PrincA_pio_MA_ller_Breslau

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Teoria das 
Estruturas I 
 
Princípio 
Müller-Breslau 
O princípio de Müller–Breslau fornece um procedimento simples para 
estabelecer o formato das linhas de influência para as reações ou para as 
forças internas (cortante e momento) em vigas. 
 
As linhas de influência qualitativas, que possibilitam ser esboçadas rapidamente, 
podem ser usadas das três maneiras a seguir: 
 
1. Para verificar se o aspecto de uma linha de influência, produzida pelo 
movimento de uma carga unitária em uma estrutura, está correto. 
 
2. Para estabelecer onde se deve posicionar a carga móvel em uma 
estrutura para maximizar uma função específica, sem avaliar as 
ordenadas da linha de influência. Uma vez estabelecida a posição 
crítica da carga, fica mais simples analisar diretamente certos tipos de 
estruturas para a carga móvel especificada do que desenhar a linha de 
influência. 
 
3. Para determinar a localização das ordenadas máximas e mínimas de 
uma linha de influência, para que apenas algumas posições da carga 
unitária precisem ser consideradas quando as ordenadas da linha de 
influência forem calculadas. 
O princípio de Müller–Breslau declara: 
 
A linha de influência de qualquer reação ou 
força interna (cortante, momento) 
corresponde à forma defletida da estrutura 
produzida pela retirada da capacidade da 
estrutura de suportar essa força, seguida da 
introdução na estrutura modificada (ou 
liberada) de uma deformação unitária 
correspondente à restrição retirada. 
Heinrich Müller-Breslau, 1886 
A deformação unitária refere-se a um deslocamento unitário para reação, 
um deslocamento unitário relativo para cortante e uma rotação unitária 
relativa para momento. 
 
Para apresentar o método, desenharemos a linha de influência da reação em A da viga 
com apoios simples da Figura 1a. 
 
Começamos removendo a restrição vertical fornecida pela reação 
em A, produzindo a estrutura liberada mostrada na Figura 1b. 
 
Em seguida, deslocamos a extremidade esquerda da viga verticalmente para 
cima, na direção de RA, por um deslocamento unitário (ver Figura 1c). 
 
Como a viga deve girar sobre o pino em B, sua forma defletida, que é a 
linha de influência, é um triângulo que varia de 0 em B até 1,0 em A'. 
Figura 1: Construção da linha de influência 
para RA pelo princípio de Müller–Breslau. 
 
(a) Viga com apoios simples. 
(b) A estrutura liberada. 
(c) Deslocamento introduzido correspondente 
à reação em A; a forma defletida é a linha 
de influência em alguma escala desconhecida. 
(d) A linha de influência de RA. 
Como segundo exemplo, desenharemos a linha de influência da reação 
em B para a viga da Figura 2a. 
 
A Figura 2b mostra a estrutura liberada produzida pela remoção do 
apoio em B. 
 
Agora, introduzimos um deslocamento vertical unitário Δ 
correspondente à reação em B, produzindo a forma defletida, que é a 
linha de influência (ver Figura 2c). 
 
A partir dos triângulos semelhantes, calculamos o valor da ordenada da 
linha de influência no ponto C como 3/2. 
 
Figura 2: Linha de influência da reação em B: 
 
(a) viga em balanço com rótula em C; 
(b) Reação removida, produzindo a estrutura 
liberada; 
(c) O deslocamento da estrutura liberada pela 
reação em B estabelece o aspecto da linha de 
influência; 
(d) linha de influência da reação em B. 
Para construir uma linha de influência para o cortante em uma seção de 
uma viga pelo método de Müller–Breslau, devemos remover a capacidade 
da seção transversal de transmitir cortante, mas não força axial nem 
momento. 
 
Imaginaremos que o dispositivo construído de placas e rolos na 
Figura 3a permite essa modificação quando introduzido em uma viga. 
 
Para ilustrar o método de Müller–Breslau, construiremos a linha de 
influência para o cortante no ponto C da viga da Figura 3b. 
 
Na Figura 3c, inserimos o dispositivo de placa e rolo na seção C para liberar a 
capacidade de cortante da seção transversal. 
 
Então, deslocamos os segmentos de viga para a esquerda e para a direita da 
seção C por Δ1 e Δ2, de modo que um deslocamento unitário relativo (Δ1 + Δ2 = 
1) seja introduzido (ver Figura 3c). 
 
Como o dispositivo corrediço inserido em C ainda mantém a capacidade de 
momento, nenhuma rotação relativa é permitida. Isto é, os segmentos AC e CD 
devem permanecer paralelos, e a rotação θ desses dois segmentos é idêntica. 
Figura 3: Linha de influência do cortante 
usando o método de Müller–Breslau: 
 
(a) Dispositivo para liberar a capacidade de 
cortante da seção transversal; 
(b) detalhes da viga; 
(c) Capacidade de cortante liberada na seção C; 
(d) Linha de influência do cortante na seção C. 
A partir da geometria na Figura 3d: 
 
tgθ=θ θ = Δ1/5 θ = Δ2/15 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segue-se que θ = 1/20 e Δ1 = ¼ (mas com um sinal de menos), e Δ2 = 3/4 
. 
Para desenhar uma linha de influência para o momento em uma 
seção arbitrária de uma viga, usando o método de Müller–Breslau, 
introduzimos uma rótula na seção para produzir a estrutura liberada. 
 
Por exemplo, para estabelecer o aspecto da linha de influência para o 
momento em meio vão da viga com apoios simples da Figura 4a, 
introduzimos uma rótula em meio vão, como mostrado na Figura 4b. 
 
Então, movemos a rótula em C para cima, por uma quantidade 
Δ, de modo que seja obtida uma rotação unitária relativa (ou uma 
“dobra”) de θ = 1 entre os segmentos AC e CB. 
 
A partir da geometria na Figura 4.c, θA = ½ e Δ é calculado como ½ (10) = 5, que é a 
ordenada da linha de influência em C. 
 
A linha de influência final está mostrada na Figura 4d. 
Figura 4: Linha de influência do momento: 
 
(a) detalhes da viga; 
(b) estrutura liberada; rótula 
inserida no meio do vão; 
(c) deslocamento da estrutura liberada pelo 
momento; 
(d) linha de influência do momento no meio do vão. 
Na Figura 5, usamos o método de Müller–Breslau para 
construir a linha de influência do momento M no 
engastamento de uma viga em balanço. 
 A estrutura liberada é estabelecida pela introdução 
de uma articulação fixa no apoio da esquerda. 
A introdução de uma rotação unitária relativa entre a 
articulação fixa e a viga liberada produz uma forma 
defletida com deflexão na ponta da viga igual a 11, 
que é a ordenada 
da linha de influência nessa posição. 
A linha de influência final 
está mostrada na Figura 5d. 
Figura 5: Linha de influência do momento no 
apoio A: 
(a) detalhes da estrutura; 
(b) estrutura liberada; 
(c) deformação produzida pelo momento 
no apoio A; 
(d) linha de influência do momento em A. 
Determine a Linha de Influência para a reação vertical em B, 
esforço cortante em S e momento fletor em S. 
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