Aula 8 - Engrenagens Cônicas

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Engrenagens Cônicas
Prof. Rafael Schreiber
Curso de Engenharia Mecânica
Unidade Curricular: Elementos de Máquina II
Engrenagens Cônicas
Engrenagens Cônicas
de Dentes Retos
Engrenagens Cônicas Espirais
(ou cônicas helicoidais)
Características
• Transmitem movimento entre eixos posicionados a diferentes ângulos,
mas é mais comum usar 90° entre os eixos;
• Engrenagens cônicas em geral não são intercambiáveis: elas são
feitas e trocadas como conjuntos de pinhão e coroa.
• Quando usadas engrenagens cônicas espirais é comum o ângulo de
hélice ψ = 35°;
• Cônicas espirais podem operar à velocidades de até 40 m/s (para
cilíndricas helicoidais esse valor é de até 10 m/s).
Digite a equação aqui.
Cone primitivo da 
coroa 
Diâmetro primitivo da 
coroa (𝑑𝑐)
Cone anterior 
da coroa
C
o
n
e
 p
ri
m
it
iv
o
 d
o
 
p
in
h
ã
o
D
iâ
m
e
tr
o
 p
ri
m
it
iv
o
 d
o
 
p
in
h
ã
o
 (
𝑑
𝑝
)
Ângulos de 
cone primitivos
𝑓
𝐿
𝛼𝑐
𝛼𝑝
𝑓 ≤ 𝐿/3
Engrenagens Cônicas
𝐿 =
𝑑𝑝
2sen𝛼𝑝
=
𝑑𝑐
2sen𝛼𝑐
Onde:
𝐿 = Comprimento do cone [𝑚𝑚];
𝑑𝑝 = Diâmetro primitivo do pinhão [𝑚𝑚];
𝑑𝑐 = Diâmetro primitivo da coroa [𝑚𝑚];
𝛼𝑝 = Ângulo de cone primitivo do pinhão [°];
𝛼𝑐 = Ângulo de cone primitivo da coroa [°];
𝑁𝑝 = Número de dentes do pinhão [−];
𝑁𝑐 = Número de dentes da coroa [−].
𝑚𝐺 =
𝑁𝑐
𝑁𝑝
=
𝑑𝑐
𝑑𝑝
= tan𝛼𝑐 = cot𝛼𝑝
para um par de 
engrenagens cônicas a 90°
Engrenagens Cônicas de Dentes Retos
𝐹𝑎 = 𝐹𝑡 tan𝜙 sen𝛼
𝐹𝑟 = 𝐹𝑡 tan𝜙 cos𝛼
Onde:
𝐹𝑎 = Força axial [𝑁];
𝐹𝑟 = Força radial [𝑁];
𝐹𝑡 = Força tangencial [𝑁];
𝜙 = Ângulo de pressão [°];
𝛼 = Ângulo de cone primitivo (𝛼𝑝 ou 𝛼𝑐) [°].
Engrenagens Cônicas Espirais
𝐹𝑎 =
𝐹𝑡
cos𝜓
tan𝜙𝑛 sen𝛼 ∓ sen𝜓 cos𝛼
Onde:
𝐹𝑎 = Força axial [𝑁];
𝐹𝑟 = Força radial [𝑁];
𝐹𝑡 = Força tangencial [𝑁];
𝜓 = Ângulo de hélice [°];
𝜙𝑛 = Ângulo de pressão normal [°];
𝛼 = Ângulo de cone primitivo (𝛼𝑝 ou 𝛼𝑐) [°].
