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∫ Teste de diagnóstico
∫ Sugestão de resolução
de exercícios do manual
∫ Sugestão de resolução
de tarefas do manual
CADERNO
DE APOIO
AO PROFESSOR
Y– 11.o ANO
Matemática A
CARLOS ANDRADE • CRISTINA VIEGAS • PAULA PINTO PEREIRA • PEDRO PIMENTA
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
APRESENTAÇÃO DO PROJETO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Manual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Testes 5 + 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Formulários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Caderno de exercícios e problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Caderno de apoio ao professor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Site de apoio ao projeto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Aula digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
PLANIFICAÇÃO GLOBAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
TESTE DE DIAGNÓSTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS E TAREFAS DO MANUAL . . 16
Volume 1 – Geometria no plano e no espaço II
• Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• Tarefas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Volume 2 – Introdução ao cálculo diferencial I. Funções racionais 
e funções com radicais. Taxa de variação e derivada
• Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
• Tarefas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Volume 3 – Sucessões
• Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
• Tarefas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
ÍNDICE
Nota: Este caderno encontra-se redigido conforme o novo Acordo Ortográfico.
Colegas,
O projeto Y11 resulta da nossa interpretação do Programa de Matemática A do 11.o ano e da sua articulação
com as atuais necessidades educativas dos alunos, contemplando, sempre que possível e desejável, o recurso às
novas tecnologias.
Conscientes da responsabilidade que temos como agentes educativos, procurámos construir um projeto não
apenas consistente e rigoroso mas também apelativo, desejando que constitua um incentivo à procura de mais
conhecimento. Preocupámo-nos em fornecer uma grande quantidade de recursos a alunos e professores, possibi-
litando assim a adequação do projeto a qualquer turma, em qualquer contexto letivo. 
Bom trabalho,
Os autores
INTRODUÇÃO
2
3
O projeto Y11 apresenta os seguintes materiais para o aluno: 
• Manual
• Testes 5 + 5 (oferta ao aluno)
• 3 formulários (oferta ao aluno)
• Caderno de exercícios e problemas
• Manual multimédia (CD-ROM e on-line em www.y11.te.pt)
• www.y11.te.pt (site de apoio ao projeto)
Para o professor apresenta ainda:
• Caderno de apoio ao professor
• Aula digital (CD-ROM e on-line em www.y11.te.pt)
Manual
Está dividido em três volumes, que têm como suporte três grandes temas:
• Tema 1: Geometria no plano e no espaço II
• Tema 2: Introdução ao cálculo diferencial I. Funcões racionais e funções com radicais. Taxa de variação 
e derivada
• Tema 3: Sucessões
Cada volume inclui, além da exposição dos conteúdos acompanhada de exercícios laterais, tarefas de introdu-
ção no início de cada subtema, exercícios resolvidos, notas históricas, tarefas de exploração e desenvolvimento,
uma tarefa de investigação, Testes AAA («Aplicar, Avaliar, Aprender»), + Exercícios e Problemas globais.
Realça-se no volume 2 a exploração de conexões entre funções e a geometria e, no volume 3, a exploração de
conexões entre diversos conteúdos, contribuindo-se assim para uma visão globalizante da Matemática.
Visando facilitar a articulação entre os diversos componentes do projeto, no manual encontram-se remissões
para os recursos disponíveis no manual multimédia.
APRESENTAÇÃO DO PROJETO
4
1. Trigonometria
8
NOTA
As seguintes instruções, bemcomo todas as outras queoportunamente surgirão,referem-se à utilização dacalculadora TEXAS TI-83 ou TI-84/TI-84 Plus SilverEdition. Nas páginas 226 a 228 é também apresentado umconjunto de procedimentos paraa utilização das calculadorasCASIO FX-9860GII e FX-9860GII SD.
CALCULADORA
Para trabalhar com a calculadoragráfica em graus deverás acionaro comando e selecionar a opção Degree.
MODE
Em alternativa, consultaa página 226.
