Introdução à Lógica Simbólica

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2001
CoNCEtros lNTRoDUToRros
CnpÍruLo
NoçÃo DE LoctcA
1 .1 AncuMENTAÇÃo E vtDA colDrANA
No decurso de nossas vidas, quase sempre usamos
argumentos. Eles estão presentes em todas as partes, desde a
conversa informal entre amigos no botequim até o mais complexo
texto científico. auando, por exemplo, um polrtico defende seu
Programa de ação na TV e critica o de seus adversários, ele está
usando argumentos. C mesmo ocorre com o pai que discute
com o fllho adolescente a respeito do que ele pode ou não fazer
na sua idade; com o professor que ensina a matéria a seus alunos;
com os executivos que, Í'lo decorrer de uma reunião, tentam
mostrar a adequação das medidas administrativas que preconizam
para a Ílrma; com os cientistas que, effi congressos ou seminários,
procuram convencer seus pares da validade de suas teorias para
a explicação de determinados fenômenos. Como vê, temos de
utilizar argumentos no trato com pessoas em geral e na resolução
de diversos tipos de problemas. Cs argumentos permeiam
nossas vidas.
Através deles, apresentamos as razões que acreditamos
justiflcarem nossas aÍlrmações, Através deles, defendemos as
posições que consideramos corretas e procuramos convencer
nossos interlocutores a se passarem para o nosso lado. Em
contraparlida, nossos interlocutores também tentam convencer-nos
Por meio de argumentos. Não é, pois, pequen a a sua irportância.
E a posse de uma boa capacidade de argumentação apresenta-se
muitas vezes como requisito indispensável para a consecução de
determinados objetivos em nossas vidas.
1 .2 O euE É un,t ARGUMENTo
Srponhamos, por exemplo, que alguém nos dissesse o
seguinte:
Cs insetos possuem seis patas.
Cra, as abelhas são insetos.
Logo, as abelhas possuem seis patas.
Essa pessoa estaria tentando provar-nos que as abelhas
possuem seis patas,paftindo do fato de que os insetos possuem
seis patas e as abelhas são insetos. C que nos assegura isso são
Cuas palavrinhas. A primeira delas, 'ora', arlicula as duas primeiras
Ió
)
proposições, ConÍigurando-as como pontos de partida. A segunda,
'logo', pelo seu caráter conclusivo, estabelece uma espécie de
ponto de chegada, conÍigurando a terceira proposição como uma
conseqüência das duas anteriores.
Assim, estamos diante de uma estrutura lingüística deter-
minada, à qual poderemos chamar de'discurso', em que a
primeira par[e justiÍlca a segunda. N uma primeira aproximação,
deÍlniremos o argumento como sendo aquele discurso no
interior do qual se extrai uma conseqüência. Neste nível,
'argumento' é sinônimo de'raciocínio'.
!
E importante observar aqui que os argumentos podem
assumir inúmeras formas na linguagem cotidiana, não existindo
regras seguras que nos permitam localizá-los mecanicamente.
Todavia, uma coisa é certa quando estamos diante de um
argumento: uma dada conseqüência é sempre extraída.
1 .3 Trpos DE ARGUMENTos
Nem todos o argumentos são do mesmo tipo, contudo.
Em alguns deles, tentamos obter a adesão racional de nosso
interlocutor, procurando encarar as proposições em jogo com a
maior frieza e objetividade possíveis. Em outros, o que nos
interessa é a adesão emocional do interlocuto e neste caso
procuramos enc arar as proposições em jogo com todo calor e
subjetividade de que somos capazes. E muito difícil traçar a
fronteira entre estes dois tipos de argumentos, mas,quando
estamos perseguindo o caso limite da adesão puramente racional,
dizemos estar demonstrando algo e, quando nosso objetivo é o
caso limite da adesão puramente emocional, dizemos estar
persuadlndo alguém. De qualquer maneira, é comum a distinção
entre o argumento demonstrativo e o persuasivo, sendo o
primeiro o objeto de estudo da Lógica e o segundo, o da
Retó rica.
C exemplo das abelhas pode ser considerado um caso de
argumento demonstrativo. Suponhamos uma pessoa que saiba
que os insetos possuem seis patas, mas que não conheça as
abelhas. Mesmo sem conhecê-las, Se, effi algum momento, ela
vier a fl car de posse da informação de que as abelhas são insetos,
ela pod erá concluir, com toda certeza, que as abelhas possuem
seis patas. Trata-se de uma demonstração de caráter racional,
que independe da simpatia que esta pessoa tenha pelas abelhas
ou por sua mortologia. Como veremos mais adiante, a Lógica se
interessa apenas por esse tipo de argumento.
Para ilustrar o argumento persuasivo,
exemplo abaixo, lmaginemos um governante
apresente o seguinte discurso:
consideremos o
autoritário que
Todo aquele que concorda comigo quer o bem da nação.
Todo aquele que discorda de mim é subversivo.
Todo subversivo quer a desgraça da nação.
Todo aquele que quer a desgraça da nação deve ser punido.
Logo, todo aquele que discorda de mim deve ser punido.
Seus opositores flcarão diante da situação extremamente
desagradável de ter que optar entre aceitar idéias com as quais
não concordam ou sofrer algum tipo de punição, que pod erá
chegar ao extremo da tor[ura. Este governante autoritário que
persegue seus opositores está adotando uma técnica especíÍlca
de persuasão, baseada num argumento em que a principa{
!8
componente - ainda que oculta nas entrelinhas - e a emoção do
medo. Num caso desses, oS fatores subjetivos pesam enormemente
na avaliação do argumento. Cs mais fracos e temerosos tenderão a
aceitá-lo, optando pelo consenso forçado. Cs mais corajosos, por
vezes até mesmo temerários, recusá-lo-ão em bloco, sofrendo as
conseqüências de sua atitude. Para estudar esse tipo de argumento,
a Logica é insuÍlciente. Sua análise apenas seria possvel a partir, Por
exemplo, de uma Teoria da Argumentação, mais abrangente que a
Logica ou a Retorica.
1 .4 ANnlrsE Do ARGUMENTo DEMoNSTRATtvo
Retomemos o exemplo do argumento das abelhas, agora
enc arando-o de maneira mais detalhada:
Os insetos possuem seis patas.
