Roteiro_Matemática Financeira Aplicada_aluno_versão

Prévia do material em texto

APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA! 
 
Prezado (a) estudante, 
 
Estamos iniciando a disciplina de Matemática Financeira Aplicada. No decorrer das 
unidades, mostraremos a você que a Matemática Financeira é um instrumento que fornece 
informações úteis para a tomada de decisões dentro e fora da empresa. 
Desta forma, conhecer bem essas teorias, técnicas e aplicações da Matemática 
Financeira constituem um aspecto muito importante para a sua formação e atuação no 
mercado de trabalho como técnico em administração, bem como para aplicação em outras 
atividades de sua vida profissional. 
Para tornar o material mais prático e agradável, a disciplina foi dividida em cinco 
unidades de conteúdo, todas elas com muitos exemplos e exercícios práticos. A disciplina é 
composta por 2 (duas) atividades de percurso, avaliação regular, avaliação de recuperação e 
exame final. 
Neste material temos informações preciosas que podem colaborar com seu processo 
de construção do conhecimento. Espero que você tenha sucesso nos estudos que se propôs 
ao iniciar esta disciplina. 
 
Bons estudos! 
Professora Danielli Vacari de Brum 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADES I: SÉRIES DE PAGAMENTO 
 
Prezado (a) estudante, 
 
Esta é a primeira unidade da disciplina Matemática Financeira Aplicada e o assunto a 
ser tratado são as séries de pagamentos, também conhecidas como rendas ou anuidades. 
Trabalharemos os modelos conceituais de séries de pagamento, que são as bases 
para os principais modelos de financiamentos de dívidas existentes no mercado, e as 
relações de interesse neles existentes. 
Mas, por que é importante estudar este assunto? Em que podemos aplicá-lo? Para 
responder a estas perguntas, basta lembrarmo-nos das compras que fazemos parceladas, 
seja no cartão de crédito ou por meio de crédito das lojas. 
Espero que você assimile este conteúdo para utilização em sua vida pessoal e 
profissional e que ao final desta unidade, você seja capaz de: 
 
 reconhecer séries de pagamentos postecipados e diferidos; 
 identificar como é calculado o valor das prestações, do principal e do montante de 
séries uniformes; e 
 demonstrar como fazer a programação financeira com base em depósitos mensais, 
compras futuras, viagens, gastos com educação e aposentadoria. 
 
Bons estudos! 
Professora Danielli Vacari de Brum 
 
1 Séries de pagamentos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: https://www.foregon.com 
 
 
 
 
 
1.1 Definições 
 
Chamamos séries de pagamentos, rendas ou anuidades os capitais que dispomos 
periodicamente para algum fim. Exibem o retorno do capital através de pagamentos iguais 
em intervalos de tempo constantes, ou seja, em datas previamente estipuladas. O intervalo 
de tempo entre dois termos chama-se período, e a soma dos períodos define a duração da 
série de pagamentos. 
Pagar uma prestação, realizar um empréstimo, aplicar na poupança ou fazer algum 
investimento são os exemplos mais comuns de séries de pagamentos. Cada um destes 
pagamentos ou recebimentos, referidos a uma mesma taxa de juros compostos, será 
chamado de termo da série ou termo da anuidade. 
O objetivo de constituir um capital em uma data futura leva ao processo de 
capitalização. Caso contrário, quando queremos pagar uma dívida, temos um processo de 
amortização. Pode ocorrer também o caso em que tenhamos realizado o pagamento pelo 
uso, sem que tenhamos amortização: é o caso dos aluguéis. 
 
 
1.2 Classificação 
 
Quanto à periodicidade: 
• Periódica: se todos os períodos são iguais; 
• Não periódica: se os períodos não são iguais entre si. 
 
Quanto ao prazo: 
• Temporárias: quando a duração for limitada; 
Exemplo: parcelamento de eletrodomésticos, financiamento de imóvel ou veículo. 
• Perpétuas: quando a duração for ilimitada. 
Exemplo: mensalidades, conta de luz, água. 
 
Quanto ao valor dos termos: 
• Uniforme ou Constante: se todos os termos são iguais; 
Exemplo: parcelamento de eletrodomésticos, financiamento de imóvel ou veículo, 
mensalidade de aluguel. 
• Variável: se os termos não são iguais entre si. 
Exemplo: conta de luz, água, telefone pós-pago. 
Quanto à forma de pagamento ou recebimento: 
 Postecipados: se os termos forem exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro 
período e a este prazo damos o nome de prazo de diferimento ou prazo de carência. Este 
tipo de pagamento é o mais adotado no Brasil e, por este motivo, nos concentraremos 
especificamente no estudo deste modelo. São aqueles em que realizamos a compra, sem 
 
 
 
 
 
entrada, e o primeiro pagamento ocorre somente após 30 dias como, por exemplo, fatura 
dos cartões de crédito, a conta de energia, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Diferidos: oferecem carência para a realização do primeiro pagamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Antecipados: exigem pagamentos no início dos períodos como, por exemplo, os 
financiamentos, com a primeira prestação à vista. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3 Notações adotadas 
 
VA: Valor atual, valor presente, capital no dia de hoje (principal), valor à vista; 
VN: Valor nominal, valor futuro, capital no fim do período n (montante); 
 
 
 
 
 
i: Taxa de juros por período de capitalização; 
n: Número de períodos de capitalização, número de termos, prestações, depósitos, parcelas; 
R: Valor de cada termo, prestação, depósito, parcela. 
 
 
1.4 Séries periódicas, temporária e uniformes – pagamentos postecipados e antecipados 
 
 
Agora que você já viu como identificar os diferentes tipos de séries, vamos aprender 
como calcular o valor atual (VA) de uma série de pagamentos a partir da prestação e vice-
versa. É importante salientar que este modelo é muito utilizado no dia a dia das lojas e 
bancos. 
 
 
1.4.1 Cálculo do valor atual (VA) de uma série, a partir do valor da prestação (R) 
 
 
Para entender melhor, vamos recorrer a um exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para sabermos qual o valor total a ser pago na data atual, basta que utilizemos o 
conceito de valor atual no regime de juros compostos, isto é: 
 
 
Você comprou o televisor em cinco parcelas de R$ 300,00 sem entrada, ou seja, 
postecipadas. Soube, porém, que a taxa de desconto para pagamento à vista seria de 2% 
ao mês. A primeira parcela vencerá em um mês, enquanto, a última vencerá em cinco 
meses. Mas, se quiséssemos pagar toda a dívida hoje mesmo, qual seria o valor a ser 
pago? 
𝑉𝑁 = 𝑉𝐴 1 + 𝑖 𝑛 ⇒ 𝑉𝐴 =
𝑉𝑁
 1 + 𝑖 𝑛
 
 
 
 
 
 
Mas, que prazo devemos colocar na fórmula, se temos cinco prazos diferentes? Na 
verdade, você precisará fazer um cálculo separado para cada uma das parcelas, como 
mostramos no quadro abaixo e, somente depois de calcular o valor presente de todas as 
parcelas, é que somará os resultados encontrados para obter o valor atual total a ser 
liquidado. 
 