1. Uma empresa que organiza eventos de desportos radicais pretende instalar um
cabo para a prática de slide entre o topo de um edifício e a base de um poste de
iluminação pública. O cabo mais comprido de que dispõe mede 105 metros. Sabe-
-se ainda que o poste está a 100 metros do edifício e que o ângulo de elevação,
medido da base do poste para o topo do edifício, é de 20o.
 a. Mostra que o cabo disponível não tem comprimento suficiente para a instala-
ção que se pretende fazer.
 b. Qual é altura do edifício? Arredonda o valor obtido às décimas de metro.
2. Determina a área de um pentágono regular inscritonuma circunferência de raio 10 cm. Apresenta 
o resultado em cm2, arredondado às décimas. Emcálculos intermédios conserva, pelo menos, trêscasas decimais.
3. Determina a amplitude do menor ângulo formado por duas diagonais espaciais de
um cubo. Apresenta o resultado em graus, arredondado às centésimas de grau.
TAREFA DE INTRODUÇÃO Razões trigonométricas de um ânguloagudo
20°
100 m
No início, propõe-se uma
TAREFA DE
INTRODUÇÃO onde são
aplicados conhecimentos
intuitivos que permitirão
explorar 
os novos conteúdos. 
TEMA 2 Introdução ao cálculo diferencial I. Funções racionais e funções com radicais. Taxa de variação e derivada
118
1. Seja f a função definida por f(x) = x2 − 3x .
 a. Recorrendo à calculadora, obtém f ’(−2) , f ’(0) , f ’(1) e f ’(2) e completa 
a tabela seguinte.
 b. Marca, num referencial, os pontos de coordenadas (x, f ’(x)) , para os valores de
x que constam da tabela e escreve a equação reduzida da reta que passa nes-
ses pontos.
 c. Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, obtém a expres-
são de f ’(x) e verifica que o gráfico da função que a cada x faz corresponder
f ’(x) é a reta que definiste na alínea b.
 À função f ’ , que a cada x � IR faz corresponder f ’(x) , chama-se função deri-
vada da função f , ou apenas, derivada da função f .
2. Seja g a função definida por g(x) = x3 . Determina g’(x) e completa a afirmação: 
A função derivada da função g definida por g(x) = x3 é a função g’ definida por
g’(x) = _________ .
TAREFA 23 Função derivada
x –2 0 1 2
f ’(x)2.3 Função derivada
Seja f : x � f(x) uma função derivável em A .
Chama-se função derivada ou apenas derivada da função f , e representa-se por f ’ ou por
�
d
d
x
f
� , à função de domínio A que a cada x � A faz corresponder a derivada de f no ponto x .
Exercícios resolvidos
 41. Seja f a função definida por f(x) = �
2
1
� x2 + 2x . 
a. Mostra que a função f ’ (função derivada de f ) é definida por f ’(x) = x + 2 .
b. Escreve a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f que é paralela
à reta que contém as bissetrizes dos quadrantes pares.
 Resolução
a. f ’(x) = lim
h → 0
�
f(x + h
h
) – f(x)
� = lim
h → 0
=
= lim
h → 0
= lim
h → 0
= 
�
2
1
� (x + h)2 + 2(x + h) – ��2
1
�x2 + 2x�
�����
h
�
2
1
� x2 + xh + �
2
1
� h2 + 2x + 2h – �
2
1
�x2 – 2x
�����
h
xh + �
2
1
� h2 + 2h
��
h
(continua na página seguinte)
= lim
h → 0
= lim
h → 0 �x + �2
1
� h + 2� = x + 0 + 2 = x + 2
h�x + �2
1
� h + 2�
��
h
EXERCÍCIO 88
Seja f a função, de domínio IR ,
definida por f(x) = �
x
4
2
� .
a.Mostra que a função derivada 
de f é definida por f ’(x) = �
2
x
� .
b. Escreve a equação reduzida da
reta tangente ao gráfico de f no
ponto de abcissa –2.
c. Para um determinado valor de b ,
a reta de equação y = 3x + b é
tangente ao gráfico de f .
Determina as coordenadas
do ponto de tangência e o valor
de b .