𝐹𝑟 =
𝐹𝑡
cos𝜓
tan𝜙𝑛 sen𝛼 ± sen𝜓 cos𝛼
Sendo que em ∓ e ±
o sinal superior é usado para:
• pinhão motor, hélice à direita, 
rodando no sentido horário 
(vista de sua extremidade maior)
ou 
• pinhão motor, hélice à esquerda,
rodando no sentido anti-horário
(vista de sua extremidade maior)
Engrenagens Cônicas
𝐹𝑡 =
2𝑇
𝑑𝑚
Onde:
𝐹𝑡 = Força tangencial [𝑁];
𝑇 = Torque [𝑁𝑚𝑚];
𝑑𝑚 = Diâmetro primitivo médio [𝑚𝑚].
Engrenagens Cônicas
𝑇𝑝 =
60000 𝑃
2 𝜋 𝑛𝑝
Onde:
𝑇𝑝 = Torque de operação do pinhão [𝑁𝑚𝑚];
𝑃 = Potência [𝑊];
𝑛𝑝 = Rotação do pinhão [𝑟𝑝𝑚].
Tensão de Flexão
Onde:
𝜎𝑏 = Tensão de flexão no dente [MPa];
𝑇𝑝 = Torque de operação do pinhão [Nmm];
𝐾𝑎 = Fator de aplicação [-];
𝐾𝑚 = Fator de distribuição de carga [-];
𝐾𝑠 = Fator de tamanho [-];
𝑑𝑝 = Diâmetro primitivo do pinhão [mm];
𝐾𝐼 = Fator de ciclo de carga [-].
𝑓 = Largura da face [mm];
𝑚 = Módulo [mm];
𝐽 = Fator Geométrico de Resistência à Flexão [-];
𝐾𝑣 = Fator dinâmico [-];
𝐾𝑥 = Fator de curvatura [-].
Para os nossos propósitos,
os fatores Ka, Km, Ks e Kv podem ser
considerados os mesmos, como foi
definido para engrenagens cilíndricas.
Contudo, alguns desses
fatores têm definições ligeiramente
diferentes para engrenagens cônicas
na norma AGMA e devem ser
consultados para fórmulas mais
precisas em qualquer projeto real.
𝜎𝑏 =
2 𝑇𝑝 𝐾𝑎 𝐾𝑚 𝐾𝑠
𝑑𝑝 𝑓 𝑚 𝐽 𝐾𝑣 𝐾𝑥
Fator Geométrico (J)
Fator de Curvatura (𝐾𝑥)
𝐾𝑥 = 1
𝐾𝑥 = 1,15
Para engrenagens 
cônicas de dentes retos
Para engrenagens cônicas espirais.
Obs.: Esse valor é função do raio do
cortador, e 1,15 é um valor geral. Para
projetos reais a norma AGMA deve ser
consultada.
Tensão de Contato
𝜎𝑐 = Tensão de contato no dente [MPa];
𝐶𝑝 = Coeficiente elástico [MPa];
𝐶𝑏 = Constante de ajuste de tensão [-];
𝐾𝑎 = Fator de aplicação [-];
𝐾𝑚 = Fator de distribuição de carga [-];
𝐾𝑠 = Fator de tamanho [-];
𝐶𝑓 = Fator de acabamento de superfície [-];
𝐶𝑥𝑐 = Fator de coroação [-];
𝑓 = Largura da face [mm];
𝑑𝑝 = Diâmetro primitivo do pinhão [mm];
𝐼 = Fator geométrico de superfície [-];
𝐾𝑣 = Fator dinâmico [-];
𝑇𝑝 = Torque de operação do pinhão [Nmm];
𝑇𝐷 = Torque de projeto do pinhão [Nmm];
𝑧 = Expoente z [-].
𝜎𝑐 = 𝐶𝑝𝐶𝑏
2 𝑇𝐷 𝐾𝑎 𝐾𝑚 𝐾𝑠 𝐶𝑓 𝐶𝑥𝑐
𝑓 𝐼 𝑑𝑝
2 𝐾𝑣
𝑇𝑝
𝑇𝐷
𝑧
Onde:
Para nossos propósitos, os
fatores Cp, Ka, Km, Kv, Ks e Cf podem
ser considerados os mesmos que
aqueles definidos para engrenagens
cilíndricas.