 
 
 
Agora, imagine que você tivesse um parcelamento de longo prazo a ser liquidado, 
como, por exemplo, a compra de um veículo parcelado em 60 meses, e tivesse que calcular 
o pagamento à vista. Seria um cálculo muito trabalhoso, não é mesmo? 
Mas, não se preocupe, pois mostraremos que existe uma forma mais simples de 
calcular o valor presente de uma série uniforme. 
O valor atual ou presente de uma série de parcelas uniformes e postecipadas 
representa a soma das parcelas atualizadas para a data inicial do fluxo de desconto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑉𝐴 = 𝑅 . 
 1 + 𝑖 𝑛 − 1
 𝑖 1 + 𝑖 𝑛 
 ou 𝑅 =
𝑉𝐴
 
 1 + 𝑖 𝑛 − 1
 𝑖 1 + 𝑖 𝑛 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Se tivermos entrada (E) ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS 
 
 
 
 
 
 
TAXAS DE JURO 
 
 
 
 
 
CONVERSÕES 
 
• Nas fórmulas, a taxa de juros i deverá SEMPRE estar expressa em forma decimal. 
• Os valores de i e de n deverão ser compatíveis, ou seja, se “i” for expresso ao ano, “n” 
deverá também ser expresso em anos. 
 
É importante dizer que toda vez que uma taxa de juro for estipulada, deve-se especificar 
qual o período desua aplicação, que pode ser: 
• Taxa ao ano, simbolizada por a.a.; 
• Taxa ao trimestre, simbolizada por a.t.; 
• Taxa ao semestre, simbolizada por a.s.; 
• Taxa ao mês, simbolizada por a.m.; 
• Taxa ao dia. Simbolizada por a.d. 
 
𝑉𝐴 = 𝑅 . 
 1 + 𝑖 𝑛 − 1
 𝑖 1 + 𝑖 𝑛 
 . 1 + 𝑖 
 
 
 
 
 
Voltando ao exemplo anterior 
 
Você comprou o televisor em cinco parcelas de R$ 300,00 sem entrada. Soube, porém, que a 
taxa de desconto para pagamento à vista seria de 2% ao mês. A primeira parcela vencerá 
em um mês, enquanto, a última vencerá em cinco meses. Mas, se quiséssemos pagar toda a 
dívida hoje mesmo, qual seria o valor a ser pago? 
 
Dados: 
VA =? 
n = 5 meses 
R =300 
i = 2% a.m. = 2/100 = 0,02 a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑉𝐴 = 𝑅 . 
 1 + 𝑖 𝑛 − 1
 𝑖 1 + 𝑖 𝑛 
 
𝑉𝐴 = 300 . 
 1 + 0,02 5 − 1
 0,02 1 + 0,02 5 
 
𝑉𝐴 = 300 . 
 1,02 5 − 1
 0,02 1,02 5 
 
𝑉𝐴 = 300 . 
1,104080803 − 1
 0,02. 1,104080803 
 
𝑉𝐴 = 300 . 
0,104080803
0,022081616
 
𝑉𝐴 = 300 . 4,713459513 
 
 
 
 
 
 
𝑉𝐴 ≅1.414,04 
Demonstração logo a seguir. 
Divido por 100 para tirar a porcentagem 
CONCLUSÃO: Pagarei a prazo, pelo televisor, 5 parcelas de R$ 300,00, isto é R$ 1.500,00. 
Agora, se optar pelo pagamento à vista, pagarei ≅ 𝑅$ 1.414,04. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como Exemplo 1, vamos resolver a questão abaixo, utilizando as definições aqui 
demonstradas. 
Dado o anúncio, calcule o valor à vista da TV. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
Na calculadora científica ou no celular 
• Como abrir a calculadora científica de seu celular 
https://www.youtube.com/watch?v=DKd9MIH7
bqU&ab_channel=PapoInteressante 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Exemplo de cálculo: (1,02)5 =? 
1,02 𝒙𝒚 5 = 1,104080803 ou 
1,02 𝒚𝒙 5 = 1,104080803 ou 
1,02 ^ 5 = 1,104080803 
Dependendo da calculadora o símbolo da 
potência poderá ser 𝒙𝒚 , ou 𝒚𝒙 , ou ^ 
 
Divido por 100 para tirar 
a porcentagem 
Dados: 
VA = ? 
n = 7 meses 
R = 199,86 
I = 1,79% a.m. = 1,79/100 = 0,0179 a.m. 
https://www.youtube.com/watch?v=DKd9MIH7bqU&ab_channel=PapoInteressante
https://www.youtube.com/watch?v=DKd9MIH7bqU&ab_channel=PapoInteressante
 
 
 
 
 
 
 
 
 = . 
 1 + − 1
 1 + 
 
 
 = 199,86 . 
 1 + 0,0179 − 1
 0,0179 1 + 0,0179 
 
 
 
 = 199,86 . 
 1,0179 − 1
 0,0179 1,0179 
 
 
 = 199,86 . 
1,132232979 − 1
 0,0179. 1,132232979 
 
 
 = 199,86 . 
0,132232979
0,02026697
 
 
 = 199,86 . 6,524555915 
 
 ≅1.303,99 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 - Quanto se deve aplicar hoje em um investimento para poder retirar 
mensalmente R$ 2.500,00, durante os próximos 12 meses, considerando uma taxa nominal 
de 180% ao ano, capitalizada mensalmente? (Deixar tudo em meses, pois o enunciado 
ordena) 
 
Dados: 
VA =? 
n = 12 meses 
R =2500 
i = 180% a.a. = 180/12 = 15%a.a. /100 = 0,15 a.m. 
 
 1,0179 7 =? 
Na calculadora científica: 
1,0179 𝑥𝑦7 = 1,132232979 
ou 
1,0179 𝑦𝑥7 =1,132232979 
ou 
1,0179 ^ 7 = 1,132232979 
Divido a taxa por 12, pois 1 ANO tem 12 MESES 
Depois divido por 100 para tirar a porcentagem 
CONCLUSÃO: Pagarei a prazo, pelo televisor, 7 parcelas de R$ 199,86, isto é R$ 1.399,02. 
Agora, se optar pelo pagamento à vista, pagarei ≅ 𝑅$ 1.303,99. 
 
 
 
 
 
 
 = . 
 1 + − 1
 1 + 
 
 
 = 2500 . 
 1 + 0,15 − 1
 0,15 1 + 0,15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3 - Um equipamento está sendo oferecido, no crediário, para pagamento em 8 
prestações mensais iguais e consecutivas de R$5.800,00. Sabendo-se que a taxa de juros 
compostos cobrada é de 10% ao mês e que a primeira prestação deve ser paga no ato da 
compra, determinar o preço à vista desse equipamento. 
 
 
Dados: 
VA =? 
n = 8 meses 
R =5800 
i = 10% a.m. = 10/100 = 0,1 a.m. 
 
 
 
Obs.: Se tivermos entrada (E) ⇒ 
 
𝑉𝐴 = 2500 . 
 1,15 − 1
 0,15 1,15 
 
𝑉𝐴 = 2500 . 
5,350250105 − 1
 0,15. 5,350250105 
 
𝑉𝐴 = 2500 . 
4,350250105
0,802537515
 
𝑉𝐴 = 2500 . 5,420619004 
 
 
 
 
 
 
𝑉𝐴 ≅ 13.551,55 
 1,15 =? 
Na calculadora científica: 
1,15 𝑥𝑦 12 = 5,350250105 ou 
1,15 𝑦𝑥 12 = 5,350250105 ou 
1,15 ^ 12 = 5,350250105 
 
Divido por 100 para tirar a porcentagem 
CONCLUSÃO: Deverei aplicar aproximadamente R$ 13.551,55 para poder realizar saques 
mensais de R$ 2.500,00 pelos próximos 12 meses. 
 