+ Exercícios
pág. 145 • (IC) 7
Animação
Função derivada
Geogebra
Função derivada
RECURSOS MULTIMÉDIA
SÍNTESE
64
Círculo trigon
ométrico
• Num referencial o.n
. xOy do plano
, a circunferênc
ia com centro n
a origem e raio 
igual
a 1 designa-se p
or círculo trigo
nométrico.
• Sendo P o ponto de
 interseção do l
ado extremida-
de de um ângul
o de amplitude 
 α com o círculo t
ri-
gonométrico, o 
seno e o cosse
no desse ângulo
 são
dados, respetiv
amente, pela o
rdenada de P
e
pela abcissa de
 P . 
Simbolicamente
: 
P(cos α, sen α)
• Seja α � IR a ampl
itude de um âng
ulo. Então:
–1 ≤ cos α ≤ 1 e
–1 ≤ sen α ≤ 1
• No círculo trigono
métrico, sendo
 Q o ponto d
e interseção d
a reta que con
tém 
o lado extremid
ade de um ângu
lo de amplitude
 α com a reta de
 equação x = 1 
 (eixo
das tangentes)
, tem-se:
tg α = ordenada d
e Q
P
α
1
sen α
cos α
1
-1
-1
O
y
x
• Seja α � �2
�
� + k� , k � ZZ
 a amplitude d
e um ângulo. En
tão, tg α pode to
mar qual-
quer valor do in
tervalo ]–∞, +∞[ 
.
Sinal das razõ
es trigonomét
ricas no círcul
o trigonométr
ico
Q
1
t
α
1
-1
-1 O
y
x
Q
t
α
O
y
x1
1
-1
-1
1.o Q
2.o Q
3.o Q
4.o Q
Seno
+
+
–
–
Cosseno
+
–
–
+
Tangente
+
–
+
–
Grupo I
Este grupo é constituído por itens de seleção. Para cada item, seleciona a opção correta.
1. Na figura ao lado está representada uma
circunferência de centro em A e raio 5 cm.
A reta t é tangente à circunferência no
ponto T . O ponto B pertence à circunfe-
rência e define com o ponto T um arco de
centro em A com 45o de amplitude.
A distância de B à reta t , em cm, arre-
dondada às centésimas, é:
 (A) 2,56 cm (B) 1,56 cm
 (C) 1,46 cm (D) 2,55 cm
2. Relativamente ao triângulo retângulo da figura, o valor de cos β é:
 (A) �
3
1
� (B)
 (C) (D)
3. Uma escada de 2 metros de comprimento está encostada a uma parede vertical. A base dessa escada está assente num pátio horizontal adjacente a essa parede.Sabendo que o ângulo formado pela escada e pela parede mede 30o, a altura, emmetros, atingida pela escada na parede, arredondada às centésimas, é:
 (A) 1,73 m (B) 1 m (C) 1,16 m (D) 2,31 m
4. Sendo α a amplitude de um ângulo agudo, a expressão (1 – cos α)(1 + cos α) é equi-valente a:
 (A) cos α (B) cos2 α (C) sen α (D) sen2 α
5. O valor da expressão sen (60o) – 2tg (45o) + cos (30o) é:
 (A) –2 (B) – 2 (C) –1 (D) �3� – 2
�13��
���
13
�3�
���
2
2�13��
���
13
3�13��
���
13
TESTE AAA 1
A
45°
B
T
t
12
�
8
22
+ EXERCÍC
IOS
Itens de se
leção (IS)
De entre 
as quatro
 opções a
presentad
as em ca
da item,
seleciona 
a opção co
rreta.
1. Na figur
a seguinte e
stão repres
entados os 
vetores u� e
 v� .
 Qual da
s afirmaçõe
s seguintes
 é verdadei
ra?
 (A) u�
∧ v� é um ângu
lo agudo.
 (B) u�
∧ v� é um ângu
lo reto.
 (C) u�
∧ v� é um ângu
lo obtuso.
 (D) u�
∧ v� é um ângu
lo raso.