Contudo, alguns desses
fatores têm definições ligeiramente
diferentes para engrenagens cônicas na
norma da AGMA, e ela deve ser
consultada para fórmulas mais precisas
no caso de qualquer projeto real.
Expoente 𝑧
𝑧 = 0,667 Quando
𝑧 = 1
𝑇𝑝 < 𝑇𝐷
Quando 𝑇𝑝 ≥ 𝑇𝐷
Torque
𝑇𝐷 = Torque de projeto do pinhão [Nmm];
𝑓 = Largura da face [mm];
𝐼 = Fator geométrico de superfície [-];
𝐾𝑣 = Fator dinâmico [-];
𝐾𝑎 = Fator de aplicação [-];
𝐾𝑠𝑝 = Fator de tamanho do pinhão [-];
𝐶𝑓 = Fator de acabamento de superfície [-];
𝐶𝑥𝑐 = Fator de coroação [-];
𝐶𝑚𝑑 = Fator de montagem [-];
𝑆𝑓𝑐′ = Resistência à fadiga de superfície [MPa];
𝑑𝑝 = Diâmetro primitivo do pinhão [mm];
𝐶𝐻 = Fator de razão de dureza [-];
𝐶𝑝 = Coeficiente elástico [MPa];
𝐶𝑏 = Constante de ajuste de tensão [-];
𝐾𝑇 = Fator de temperatura [-];
𝐾𝑅 = Fator de confiabilidade [-].
Onde:
𝑇𝐷 =
𝑓 𝐼 𝐾𝑣
2 𝐾𝑎 𝐾𝑠𝑝 𝐶𝑓 𝐶𝑥𝑐 𝐶𝑚𝑑
𝑆𝑓𝑐′ 𝑑𝑝 0,744 𝐶𝐻
𝐶𝑝 𝐶𝑏 𝐾𝑇 𝐾𝑅
2
Fator Geométrico (𝐼)
Fator de ajuste de Tensão (𝐶𝑏)
𝐶𝑏 = 0,634
Definido peça norma AGMA
Fator de Coroação (𝐶𝑥𝑐)
𝐶𝑥𝑐 = 1
𝐶𝑥𝑐 = 1,5
Para dentes não coroados
Para dentes coroados
Fator de Montagem (𝐶𝑚𝑑)
Dentes 
coroados
Dentes não 
coroados
Engrenagens bi apoiadas 𝐶𝑚𝑑 = 1,2 𝐶𝑚𝑑 = 2,4
Uma engrenagem bi apoiada e 
a outra em balanço
𝐶𝑚𝑑 = 1,5 𝐶𝑚𝑑 = 3
Engrenagens em balanço 𝐶𝑚𝑑 = 1,8 𝐶𝑚𝑑 = 3,6
Fonte: NORTON, 2003
Figura 13A
Um pinhão cônico de dentes retos com 17 dentes transmite 4 hp à 1800 rpm
à uma coroa de 52 dentes, por meio de um motor elétrico. O módulo das engrenagens
é 2,5 mm, o ângulo de pressão é 20° e o índice de qualidade é 6. Ambas engrenagens
são de aço endurecido por completo com dureza 240 HB. O carregamento é suave e a
aplicação é comercial, com temperatura abaixo de 120°C. As engrenagens são de
disco sólido, os dentes não são coroados e o pinhão é montado em balanço, enquanto
a coroa é bi apoiada. O ângulo entre os eixos é de 90º.
Calcule os fatores de segurança contra flexão e contra desgaste superficial
para vida de 1010 ciclos para cada engrenagem.
Problema Resolvido 8A
Problema Resolvido 8A
𝑚 = 2,5 𝑚𝑚
𝑑𝑝 = 𝑚𝑁𝑝 = 2,5 . 17 = 42,5 𝑚𝑚
𝑑𝑐 = 𝑚𝑁𝑐 = 2,5 . 52 = 130 𝑚𝑚
𝑄𝑣 = 6
𝑓 = ?