Ora, as abelhas são insetos.
J
Logo, as abelhas possuem seis patas.
ANTECEDENTE
INFERÊNCIA
coNSEaÜENTE
Podemos identiÍlcar, com facilidade, três parles fundamentais
no mesmo. A primeira delas, através da palavra 'ora', afticula duas
proposições que funcionam como ponto de partida e cujo conjunto
recebe o nome de 'ANTECEDENTE'. A segunda, através da palavra
'logo', mostra-nos que a terceira proposição é o ponto de chegada,
tendo sido obtida a paftir das duas anterioÍ'es e recebendo, por isso, o
nome de'CONSEQÜENTE'. A terceira parte é mais sutil e difícil de
ser percebida à primeira vista. Trata-se da RELAÇÃO que existe
entre antecedente e conseqüente: através dela, vemos que,
partindo das duas primeiras proposições, temos que chegar
necessariamente à terceira. Algo nos empurra, nos conduz do
antecedente ao conseqüente. Este algo, esta relação de caráter
imaterial recebe o nome de 'INFERÊNCIA' (do latim 'inferre' que
signiÍlca'levar para').
Quando a relação realmente existe e de fato liga o
antecedente ao conseqüente, estamos diante do que se chama
'INFERÊNCIA VALIDA'. Neste caso, o argumento que a expressa
é correto. Quando, porém, a relação é apenas aparente, não
havendo uma efetiva condução do antecedente para o conse-
qüente, estamos diante de uma 'INFERÊNCIA NÃC VALIDA',
Neste caso, o argumento que a expressa não é correto e
constitui aquilo que chamamos uma FALACIA.
1 .5 VnuDADE E vERDADE
Uma vez de posse do conceito de inferência válida, a
primeira coisa a fazer e relacioná-lo com o conceito de verdade:
um argumento que expressa uma inferência válida é sempre
necessariamente verdadeiro, ou não? O esquema abaixo, construído
a partir de quatro exemplos de argumentos, fornecer-nos-á os
elementos de que precisamos para responder a esta questão.
l. Todo inseto é hexápode.
Toda abelha é inseto.
J
Toda abelha é hexápode.
2. Todo inseto é humano.
Toda abelha é inseto.
J
Toda abelha é humana.
20"
E ANTECEDENTE VERDADEIRC
€ INFENÊ NCIA VALIDA
E CCNSEQÜENTE VERDADEIRC
E ANTECEDENTE FALSC
(= INFENÊ NCIA VALIDA
€ CCNSEQÜENTE FALSC
3, Todo inseto éhexápode.
Todo inseto é invertebrado.
J
Todo hexápode é invertebrado.
4. Todo inseto é humano.
Todo inseto é abelha.
J
Toda abelha é humana.
€ ANTECEDENTE VERDADEIRO
€ INFERÊ NCA NÃO VAL]DA
€ ccNSEQÜENTE VERDADETRO
€ ANTECEDENTE FALSO
€ INFERÊ NCA NÃO VALIDA
€ CCNSEQÜENTE FALSO
C primeiro exemplo possui antecedente e conseqüente
verdadeiros,pois todas as sentenças que o compõem são
verdadeiras. Como é possível, porém, aÍlrmar que a inferência
exPressa Por este argumento é válida? Utilizando os diagramas de
Venn, tão comuns na teoria dos conjuntos, podemos interpretar
aquelas sentenças como segue. Dizer que 'todo inseto é hexápode'
equivale a incluir toda a classe dos insetos na classe dos hexápodes.
Nada sabemos, porém, sobre esta última: ela pode ter sido tomada
em tod a a sua extensão ou apenas em parte.
Não devemos confundir aqui o conhecimento que temos
do fato de que'hexápode'é sinônimo de'inseto'e, portanto, de
que'todo hexápode é inseto'. lsso não é dito pela sentenÇa
'todo inseto é hexápode'. Tal fato frcará mais claro a partir da
análise da segunda sentença,'toda abelha é inseto'. De acordo
com ela, toda a classe das abelhas foi inclu ída em toda ou em
parte da classe dos insetos.
í,rt importante observar aqui qUe, no caso da primeira
sentenÇa, já sabíamos que todo hexápode é inseto. No caso da
segunda, já sabíamos que nem todo inseto é abelha. Essas duas
informaÇões, porém, não podem ser extraídas das sentenÇas que
estamos considerando. Elas vêm de fora, são outras as razões
$
f
i
1
que nos levam a saber delas. Com efeito, as sentenÇas 'todo
inseto é hexápode' e 'toda abelha é inseto' possuem a mesma
estrutura,que pode Ser assim representada:
todo... é...
Tal estrutura também poderia ser representada como segue,
substituindo,se os pontilhados por letras maiúsculas:
todo A é B.
Cra, sem conhecer os conceitos em jogo, Vemos clara-
mente que a última sentença no máximo nos diz que toda a
classe A está incluída em parte ou em toda a classe B, não nos
deixando qualquer certeza quanto à extensão desta última.
Todavia, mesmo com essa ince r1-eza, é possível concluir algo
a partir do antecedente considerado, pois Ílcamos sabendo que
todaa classe das abelhas está incluída na classe dos insetos e toCa
a classe dos insetos está incluída na classe dos hexápodes, fato
que nos permite incluir também toda a classe das abelhas na classe
dos hexápodes. lsso pode ser ilustrado pelo seguinte diagrama:
Graças a ele, Vemos que a inferência analisada é perfeita-
mente válida. Cu seja, o antecedente em questão efetivamente
nos leva ao conseqüente apresentado. Assim, este argumento
expressa uma inferência válida e é correto.
C segundo exemplo mostra uma situação idêntica à do
primeiro, mas seu antecedente é falso, porque se compõe de
pelo menos uma sentença falsa ('todo inseto é humano') e a
sentenÇa que expressa o conseqüente é também falsa, Mesmo
assim, a inferência é válida.