𝑉𝐴 = 𝑅 . 
 1 + 𝑖 𝑛 − 1
 𝑖 1 + 𝑖 𝑛 
 . 1 + 𝑖 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 5800. 
 1 + 0,1 − 1
 0,1 1 + 0,1 
 . 1 + 0,1 
 
 
 = 5800. 
 1,1 − 1
 0,1 1,1 
 . 1,1 
 
 = 5800. 
2,14358881 − 1
 0,1. 2,14358881 
 . 1,1 
 
 = 5800. 
1,14358881
0,214358881
 . 1,1 
 
 = 5800. 5,3349261980 . 1,1 
 
 
 ≅ 34.036,83 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.2 Cálculo do valor da prestação (R), a partir do valor atual (VA) de uma série 
 
 
No exemplo anterior, aprendemos a calcular o valor atual de uma série de 
pagamentos, a partir do valor da prestação, da taxa e do número de parcelas. Há casos, 
porém em que sabemos o valor à vista, a taxa de juros e o número de parcelas, mas 
precisamos calcular o valor das parcelas. 
Exemplo 1 - Vamos calcular o valor das parcelas? Considere o pagamento postecipado, ou 
seja, 1ª parcela após 30 dias. 
 
 
 1,1 =? 
Na calculadora científica: 
1,1 𝑥𝑦 8 = 2,14358881 ou 
1,1 𝑦𝑥 8 = 2,14358881ou 
1,1 ^ 8 = 2,14358881 
 
CONCLUSÃO: Pagarei a prazo 8 parcelas de R$ 5.800 = R$ 46.400,00. Porém, à vista, 
pagarei aproximadamente R$ 34.036,83. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 =
 
 
 1 + − 1
 1 + 
 
 
 
 =
1315,37
 
 1 + 0,0179 − 1
 0,0179 1 + 0,0179 
 
 
 
 =
1315,37
 
 1,0179 − 1
 0,0179 1,0179 
 
 
 
 =
1315,37
 
1,112322408 − 1
 0,0179. 1,112322408 
 
 
 
 =
1315,37
[
0,112322408
0,019910571
]
 
 
 =
1315,37
 5,641345394 
 
 
 ≅ 233,16 
 
 
 
 
Divido por 100 
para tirar a 
porcentagem 
 1,0179 =? 
Na calculadora científica: 
1,0179 𝑥𝑦 6 = 1,112322408 ou 
1,0179 𝑦𝑥 6 = 1,112322408 ou 
1,0179 ^ 6 = 1,112322408 
CONCLUSÃO: Pagarei à vista pela lavadora de roupas, R$ 1.315,37. Porém, se optar pelo 
parcelamento, pagarei 6 parcelas de R$ 233,16, que resulta em R$ 1.398,96. 
Dados: 
VA = 1315,37 
n = 6 meses 
R = ? 
I = 1,79% a.m. = 1,79/100 = 0,0179 a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 - Um terreno é vendido à vista por R$ 56.000,00, mas pode ser vendido em 
quatro prestações trimestrais e iguais, vencendo a primeira três meses após a compra. 
Sabendo que a taxa de juros do financiamento é de 6% ao trimestre, obtenha o valor de 
cada prestação. 
 
Dados: 
VA = 56000 
n = 4 trimestres 
R = ? 
i = 6% a.t. = 6/100 = 0,06 a.m. 
 
 =
 
 
 1 + − 1
 1 + 
 
 
 
 =
56000
 
 1 + 0,06 − 1
 0,06 1 + 0,06 
 
 
 
 =
56000
 
 1,06 − 1
 0,06 1,06 
 
 
 
 =
56000
 
1,26247696 − 1
 0,06. 1,26247696 
 
 
 
 =
56000
[
0,26247696
0,075748617
]
 
 
 =
56000
 3,465105613 
 
 
 ≅ 16.161,12 
 
 
 
Divido por 100 para tirar a porcentagem 
 1,06 =? 
Na calculadora científica: 
1,06 𝑥𝑦 4 = 1,26247696 ou 
1,06 𝑦𝑥 4 = 1,26247696 ou 
1,06 ^ 4 = 1,26247696 
CONCLUSÃO: Pagarei à vista pelo terreno, R$ 56.000,00. Porém, se optar pelo 
parcelamento, pagarei 4 parcelas trimestrais de R$ 16.161,12, que resulta em 
R$ 64.644,48. 
 
 
 
 
 
Exemplo 3 – Um estabelecimento comercializa à vista um eletrodoméstico por R$ 1.800,00. 
No crediário, foi exigida uma trimestralmente de 35% do valor da mercadoria e o restante 
foi parcelado. Como os juros cobrados são de 3% a.m., qual será o valor das prestações se o 
cliente optar pela liquidação da dívida em 10 parcelas mensais? 
 
 
Dados: 
VA = 1800 – (35% de 1800⏟ 
 
) = 1800 – 630 = 1170 
n = 10 meses 
R = ? 
i = 3% a.m. = 3/100 = 0,03 a.m. 
 
 
 
 
 
 
 =
 
 
 1 + − 1
 1 + 
 
 
 
 =
1170
 
 1 + 0,03 − 1
 0,03 1 + 0,03=
1170
 
 1,03 − 1
 0,03 1,03 
 
 
 
 =
1170
 
1,343916379 − 1
 0,03. 1,343916379 
 
 
 
 =
1170
[
0,343916379 
0,040317491]
 
 
 =
1170
 8,530202837 
 
 
 
 ≅ 137,60 
 
 
 
Divido por 100 para 
tirar a porcentagem 
35
100
× 1800 
= 630 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
35% de 1800 = ? 
 
 1,03 =? 
Na calculadora científica: 
1,03 𝑥𝑦 10 = 1,343916379 ou 
1,03 𝑦𝑥 10 = 1,343916379 ou 
1,03 ^ 10 = 1,343916379 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um financiamento de um imóvel foi contrato pelo sistema SAC. Sabendo que o total 
da dívida é de 90.000 e que foi parcelado em 120 vezes, a uma taxa de 1% ao mês, calcule o 
valor da 20ª parcela. 
 
Dados: 
SD0 = 90000 
N = 120 
i= 1% a.m. = 1/100 = 0,01 a.m. 
n = 20 
 
Primeiro, vamos calcular o valor da amortização, sendo: 
 =
 
 
⇒
90000
120
= 750 
 
Agora, podemos calcular o valor da 20ª parcela, conforme se segue: 
 
 = + − − 1 × . 
 
 
 = 750 + 90000 − 20 − 1 × 750 . 0,01 
 
 = 750 + 90000 − 19 × 750 . 0,01 
 
 = 750 + 90000 − 14250 . 0,01 
 
 = 750 + 75750 . 0,01 
 
 = 750 + 757,50 
 
 = 1507,50 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSÃO: Pagarei à vista pelo eletrodoméstico R$ 1.800,00. Porém, se optar pelo 
parcelamento, pagarei 10 parcelas mensais de R$ 137,60, que resulta em R$ 1.376,00 
mais R$ 630,00 de entrada, totalizando aproximadamente R$ 2.006,00. 
 