𝜙 = 20º
Problema Resolvido 8A
𝑇𝑝 =
60000𝑃
2𝜋𝑛𝑝
𝑃 = 4 ℎ𝑝 . 745,7 = 2982,8 𝑊
=
60000 . 2982,8
2 . 𝜋 . 1800
= 15824,2 𝑁𝑚𝑚
tan 𝛼𝑐 =
𝑁𝑐
𝑁𝑝
→ 𝛼𝑐 = tan
𝑁𝑐
𝑁𝑝
= tan
52
17
= 71,9º
𝛼𝑐 + 𝛼𝑝 = 90º → 𝛼𝑝 = 90º − 𝛼𝑐 = 18,1º
Torque de operação do pinhão 
Problema Resolvido 8A
𝑓 =
𝐿
3
=
68,4
3
= 22,8 𝑚𝑚
𝐿 =
𝑑𝑝
2sen𝛼𝑝
=
42,5
2 . sen 18,1
= 68,4 𝑚𝑚
𝑁𝑝 = 17
0,236
𝑁𝑐 = 52
17
0,199
𝐽𝑝 = 0,236
𝐽𝑐 = 0,199
Problema Resolvido 8A
𝐾𝑎 = 1
𝐾𝑚 = 1,6
(Igual ao problema 6A)
(Igual ao problema 6A)
Problema Resolvido 8A
𝐾𝑠𝑝 = 1,192
𝑓𝑑𝑝 𝑌𝑝
645,16𝑁𝑝
0,0535
= 1,192
38 . 42,5 . 0,303
645,16 . 17
0,0535
= 1,042
𝐾𝑠𝑐 = 1,192
𝑓𝑑𝑐 𝑌𝑐
645,16𝑁𝑐
0,0535
= 1,192
38 . 130 . 0,412
645,16 . 52
0,0535
= 1,051
𝑌𝑝 = 0,303
𝑌𝑐 = 0,412
interpolação
(Iguais ao problema 6A)
Problema Resolvido 8A
𝑉𝑡 =
𝜋𝑑𝑝𝑛𝑝
60000
𝐾𝑣 =
𝐴
𝐴 + 200𝑉𝑡
𝐵
𝐴 = 50 + 56(1 − 𝐵)
𝐵 =
(12 − 𝑄𝑣 )
2/3
4
=
𝜋 . 42,5 . 1800
60000
= 4,01 𝑚/𝑠
= 50 + 56(1 − 0,8255)
=
(12 − 6)2/3
4
= 0,8255
= 59,77
=
59,77
59,77 + 200 . 4,01
0,8255
= 0,726
(Igual ao problema 6A)Problema Resolvido 8A
Tensões de Flexão:
𝐾𝑥 = 1 Para engrenagens cônicas de dentes retos
𝜎𝑏𝑝 =
2 𝑇𝑝 𝐾𝑎 𝐾𝑚 𝐾𝑠𝑝
𝑑𝑝 𝑓 𝑚 𝐽𝑝 𝐾𝑣 𝐾𝑥
=
2 . 15824,2 . 1 . 1,6 . 1,042
42,5 . 22,8 . 2,5 . 0,236 . 0,726 . 1
= 127,1 𝑀𝑃𝑎
𝜎𝑏𝑐 =
2 𝑇𝑝 𝐾𝑎 𝐾𝑚 𝐾𝑠𝑐
𝑑𝑝 𝑓 𝑚 𝐽𝑐 𝐾𝑣 𝐾𝑥
=
2 . 15824,2 . 1 . 1,6 . 1,051
42,5 . 22,8 . 2,5 . 0,199 . 0,726 . 1
= 152,1 𝑀𝑃𝑎
Problema Resolvido 8A
𝐾𝐿 = 0,9
𝐾𝑇 = 1
Temperatura abaixo de 120ºC
𝐾𝑅 = 1