2. Num tri
ângulo [AB
C] sabe-se
 que AB
� · BC� < 0 
. Então:
 (A) [ABC
] é um triâ
ngulo acutâ
ngulo.
 (B) [ABC
] é um triâ
ngulo retân
gulo.
 (C) [ABC
] é um triâ
ngulo obtus
ângulo.
 (D) Nada
 se pode co
ncluir.
3. Num tri
ângulo [AB
C] sabe-se
 que AB
� · BC� > 0 
. Então:
 (A) [ABC
] é um triâ
ngulo acutâ
ngulo.
 (B) [ABC
] é um triâ
ngulo retân
gulo.
 (C) [ABC
] é um triâ
ngulo obtus
ângulo.
 (D) Nada
 se pode co
ncluir.
4. De dois 
vetores u�
e v� sabe-s
e que ||u�|| =
 4 , ||v�|| = 2
 e
que u� · v�
= –4�3� . Qua
l é a ampli
tude de u�
∧ v� , em
radianos?
 (A) �6
�
�
(B) – �6
�
� (C)
(D) – 
5. Represe
nta-se na 
figura abai
xo o triâng
ulo equilát
ero
[ABC] , em
 que A�B� = 2
 . Qual das
 seguintes 
igualdades
é verdadeir
a?
 (A) BA
� · BC� = 2
 (B) BA
� · BC� = 4
 (C) BA
� · BC� = 2�3�
 (D) BA
� · BC� = 4�3�
6. O cubo r
epresentad
o na figura t
em aresta 1
. Os pontos
 A ,
B e C são
 vértices do
 cubo. Qua
l é o valor 
do produto
escalar dos
 vetores AB
� e BC� ?
 (A) –2
 (B) –1
 (C) 0
 (D) 2
7. Na figur
a está repre
sentado um
 tetraedro r
egular (sóli
do
geométrico
 com quatr
o faces, qu
e são todas
 triângulos
equiláteros
).
 • A , B , C e D
são os vért
ices do tetr
aedro;
 • A�B� = 6
 O valor d
o produto e
scalar BC
� · BD� é:
 (A) 18
(B) 18�2� (
C) 36
(D) 36�2�
in Exame N
acional de M
atemática, 
12.o ano, 2.
a fase, 1999.
8. Seja [A
B] o diâme
tro de uma 
esfera de ce
ntro C e ra
io 5.
 Qual é o
 valor do pr
oduto esca
lar CA� · CB
� ?
 (A) –25
(B) –5�2� (
C) 5�2� (D
) 25
Adaptado d
e Teste Inte
rmédio de M
atemática, 
11.o ano, m
aio de 2010
.
5�
���
6
5�
���
6
0
1
3
-1
x
y
21
-1
2
u
v
A
B
C
A
B
C
D
151
A
B
C
28
1. Dois amigos avistaram uma torre de lados opostos, alinhados com a torre, conforme se representa na figura seguinte.
 Sabendo que a torre tem 368 metros de altura, determina a distância a que os dois amigos se encontravam um do outro.
Despreza a altura de cada um deles. Apresenta o resultado, em metros, arredondado às unidades.2. Após uma tempestade, um poste de telecomunicações quebrou-se em dois segmentos, formando com o solo um triângulo
retângulo, como sugere a figura. Um dos segmentos tem um quarto do comprimento do poste. A ponta do poste tombou
a 3 metros da base do mesmo.
 a. Determina o valor de α arredondado às décimas de grau. b. Determina o valor exato do comprimento do poste.
3. Considera uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros.
 a. Qual é a amplitude do ângulo formado por uma aresta lateral e uma diagonal da base que sejam concorrentes?
 b. Mostra que as arestas laterais são perpendiculares duas a duas.
 c. Determina o volume dessa pirâmide, sendo a o comprimento da aresta da base.
PROBLEMAS GLOBAIS
45°
60°60°
�
TAREFA DE INVESTIGAÇÃO
Uma população de insetos
Comecemos por considerar a re
produção de uma popula-
ção de insetos, como, por exempl
o, os afídios dos álamos, para
melhor perceber como evolui o
 número de indivíduos dessa
população. As fêmeas adultas p
roduzem vesículas contendo
toda a sua descendência, que dep
ositam em folhas de árvores.