CONCLUSÃO: O valor da 20ª parcela será R$ 1.507,50. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso queira se aprofundar um pouco mais, assista aos vídeos: 
 - https://www.youtube.com/watch?v=5VeJe-HlMos 
- https://www.youtube.com/watch?v=kCGnrUaktx8 
- https://www.youtube.com/watch?v=RPPWDLhHc5I 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
 
 
ALVES, Vilmar dos Santos. Matemática Financeira: técnico em finanças. Cuiabá : UFMT; 
Porto Velho: IFRO, 2014. 
 
PUCCINI, Ernesto Coutinho. Matemática financeira e análise de investimentos. 
Florianópolis: Departamento de Ciências da Administração / UFSC; [Brasília] : CAPES : UAB, 
2011. 
 
VIANNA, Renata de Moura Issa. Matemática financeira. Salvador: UFBA, Faculdade de 
Ciências Contábeis; Superintendência de Educação a Distância, 2018. 
 
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2011. 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=5VeJe-HlMos
https://www.youtube.com/watch?v=kCGnrUaktx8
https://www.youtube.com/watch?v=RPPWDLhHc5I
 
 
 
 
 
 
UNIDADES II: SÉRIES DE PAGAMENTO (Parte II) 
 
Prezado (a) estudante, 
 
Vamos continuar o estudo sobre as séries de pagamentos, também conhecidas como 
rendas ou anuidades. 
Espero que você assimile este conteúdo para utilização em sua vida pessoal e 
profissional e que ao final desta unidade, você seja capaz de: 
 
 Conhecer o cálculo do valor nominal (VN) de uma série, a partir do valor da prestação 
(R) e o cálculo do valor da prestação (R), a partir do valor nominal (VN). 
 
Bons estudos! 
Professora Danielli Vacari de Brum 
 
2.1 Cálculo do valor nominal (VN) de uma série, a partir do valor da prestação (R) 
 
 
Neste tópico, veremos como calcular o valor de um valor futuro a partir de uma série 
de prestações. Este cálculo é muito útil para ajudá-lo a poupar para realizar seus projetos 
futuramente. Para entender melhor, vamos recorrer a um exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 - Imagine, por exemplo, que você tenha 20 anos e resolveu fazer um plano de 
previdência que irá pagar mensalmente até os 60 anos, quando se aposentará. Ao fazer o 
cálculo, descobriu que serão 40 anos de aplicação, ou seja, 480 meses (40 x 12 meses). Em 
consulta ao gerente do banco, ele informa que há um a plano de aplicação de R$ 70,00 
mensais e que a taxa de juros é de 0,85% ao mês. 
 
Fonte: https://www.dreamstime.com 
 
Mas, qual será o valor acumulado quando você tiver completado 60 anos? Considere o 
pagamento postecipado, ou seja, ao primeiro depósito será após 30 dias. 
 
 
 
 
 
 
O valor nominal (VN) ou valor futuro de uma série de pagamentos ou anuidades é a 
soma dos montantes ou valores futuros dos seus termos, soma esta realizada para uma 
mesma data e à mesma taxa de juros compostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Se tivermos entrada (E) ⇒ 
 
 
Voltando ao exemplo anterior 
 
Exemplo anterior - Imagine, por exemplo, que você tenha 20 anos e resolveu fazer um plano 
de previdência que irá pagar mensalmente até os 60 anos, quando se aposentará. Ao fazer o 
cálculo, descobriu que serão 40 anos de aplicação, ou seja, 480 meses (40 x 12 meses). Em 
consulta ao gerente do banco, ele informa que há um a plano de aplicação de R$ 70,00 
mensais e que a taxa de juros é de 0,85% ao mês. 
Qual será o valor acumulado quando você tiver completado 60 anos? Considere o 
pagamento postecipado, ou seja, ao primeiro depósito será após 30 dias. 
 
 
Dados: 
VN = ? 
n = 480 meses 
R = 70 
i = 0,85% a.m. = 0,85/100 = 0,0085 a.m. 
 
 = . 
 1 + − 1
 
 
 
 = 70 . 
 1 + 0,0085 − 1
0,0085
 
 
 = 70 . 
 1,0085 − 1
0,0085
 
𝑉𝑁 = 𝑅 . 
 1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
 ou 𝑅 =
𝑉𝑁
 
 1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 
 
 1,0085 =? 
Na calculadora científica: 
1,0085 𝑥𝑦 480 = 58,13440387 ou 
1,0085 𝑦𝑥 480 = 58,13440387 ou 
1,0085 ^ 480 = 58,13440387 
Divido por 100 para tirar a porcentagem 
𝑉𝑁 = 𝑅 . 
 1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
 . 1 + 𝑖 
 
 
 
 
 
 = 70 . 
58,13440387 − 1
0,0085
 
 
 = 70 . 
57,13440387
0,0085
 
 
 = 70 . 6.721,694573 
 
 ≅ 470.518,62 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 – Qual o montante, no fim do décimo mês, resultante da aplicação de 10 parcelas 
mensais iguais e consecutivas de R$5.000,00, à taxa de 4% ao mês, de juros compostos, 
sabendo-se que a primeira aplicação é feita no início do primeiro mês? 
 
Dados: 
VN = ? 
n = 10 meses 
R = 5000 
i = 4% a.t. = 4/100 = 0,04 a.m. 
 
 
 
 = . 
 1 + − 1
 
 . 1 + 
 
 = 5000 . 
 1 + 0,04 − 1
0,04
 . 1 + 0,04 
 
 = 5000 . 
 1,04 − 1
0,04
 . 1,04 
 
 = 5000 . 
1,480244285 − 1
0,04
 . 1,04 
 
CONCLUSÃO: O valor acumulado ao final de 40 anos será de aproximadamente 
R$ 470.518,62. 
Divido por 100 para tirar a porcentagem 
 1,04 =? 
Na calculadora científica: 
1,04 𝑥𝑦 10 = 1,480244285 ou 
1,04 𝑦𝑥 10 = 1,480244285 ou 
1,04 ^ 10 = 1,480244285 
 
 
 
 
 
 = 5000 . 
0,480244285
0,04
 . 1,04 
 
 = 5000 . 12,00610712 . 1,04 
 
 ≅ 62.431,76 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 Cálculo do valor da prestação (R), a partir do valor nominal (VN) de uma série 
 
Este modelo de cálculo é útil quando você já tem definido o valor que precisará no 
futuro e deseja conhecer o valor necessário nos depósitos mensais para conseguir acumular 
o valor pretendido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 - Você deseja fazer uma viagem de férias daqui a 12 meses. A viagem custará 
R$ 3.000,00 e, para realizar o seu sonho, você deseja realizar depósitos mensais até lá, já 
que o valor depositado renderá 1% ao mês. Neste caso, qual deverá ser o valor depositado? 
 
 
Dados: 
VN = 3000 
n = 12 meses 
R = ? 
i = 1% a.m. = 1/100 = 0,01 a.m. 
 