𝑆𝑓𝑏′ = 245𝑀𝑃𝑎
𝑆𝑓𝑏 =
𝐾𝐿 𝑆𝑓𝑏′
𝐾𝑇 𝐾𝑅
=
0,9 . 245
1 . 1
= 220,5 𝑀𝑃𝑎
Resistência à fadiga de flexão
(Igual ao problema 6A)
(Igual ao problema 6A)
(Igual ao problema 6A)
(Igual ao problema 6A)
(Igual ao problema 6A)
Problema Resolvido 8A
𝐶𝐿 = 0,85
𝐶𝐻 = 1
=
0,85 . 1 . 755
1 . 1
= 641,8 𝑀𝑃𝑎
Resistência à fadiga de contato
0,85
𝑆𝑓𝑐 =
𝐶𝐿 𝐶𝐻 𝑆𝑓𝑐′
𝐾𝑇 𝐾𝑅
𝑆𝑓𝑐′ = 755𝑀𝑃𝑎
(Igual ao problema 6A)
(Igual ao problema 6A)
(Igual ao problema 6A)
(Igual ao problema 6A)
Problema Resolvido 8A
𝐶𝑝 = 191 𝑀𝑃𝑎 (Igual ao problema 6A)
𝐶𝑓 = 1
Fabricação por métodos 
convencionais (bom acabamento)
(Igual ao problema 6A)
𝐶𝑏 = 0,634
Definido peça norma AGMA
𝐶𝑥𝑐 = 1
Para dentes não coroados
𝐶𝑚𝑑 = 3
Problema Resolvido 8A
𝐼 = 0,0785
17
0,0785
Problema Resolvido 8A
𝑇𝐷 =
𝑓 𝐼 𝐾𝑣
2 𝐾𝑎 𝐾𝑠𝑝 𝐶𝑓 𝐶𝑥𝑐 𝐶𝑚𝑑
𝑆𝑓𝑐′ 𝑑𝑝 0,744 𝐶𝐻
𝐶𝑝 𝐶𝑏 𝐾𝑇 𝐾𝑅
2
𝑇𝐷 =
22,8 . 0,0785 . 0,726
2 . 1 . 1,042 . 1 . 1 . 3
755 . 42,5 . 0,744 . 1
191 . 0,634 . 1 . 1
2
Torque de projeto do pinhão 
= 8077,8 𝑁𝑚𝑚
𝑧 = 1 Para 𝑇𝑝 ≥ 𝑇𝐷
15824,2 > 8077,8
Expoente 𝑧
Problema Resolvido 8A
Tensão de Contato:
𝜎𝑐 = 𝐶𝑝𝐶𝑏
2 𝑇𝐷 𝐾𝑎 𝐾𝑚 𝐾𝑠 𝐶𝑓 𝐶𝑥𝑐
𝑓 𝐼 𝑑𝑝
2 𝐾𝑣
𝑇𝑝
𝑇𝐷
𝑧
𝜎𝑐 = 191 . 0,634
2 . 8077,8 . 1 . 1,6 . 1 . 1
22,8 .0,0785 . 42,52 . 0,726
15824,2
8077,8
1
= 562,5 𝑀𝑃𝑎
Problema Resolvido 8A
Fatores de Segurança contra Flexão:
𝑛𝑓𝑏−𝑝 =
𝑆𝑓𝑏
𝜎𝑏𝑝
=
220,5
127,1
𝑛𝑓𝑏−𝑐 =
𝑆𝑓𝑏
𝜎𝑏𝑐
= 1,7
= 1,4=
220,5
152,1
Fator de Segurança contra Contato:
𝑛𝑓𝑐 =
𝑆𝑓𝑐
𝜎𝑐
2
=
641,8
562,5
2
= 1,3