Lista de Exercício: Análise gráfica das funções & problemas de otimização.

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FACULDADE DE TECNOLOGIA E CIÊNCIA - FTC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cursos de Engenharia 
 Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
Prof. : Álvaro Fernandes Serafim 
 Aluno : ________________________________________________ 
 
 
55a LLiissttaa ddee EExxeerrccíícciiooss a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise gráfica das funções 
& 
problemas de otimização. 
“Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas 
 há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu 
 problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar a sua curiosidade e 
 fizer funcionar a sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho, 
 então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta” 
 George Polya 
Pontos críticos. 
 
1. Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem. 
 
a) . ( )f x x= +3 2 b) . ( )f x x x= − +2 3 8 c) ( )f x x= −3 3 . d) . ( )f x e xx= −
e) ( )f x
x
x
=
−2 4
. 
 
f) . ( )f x x x= −4 123 2
 
g) ( ) ( ) (f x x x)= +2 2sen cos , [ ]x ∈ 0 2, π . 
 
Crescimento e decrescimento. 
 
2. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento das funções. (Visualize no Winplot) 
 
a) . ( )f x x= −2 1 b) ( )f x x x= + +3 62 7 . c) ( )f x x x x= + − +3 22 4 2 . 
 
 
d) . ( )f x e x= −
 
e) ( )f x x e x= −. . f) ( )f x x
x
= +
1
. 
 
 
g) . ( ) ( ) ( ) [ ]f x x x x= + ∈2 2 0cos sen , , π2 h) ( )f x x
x
=
−
2
1
. 
 
 
Pontos de extremos relativos. 
 
3. Encontrar os pontos de máximos e mínimos relativos das funções, se existirem. (Visualize no Winplot) 
 
 
a) . ( )f x x x= + +3 23 1
 
b) . ( )f x x x= −8 42 3 c) ( )f x
x x
x= + − +
3 2
3 2
6 5 . 
 
d) . ( )f x x x= −5 255 3 e) ( )f x
x
x
=
−
+
1
1
. 
 
f) ( )f x xex= . 
 
4. Encontre os pontos de máximos e mínimos relativos da função ( ) ( ) (f x x x)= +2 2sen cos , [ ]x ∈ 0 2, π , 
usando o critério da segunda derivada. (Visualize no Winplot) 
 
Concavidade e ponto de inflexão. 
 
5. Determinar os intervalos onde as funções têm concavidade voltada para cima (C.V.C.) e concavidade 
voltada para baixo (C.V.B.). Determine também os pontos de inflexão (P.I.). (Visualize no Winplot) 
 
a) . ( )f x x x x= − + +3 22 1 b) . ( )f x x x= − +3 44 3 6 c) . ( )f x x x= −2 66 4
 
d) . ( ) ( )f x x= −2 21 e) ( )f x x= −5 1 . f) . ( )f x xex=
 
Assíntotas. 
 
6. Determine as assíntotas horizontais e verticais das funções abaixo, se existirem. (Visualize no Winplot) 
 
 
a) . ( )f x x x= − +3 23 2 b) ( )f x
x
x
=
−
2
9
2
2 . c) ( )f x
x
x
=
−
+
2
9
. 
 
 
d) ( )f x
x
x x
=
−
− −
2
2 2
. e) ( )
( )
f x
x
x
=
sen
. f) ( )
( )
f x
x
x
=
ln
3 . 
 
 2
Esboço gráfico. 
 
7. Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos, as assíntotas 
horizontais e verticais, os intervalos de crescimento e decrescimento, os máximos e mínimos relativos, os 
intervalos onde o gráfico tem concavidade para cima e onde o gráfico tem concavidade para baixo, os 
pontos de inflexão e o esboço gráfico. 
 
Obs: Para confirmar a sua resposta, construa os gráficos no Winplot. 
 
 
 
a) . ( )f x x x x= + − −10 12 3 22 3 b) ( )f x
x
x
=
+
−
1
1
. 
 
c) . ( )f x x x= − + −4 26 3
 
 
d) . ( )f x e x= −
2
 
e) ( ) ( )f x x x= .ln . f) ( )f x
e
x
x
= . 
 
 
Problemas de máximos e mínimos (otimização). 
 