Da descendência de cada fêmea, a
penas uma fração sobreviverá
até à idade adulta. Geralmente, a
 fecundidade das fêmeas e a
capacidade de sobrevivência das 
suas crias dependem de fato-
res ambientais, da qualidade e 
quantidadede alimento e da
dimensão da população. Porém,
 com o objetivo de obter um
modelo simples, o efeito destes 
fatores no crescimento desta
população de insetos pode ser ign
orado. Desta forma, conside-
remos os seguintes parâmetros
(constantes) e variáveis en -
vol vidos no modelo: 
• an = número de fêmeas adultas na n-ésima gera
ção; 
• cn = número de crias na n-ésima geração; 
•m = taxa de mortalidade dos insetos jovens; 
• f = número de descendentes por fêmea adulta; 
• r = fração de fêmeas na população adulta. 
Considerando o número de fêm
eas na n-ésima geração, 
an (n � IN0), o número
 total de crias da população na g
eração
n + 1 , cn + 1 , é dada pela segu
inte equação:
cn + 1 = f × an
(1)
Deste número, apenas uma fraçã
o sobreviverá até à idade
adulta, (1 – m)cn + 1 , que multip
licada por r dá o número de
fêmeas adultas na geração n + 1
 , isto é:
an + 1 = r (1 – m)cn + 1
(2)
Combinando as equações (1) e (2)
, obtém-se:
an + 1 = f × r (1 – m)an
que traduz a relação existente en
tre o número de fêmeas adul-
tas em gerações consecutivas.
O número de fêmeas destes inse
tos na n-ésima geração é
dado pela expressão:
an = [f × r(1 – m)]
n a0 (n � IN0)
Este modelo pode ser traduzido p
or uma sucessão de termo
geral an = k
n × a0 , que corresponde ao te
rmo geral de uma
progressão geométrica de razão 
k .
A monotonia desta família de su
cessões depende do valor
de k e do sinal de a0 . 97
A rubrica PROBLEMAS
GLOBAIS permite
trabalhar os conteúdos
estudados de forma
articulada. 
Sempre que oportuno, irá
encontrar um TESTE AAA, com
itens de seleção e itens de
construção. Este teste inclui a
rubrica SOS no final para ajudar
a responder
às questões colocadas. 
As TAREFAS DE INVESTIGAÇÃO
incentivam a interdisciplinaridade, 
o gosto pela história da Matemática 
e a criatividade. 
Ao longo do manual encontram-se
as instruções da CALCULADORA
TEXAS, e no final as instruções 
da CALCULADORA CASIO, assim
como as SOLUÇÕES dos exercícios
e tarefas.
No final de cada
bloco de conteúdos
encontrará a rubrica
+EXERCÍCIOS. 
Esta inclui itens de seleção
e itens
de construção para
consolidar os
conhecimentos adquiridos. 
Sempre que oportuno, 
é apresentada uma SÍNTESE
para sistematizar os conceitos
mais importantes. 
Nas PÁGINAS DE CONTEÚDOS
encontrará o desenvolvimento 
dos assuntos.
Na mancha larga poderá encontrar:
definições
exemplos
exercícios resolvidos
tarefas
história da Matemática
Na mancha estreita poderá
encontrar:
notas
exercícios
remissões para as rubricas 
+ Exercícios e Problemas globais
remissões para 
os recursos multimédia
remissões para o site 
de apoio ao projeto
5
Testes 5 + 5
O livro de testes 5 + 5, que acompanha o manual, inclui cinco testes 5 + 5 e dois testes modelo dos testes
intermédios. 
Este é um instrumento de trabalho particularmente útil em momentos de preparação para testes de avalia-
ção e para os testes intermédios. 
22
Grupo I
 • Os cinco itens deste grupo são de seleção. Em cada um deles, são indicadas quatro
opções, das quais só uma está correta.
 • Escreve apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionares
para responder a esse item.
