Aula 2 - Molas de Compressão parte 2

Prévia do material em texto

Molas Helicoidais de Compressão
Parte 2
Prof. Rafael Schreiber
Curso de Engenharia Mecânica
Unidade Curricular: Elementos de Máquina II
𝑛𝑠 = Fator de segurança [−];
𝑆𝑠𝑦 = Resistência ao escoamento do fio em torção [𝑀𝑃𝑎];
𝜏𝑚á𝑥 = Tensão de cisalhamento máxima na mola [𝑀𝑃𝑎];
𝐹𝑠 = Força no comprimento sólido (fechada) [𝑁];
𝐾𝐵 = Fator de concentração de tensões para fio redondo de 
Bergsträsser [−];
𝐷 = Diâmetro médio da mola [𝑚𝑚].
𝑑 = Diâmetro do fio [𝑚𝑚];
Tensões em molas helicoidais
Onde:
𝑛𝑠 =
𝑆𝑠𝑦
𝜏𝑚á𝑥
𝜏𝑚á𝑥 = 𝐾𝐵
8𝐹𝑠𝐷
𝜋𝑑3
𝐾𝐵 =
4𝐶 + 2
4𝐶 − 3
A curvatura do fio gera 
uma concentração de 
tensão na parte interna 
da hélice (𝐾𝐵)
𝜎
𝜀
𝐸
𝑆𝑢𝑡
𝑆𝑦
𝜏
𝛾
𝐺
𝑆𝑠𝑢
𝑆𝑠𝑦
Gráfico do Ensaio de Tração Gráfico do Ensaio de Torção
Nomenclaturas: Falhas Estáticas
Resistência 
máxima
Resistência ao 
escoamento
Resistência 
máxima
Resistência ao 
escoamento
𝑁
𝑆𝑓
𝑆𝑒
Gráfico S-N
Nomenclaturas: Falhas Dinâmicas (Fadiga)
Resistência à 
fadiga
Limite de 
Resistência à 
fadiga
Curva para 
metais ferrosos
Curva para 
metais não ferrosos
≈ 107
Nº de ciclos
Frequência crítica
Onde:
𝑓𝑛 = Frequência natural da mola [𝐻𝑧];
𝑘 = Constante da mola [𝑁/𝑚];
𝑚 = Massa [𝑘𝑔];
𝑓𝑐𝑟 = Frequência crítica [𝐻𝑧].
𝑓𝑛 =
1
2
𝑘
𝑚
De N/mm para N/m 
multiplicar por 10³.
Para molas em contato 
com superfícies planas 
nas duas extremidades.
Frequência crítica
𝑓𝑐𝑟 =
𝑓𝑛
20
Frequência máxima 
de operação da mola.
Esse valor pode variar de 15 
a 20. Sendo que 20 é o mais 
conservativo.
O número “1” corresponde 
ao primero harmônico. 
Para o segundo harmônico 
seria usado “2”...
𝑉 = 𝑁𝑎𝜋𝑟
2 𝑝² + (2𝜋𝑅)2
Onde:
𝑉 = Volume ativo da mola [𝑚𝑚³];
𝑁𝑎 = Número de espiras ativas [−];
𝑟 = Raio do fio [𝑚𝑚];
𝑝 = Passo da mola [𝑚𝑚];
𝑅 = Raio médio da mola [𝑚𝑚]. 𝑅
𝑟
𝑁𝑎
𝑝
Frequência crítica
𝑚 = 𝑉𝛿
𝑚 = Massa [𝑘𝑔];
𝑉 = Volume da mola [𝑚𝑚³];
𝛿 = Densidade do material [kg/𝑚𝑚³].
Para o aço usar 7,85 ∙ 10−6 𝑘𝑔/𝑚𝑚³
Frequência crítica
Onde:
𝑅
𝑟
𝑁𝑎
𝑝
𝑅
𝑟
𝑁𝑎
𝑝
Carregamento de Fadiga
Jateamento de granalha (shot peening)
Carregamento de Fadiga
Processo usado para produzir
uma camada de tensão residual
compressiva e modificar as
propriedades mecânicas do
material. Proporciona limpeza e
acabamento superficial, além de
aumentar a vida em fadiga.