 
8. a) De todos os retângulos de perímetro constante L, qual possui maior área? Qual o valor desta área? 
 
b) Uma reta variável passando por corta o eixo Ox em ( )P 1 2, ( )A a,0 e o eixo Oy em . Determine o 
triângulo OAB de área mínima, para a e b positivos. 
( )B b0,
 
c) Dentre os retângulos com base no eixo Ox e vértices superiores sobre a parábola , 
determine o de área máxima (base e altura). 
y x= −12 2
 
d) Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de produção é 
dado por C x e a receita obtida na venda é dada por ( ) x x x= + + +2 6 183 2 6 ( )R x x x= −60 12 2
( )
, determinar o 
número ótimo de unidades que maximiza o lucro L. ( Lucro = Receita - Custo, isto é, ( ) ( )R x C xL x = − ). 
 
e) Usando uma folha de cartolina, de lado igual a 60 cm, deseja-se construir uma caixa sem tampa, cortando 
seus cantos em quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos 
quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível. 
 
 
f) A potência P de uma bateria de um automóvel é dada por P VI I R= − 2 , sendo I a corrente para uma 
voltagem V e resistência interna da bateria R. São constantes V e R. Que corrente corresponde à potência 
máxima? 
 
g) O departamento de trânsito de uma cidade, depois de uma pesquisa, constatou que num dia normal da 
semana à tarde, entre 2 e 7 horas, a velocidade do tráfego é de aproximadamente 
 quilômetros por hora, onde t é o número de horas transcorridas após o meio 
dia. A que horas do intervalo de 2 às 7 o tráfego flui mais rapidamente e a que horas flui mais lentamente, e 
com que velocidade? 
( )V t t t t= − + −2 27 108 353 2
 
h) Faz-se girar um triângulo retângulo de hipotenusa constante H em torno de um de seus catetos, gerando 
um cone circular reto. Determine o cone de volume máximo (determine o raio da base e altura). 
 3
i) Um gerador de corrente elétrica tem uma força eletromotriz de ε volts e uma resistência interna de r ohms. 
ε e r são constantes. Se R ohms é uma resistência externa, a resistência total é (r + R) ohms e se P watts é 
a potência então, ( ) ( )P R r R= +ε2 2 . Qual o valor de R que consumirá o máximo de potência? Interprete o 
resultado. 
 
j) Corta-se um pedaço de arame de comprimento constante L em duas partes. Com uma das partes faz-se 
uma circunferência e com a outra um quadrado. Determine o raio da circunferência e o lado do quadrado 
para que a soma das áreas compreendidas pelas duas figuras seja mínima. 
 
k) Um construtor deseja construir um depósito com as seguintes características: capacidade de 30 m3, teto 
plano, base retangular cuja largura é três quartos do comprimento. O custo por metro quadrado do material 
é de R$ 36.000,00 para o chão, R$ 204.000,00 para os lados e R$ 102.000,00 para o teto. Quais as 
dimensões do depósito que minimizarão o custo? 
 
 
Respostas: 
 
1) a) Não existe. b) x = 3/2. c) x = 0. d) x = 0. e) Não existe. f) x = 0 e x = 2. 
 g) π π . π π6 2 5 6 3, , e 2
[
2. a) A função é crescente em ℜ . 
 b) crescente em [ e decrescente em ] ] . − +∞1, −∞ −, 1
 c) crescente em ] ] [ [− ∞ − ∪ +∞, , 2 2 3 e decrescente em [ ]− 2 2 3, . 
 d) A função é decrescente em ℜ . e) crescente em e decrescente em []− ∞ −, 1] [1, +∞ . 
 f) crescente em ] ] e decrescente em [− ∞ − ∪ +∞, , 1 1 [ [ [ ] ]− ∪1 0 0 1, , . 
 g) crescente em [ ] [0 6 5 6 2, π π∪ ], π e decrescente em [ ]π π6 5 6, . 
 h) crescente em ] ] e decrescente em [− ∞ ∪ +∞, , 0 2 [ [ [ ] ]0 1 1 2, , ∪ . 
3. a) x = -2 é ponto de máx. e x = 0 é ponto de mín. 
 b) x = 0 é ponto de mín. e x = 4/3 é ponto de máx. 
 c) x = -3 é ponto de máx. e x = 2 é ponto de mín. 
 d) x = − é ponto de máx. e 3 x = 3 é ponto de mín. 
 e) Não tem ponto de máx. e nem de mín. f) x = -1 é ponto de mín. não tem ponto de máx. 
 