 • Não apresentes cálculos, nem justificações. • Se apresentares mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, 
o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.
1. Considera, num referencial o.n. Oxyz , a reta r definida por:
(x, y, z) = (0, 0, 1) + λ(1, 2, 3) , λ � IR Qual das condições seguintes define um plano paralelo à reta r ? (A) z = 1
(B) x + y = 0 (C) x + y – z = 0
(D) x + 2y + 3z = 0
2. No referencial o.n. da figura ao lado está representado um quadrado [OABC] de
lado 1. Os vértices A e C pertencem aos eixos coordenados. Considera que o ponto P se desloca sobre o lado [AB] . Seja f a função que à abcissa x do ponto P faz corresponder o produto escalar 
 OP���� • OC���� .
 Em qual dos referenciais seguintes está representada a função f ? (A)
(B)
 
 (C)
(D)
 
P
B
C
A
1 x
y
O
TESTE INTERMÉDIO 2
1 x
y
O
1
1 x
y
O
��2
1 x
y
O
1
1 x
y
O
��2
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14
TESTE 3
Grupo I
Este grupo é constituído por itens de
 seleção. Para cada item, seleciona 
a opção correta.
1. Na figura seguinte está representado
 o círculo trigonométrico. O ponto A tem
 coorde-
nadas (1, 0) .
 O ponto P pertence à circunferência 
e está no 2.o quadrante. O ponto Q perte
nce à cir-
cunferência e está no 3.
o quadrante. A reta PQ é paralela ao eixo 
 Oy .
 O perímetro do triângulo [POQ] é 3,6
.
 Qual é o valor, em radianos, arredon
dado às décimas, da amplitude do âng
ulo AOP
assinalado na figura?
 (A) 0,6 (B) 0,9
(C) 2,2 (D) 2,5
2. Considera a pirâmide quadrangular
 regular repre-
sentada na figura ao lado.
 Em relação a um referencial Oxyz , s
ejam E1 e E2
equações cartesianas dos planos ADF e
 BCF e seja
E3 uma equação cartesian
a do plano mediador de
[AB] .
 Considera o sistema constituído pelas
 três equações
E1 , E2 e E3 . 
 Qual das afirmações é verdadeira?
 (A) O sistema tem exatamente uma so
lução.
 (B) O sistema tem exatamente três so
luções.
 (C) O sistema é possível e indetermina
do.
 (D) O sistema é impossível.
x
y
O
P
Q
A
A B
F
CD
YTestes5+5_p01a32:Layout 1 3/26/1
6
Formulários
Para que o aluno tenha sempre presente o essencial dos conteúdos estudados, cada volume do manual é
acompanhado por um formulário. 
Os formulários constituem auxiliares de memória úteis para o apoio ao estudo do aluno e um incentivo ao tra-
balho autónomo.
Inclinação e declive de uma reta• Num referencial o.n. do plano, a inclinação de uma reta (não vertical) é a amplitude não
negativa do menor ângulo que a reta faz com o semieixo positivo das abcissas, tomando
este semieixo para lado origem.• O declive, m , de uma reta não vertical é a tangente trigonométrica da inclinação, α ,
da reta: m = tg α .
Condição de perpendicularidade de vetores• Dois vetores não nulos são perpendiculares se e só se o seu produto escalar é zero:u→ ⊥ v→ ⇔ u→ ⋅ v→ = 0• Dado um vetor u→(u1, u2) num referencial o.n. do plano, qualquer vetor de coordenadas
(–ku2, ku1) , com k � IR\{0} , é perpendicular a u
→
.
Relação entre o declive de retas perpendiculares• Num referencial o.n. do plano, dada uma reta de declive m , não nulo, o declive de uma
reta perpendicular é – .
Conjuntos de pontos definidos por condições no plano • A mediatriz de um segmento de reta [AB] , de ponto médio M , é o conjunto dos pontos
P do plano que satisfazem a condição AB
⎯→
⋅ MP
⎯→
= 0 .• A circunferência de diâmetro [AB] é o conjunto dos pontos P do plano que satisfazem
a condição AP
⎯→
⋅ BP
⎯→
= 0 .