De fato, a sentenÇa'todo inseto é humano' inclui toda a
classe dos insetos em parte ou em toda a classe dos humanos. A
sentenÇa 'toda abelha é inseto' inclui toda a classe das abelhas
em parte ou em toda aclasse dos insetos. Combinando as duas
sentenÇas, Vemos claramente que toda a classe das abelhas está
incluída na classe dos insetos e que todaa classe dos insetos está
incluída na classe dos humanos, o que nos autoriza a incluir toda
a classe das abelhas na classe dos humanos:
Humano
Portanto, ufit argumento cujo antecedente e conseqüente
sejam reconhecidamente falsos pode perfeitamente expressar
uma inferência válida e ser correto. A língua portuguesa possui
um modo verbal específico para fazer referência a esse tipo de
situação: o subjuntivo. Com efeito, se quisermos tornar aceitável o
argumento que acabamos de analisar, poderemos dizer, com
toda tranqüilidade: ')á que toda abelha é inseto, se todo inseto
fosse humano, então toda abelha seria humana."
O terceiro exemplo exige uma análise mais cuidadosa. Seu
antecedente e seu conseqüente são verdadeiros, mas a inferência
não é válida. A primeira sentença do argumento diz que todo inseto
é hexápode, incluindo a classe dos insetos na dos hexápodes.
Notemos, porém, que, apesar de 'hexápode' e 'inseto'
serem sinônimos, nada foi dito sobre a extensão dos hexápodes.
Com efeito, o máximo que sabemos é que toda a classe de
insetos foi incluída em uma parte ou em toda a classe dos
hexápodes. Da mesma forma, a segunda sentença do argumento
nos diz que toda a classe dos insetos foi incluída em uma parle
ou em toda a classe dos invertebrados.
Desta maneira, a única coisa de que temos certeza e o fato
de todos os insetos estarem incluídos na classe dos hexápodes e
também na classe dos invertebrados. Não temos qualquer
garantia sobre as extensões dos hexápodes e dos invertebrados:
qual das duas é a maior? Assim, os dois diagramas seguintes
rePresentam as situações possíveis descritas pelas sentenças
an al isad as:
24
Hexápode
lnvertebrado
A conclusão, aÍlrmando que todo hexápode é invertebrado,
não deixa de ser verdadeira, )á que 'hexápode' é outro nome
para'inseto'e todo inseto é invertebrado. Contudo, ela não
poderia ser obtida a partir do antecedente em questão, pois
nenhuma das duas sentenças que o compõem nos dão a
informação de que todo hexápode é inseto. Não há nada que
relacione 'hexápode' e 'invertebrado' de maneira a con duzir p ara
a conclusão apresentada. Desse modo, apesar de o antecedente
e o conseqüente serem verdadeiros, a inferência não é válida e o
argumento é incorreto, 
,
O quarto exemplo repete asituação do terceiro, mas agora
com antecedente e conseqüente falsos. Através da sentenÇa 'todo
inseto é humano', temos a inclusão de toda a classe dos insetos em
parte ou em toda a classe dos humanos, o que é obviamente falso.
A sentenÇa'todo inseto é abelha'também inclui, de maneira falsa,
tod a a classe dos insetos em parte ou em tod a a ctasse das abelhas.
Não temos qualquer certeza quanto às ex[ensões da classe dos
humanos e da classe das abelhas, o que torna o conseqüente'toda
abelha é humana', além de falso, impossível de ser obtido a partir do
antecedente considerado. As situações possíveis são, aqui também,
exPressas através de dois diagramas de Venn, sem que saibamos
por qual devemos decidir:
26
Abelha
Portanto, além de compor-se de sentenças falsas, o argu-
r-nento expressa uma inferência não válida e é incorreto.
Agora )á temos condições de responder à pergunta anterior-
mente feita, relativa ao fato de um argumento válido ser sempre
verdadeiro ou não. A analise dos exemplos acima mostrou-nos
clararnente que inferências válidas podem articular tanto antece-
dentes e conseqüentes verdadeiros como antecedentes e con-
seqüentes falsos (exemplos I e 7), Da mesma forma, antecedentes
e conseqüentes verdadeiros ou falsos podem não ter qualquer
relação inferencial, dando origem a argumentos não válidos
(exemplos 3 e 4), Portanto, a validade de uma inferência não
dePende da verdade ou falsidade das sentenças que constituem o
argumento.'Validade inferencial' não é sinônimo de'verdade' e
um argumento correto não envolve necessariamente sentenÇas
ve rd ad e iras.
1 .6 O euE É LocrcA
Diante de tais constatações, Vemos que há lugar para uma
ciência q ue estuda apenas a correção dos argumentos demonstra-
tivos, sem se preocupar com a verdade ou falsidade das sentenças
envolvidas. Tal ciência é a Lógica, que pode ser deÍlnida como o
estudo dos princpios que regem a inferência válida. A palavra
'Lógica'vem do grego'logos', que signiflca, entre outras coisas,
'palavra', 'dito', 'argumento', 'ordeffi', 'razão', 'justificação'. A ciência a
que nos referimos tem, pois, este nome porque se refere aos
princípios que regem nossa própria racionalidade.
C camPo da Lógica é a linguagem, ou, mais exatamente,
aquela parte da linguagem na qual estão presentes os argumentos
demonstrativos. Seu objetivo principal é efetuar a análise logica
27
desses argumentos, avaliando a sua correção. Cabe aqui, como
ilustração,a interessante metáfora de Frege, que considera a Lógica
uma espécie de íio de prumo do racr'ocínio,t Da mesma maneira
que o pedreiro, âo assentar os tijolos de uma parede, precisa
recorrer ao prumo para saber se ela sobe verticalmente, assim
também o Logico, ao avaliar um argumento, precisa recorrer às
leis da inferência válida, para saber se ele está "no prumo", isto é,
se foi corretamente estruturado.
Os conceitos-chave de nossa ciência são, por conseguinte,
os de'argumento','antecedente','conseqüente','inferência','vali-
dade', 'sentença', 'demonstração', A estes, se rão posteriormente
acrescentados outros, como 'dedução', 'indução', 'premissas',
'conclusão'etc. Todos, porém, giram em torno da idéia central de
inferência válida.