https://www.wheelabratorgroup.com/pt-pt/my-
application/application-by-process/what-is-shot-blasting
Peça
granalha
https://www.wheelabratorgroup.com/pt-pt/my-application/application-by-process/what-is-shot-blasting
Carregamento de Fadiga
Onde:
𝐹𝑎 = Força alternante [𝑁];
𝐹𝑚 = Força média [𝑁];
𝐹𝑚í𝑛 = Força mínima (pré-carga) [𝑁];
𝐹𝑚á𝑥 = Força máxima [𝑁];
𝜏𝑎 = Tensão de cisalhamento alternante [𝑀𝑃𝑎];
𝜏𝑚 = Tensão de cisalhamento média [𝑀𝑃𝑎];
𝜏𝑎 = 𝐾𝐵
8𝐹𝑎𝐷
𝜋𝑑3
𝜏𝑚 = 𝐾𝐵
8𝐹𝑚𝐷
𝜋𝑑3
𝐹𝑚 =
𝐹𝑚á𝑥 + 𝐹𝑚í𝑛
2
𝐹𝑎 =
𝐹𝑚á𝑥 − 𝐹𝑚í𝑛
2
Carregamento de Fadiga
𝑆𝑠𝑢 = Resistência máxima do fio em torção [𝑀𝑃𝑎];
𝑆𝑢𝑡 = Resistência máxima do fio em tração [𝑀𝑃𝑎].
Onde:
𝑆𝑠𝑢 = 0,67𝑆𝑢𝑡
Carregamento de Fadiga
𝑆𝑠𝑒 = Limite de fadiga em torção [𝑀𝑃𝑎];
𝑆𝑠𝑎 = Resistência alternante da mola [𝑀𝑃𝑎];
𝑆𝑠𝑚 = Resistência média da mola [𝑀𝑃𝑎];
𝑆𝑠𝑢 = Resistência máxima do fio em torção [𝑀𝑃𝑎].
Onde:
Critério de fadiga torcinonal de Sines
𝑆𝑠𝑒 = 𝑆𝑠𝑎 𝑛𝑓 =
𝑆𝑠𝑎
𝜏𝑎
Carregamento de Fadiga
𝑆𝑠𝑒 = Limite de fadiga em torção [𝑀𝑃𝑎];
𝑆𝑠𝑎 = Resistência alternante da mola [𝑀𝑃𝑎];
𝑆𝑠𝑎′ = Resistência alternante corrigida [𝑀𝑃𝑎];
𝑆𝑠𝑚 = Resistência média da mola [𝑀𝑃𝑎];
𝑆𝑠𝑢 = Resistência máxima do fio em torção [𝑀𝑃𝑎];
𝑟 = Relação de tensões (declividade da linha de carga) [−];
𝑛𝑓 = Fator de segurança de fadiga torcional [−].
Onde:
Critério de fadiga torcinonal de Gerber
𝑆𝑠𝑒 =
𝑆𝑠𝑎
1 −
𝑆𝑠𝑚
𝑆𝑠𝑢
2 𝑆𝑠𝑎′ =
𝑟2𝑆𝑠𝑢
2
2𝑆𝑠𝑒
−1 + 1 +
2𝑆𝑠𝑒
𝑟𝑆𝑠𝑢
2
𝑛𝑓 =
𝑆𝑠𝑎′
𝜏𝑎
𝑟 =
𝜏𝑎
𝜏𝑚
Carregamento de Fadiga
𝑆𝑠𝑒 = Limite de fadiga em torção [𝑀𝑃𝑎];
𝑆𝑠𝑎 = Resistência alternante da mola [𝑀𝑃𝑎];
𝑆𝑠𝑎′ = Resistência alternante corrigida [𝑀𝑃𝑎];
𝑆𝑠𝑚 = Resistência média da mola [𝑀𝑃𝑎];
𝑆𝑠𝑢 = Resistência máxima do fio em torção [𝑀𝑃𝑎];
𝑟 = Relação de tensões (declividade da linha de carga) [−];
𝑛𝑓 = Fator de segurança de fadiga torcional [−].
Onde:
Critério de fadiga torcinonal de Goodman
𝑆𝑠𝑒 =
𝑆𝑠𝑎
1 −
𝑆𝑠𝑚
𝑆𝑠𝑢
𝑆𝑠𝑎′ =
𝑟𝑆𝑠𝑒𝑆𝑠𝑢
𝑟𝑆𝑠𝑢 + 𝑆𝑠𝑒
𝑛𝑓 =
𝑆𝑠𝑎′
𝜏𝑎
𝑟 =
𝜏𝑎
𝜏𝑚
Problema Resolvido 2A
Uma mola helicoidal de compressão, fabricada com fio musical A228 com 𝑑 =
2,3 𝑚𝑚, 𝐷0 = 14 𝑚𝑚, 𝐿0 = 98 𝑚𝑚 e 𝑁𝑎 = 21 espiras, precisa suportar uma
carga dinâmica de 25 𝑁 a 156 𝑁 . As extremidades são esquadrejadas e
esmerilhadas e a mola não é jateada com granalha.
a) Calcule o fator de segurança de fadiga (𝑛𝑓) usando os critérios de falha
torcinonal por fadiga de Sines, Gerber e Goodman, com os dados de
Zimmerli;
b) Estime a frequência crítica da mola (𝑓𝑐𝑟) .