• A reta tangente a uma circunferência de centro C , no ponto T , é o conjunto dos
pontos P do plano que satisfazem a condição CT
⎯→
⋅ TP
⎯→
= 0 .
Conjuntos de pontos definidos por condições no espaço • O plano mediador de um segmento de reta [AB] , de ponto médio M , é o conjunto dos
pontos P do espaço que satisfazem a condição AB
⎯→
⋅ MP
⎯→
= 0 .• A superfície esférica de diâmetro [AB] é o conjunto dos pontos P do espaço que
satisfazem a condição AP
⎯→
⋅ BP
⎯→
= 0 .• O plano tangente a uma esfera de centro C , no ponto T , é o conjunto dos pontos P
do espaço que satisfazem a condição CT
⎯→
⋅ TP
⎯→
= 0 .
Retas e planos
• Uma equação cartesiana do plano que passa no ponto A(xA, yA, zA) e que é perpendi-
cular ao vetor n
→
(a, b, c) é:
a(x – xA) + b(y – yA) + c(z – zA) = 0O vetor n
→
(a, b, c) diz-se um vetor normal ao plano.• A equação geral do plano de vetor normal n→(a, b, c) e que passa no ponto A(xA, yA, zA) é:ax + by + cz + d = 0 , com d = –axA – byA – czA• = = são equações cartesianas da reta do espaço que passano ponto de coordenadas (xA, yA, zA) e que tem a direção do vetor de coordena-
das (u1,u2, u3) (para u1 , u2 e u3 não nulos).• Dois planos, α e β , de vetores normais a→ e b→ , são paralelos se os vetores normais
são colineares:
α // β ⇔ a→ // b
→
⇔ a→ = k b
→
, k � IR\{0}• Dois planos, α e β , de vetores normais a→ e b→ , são perpendiculares se e só se os
vetores normais são perpendiculares:
α ⊥ β ⇔ a→ ⊥ b
→
⇔ a→ ⋅ b
→
= 0• Uma reta r , não contida num plano α , é paralela ao plano se e só se um vetor diretor
de r , u
→
, for perpendicular a um vetor normal a α , n→ .r // α ⇔ u→ ⊥ n→ ⇔ u→ ⋅ n→ = 0• Uma reta r é perpendicular a um plano α se um vetor diretor de r , u→ , for colinear
com um vetor normal a α , n→ .
r ⊥ α ⇔ u→ // n→ ⇔ u→ = k n→ , k � IR\{0}
1
�
m
z – zA����
u3
y – yA����
u2
x – xA����
u1
E
st
e 
fo
rm
ul
ár
io
 é
 u
m
a 
of
er
ta
 q
ue
 a
co
m
pa
nh
a 
o 
m
an
ua
l Y
, 1
1.
o
an
o,
 n
ão
 p
od
en
do
 s
er
 v
en
di
do
 s
ep
ar
ad
am
en
te
.
cos (π − α) = −cos α
cos (π + α) = −cos α
cos (–α) = cos α
sen (π − α) = sen α
sen (π + α) = −sen α
sen (–α) = –sen α
tg (π − α) = –tg α
tg (π + α) = tg α
tg (−α) = –tg α
Geometria no plano e no
 espaço II
Num triângulo retângulo, 
definem-se as seguintes r
azões trigonométricas d
e um ângulo
agudo de amplitude α :
sen α = 
tg α = 
cos α =
Relações entre razões t
rigonométricas de um â
ngulo de amplitude α
tg α = 
sen2 α + cos2 α = 1
tg2 α + 1 = 
Redução ao 1.
o quadrante
Razões trigonométricas
 de ângulos notáveis
Função periódica
Uma função f , de domín
io Df , diz-se periódic
a de período T se e só se
∀ x � Df , f(x + T) = f(x) .
Equações trigonométric
as
• As equações do tipo sen x =
 b são possíveis se e só s
e b � [–1, 1] .
• sen x = sen α ⇔ x = α + k2π
∨ x = (π – α) + k2π , k � ZZ
• As equações do tipo cos x =
 b são possíveis se e só s
e b � [–1, 1] .