CONCLUSÃO: O valor acumulado ao final das 10 parcelas será de aproximadamente 
R$ 62.431,76. 
Divido por 100 para tirar a porcentagem 
 
 
 
 
 
 
 =
 
 
 1 + − 1
 
 
 
 =
3000
 
 1 + 0,01 − 1
0,01 
 
 
 =
3000
 
 1,01 − 1
0,01 
 
 
 =
3000
[
1,12682503 − 1
0,01 ]
 
 
 =
3000
[
0,12682503
0,01 ]
 
 
 =
3000
 12,68250301 
 
 
 ≅ 236,54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSÃO: O valor depositado será de R$ 236,54 todos os meses. Ao final de 12 
meses, terei o valor acumulado de aproximadamente R$ 3.000,00 para a viagem de 
férias. 
 1,01 =? 
Na calculadora científica: 
1,01 𝑥𝑦 12 = 1,12682503 ou 
1,01 𝑦𝑥 12 = 1,12682503 ou 
1,01 ^ 12 = 1,12682503 
 
 
 
 
 
Vamos conferir? Lembre-se, já estou depositando na data inicial, logo o pagamento é 
antecipado. 
 
Dados:VN = ? 
n = 12 meses 
R = 236,54 
i = 1% a.m. = 1/100 = 0,01 a.m. 
 
 
 
 = . 
 1 + − 1
 
 . 1 + 
 
 = 236,54. 
 1 + 0,01 − 1
0,01
 . 1 + 0,01 
 
 = 236,54 . 
 1,01 − 1
0,01
 . 1,01 
 
 = 236,54 . 
1,12682503 − 1
0,01
 . 1,01 
 
 = 236,54 . 
0,12682503
0,01
 . 1,01 
 
 = 236,54 . 12,68250301 . 1,01 
 
 ≅ 3.029,91 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Divido por 100 para tirar a porcentagem 
CONCLUSÃO: Ao final de 12 meses terei aproximadamente R$ 3.029,91, podendo realizar 
minha viagem de férias. 
 1,01 =? 
Na calculadora científica: 
1,01 𝑥𝑦 12 = 1,12682503 ou 
1,01 𝑦𝑥 12 = 1,12682503 ou 
1,01 ^ 12 = 1,12682503 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 - Uma pessoa pretende adquirir um carro que custa R$ 25.000,00. Para isso, 
pretende depositar um valor fixo mensal de tal modo que, no dia do 12º depósito, consiga o 
valor necessário para adquirir o bem. Sabendo que não haverá aumento no preço do carro e 
que a aplicação remunera a taxa composta de 1% ao mês, qual o valor mínimo do depósito 
mensal necessário para atingir esse objetivo? 
 
Dados: 
VN = 25000 
n = 12 meses 
R = ? 
i = 1% a.m. = 1/100 = 0,01 a.m. 
 
 
 =
 
 
 1 + − 1
 
 
 
 =
25000
 
 1 + 0,01 − 1
0,01 
 
 
 =
25000
 
 1,01 − 1
0,01 
 
 
 =
25000
[
1,12682503 − 1
0,01 ]
 
 
 =
25000
[
0,12682503
0,01 ]
 
 
 =
25000
 12,68250301 
 
 
 ≅ 1.917,22 
 
 
 
 
Divido por 100 para tirar a porcentagem 
CONCLUSÃO: O valor depositado será de R$ 1.917,22 todos os meses. Ao final de 12 
meses, terei o valor acumulado de aproximadamente R$ 25.000,00 para a aquisição do 
carro. 
 1,01 =? 
Na calculadora científica: 
1,01 𝑥𝑦 12 = 1,12682503 ou 
1,01 𝑦𝑥 12 = 1,12682503 ou 
1,01 ^ 12 = 1,12682503 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chegamos ao final do conteúdo de Séries de Pagamentos da disciplina de 
Matemática Financeira Aplicada. Você já parou para pensar no quanto já caminhou em seu 
processo de aprendizagem? Com mais este conteúdo você tomou conhecimento sobre a 
série uniforme, que são aplicações ou pagamentos com parcelas periódicas. 
Na próxima unidade, o tema será: amortização. Você tem ideia do que se trata 
amortização? Prepare-se para este novo assunto. 
 
Aguardo você! 
Professora Danielli Vacari de Brum 
 
 
 
 
Caso necessário, acesse o site e aos vídeos: 
- https://www.youtube.com/user/OmatematicoGrings 
- https://www.youtube.com/watch?v=5VeJe-HlMos 
- https://www.youtube.com/watch?v=kCGnrUaktx8 
- https://www.youtube.com/watch?v=RPPWDLhHc5I 
 
FÓRMULAS 
https://www.youtube.com/user/OmatematicoGrings
https://www.youtube.com/watch?v=5VeJe-HlMos
https://www.youtube.com/watch?v=kCGnrUaktx8
https://www.youtube.com/watch?v=RPPWDLhHc5I
 
 
 
 
 
 
 REFERÊNCIAS 
 
 
 
ALVES, Vilmar dos Santos. Matemática Financeira: técnico em finanças. Cuiabá: UFMT, 
2014. 
 
MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2013. 
 
PUCCINI, Ernesto Coutinho. Matemática financeira e análise de investimentos. 
Florianópolis: Departamento de Ciências da Administração / UFSC; [Brasília]: CAPES: UAB, 
2011. 
 
VIANNA, Renata de Moura Issa. Matemática financeira. Salvador: UFBA, Faculdade de 
Ciências Contábeis; Superintendência de Educação a Distância, 2018. 
 
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2011. 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE III: AMORTIZAÇÕES 
 
Prezado (a) estudante, 
 
Esta é a terceira, das cinco unidades da disciplina Matemática Financeira. 
Abordaremos, nesta etapa, o tema amortização. A amortização, de certa forma, é uma 
continuidade das unidades anteriores, pois ambas exploram as séries de pagamento. Porém, 
no assunto anterior, abordamos somente as séries com pagamentos mensais iguais, 
enquanto neste conteúdo trataremos também sobre pagamento não uniforme. Outra 
novidade é compreender que em amortização temos a possibilidade de identificar o quanto 
está sendo pago de juros e o quanto está sendo efetivamente amortizado da dívida. 
É importante destacar que o seu aprendizado dependerá do seu envolvimento e 
dedicação, quanto maior for o seu comprometimento melhor será o resultado. 
 
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de: 
 
 
 
 
 
 
 analisar os fundamentos dos principais sistemas de amortizações, identificando as 
vantagens ou desvantagens para o comprador; 
 identificar porque os juros a longo prazo podem onerar o devedor; 
 construir os quadros de amortização de dívidas desses modelos. 
 
 
Bons estudos! 
Professora Danielli Vacari de Brum 
 
3 Amortização 
 
O assunto amortização de empréstimo é um dos mais importantes para a maioria das 
pessoas e a razão disso é muito simples. Uma grande parcela da população quer ou 
necessita consumir ou adquirir um bem, seja para a própria sobrevivência, ou mesmo para 
sentir-se realizada, porém nem sempre tem a disponibilidade de recursos financeiros para 
tal realização. Nesses casos, a alternativa é recorrer a fontes de financiamentos para a 
realização de seus desejos ou necessidades, comprometendo-se em devolver o recurso 
futuramente. Porém, é lógico que aquele que empresta o recurso cobrará alguma vantagem 
financeira, ou seja, juros pelo tempo em que o recurso ficar emprestado. 
 