Problema Resolvido 2A
a) Fator de segurança de fadiga (𝑛𝑓𝑠) 
𝑆𝑢𝑡 =
𝐴
𝑑𝑚
=
2211
2,30,145
= 1959,5 𝑀𝑃𝑎
𝑆𝑠𝑢 = 0,67𝑆𝑢𝑡 = 0,67 . 1959,5 = 1312,8 𝑀𝑃𝑎
𝐷 = 𝐷0 − 𝑑 = 14 − 2,3 = 11,7 𝑚𝑚
𝐶 =
𝐷
𝑑
=
11,7
2,3
= 5,09
𝐾𝐵 =
4𝐶 + 2
4𝐶 − 3
=
4 . 5,09 + 2
4 . 5,09 − 3
→ 𝐾𝐵 = 1,288
Problema Resolvido 2A
a) Fator de segurança de fadiga (𝑛𝑓𝑠) 
𝐹𝑎 =
𝐹𝑚á𝑥 − 𝐹𝑚í𝑛
2
𝜏𝑎 = 𝐾𝐵
8𝐹𝑎𝐷
𝜋𝑑3
𝜏𝑚 = 𝐾𝐵
8𝐹𝑚𝐷
𝜋𝑑3
𝐹𝑚 =
𝐹𝑚á𝑥 + 𝐹𝑚í𝑛
2
=
156 − 25
2
= 65,5 𝑁
=
156 + 25
2
= 90,5 𝑁
= 1,228
8 . 65,5 . 11,7
𝜋 . 2,33
= 206,6 𝑀𝑃𝑎
= 1,228
8 . 90,5 . 11,7
𝜋 . 2,33
= 285,4 𝑀𝑃𝑎
Problema Resolvido 2A
a) Fator de segurança de fadiga (𝑛𝑓𝑠) 
Critério de fadiga torcinonal de Sines
𝑛𝑓 =
𝑆𝑠𝑎
𝜏𝑎
=
241
206,6
= 1,17
Problema Resolvido 2A
a) Fator de segurança de fadiga (𝑛𝑓𝑠) 
Critério de fadiga torcinonal de Gerber
𝑆𝑠𝑒 =
𝑆𝑠𝑎
1 −
𝑆𝑠𝑚
𝑆𝑠𝑢
2
𝑆𝑠𝑎′ =
𝑟2𝑆𝑠𝑢
2
2𝑆𝑠𝑒
−1 + 1 +
2𝑆𝑠𝑒
𝑟𝑆𝑠𝑢
2
𝑛𝑓 =
𝑆𝑠𝑎′
𝜏𝑎
𝑟 =
𝜏𝑎
𝜏𝑚
=
206,6
285,4
= 0,724
=
241
1 −
379
1312,8
2
= 262,9 𝑀𝑃𝑎
=
0,7242 . 1312,82
2 . 262,9
−1 + 1 +
2 . 262,9
0,724 . 1312,8
2
𝑆𝑠𝑎
′ = 245,4 𝑀𝑃𝑎
=
245,4
206,6
= 1,19
Problema Resolvido 2A
a) Fator de segurança de fadiga (𝑛𝑓𝑠) 
Critério de fadiga torcinonal de Goodman
𝑆𝑠𝑒 =
𝑆𝑠𝑎
1 −
𝑆𝑠𝑚
𝑆𝑠𝑢
𝑛𝑓 =
𝑆𝑠𝑎′
𝜏𝑎
𝑟 =
𝜏𝑎
𝜏𝑚
=
206,6
285,4
= 0,724
=
241
1 −
379
1312,8
= 338,8 𝑀𝑃𝑎
=
249,8
206,6
= 1,21
𝑆𝑠𝑎′ =
𝑟𝑆𝑠𝑒𝑆𝑠𝑢
𝑟𝑆𝑠𝑢 + 𝑆𝑠𝑒
=
0,724 . 338,8 . 1312,8
0,724 . 1312,8 + 338,1
= 249,8 𝑀𝑃𝑎
Problema Resolvido 2A
a) Fator de segurança de fadiga (𝑛𝑓𝑠) 
Critério de fadiga torcinonal de Sines
𝑛𝑓 = 1,17
Critério de fadiga torcinonal de Gerber
𝑛𝑓 = 1,19