Mas qual seria a real utilidade em se estudar apenas a
correção dos argumentos, deixando de lado as consideraÇões
relativas ao conteúdo? Não estaríamos assim caminhando de
maneira excessivamente descompromissada? Mais ainda: conside-
rações puramente formais não esvaziariam nossos argumentos,
afastando-os da verdadeira realidade?
A resposta que tradicionalmente se da a esta questão
depende da importância do estudo da validade inferencial. Em
primeiro lugar, porque, quando não concordamos com um
determinado argumento cujo antecedente é verdadeiro, a única
forma que temos de atacá-lo é mostrar a sua incorreÇão. De
l, Cf. FREGE. Schrlften zur Logik und Sprachphllosophie, aus dem Nachlass, p.Xl.
28
outra maneira, seríamos obrigados a aceitar o seu conseqüente.
Em segundo lugar, porqUe, de posse de um antecedente reco-
nhecidamente verdadeiro, só poderemos passar para um conse-
qüente também verdadeiro através de uma inferência válida. Em
outras palavras, Se, em nosso argumento, o antecedente é
verdadeiro e a inferência é correta, então o conseqüente deverá
ser necessariamente verdadeiro, Não existe argumento com
antecedente verdadeiro, inferência válida e conseqüente falso.
O quadro abaixo esgota todas as combinações possíveis:
As quatro primeiras possibilidades já foram estudadas,
quando mostramos a independência da noção de validade com
respeito à de verdade. Das quatro restantes, apenas as alternativas
de número 5, 6 e 7 admitem exemplos, como os que seguem:
5. Todo humano
Toda abelha é
Iw
Toda abelha é
é inseto.
humana.
i n seto.
€ ANTECEDENTE FALSC
€ INFERÊNCIA VALIDA
€ CONSEQÜENTE VERDADEIRO
ANTECEDENTE CONSEQUENTE INFERE NCIA
l. verdadeiro verdade ro válida
2, verdadeiro verdade ro não válida
3. falso falso válida
4. falso falso não válida
5. falso ve rdadeiro válida
6. falso verdadeiro
,
nao va da
7. verdadeiro falso
,
nao va da
B. verdadeiro falso válida
(Toda a classe das abelhas está incluída na classe dos humanos e
tod a a classe dos humanos está incluída na dos insetos: porlanto,
toda a classe das abelhas está incluída na classe dos insetos,)
6.
(Toda a classe dos insetos e
incluídas na dos humanos, mas
classe das abelhas está incluída
€ ANTECEDENTE FALSO
€ INFENÊ NCIA NÃO VALIDA
€ CONSEQÜENTE VERDADEIRO
toda a classe das abelhas estão
nada auto riza a dizer que toda a
na dos insetos.)
Todo inseto é
Toda abelha é
I
!/
Toda abelha é
humano.
humana.
i n seto.
7. Todo inseto é hexápode.
Todo inseto é invertebrado.
J
Todo invertebrado é hexápode.
ê ANTECEDENTE VERDADEIRO
ê INFENÊ NCIA NÃC VALIDA
€ CONSEQÜENTE FALSO
(Toda a classe dos insetos está incluída nas classes dos hexápodes
e dos invertebrados, mas nada auto riza a concluir qualquer coisa
sobre a relação entre invertebrados e hexápodes, muito menos
que'todo invertebrado é hexápode').
Qüanto à oitava possibitidade, temos de reconhecer que
ela de fato não ocorre. Se o próprio leitor tentar, logo verá que
não há como construir um argumento válido cujo antecedente
seja verdadeiro e o conseqüente, falso. lsso porque, se a
conseqÜência é falsa e a inferência, válida, ela somente pod erá
ter sido obtida a partir de um antecedente também falso, Em
30
outras palavras, de duas sentenÇas verdadeiras não é possível
inferir validamente uma sentenÇa falsa. Se isso fosse possível,
então todos os argumentos se tornariam válidos e triviais, pois
poderíamos obter conclusões tanto verdadeiras como falsas a
parlir de um antecedente qualquer: tudo poderia ser concluído
de tudo.2 Este é o fundamento, inclusive, da demonstraÇão por
redução ao absurdo. De acordo corn esta última, se a conseqüência
é falsa e a inferência, válida, então o antecedente deve ser
necessariamente falso.
Vamos refazer e reavaliar o quadro anterior, mas agora
listando apenas os casos em que pode haver inferência válida
(excluindo, portanto, o oitavo):
ANTECEDENTE coNSEQÜrNrr INFERE NCIA
I . verdadeiro verdadeiro válida
3. falso falso válida
5. falso verdadeiro válida
Podemos então, com base neste novo
elenco dos vários tipos de argumentos que é
de maneira válida.
lo tipo: suponhamos que sabemos que
verdadeiro e a inferência, válida (possibilidade
conseqüente é necessariamente verdadeiro
quadro, fazer um
possível construir
o antecedente é
l). Neste caso, o
e o argumento
2. E possível, contudo, apelando a regras adequadas, construir sistemas que envolvem contra-
dições e que não são triviais. A consideração dos mesmos, porém, ultrapassa os objetivos
deste manual introdutório.
3t
permite o avanÇo do conhecimento. Este tipo é utilizado na
esmagadora maioria de nossas demonstrações.
2" tiPo: suPonhamos que sabemos que o conseqüente é falso
e a inferência, válida (possibilidade 3). Neste caso, o antecedente é
necessariamente falso e o argumento também permite o avanço do
conhecimento. Este tipo é utilizado em parle de nossas demons-
trações, através do procedimento de 'redução ao absurdo'.
3o tipo: suPonhamos que sabemos que o conseqüente é
verdadeiro e a inferência, válida (possibilidades I e 5). Neste caso,
o antecedente pode ser verdadeiro (possibilidade l) ou fatso
(possibilidade 5), e o argumento permite o avanço do conheci-
mento aPenas na situação caract erizada pela possibilidade I . A
possibilidade 5 não tem utilidade prática e deve ser evitada. Como
não sabemos aqui qual possibilidade está ocorrendo, este tipo de
argumento deve ser evitado em bloco.
Excluindo, poftanto, o terceiro tipo, vemos que o primeiro e
o terceiro permitem um avanço no conhecimento e dependem
essencialmente da validade da inferência para que possamos dizer
algo a resPeito da verdade ou falsidade de nosso ponto de chegada.