 
3.1 Definição 
 
 
Amortização é o pagamento de uma dívida por meio de prestações em um prazo pré-
estabelecido. É um processo de redução de uma dívida através de pagamentos periódicos e 
definidos com antecedência. Ou seja, ao amortizar uma dívida, o endividamento vai 
diminuindo progressivamente o seu valor, até que a totalidade do débito seja quitado. 
Ao pagar as parcelas, você está pagando duas coisas: uma parte do valor que tomou 
emprestado (ou seja, está amortizando a dívida), e outra parte que corresponde aos 
encargos e juros embutidos. 
 
Mas, talvez você esteja em dúvida se o valor da parcela é a mesma coisa que 
amortização, não é mesmo?! 
Pois bem, para esclarecer esta dúvida, convém salientar que a parcela de um 
empréstimo ou financiamento é composta de juros sobre a dívida, amortização, além de 
outras despesas bancárias, tais como, taxa de administração e seguros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com Samanez (2010, p. 155): 
 
essa separação permite discriminar o que representa a devolução do 
principal (amortização) daquilo que representa o serviço da dívida (os 
juros), o que é muito importante para as necessidades jurídico-
contábeis e para a análise de investimentos, em que os juros, por 
serem dedutíveis para efeitos tributáveis, têm um efeito fiscal. 
 
 
3.2 Conceitos importantes 
 
 
Para uma melhor compreensão, daremos os principais conceitos de uso corrente nas 
operações de empréstimos e financiamentos. 
• Mutuante ou credor: aquele que fornece o empréstimo; 
• Mutuário ou devedor: aquele que recebe/toma o empréstimo; 
• Amortizar uma dívida: significa diminuir gradualmente, até a extinção total, o principal de 
uma dívida; 
• Amortização: corresponde às parcelas de devolução do capital emprestado. Indicaremos 
por A; 
• Prazo de amortização: é o intervalo de tempo durante o qual são pagas as amortizações; 
• Prestação: é a soma da amortização com os juros e outros encargos, pagos em dado 
período. Indicaremos por R; 
• Planilha: é um quadro, padronizado ou não, onde são colocados os valores referentes ao 
empréstimo, ou seja, o cronograma dos valores de recebimento e de pagamentos; 
• Saldo devedor: é o estado da dívida, ou seja, do débito, em um determinado instante de 
tempo “n”. Indicaremos por SDn; 
 • Período de amortização: é o intervalo de tempo existente entre duas amortizações 
sucessivas. 
Amortização: Correspondem as parcelas de devolução do principal. 
 
Parcela/Prestação: É a soma da amortização acrescida de juros e encargos. 
 
Prestação = amortização + juros 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 Modelos ou métodos de amortização 
 
 
Você sabia que existemdiversos métodos diferentes para se calcular a amortização? 
É isso mesmo! Entre eles estão os seguintes: 
 
• Sistema de amortização constante (SAC) 
• Sistema de amortização francês ou Price 
• Sistema de amortização americano (http://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-
americano-amortizacao.htm) 
• Sistema de amortização crescente (Sacre) - utilizado pela Caixa Econômica Federal entre os 
anos de 1999 e 2005, já extinto. 
 
No Brasil assumem maior relevância os sistemas de amortização SAC e Price e, 
portanto, nos restringiremos ao estudo destes dois sistemas. Nos sistemas de amortização a 
serem estudados, os juros serão calculados sempre sobre o saldo devedor. Isto significa que 
consideraremos apenas o regime de capitalização composta. 
 
SAC: utilizado em financiamentos de longo prazo, principalmente no setor produtivo. 
 
PRICE: é muito utilizado nos financiamentos em geral, como na compra de um carro, de um 
eletrodoméstico, num empréstimo pessoal, entre outros. 
 
 
3.4 Representação gráfica de uma operação de amortização 
 
 
É importante que, para toda operação de amortização, uma tabela seja montada e 
seus fluxos sejam representados em um diagrama. Esse procedimento, além de evitar erros 
comuns, possibilita uma fácil conferência dos resultados encontrados. 
As representações dos fluxos de caixa podem ser feitas na visão do financiador e do 
tomador de um empréstimo, conforme veremos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Fluxo de caixa na visão do tomador 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) Fluxo de caixa na visão do financiador 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os diagramas acima representam uma mesma operação de crédito sob óticas 
diferentes: do tomador que recebe recursos no instante zero e depois os paga em algumas 
parcelas e, por outro lado, do financiador que fornece recursos no instante zero para depois 
recebê-los, nesse caso, parcelados. 
Vimos nesta unidade algumas definições, conceitos, modelos e representações de 
amortizações. Nas próximas unidades, iremos trabalhar com os dois principais modelos de 
sistemas de amortizações utilizados no Brasil. 
 
Me acompanhe! 
Professora Danielli Vacari de Brum 
 
REFERÊNCIAS 
PUCCINI, Ernesto Coutinho. Matemática financeira e análise de investimentos. 
Florianópolis: Departamento de Ciências da Administração / UFSC; [Brasília]: CAPES: UAB, 
2011. 
VIANNA, Renata de Moura Issa. Matemática financeira. Salvador: UFBA, Faculdade de 
Ciências Contábeis; Superintendência de Educação a Distância, 2018. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE IV - SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
 
Prezado (a) estudante! 
Nesta unidade você irá estudar os sistemas de amortização constante. É importante 
destacar que o seu aprendizado dependerá do seu envolvimento e dedicação, quanto maior 
for o seu comprometimento melhor será o resultado. 
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de: 
 Conhecer a definição de SAC; 
 Aplicar os sistemas de amortização. 
 
Bons estudos! 
Professora Danielli Vacari de Brum 
4. Sistema de amortização constante (SAC) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1 Definição 
 
O SAC é um dos tipos de sistema de amortização utilizados em financiamentos 
imobiliários. A principal característica do SAC é que ele amortiza um percentual fixo do valor 
principal desde o início do financiamento. Esse percentual de amortização é sempre o 
mesmo, o que faz com que a parcela de amortização da dívida seja maior no início do 
financiamento, fazendo com que o saldo devedor caia mais rapidamente do que em outros 
mecanismos de amortização. 
De acordo com Gimenes (2009, p. 188), no SAC, como o próprio nome diz, o valor da 
amortização é constante, ou seja, é o mesmo para todos os períodos. Isso somente será 
possível se o saldo devedor inicial for dividido pelo número de períodos/parcelas 
envolvidos no financiamento. 
 
 
Fo
n
te
: h
tt
p
s:
//
w
w
w
.f
o
re
go
n
.c
o
m
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 o o o o ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
A é o valor da parcela de amortização; 
SD0 é o saldo devedor inicial; 
N é o número total de períodos ou de parcelas. 
 
Conceituando: O saldo devedor de um financiamento consiste na diferença entre o valor 
financiado reajustado e o valor total que já foi amortizado (pago) até o momento. Em outras 
palavras é o valor que ainda resta a ser pago. 
 
Neste sistema o saldo devedor é reembolsado em valores de amortização iguais. 
Desta forma, no sistema SAC o valor das prestações/parcela é decrescente, já que os juros 
diminuem a cada prestação. Os juros são calculados sobre o saldo devedor, multiplicando-se 
a taxa pelo saldo. Finalmente, a soma da amortização e dos juros resultam no valor da 
parcela (visto anteriormente). 
 
Vamos ilustrar com um exemplo para facilitar a sua compreensão! 
 
Exemplo - Uma empresa pede emprestado R$ 10.000,00 que o banco entrega no ato. 
Sabendo que os juros serão pagos mensalmente, que a taxa de juros é de 10% ao mês e que 
o principal será amortizado em quatro parcelas mensais, construir a planilha SAC. 
 