Critério de fadiga torcinonal de Goodman
𝑛𝑓 = 1,21
Mais conservativo
Problema Resolvido 2A
b) Frequência crítica (𝑓𝑐𝑟) 
𝑉 = 𝑁𝑎𝜋𝑟
2 𝑝² + (2𝜋𝑅)2
𝑑 = 2,3 𝑚𝑚
𝐷 = 11,7 𝑚𝑚
→ 𝑟 = 1,15 𝑚𝑚
→ 𝑅 = 5,85 𝑚𝑚
𝑝 =
𝐿0 − 2𝑑
𝑁𝑎
=
98 − 2 . 2,3
21
= 4,448 𝑚𝑚
= 21 . 𝜋 . 1,152 4,448² + (2 . 𝜋 . 5,85)2 = 3230,4 𝑚𝑚³
𝑚 = 𝑉𝛿 = 3230,4 . 7,85 . 10−6 = 0,025 𝑘𝑔
Densidade do aço
Problema Resolvido 2A
b) Frequência crítica (𝑓𝑐𝑟) 
𝑓𝑛 =
1
2
𝑘
𝑚
𝑓𝑐𝑟 =
𝑓𝑛
20
=
1
2
8,42 . 103
0,025
𝑑 = 2,3
𝑘 =
𝑑4𝐺
8𝐷3𝑁𝑎
=
2,34 . 81 . 103
8 . 11,73 . 21
= 8,42 𝑁/𝑚𝑚
Convertendo para N/m
= 290 𝐻𝑧
=
290
20
= 14,5 𝐻𝑧
Projeto de molas helicoidais
para compressão dinâmica
Onde:
𝑆𝑠𝑎 = Resistência alternante da mola [𝑀𝑃𝑎];
𝑆𝑠𝑒 = Limite de fadiga em torção [𝑀𝑃𝑎];
𝛼 = Primeiro fator de cisalhamento [𝑀𝑃𝑎];
𝑛𝑓 = Fator de segurança [−];
𝛽 = Segundo fator de cisalhamento [𝑀𝑃𝑎];
𝐹𝑎 = Força alternante [𝑁];
𝐶 = Índice da mola [−].
𝛼 =
𝑆𝑠𝑒
𝑛𝑓
𝛽 =
8𝐹𝑎
𝜋𝑑²
𝐶 =
2𝛼 − 𝛽
4𝛽
+
2𝛼 − 𝛽
4𝛽2
−
3𝛼
4𝛽
Uma mola helicoidal de compressão, fabricada com fio musical A228 e
diâmetro de fio 𝑑 = 2,8 𝑚𝑚, precisa resistir a uma carga dinâmica que varia de
20 𝑁 a 80 𝑁 com frequência de 5 𝐻𝑧, em uma deflexão entre 12 𝑚𝑚 a 50 𝑚𝑚.
Por causa das considerações de montagem o comprimento sólido não pode
exceder 25 𝑚𝑚 e o comprimento livre não pode exceder 100 𝑚𝑚. Projete a
mola considerando que:
• As extremidades são esquadrejadas e esmerilhadas;
• Material sem jateamento;
• 𝑛𝑓 = 1,5 (para o critério de fadiga de Sines) e 𝜉 = 0,15;
• Calcule o fator de segurança contra falha estática (𝑛𝑠).
