.	 
d) ímpar primo.
37) Em um polígono regular, a medida de um ângulo interno é o triplo da medida de um ângulo externo. Esse polígono é o:
a) hexágono		
b) eneágono		
c) octógono		
d) decágono
38) A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo é 1620°. O número de diagonais que se pode traçar de cada vértice desse polígono é:
a) 11. 
b) 10. 
c) 4. 
d) 44.
39) O número de lados de um polígono regular convexo, cuja medida do ângulo interno é o quíntuplo da do ângulo externo, é:
a) 12. 
b) 15. 
c) 18.	
d) 20.
GABARITO 
	01
	02
	03
	04
	05
	06
	07
	08
	09
	10
	D
	A
	B
	A
	B
	D
	B
	C
	C
	B
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	A
	C
	D
	D
	C
	C
	A
	C
	C
	A
	21
	22
	23
	24
	25
	26
	27
	28
	29
	30
	A
	C
	A
	D
	D
	B
	C
	C
	D
	D
	31
	32
	33
	34
	35
	36
	37
	38
	39
	C
	D
	B
	B
	A
	C
	C
	D
	A
	
	- 1 -
	
	
OB
0
0
90
90
e
0
13
0
14
0
16
0
18
0
2
7
-
x
0
15
0
20
0
25
0
30
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
Þ
Ù
Ù
Ù
O
BOA
AOB
0
10
+
x
x
-
0
60
0
18
0
45
0
90
'
'
'
0
10
30
60
0
135
x
x
2
2
1
+
x,
'
'
'
'
60
1
60
1
=
=
o
16.
10.
20.
58.
0
25
3
+
x
'
40
25
o
0
5
4
-
x
'
'
'
45
20
12
o
0
30
Ù
Ù
@
COD
AOB
Ù
AOB
Ù
COD
Ù
Ù
@
MOB
AOM
OM
Ù
AOB
0
90
.
:
:
s
a
lar
perpendicu
r
Significa
s
r
Indicação
^
0
90
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
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ø
ö
ç
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æ
+
÷
ø
ö
ç
è
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Ù
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AOC
m
BOC
m
AOB
m
0
180
0
180
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
Ù
Ù
BOC
m
AOB
m
0
50
0
130
0
0
0
180
130
50
=
+
0
125
0
55
0
0
0
180
55
125
=
+
Ù
m
Ù
n
Ù
c
Ù
Ù
c
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a
Ù
Ù
n
e
m
ï
ï
ï
ï
ï
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ï
ï
ï
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Ù
Ù
Ù
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Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
8
2
,
7
1
:
5
3
,
6
4
:
7
2
,
8
1
:
6
3
,
5
4
:
7
3
,
6
2
,
8
4
,
5
1
:
e
e
Externos
Alternos
e
e
Internos
Alternos
e
e
Externos
Colaterais
e
e
Internos
Colaterais
e
e
e
e
entes
Correspond
)
2
.(
180
-
°
=
n
S
i
S
e
=
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o
n
n
a
i
)
2
.(
180
-
°
=
a
n
e
=
360
o
d
n
n
=
-
.
(
)
3
2
)
3
(
-
=
n
d
2
.
n
d
=
8
17
p
8
41
p
'
0
30
47
'
0
'
0
30
152
30
52
e
'
0
'
0
30
132
30
42
e
'
0
'
0
30
42
30
132
e
'
0
'
0
30
52
30
152
e
'
0
30
21
'
0
10
7
'
0
10
8
'
0
30
63
'
0
30
64
0
0
0
0
60
,
95
,
60
,
35
0
95
0
0
0
0
40
,
95
,
40
,
35
0
0
0
0
50
,
95
,
50
,
35
0
35
0
0
0
0
65
,
50
,
35
,
95
0
150
OP
Þ
ˆ
AOB.
x
y.
x10
=
y50
=
OA
0
115
0
125
0
135
0
145
0
'
0
75
105
e
0
0
80
100
e
0
30
3
-
x
0
10
+
x
0
0
60
120
e