4. Pontos de máx. x x= =π 6 5 e π 6 e Pontos de mín. x x= =π π2 3 e 2 . 
5. 
 
[ [ ] ]
] ] [ [ [ ]
] ] [ [ [ ]
] ] [ [ [ ]
] ] [ [
[ [
a)
b) e
c) 
d) 
e) 
) , 
 C.V.C.: , , C.V.B.: , . P.I.: x .
 C.V.C.: , , , C.V.B.: , . P.I.: x x
 C.V.C.: , , C.V.B.: , . P.I.: x
 C.V.C.: , , C.V.B.: , . P.I.: x
 C.V.C.: , C.V.B.: . P.I.: x .
f C.V.C.: 
2 3 2 3 2 3
0 2 3 0 2 3 2 3 0
6 5 6 5 6 5 6 5 6 5
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
0 0 0
2
+ ∞ − ∞ =
− ∞ ∪ + ∞ = =
− ∞ − ∪ + ∞ − = ±
− ∞ − ∪ + ∞ − = ±
− ∞ + ∞ =
− + ∞
.
, .
,.
, ,
] ] , C.V.B.: . P.I.: x .− ∞ − = −, 2 2
 
6. a) não há assíntotas. b) Horizontal: y = -2 Vertical: x = 3 e x = -3. 
 c) Horizontal: y = 1 Vertical: x = -9. d) Horizontal: y = -1 Vertical: x = -1 e x = 2. 
 e) Horizontal: y = 0 Vertical: não há. f) Horizontal: y = 0 Vertical: x = 0. 
 4
 
7. a) ; interseção com Oy: ; não tem assíntotas; crescente em [ ] ; ( )D f R= ( )P 0 10, − 2 1,
 decrescente em ( ; máx. em ] [ )− ∞ − ∪ +∞, ,2 1 ( )117,Q ; mín. em ( )R − −2 10, ; 
 concavidade p/ cima em ( ; concavidade p/ baixo em )− ∞ −, 1 2 ( )− +∞1 2, ; 
 ponto de inflexão ( )M −1 2 7 2, . 
 
 b) D f ; interseção com Ox ( ) { }R= − 1 ( )P −1 0, e com oy ( )0 1,−Q ; assíntotas ; x y= =1 1 e 
 decrescente em ; não possui máximo nem mínimo relativos; { }R − 1
 concavidade p/ cima em ( ; concavidade p/ baixo em )1,+∞ ( )− ∞,1 ; não tem ponto de inflexão. 
 
 c) D f ; interseção com oy ; não tem assíntotas; ( ) = ℜ (Q , 0 3− )
 crescente em ] ] [− ∞ − ∪, , 3 0 3 ] ; decrescente em [ ] [ [− ∪ +3 0 3, , ∞ ; 
 pontos de máximo ( ) (P , P , 1 23 6 3 6 e − ) ; ponto de mínimo ( )Q , 0 3− ; 
 C.V.C. em [ ; C.V.B. em ]−1 1, ] ] [ [− ∞ − ∪ +∞, , 1 1 ; pontos de inflexão . ( ) (A , A , 1 21 2 1 2 e − )
 
 d) D f ; interseção com Oy: ; assíntota ( ) R= ( )N 0 1, y = 0 ; crescente em ( ]− ∞,0 ; 
 decrescente em [ ; máx. em ; não tem mín.; concavidade p/ cima em )0,+∞ ( )N 0 1, x > 2 2 ; 
 concavidade p/ baixo em x < 2 2 ; pontos de inflexão ( ) ( )P e Q e− − −2 2 2 21 2 1 2, , e . 
 
 e) D f ; interseção com Ox: ; não tem assíntotas; crescente em ( ) R= +* ( )M 1 0, ( ; )1 e ,+∞
 decrescente em ( ; não tem máx.; mín. em )0 1, e ( )P e e1 1,− ; 
 concavidade p/ cima em ( ; não tem ponto de inflexão. )0,+∞
 
 f) D f ; não tem interseção com os eixos; assíntotas ( ) R= * x y= =0 e 0
,1
; crescente em [ ; )1,+∞
 decrescente em ( ; não tem máx.; mín. em ) ( ]− ∞ ∪,0 0 ( )P e1, ; concavidade p/ cima em ; ( )0,+∞
 concavidade p/ baixo em ( ; não tem ponto de inflexão. )− ∞,0
 
8. a) área = L2 16 ; b) base = 2, altura = 4; c) base = 4, altura = 8; 
 
 d) x = 1000 unidades; e) 10 cm.; f) I = V/2R 
 
 g) Mais rapidamente às 3 horas com velocidade de 100 km/h e 
 mais lentamente às 6 horas com 73 Km/h; 
 
 h) raio = H 2 3 , altura = H 3 ; i) r = R.; 
 
 j) área mínima se raio = , lado do quadrado = ( )L 2 8 1π + − ( )L 4 1+ −π . 
 
 k) Comp. 4,31m, Larg. 3,23m, Alt. 2,15m. 
 
 5