A montagem de uma tabela de amortização é simples. De maneira didática, propõe-se que 
as colunas tenham a seguinte ordem: 
 
n: Representa os períodos. 
SDn: Saldo devedor em um determinado instante de tempo “n”. 
A: valor da parcela de amortização. 
J: juros. 
P: Parcela/prestação efetuado pelo tomador do financiamento em um período. 
 
𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎 𝑜 = 
𝑆𝐷 
N
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 Preenchimento da planilha 
 
 
Procedimentos de preenchimento da planilha de amortização: 
 
a) A planilha de amortização possui uma linha para cada período, inclusive para o 
período zero (data da realização do empréstimo ou financiamento). No exemplo dado, o 
empréstimo está dividido em quatro parcelas, o que significa que a planilha conterá linhas 
de enumeradas de 0 a 4. 
 
b) No período 0 (zero) o saldo devedor é a própria dívida contratada, uma vez que 
não há amortização, bem como não há incidência de juros e, assim, não há prestação a 
pagar. 
 
c) A amortização no SAC é igual em todas as parcelas. 
 
d) O saldo devedor (SDn) em cada período n é resultante do SDn -1(do período 
anterior) menos a amortização A (do período atual). Exemplos: no período 1, o SD é igual a 
10000 – 2500 = 7500; no período 2, SD é igual a 7500 – 2500 = 5000 e assim sucessivamente. 
 
e) A prestação/parcela no período 1 é resultante da soma da amortização e dos juros 
do período. 
 
Após as considerações acima, vamos preencher a planilha de amortização, para a 
dívida de 10.000 dividida em quatro parcelas anuais à taxa de 10 ao ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De modo similar, é possível calcular os valores para os demais períodos, conforme se 
segue. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.3 Cálculo das parcelas no sistema SAC 
 
 
A principal característica das parcelas no sistema SAC é a redução uniforme de valor 
de um período para outro. Esse fato ocorre devido às amortizações constantes, que 
reduzem proporcionalmente o saldo devedor de cada período. 
 
A parcela P é calculada pela soma da amortização A com os juros incidentes sobre o 
valor inicial. 
 
É importante ressaltar que a queda do saldo devedor é uniforme. Portanto, o saldo 
devedor no período 1 é encontrado facilmente se o valor da amortização for subtraído do 
valor inicial (SDo). Sobre esse valor incide a taxa de juros referente ao seguinte período, que 
é somada à amortização e assim a parcela P é calculada. 
 
Dessa forma, podemos sistematizar uma fórmula genérica para calcular a prestação a 
cada período, conforme se segue: 
CONCLUSÃO: Conforme demonstrado na planilha, o valor total pago é de R$ 12.500,00, 
sendo R$ 10.000,00 do empréstimo e R$ 2.500,00 de juros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
No terceiro período, tal operação se repete, com uma sutil diferença: do valor inicial 
(SDo) se subtrai duas vezes o valor da amortização; depois, os juros são calculados e 
somados à amortizaçãodo referido período. Esse processo se repete ‘ene’ vezes. A seguir 
será demonstrada a fórmula final para o cálculo do valor de uma parcela em determinado 
período. 
 
Note que, para o período 3, o valor de duas amortizações é subtraído do valor inicial 
(SD0). Para o período 4, o valor de três amortizações deve ser subtraído do valor inicial 
(SD0). 
 
Logo, para o período n, o valor de (n – 1) amortizações deve ser subtraído do valor 
inicial (SD). Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos aplicar o que aprendemos em um exemplo prático: 
 
Um financiamento de um imóvel foi contrato pelo sistema SAC. Sabendo que o total 
da dívida é de 90.000 e que foi parcelado em 120 vezes, a uma taxa de 1% ao mês, calcule o 
valor da 20ª parcela. 
 
Dados: 
SD0 = 90000 
N = 120 
i= 1% a.m. = 1/100 = 0,01 a.m. 
n = 20 
𝑃𝑛 = 𝐴 + 𝑆𝐷𝑜 − 𝑛 − 1 × 𝐴 . 𝑖 
 
 
 
 
 
 
 
Primeiro, vamos calcular o valor da amortização, sendo: 
 =
 
 
⇒
90000
120
= 750 
 
Agora, podemos calcular o valor da 20ª parcela, conforme se segue: 
 
 = + − − 1 × . 
 
 
 = 750 + ( 90000 − ( 20 − 1 ⏟ 
 
) × 750) . 0,01 
 
 = 750 + ( 90000 − 19 × 750⏟ 
 
) . 0,01 
 
 = 750 + ( 90000 − 14250⏟ 
 
) . 0,01 
 
 = 750 + 75750 . 0,01⏟ 
 
 
 
 = 750 + 757,50 
 
 = 1507,50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSÃO: O valor da 20ª parcela será R$ 1.507,50. 
 
 
 
 
 
 
4.4 Cálculo do saldo devedor no sistema SAC 
 
Da mesma forma que calculamos o valor de amortização, também o valor do saldo 
devedor será facilmente encontrado. Para o primeiro período, basta subtrair uma 
amortização do valor inicial (SD0); no segundo período, duas amortizações devem ser 
subtraídas; no terceiro período, três amortizações devem ser subtraídas do saldo devedor 
financiado. Portanto, em n períodos, n amortizações devem ser subtraídas do valor inicial 
para o cálculo do saldo devedor nesse instante n, a partir do que podemos construir a 
seguinte fórmula. 
 
 
Assim: SDn é o saldo devedor no instante n qualquer, e A é o valor fixo da 
amortização. 
 
Assim como podemos calcular o valor de uma parcela qualquer da amortização, 
conforme mostramos no tópico anterior, você também pode calcular o saldo devedor. 
 
 
 
 
 
Para ficar mais claro, vamos calcular o saldo devedor do caso acima, que ainda 
restará após o pagamento da 20ª parcela. 
 
 = − × 
 
 = 90000 − 20 × 750 
 
 = 90000 − 15000 
 
 = 75000 
𝑆𝐷𝑛 = 𝑆𝐷 − 𝑛 × 𝐴 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso necessário, assista aos vídeos: 
 - https://www.youtube.com/watch?v=BWJajbIsOcQ 
- https://www.youtube.com/watch?v=zOrkf6EKJ5Q 
- https://www.youtube.com/watch?v=6YQufYJ5rO0 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
 
 
ALVES, Vilmar dos Santos. Matemática Financeira: técnico em finanças. Cuiabá: UFMT, 
2014. 
 
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2009. 
 
MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2013. 
 
VIANNA, Renata de Moura Issa. Matemática financeira. Salvador: UFBA, Faculdade de 
Ciências Contábeis; Superintendência de Educação a Distância, 2018. 
 
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2011. 
 
PUCCINI, Ernesto Coutinho. Matemática financeira e análise de investimentos. 
Florianópolis: Departamento de Ciências da Administração / UFSC; [Brasília]: CAPES: UAB, 
2011. 
 
SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2010. 
 