Assim, o estudo da correção dos argumentos não é, de modo
nenhum, uma degeneração ou um desvio que nos afasta do real.
Pelo contrário, é um instrumento dos maís importantes para que
possamos estabelecer efetivos contatos com este mesmo real.
1 .7 A nNnLtsE LocrcA
Retomemos, como exemplo, o argumento que diz:
Todo inseto é hexápode.
Toda abelha é inseto.
Logo, toda abelha é hexápode.
32
'c"
urna
Que procedimento adotamos para determinar a sua validade?
ComeÇamos analisando cada uma das sentenças do antecedente,
interpretando-as de acordo com os diagramas da Teoria dos
Conjuntos. Desse modo, pudemos constatar que tod a aclasse dos
insetos estava inserida na classe dos hexápodes e que toda a classe
das abelhas estava inserida na classe dos insetos. Só tínhamos
cefteza quanto à extensão das classes das abelhas e dos insetos, o
mesmo não ocorrendo com relação à classe dos hexápodes. C
diagrama que obtivemos foi o seguinte:
Ora, representando estes conceitos pelas letras
'C', vemos claramente que o diagrama acima conÍigura
uma estrutura mais geral, que mostramos abaixo:
,A" ,B' 
e
também
Essa estrutura constitui a representação diagramática do
argumento cuja forma geral é:
Todo B é C.
Todo A é B.
Logo,todoAéC.
Portanto, nosso trabalho apresentou dois aspectos funda-
mentais. Em primeiro lugar, esvaziamos o argumento primitivo de
todo conteúdo, reduzindo-o a arliculações de diagramas ou de
símbolos. Em segundo lugar, decompusemos o mesmo argumento
em suas partes mais elementares, representadas pelos círculos
dos diagramas ou pelas letrasesquemáticas, C conjunto deste
trabalho poderia ser denominado 'análise formal'. É uma análise,
porque envolveu uma decomposição do argumento (o termo
análise vem do grego'ana-lyein', que signiflca'decompor'); é uma
análise logica ou formal porque seu ponto de chegada foi uma
estrutura ou forma argumentativa esvaziada de conteÚdo. Com
este trabalho sobre o argumento em questão, conseguimos,
porlanto, atingir a estrutura básica que o sustenta como tal. Essa
estrutura, por sua vez, é muito mais geral que ele, servindo de
base para muitos outros argumentos analogos, C argumento
que conclui que toda abelha é hexápode é aPenas um caso
particular da estrutura mais geral.
Ao alcançarmos a estrutura em questão, constatamos que
a sua validade justiÍlcava a inferência expressa pelo argumento e
só então pudemos retornar a ele e decretar a sua correção.
A tarefa que estamos chamando de 'análise formal' consiste,
pois, dos três momentos abaixo relacionados:
Í,,,,34.:r
I 
o momento: Redução de um argumento em linguagem comum
à sua estrutura mais elementar,
2 momento: VeriÍicação da validade da inferência expressa
por esta estrutura,
3" momento: Decretação da validade ou não do argumento
em pauta, a partir da verificaÇão feita no
m o m e nto ante rio r.
Cabem aqui duas observações. No primeiro momento, a
exPlicitação da estrutura de um argumento pode ser feita através de
símbolos, de modo a eliminar qualquer interferência proveniente
dos conteúdos envolvidos e a deixar bem clara a maneira pela
qual a inferência foi real izada, No segundo momento, a verificação
da validade inferencial d.pende de estarmos de posse de um
conjunto de regras que estabeleçam com precisão as passagens
corretas de antecedente a conseqüente. Cra, tal conjunto de
regras constitui a Própria Logica. E quando explicitamos estas
regras através de símbolos adequados, encontramo-nos no
domínio da Lógica Simbólica.
1 .8 DvrsÃo DA Loctcn
)á sabemos que o objeto de estudo da Lógica são as
inferências exPressas por argumentos demonstrativos. Cra, estes
Últimos Podem ser reduzidos a dois tipos fundamentais.
O primeiro deles é aquele em que,a partir de uma sentenÇa
mais geral, chegamos a outra menos geral, cujo conteúdo está de
algum modo contido no da primeira. É o caso, por exemplo,
do argumento acima, que, partindo da afirmação de que todos
os insetos são hexáPodes, conclui serem as abelhas também
hexápodes:
35
Todo inseto é hexápode.
Toda abelha é inseto
Logo, toda abelha é hexáPode.
N ele, a sentenÇa
Todo inseto é hexáPode
é mais geral do que
Toda abelha é hexáPode,
pois os insetos incluem as abelhas. Este tipo de argumento realiza
aquilo que denominamos 'dedução'. Esta palavra vem do latim
'de-ducere', que signiÍlca 'condu zir a partir de'. Assim, a inferência
que ele expressa parte de uma sentenÇa mais geral e nos con duz
a uma outra menos geral. A força desta inferência é coercitiva,
no sentido de que, Se aceitarmos o antecedente do argumento,
deveremos obrigatoriamente aceitar também o seu conseqÜente.
Quando realizamos uma inferência dedutiva, temos certeza da
conclusão a que chegamos.
O segundo tipo de argumento demonstrativo é aquele em
que, estando de posse de enumerações de indivíduos ou de
qualidades, chegamos a uma sentença que de algum modo
engloba esta enumeração. É o caso, por exemplo, do argumento
que diz:
Este animalzinho, e este, e mais este... é hexápode.
Este animalzinho, e este, e mais este... é inseto.
Logo, todo inseto é hexápode.
(= sentença enumerativa
(= sentençaenumerativa
€ sentença englobante
Estamos realizando aqui o que se chama'indução'. Da
mesma forma que, no caso anterior, a etimologia da palavra nos
explica muito seu sentiÇor'indução' vem do latim'in-ducere',
que signiÍlca'conduzir para'. Ôesta maneira, paftindo de duas
sentenças que contêm enumerações de indivíduos, somos
conduzldos para uma sentença que tenta englobar toda a
informação contida nelas. A diferenÇa marcante entre indução
e dedução está em que a inferência indutiva não oferece o
mesmo tipo de certeza que a dedutiva. Em comparação com
esta últiffiâ, a primeira é apenas provável. Na indução, não
temos certeza da conclusão obtida. Com efeito, ela envolve
conceitos e enumerações de indivíduos,que são coisas hetero-
gêneas. Assim, não podemos garantir com segurança que o
conceito utilizado para subsumir a nossa enumeração é o mais
adequado. No exemplo citado, a sentença enumerativa
Este animalzinho, e este, e ffiais este.., é inseto
tenta subsumir os indivíduos enumerados no conceito de inseto. Que
garantia temos, porém, de que esta subsunção é a mais correta?