Problema Resolvido 2B
Linearidade robusta 
(letra grega “ksi”)
Problema Resolvido 2B
𝑦𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 12 𝑚𝑚
...deflexão entre 12 𝑚𝑚 a 50 𝑚𝑚
𝑦𝑡𝑟𝑎𝑏 = 50 − 12 = 38 𝑚𝑚
𝐹𝑎 =
𝐹𝑚á𝑥 − 𝐹𝑚í𝑛
2
𝐹𝑚 =
𝐹𝑚á𝑥 + 𝐹𝑚í𝑛
2
=
80 − 20
2
= 30 𝑁
=
80 + 20
2
= 50 𝑁
𝑘 =
𝐹𝑚á𝑥 − 𝐹𝑚í𝑛
𝑦𝑡𝑟𝑎𝑏
=
80 − 20
38
= 1,579 𝑁/𝑚𝑚
Problema Resolvido 2B
𝑆𝑢𝑡 =
𝐴
𝑑𝑚
=
2211
2,80,145
= 1904,4 𝑀𝑃𝑎
𝑆𝑠𝑢 = 0,67𝑆𝑢𝑡 = 0,67 . 1904,4 = 1275,9 𝑀𝑃𝑎
Critério de fadiga torcinonal de Sines:
𝑆𝑠𝑒 = 𝑆𝑠𝑎 = 241 𝑀𝑃𝑎
𝛼 =
𝑆𝑠𝑒
𝑛𝑓
𝛽 =
8𝐹𝑎
𝜋𝑑²
=
241
1,5
= 160,7 𝑀𝑃𝑎
=
8 . 30
𝜋 . 2,8²
= 9,74 𝑀𝑃𝑎
Problema Resolvido 2B
𝐶 =
2𝛼 − 𝛽
4𝛽
+
2𝛼 − 𝛽
4𝛽
2
−
3𝛼
4𝛽
=
2 . 160,7 − 9,74
4 . 9,74
+
2 . 160,7 − 9,74
4 . 9,74
2
−
3 . 160,7
4 . 9,74
𝐶 = 15,18
Neste caso a mola deve ser empacotada induvidualmente. Mesmo 
sem calcular o comprimrnto crítico deve se considerar a flamblagem 
como uma possibilidade, utilizando um pino no projeto.
→ 𝐶 > 14
𝐹𝑠 = (1 + 𝜉)𝐹𝑚á𝑥 = 1 + 0,15 80 = 92 𝑁
𝑁𝑎 =
𝑑4𝐺
8𝐷3𝑘
=
2,84 . 81 . 103
8 . 42,53 . 1,579
= 5,13 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑠
𝑑 = 2,8
Problema Resolvido 2B
𝑁𝑡 = 𝑁𝑎 + 2 = 5,13 + 2 = 7,13 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑠
𝐿𝑠 = 𝑑 𝑁𝑡 = 2,8 . 7,13= 19,96 𝑚𝑚 (< 25 𝑚𝑚)
𝑘 =
𝐹𝑠
𝑦
→ 𝑦 =
𝐹𝑠
𝑘
=
92
1,579
= 58,26 𝑚𝑚 (deflexão total)
𝐿0 = 𝐿𝑠 + 𝑦 = 19,96 + 58,26 = 78,22 𝑚𝑚 (<100 mm)
𝐷0 = 𝐷 + 𝑑
𝐷𝑖 = 𝐷 − 𝑑
= 42,5 + 2,8 = 45,3 𝑚𝑚
= 42,5 − 2,8 = 39,7 𝑚𝑚
Problema Resolvido 2B
𝐾𝐵 =
4𝐶 + 2
4𝐶 − 3
=
4 . 15,18 + 2
4 . 15,18 − 3
→ 𝐾𝐵 = 1,087
𝜏𝑚á𝑥 = 𝐾𝐵
8𝐹𝑠𝐷
𝜋𝑑3
𝑛𝑠 =
𝑆𝑠𝑦
𝜏𝑚á𝑥
= 1,087
8 . 92 . 42,5
𝜋 . 2,83
= 493 𝑀𝑃𝑎
=
857
493
= 1,74
Fator de segurança contra falha estática 𝑛𝑠
𝑉 = 𝑁𝑎𝜋𝑟
2 𝑝² + (2𝜋𝑅)2
𝑑 = 2,8 𝑚𝑚
𝐷 = 42,2 𝑚𝑚
→ 𝑟 = 1,4 𝑚𝑚
→ 𝑅 = 21,25 𝑚𝑚
𝑝 =
𝐿0 − 2𝑑
𝑁𝑎
=
78,24 − 2 . 2,8
5,13
= 14,15 𝑚𝑚
= 5,13 . 𝜋 . 1,42 14,15² + (2 . 𝜋 . 21,25)2 = 4244,9 𝑚𝑚³
𝑚 = 𝑉𝛿 = 4244,9. 7,85 . 10−6 = 0,033 𝑘𝑔
Problema Resolvido 2B
Frequência crítica 𝑓𝑐𝑟
Problema Resolvido 2B
𝑓𝑛 =
1
2
𝑘
𝑚
𝑓𝑐𝑟 =
𝑓𝑛
20
=
1
2
1,579 . 103
0,033
Convertendo para N/m
= 108,8 𝐻𝑧
=
108,8
20
= 5,44𝐻𝑧
Frequência crítica 𝑓𝑐𝑟
(> 5 𝐻𝑧)