 
 
CONCLUSÃO: O saldo devedor após o pagamento da 20ª parcela será R$ 75.000,00. 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=BWJajbIsOcQ
https://www.youtube.com/watch?v=zOrkf6EKJ5Q
https://www.youtube.com/watch?v=6YQufYJ5rO0
 
 
 
 
 
 
UNIDADE V: SISTEMA DE PRESTAÇÃO CONSTANTE (PRICE) 
 
Prezado (a) estudante! 
Nesta unidade você irá estudar o sistema de prestação constante. É importante 
destacar que o seu aprendizado dependerá do seu envolvimento e dedicação, quanto maior 
for o seu comprometimento melhor será o resultado. 
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de: 
 Conhecer a definição de PRICE; 
 Aplicar o sistema de amortização. 
 
Bons estudos! 
Professora Danielli Vacari de Brum 
 
 
 5 Sistema de prestação constante (PRICE) 
 
 
Fonte: https://deltathink.com/news 
 
 
5.1 Definição 
 
Esse sistema é muito utilizado nos financiamentos em geral, como na compra de um 
carro, de um eletrodoméstico, num empréstimo pessoal, entre outros. Você pode identificar 
o sistema Price se o vendedor utilizar uma tabela de fatores para calcular o valor das 
parcelas fixas. 
 Conforme observa Sandrini (2007, 57) apud Alves (2014): 
 
esse sistema é mais conhecido no Brasil como Tabela Price, que 
consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações 
 
 
 
 
 
periódicas, iguais e sucessivas, dentro do conceito de termos 
vencidos, em que o valor de cada prestação é composto por duas 
parcelas distintas: uma de encargos financeiros (juros) e outra de 
capital (amortização). 
 
Como consequência do modelo de prestações iguais, tem-se que à medida que o 
saldo devedor diminui, com as amortizações mensais, o devedor terá menos juros a pagar 
nas parcelas vincendas. A partir deste raciocínio, é fácil concluir que, se as parcelas são 
iguais, então os juros das parcelas periódicas são decrescentes e, por sua vez, as 
amortizações, crescentes. 
Que tal explicarmos utilizando um exemplo prático. Com certeza será muito mais 
fácil para você compreender. Vamos utilizar o mesmo exemplo aplicado no tópico sobre o 
SAC. 
 
Exemplo - Uma empresa pede emprestado R$ 10.000,00 que o banco entrega no ato. 
Sabendo que os juros serão pagos mensalmente, que a taxa de juros é de 10% ao mês e que 
o principal será amortizado em quatro parcelas mensais, construir a planilha PRICE. 
 
 
Dados: 
VA = 10 000 
i = 10% a.m. = 10/100 = 0,1 a.m 
n = 4 parcelas 
 
 
5.2 Preenchimento da planilha 
 
Procedimentos de preenchimento da planilha de amortização: 
 
1º) Cálculo da prestação: 
No sistema Price a parcela é calculada pelo método que aprendemos na Unidade I, item 
1.4.2, conforme iremos mostrar. 
 
 =
 
 
 1 + − 1
 1 + 
 
 
 
 =
10000
 
 1 + 0,1 − 1
 0,1 1 + 0,1 
 
 
 
Divido por 100 para tirar a porcentagem 
 
 
 
 
 
 =
10000
 
 1,1 − 1
 0,1 1,1 
 
 
 
 =
10000
 
1,4641 − 1
 0,1 1,4641 
 
 
 
 
 =
10000
[
0,4641
0,14641]
 
 
 =
10000
 3,16986545 
 
 
 = 3155,00 
 
 
2º) De modo análogo ao que mostramos no sistema de amortização constante, faremos a 
montagem de uma tabela de amortização com as colunas na seguinte ordem: 
 
 
 
Onde: 
n: Representa os períodos. 
SDn: Saldo devedor em um determinado instante de tempo “n”. 
A: valor da parcela de amortização. 
J: juros. 
P: Parcela/prestação efetuado pelo tomador do financiamento em um período. 
 
 
 
 
 
 
Do mesmo modo podem ser calculados para os demais períodos, conforme planilha a 
seguir 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3 Comparativo PRICE versus SAC 
 
Os empréstimos e financiamentos são normalmente amortizados nos 
sistemas Tabela Price ou Tabela SAC. A primeira é utilizada na maior parte dos empréstimos 
e financiamentos de carros, e sua principal característica é o valor fixo das parcelas. Já a 
Tabela SAC possui parcelas decrescentes e é muito usada nos financiamentos de imóveis. 
 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSÃO: Conforme demonstrado na planilha, o valor total pago é de R$ 12.620,00, 
sendo R$ 10.000,00 do empréstimo e R$ 2.620,00 de juros. 
 
FAÇA SEMPRE NESTE SENTIDO, DA DIREITA PARA A ESQUERDA 
http://fazaconta.com/financiamentos-pmt-rate-nper.htm
http://fazaconta.com/financiamentos-pmt-rate-nper.htm
http://fazaconta.com/financiamentos-tabela-sac.htmVisite a seção para simulação on-line: 
http://fazaconta.com/simulador-financiamento.htm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assista o vídeo: 
- https://www.creditooudebito.com.br/price-sac-sacre-diferencas-entre-sistemas-
amortizacao/ 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
 
 
ALVES, Vilmar dos Santos. Matemática Financeira: técnico em finanças. Cuiabá: UFMT, 
2014. 
 
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2009. 
 
MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2013. 
 
VIANNA, Renata de Moura Issa. Matemática financeira. Salvador: UFBA, Faculdade de 
Ciências Contábeis; Superintendência de Educação a Distância, 2018. 
 
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2011. 
 
PUCCINI, Ernesto Coutinho. Matemática financeira e análise de investimentos. 
Florianópolis: Departamento de Ciências da Administração / UFSC; [Brasília]: CAPES: UAB, 
2011. 
 
SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2010. 
 
 
 
 
 
 
https://www.creditooudebito.com.br/price-sac-sacre-diferencas-entre-sistemas-amortizacao/
https://www.creditooudebito.com.br/price-sac-sacre-diferencas-entre-sistemas-amortizacao/
 
 
 
 
 
 
 
É HORA DA REVISÃO! 
 
 
Prezado (a) estudante, 
 
Enfim, chegamos ao final da disciplina de Matemática Financeira Aplicada. Espero 
que tenha gostado da disciplina. Vamos relembrar os pontos mais importantes de cada 
Unidade. Então, vamos lá? Opa, já estava me esquecendo de perguntar. Como foi o seu 
aproveitamento? Envolveu-se com os temas propostos? Fez as atividades? Agora sim 
podemos relembrar os pontos mais importantes de cada Unidade. Vamos lá! 
 
Na Unidade I e II aprendemos os modelos conceituais de anuidades, ou rendas, que 
são as bases para os principais modelos de financiamentos de dívidas existentes no 
mercado, e as relações de interesse neles existentes. 
 
Na unidade III, IV e V discutimos os principais sistemas de amortização de dívidas 
utilizados pelos mercados público e privado. Nesse sentido, estudamos os Sistemas de 
Prestações Constantes (Sistema Price) e os Sistemas de Amortizações Constantes. 
 
Assim, chegamos ao final da disciplina, mas esse conteúdo não se esgota aqui. Você 
deverá completar seus estudos com o material complementar disponibilizado e referências 
bibliográficas indicadas. 
 
Antes de realizar a avalição regular, é necessário que faça a revisão dos conteúdos 
estudados, lendo o material da disciplina e assistindo as webaulas. 
 
Conte comigo. 
 
Grande abraço e boa sorte! 
Professora Danielli Vacari de Brum