Talvez o conceito mais adequado fosse, por exemplo, 'abelha' e não
'inseto'. Portanto, o argumento indutivo não é tão seguro quanto o
dedutivo. A inferência que ele expressa é apenas plausível.
Ora, havendo dois tipos básicos de argumento demonstratiVo,
a Lógica se dividirií, por conseguinte, em duas lrandes par[es. Na
primeira, analisa-se a dedução. Na segunda, a indução.
C estudo da indução, porém, exige considerações epistemo-
logicas que ultrapassam os limites introdutórios que estabelecemos
Para este manual.3 C problema da validade da indução,por
exemplo, desde que foi formulado pelo Íllósofo inglês David
Hume no século XVlll, tem sido colocado e resolvido das mais
variadas fcrmas. Em nosso século, o Íllósofo Karl R. Popper chegou
mesmo a aÍlrmar que não existe indução.a Diante destes fatos e
do nosso objetivo de elaborar uma introdução à lógica dedutiva,
deixaremos de lado, fleste manual, quaisquer considerações mais
aprofundadas em relação aos argumentos indutivos.
Cabe aqui uma irporlante observação. À medida que se
PreocuPa apenas com a validade inferencial, a Lógica Dedutiva se
constitui a partir de consideraÇões puramente sintáticas. Em
outras Palavras, Podemos analisar um discurso de três pontos
de vista básicos: l') o das relações entre o falante, os signos
que ele emPrega e as coisas ou entidades a que ele se refere
(ponto de vista da Pragmática); 7") o das relações entre os
signos ennpregados pelo falante e as coisas ou entidades a que
ele se refere (ponto de vista da Semântica); 3') o das relações entre
os proprios signos empregados (ponto de vista da Sintaxe).t Como
se pode ver, o terceiro ponto de vista é o mais abstrato, pois
3. Para os Íllósoíos medievais, por exemplo, o argumento abaixo, embora vá do mais geral ao
menos geral, é também indutivo:
Todo inseto é hexápode.
Este animalzinho, e este, e mais eíe... é inseto.
Logo, este animalzinho, e este, e mais este.., é hexápode.
Assim, se a dedução só admite um único sentido (do mais geral ao menos geral), a indução admite
dois (do mais geral ao menos geral e do menos geral ao mais geral). lsto é assim porque os
medievais consideravam que o que caracteriza a indução é a presença ou não de sentenças
enumerativas no argumento. Esta questão vai além dos objetivos deste manual. Por este motivo,
deixá-la-emos de lado.
4. Cf . POPPER, A /ógica da pesquisa clentííica, p,27-31,
5. Sintaxe, Semântica e Pragmática constituem ostrês ramos da Semiótica ou Teoria Geral dos Signos.
38
€ sentença englobante
€ sentença enumerativa
ê sentença enumerativa
elimina as considerações relati,
entidades a sue ere se reêre, ,:::.:.J::::".;., coisas ou
ocorrem entre os siqn.,. a,,a ^t- 
- -v st,çrtos cour aquelas que
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o argurnento; seu interesse maior 11:.t"nt"nças 
que compõem
que afticulam
c o n st t u e m .0,,,1'i",'""f Í# JH:d t';*.,ÊiI:;
Quanto à
pontos de vista 
própria dedução' podemos analisá-la de doís
ffix *i:*fl: :T": il ":.tffi :: ];:: : t*ru::
e ava ar u uu,al[HffilT:Tl;1.:5::;:i"J,#i:,
il,: :il:j{:s, 
consideramos cada sentença .orno_r, ,ooo
através das .",.i1"^l"^:::p,rocuramos 
avaliar a validade inferencial
Estarnos, 0",r,- r""r".;::::::'nlnr.u esses todos indivísos
sentenças'Nossa perspectíva n ,"r".rlr",""l.ll,] 
rerações entre
Em segundo lugar, podernos erelações anteriorme; 
" i::tnos 
estar interessados não nas
;i*" *:",ffi T:il 
.il"i;I;: :illi::'il,t *:::
entre os predicado 
as se faz necessáría' já que ,ao u, ."tuç0",
inferêncías obtida. ,t^_"r:,uaos 
gue determinam a validade das
interior o.r r*"rr;':;:: ;:§:ilt: :#, n*:nj;
39
Como exemplo de análise em nível intersentencial, const-
deremos o seguinte argumento:
Se João lê, então João tem dor de cabeça.
Ora, João lê.
Logo, João tem dor de cabeça.
O que determina a validade deste argumento nada tem a
ver com as características peculiares a .João ou aos'predicados 'lê'
e'tem dor de cabeça'. C que o argumento nos mostra é a
relação q ue existe entre os fatos expressos pelas sentenças
.'João lê' e 'João tem dor de cabeça'. Ela é de um tipo tal que,
dado o primeiro deles, segue-se o segundo. Além disso, o
argumento nos revela que o primeiro destes fatos efetivamente
ocorre. A partir daí, nada mais temos a fazer senão concluir que
o segundo fato também ocorre. Representando o primeiro fato
por 'P' e o segundo por 'Q', podemos esquem alizar a forma
inferencial deste argumento como segue:
Se P, então Q.
O ra, P.
Logo, Q.
Acreditamos que agora flcou bem mais claro Porque as
propriedades de João ou dos predicados'lê'e'tem dor de
cabeça' não afetam a estrutura inferencial de modo algum. Com
efeito, cada uma das sentenças foi substituída por uma Única letra e
simbolizada como um todo indiviso. E, mesmo desconsiderando as
parles constitutivas de cada uma, a relação inferencial continua
perfeitamente visível. lsto só é possrvel porque nos colocamos no
40
nível intersentencial de anátise:
ora, temos P; Iogo, ternos a.
sempre que tivermos P, teremos e,
Como exemplo de análise intra-sentencial, vejamos agora
argumento:
Todo vertebrado possui esqueleto.
Nenhuma abelha possui esqueleto.
Portanto, nenhuma abelha é veftebrado.
Neste caso, Para chegarmos à conclusão acima, temos
necessariamente que levar em conta os predicados 'invertebrado',
'Possui esqueleto' e'abelha', bem como quantificadores'todo' e
'nenhum'. Com efeito, a primeira sentenÇa inclui toda a classe
dos veftebrados na classe dos que possuem esqueleto. Deste
modo, já que a classe dos veftebrados está incluída integralmente
na dos que possuem esqueleto e, de acordo com a segunda
sentença, a classe das abelhas está dela integratmente excluída,
podemos concluir com toda cefteza que a classe das abelhas
está também integralmente excluída da dos veftebrados. Essa
conclusão seria i*Possível de obter se não levássemos em
consideração os predicados e os quantiÍlcadores envolvidos. Da
mesma forma que no exemplo anterior, o argurnento em
questão também pode ser esquematizado. Representando o
primeiro Predicado Por'A', o segundo por'B'e o terceiro por'C',
terem os:
Todo A é B.
Nenhum C é B.
Portanto,nenhumCéA.
4l
A diferença do presente esquema com relação ao anterior
está em que agora as sentenças já não mais podem ser encaradas
como blocos indivisos, A sua articulação não é meramente exterior,
ela vem "de dentro" das sentenças envolvidas, É preciso analisá-las,
decompô-las em seus elementos constitutivos, isto é, sujeitos,
predicados e quantiÍicadores, para chegarmos de maneira válida à
conclusão, O nível em que nos localizamos, podanto' não é mais
intersentencial e sim intra-sentencial: como todo A é B e nenhum
C é B, segue-se que nenhum C é A.
A teoria aristotélica do silogismo constituiu a primeira
formulação sistemática de uma lóglca constituída em nível intra-
sentencial. Aristóteles viveu no século lV a,C. Poucos anos
depois de sua morte, os estóicos Crisipo, Embulides, Diodoro e
Filon elaboraram uma lógica em nível intersentencial' lnfelizmente, e
por razões que não cabe discutir aqui, estas duas lógicas foram
encaradas naquela época como alternativas mutuamente exclu-
dentes. A silogística aristotélica foi considerada a sistematizaçáo
mais completa no campo da lógica e a contribuição dos estóicos
ficou esquecida durante séculos. Mesmo assim, estas duas
maneiras de encarar a Lógica eram complementares e já os
medievais tentaram uma arliculação de ambas, ainda que Pouco
rigorosa. Foi somente Frege que conseguiu relacionar claramente
as duas lógicas no Ílnal do século pa.ssado, criando uma linguagem
simb'ólica especial que estabeleceu as bases da Lógica simbólica
contemporânea.
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1 .9 Exrncícros
1.9.1 lorxrtncAR o ANTECEDENTE E o coNSEQürNrr Nos ARGUMENTos ABArxo
E>«emplo:
Tomar antitérmicos contra febre produzida por infecção bacteriana não re-
solve o verdadeiro problema da doença, pois esta medida combate os
efeitos e não as causas da mesma,
A primeira sentença do argumento é:
Tomar antitérm icos contra febre produzida por infecção bacteriana não
resolve o verdadeiro problema da doença.
A segunda é: 
;
Essa medida combate os efeitos e não as causas da mesma.
A segunda, através da palavra 'pois', justiÍica a primeira. Desta
forma, o antecedente é a segunda e o conseqüente, a primeira.
01. )a que os ciclos de crise do Capitalismo Contemporâneo
são identiÍlcáveis, eles são passíveis, portanto, de uma descrição
que os caracterize
07, Sempre que observamos um eclipse da Lua, ve mos que
a forma da sombra nela projetada é curva. Cra, o corpo que
Projeta sua sombra na Lua é a Terra, Por conseguinte, a forma da
Terra deve ser redonda.
03. Uma explicação do que vem a ser a'FilosoÍla da
Ciência'exige, como condição prévia, um esclarecimento do
que vem a ser 'FilosoÍla'. Com efeito, a primeira destas disciplinas
se inclui nos domínios da segunda.
43
04, Fulana se considera bela, mas pouco fotogênica, Porque ,
apesar de elogiada portodos, nunca obteve uma foto de si mesma
com a qual Ílcasse Plenamente satisfeita.
05. Para que levemos a discussão sobre o regime democrático
a bom termo, precisamos estar informados de todos os fatos
realmente signiÍlcativos a este respeito, ou, Se isso não for possível,
pelo menos a maioria deles deve ser de nosso conhecimento. Caso
contrário, a discussão seri a vazia de conteÚdo.
06. Ele não confia nos políticos desonestos Porque também
é um deles.
07 , Por que punimos os criminosos? A verdade é que não há
um a razáo única para isso. O que existe na realidade e um certo tipo
de prática social estabelecida, ou seja, a punição dos criminosos.
Pessoas diferentes defendem tal prática por razões diferentes, effi
casos e circunstâncias diferentes. Alguns a defendem Por desejo de
vingança. Cutros, para prevenir novos crimes. Cutros ainda, Por
outras razões. Assim se punem os criminosos na sociedade.
08. Suponhamos que um católico afirme diante de nós sua
crença no JuÀo Final. Se lhe respondêssemos que tal fato é Possível,
mas não temos cefteza dele, não estaríamos muito distantes da
crença catolica. Com efeito, se o mesmo católico nos dissesse que
há um navio brasileiro no mar, e se lhe respondêssemos também
que tal fato é possível, mas não temos cerleza dele, não estaríamos
muito distantes da sua crenÇa com resPeito ao navio.
09. A abolição não melhorou de modo algum a situação
social e econômica dos antigos escravos no Brasil. De fato,
aqueles que, flo passado, constituíram "as mãos e os pés" do
senhor de engenho, aqueles que só recebiam "Pão,Pau e pano",
;, 
: ill .,.
', 44\
isto é, alimento barato, castigos em profusão e roupa barata, aqueles
que foram escravos de nossos antepassados continuaram a trabalhar
no campo e na cidade em condições subumanas. Nenhuma real
oportunidade de progresso na escala social lhes foi oferecida.
I 0. Napoleão dizia que os pobres devem continuar acreditando
em Deus e numa vida feliz depois da morte. Caso contrário, como
poderiam eles supo rl.:ar todas as angústias e sofrimentos desta vida,
em proveito daqueles que estão no poder? Como se pode ver a partir
dai, Napoleão não era apenasum homem ambicioso e cruel, mas
também extremamente lúcido.
1.9.2 DtsrtNGUtR, DENTRE os ARGUMENTos ABArxo, os rNDUTrvos Dos
DEDUTIVOS
Exem p los:
a) Jânio Quadros renunciou à presidência em circunstâncias excepcionais.
Ora, todo aquele que renuncia à presidência em circunstâncias excepcionais
pretende ser reconduzido triunfalmente ao poder. Portanto, o que Jânio
pretendia era isso: ser reconduzido triuníalmente ao poder.
Se invertêssemos a ordem das sentenÇas, trocando a
conclusão por qualquer outra do antecedente, o argumento
deixaria de ser válido. Além disso, ele não apresenta enumeraÇões ou
percentuais. Trata-se, portanto, de uma deduÇão.
b) Cs países subdesenvolvidos se caracte rizam por: insuÍlciência
alimentar, agricultura deficiente, baixa renda per capita, industrialização
reduzida, subordinação econômica, intensa natalidade em estruturas
sociais ultrapassadas, situação sanitária deficiente etc. Ora, o Brasil
apresenta todas estas características. Porlanto, o Brasil é um país
su bdesenvolvid o.
Trata-se agora de um argumento indutivo, Com efeito, além
de haver uma enume raçáo, a troca da conclusão pela segunda
sentença do antecedente não altera a validade do argumento.
01. 73% da mão-de-obra na África do Norte está voltada
para a agricultura. O mesmo ocorre com 76% dela na Africa Negra,
67% na América Central, 5 5% na Améric.a do Sul, 70% no
Sudoeste da Ásia, 74% na Ásia Meridional e 7l% na Ásia Criental.
Por conseguinte, oS países subdesenvolvidos se caracterizam pela
grande proporção da população empregada na agricultu raÍ
07. A agricultura dos países subdesenvolvidos aPresenta
graves deflciências. A razáo disso está em que, effibora haja em
geral falta de terras férleis, os países subdesenvolvidos não
aproveitam devidamente todas as superfícies cultiváveis.
03. O Japão possui baixa renda per capita e nível calorico
alimentar insuÍlciente, mas sua indústria é altamente desenvolvida.
Portanto, um país desenvolvido pode apresentar características de
subdesenvolvimento.
04. A dependência econômica dos países subdesenvolvidos
se caract eriza pelo fato de que freqüentemente suas exPortações
são orientadas para um número reduzido de produtos. Assim, 92%
das exportações.da Venezuela e do lraque são de petróleo; o café
representa B0% das exportações da Colômbia. Em Porcentagens
semelhantes se encontram o cobre nas expor[ações do Chile e
o estanho, nas da Bolívia.
6, Todos os argumentos deste exercício foram adaptados de LACOSTE, Yves. Os países
subdesenvolvldos Tradução de D, B. Pinho.7. ed. São Paulo: Difel, 1972, p.9-30. Por não
tratar de lógica, esta obra não consta da nossa bibliografia no final do livro.
46
05. C capital estrangeiro ocupa posição de destaque na
economia global dos países subdesenvolvidos, Dele depende não
só o tipo de Produção do país como também a sua integração no
mercado internacional. Muitos aspectos da vida dos países
subdesenvolvidos resultam, por[anto, de interferências externas.
06. Façamos a seguinte convenção: o número I O0 representa o
índice d. Produtividade lrquida portrabalhador agrícota de cada país.
Neste caso, o índice relativo à produtividade líquida por trabalha-
dor dos setores do convênio ou de serviços é de 230 na ltália,
300 na Índia,Japão e Brasit, 650 na África do Sul ,770 no México e
750 na Turquia. Em contrapartida, o mesmo índice é de apenas
65 na Nova Zelândia, 100 na Grã-Bretanha, 130 no Canadá e IB0
nos Estados Unidos. Desta maneira, os países subdesenvolvidos
aPresentam-se dotados de um setor comercial hipertroÍlado.
07. As massas de trabalhadores excedentes, cronicamente
desempregados, não têm possibilidade de se integrar nos circuitos
monetários da economia do país subdesenvolvido. Eles vivem,
poftanto, à custa daqueles que têm trabalho, aglutinados ao
redor de unidades de produção arlesanal ou agricola.
08. O analfabetismo é iguatmente um dos traços caracterís-
ticos do subdesenvolvimento. Enquanto aproporção de maiores
de l0 anos de idade itetrados é de no máximo 4% nos países
desenvolvidos, ela aumenta consideravelmente nos. subdesen-
volvidos. As taxas são as seguintes: 17% na Argentina, 73% na
Itália e na Etpanha, 4l% na Grécia, 40% em Portugal, 57% no
Brasil e Ven ezuela, 70% na Turquia, 86% no Egito e Malásia, mais
de 90% na índia e na Áf.ica Negra. A única exceção é o Japão,
com apenas 57o,
'47
09. Pelo exame dos dados anteriores, podemos concluir
também que a proporção de analfabetos fora da Europa é
sign iÍlcativamente maior.
10. Há algumas décadas, o fenômeno do subdesenvolvi-
mento conta com um elemento constitutivo realmente novo: a
tomada de consciência das populações sobre a miséria de sua
situação, Ela resulta de causas profundas, ligadas à propria
evolução historica dos países subdesenvolvidos. Sob a influência
do "progresso", as estruturas tradicionais e as formas de pensa-
mento dela dependentes tendem adesagregar-se. Desde então,
a miséria passou a ser encarada sob um prisma diferente, dando
origem àquilo que G. Myrdal denominou "o grande desper[ar"
dos países subdesenvolvidos.
48
Feo,
,t
l, .
ti
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