• cos x = cos α ⇔ x = α + k2π
∨ x = – α + k2π , k � ZZ
• As equações do tipo tg x = 
b são possíveis para qua
lquer b � IR .
• tg x = tg α ⇔ x = α + kπ , k 
� ZZ
Produto escalar
• Produto escalar de dois vet
ores 
→
u e 
→
v : 
→
u ⋅
→
v = ||
→
u || × ||
→
v || × cos (
→
u ∧
→
v )
• Expressão do produto esca
lar nas coordenadas dos 
vetores
Num referencial o.n. do pl
ano, dados dois vetores qu
aisquer, 
→
u (u1, u2) e v
→(v1, v2) , tem-se: 
u
→ ⋅ v→ = u1v1 + u2v2
Num referencial o.n. do es
paço, dados dois vetores q
uaisquer, 
→
u(u1, u2, u3) e v
→(v1, v2, v3) ,
tem-se: u
→ ⋅ v→ = u1v1 + u2v2 + u3v3
Ângulo de dois vetores e
 ângulo de duas retas
• Dados dois vetores u
→ e v
→ quaisquer, no plano ou no
 espaço:
u
→ ∧ v
→ = cos –1 � �
• Dadas duas quaisquer reta
s r e s , no plano ou no
 espaço, e dois quaisquer
 vetores
diretores das mesmas, r
→ e s
→ , respetivamente: cos (r
∧s) = |cos (r
→ ∧ s
→)| =
comp. do cateto oposto
����
comp. do cateto adjacent
ecomp. do cateto oposto
���
comp. da hipotenusa
comp. do cateto adjacent
e
����
comp. da hipotenusa
1
�
cos2 αsen α
�
cos α
u
→ ⋅ v→
�����
||
→
u || ||
→
v ||
|r
→ ⋅ s→|
���
||r
→|| ||s
→||
30° �6
π
�
�
2
1
�
45° �4
π
�
1
60° �3
π
�
�
2
1
�
�3�
�3�
�
2
�2�
�
2
�3�
�
2
Seno
Cosseno
Tangente
�3�
�
3
�2�
�
2
VOLUME 1
cos � − α� = sen α sen �
− α� = cos α tg � − α� = �tg
�
1
α
�
π
�
2
π
�
2
π
�
2
cos � + α� = –sen α sen �
+ α� = cos α tg � + α� = −
�
tg
�
1
α
�
π
�
2
π
�
2
π
�
2
Y11Formularios
7
Caderno de exercícios e problemas
O Caderno de exercícios e problemas inclui sínteses, itens resolvidos, itens de seleção e itens de construção.
Contém diversos itens de exame e testes intermédios. 
Muitos exercícios têm um carácter globalizante, tornando este caderno particularmente útil em momentos
de preparação para testes de avaliação e para os testes intermédios. 
Itens de construção
1. Na figura estão representadas, em referencial o.n. xOy , uma reta AB
e uma circunferência com centro na origem e raio igual a 5.Os pontos A e B pertencem à circunferência.O ponto A também pertence ao eixo das abcissas.
Admitindo que o declive da reta AB é igual a �
2
1
� , resolve as três alíneasseguintes.
a) Mostra que uma equação da reta AB é x – 2y + 5 = 0 .b) Mostra que o ponto B tem coordenadas (3, 4) .c) Seja C o ponto de coordenadas (– 3, 16) .Verifica que o triângulo [ABC] é retângulo em B .
in Teste Intermédio de Matemática, 11.o ano, janeiro de 2008.
2. Na figura está representada, num referencial o.n. xOy , a circunferência de equação
(x – 4)2 + (y – 1)2 = 25 .
O ponto C é o centro da circunferência.
a) O ponto A de coordenadas (0, –2) pertence à circunferência.A reta t é tangente à circunferência no ponto A .Determina a equação reduzida da reta t .
b) P e Q são dois pontos da circunferência.
A área da região colorida é �
2
6
5π
� .
Determina o valor do produto escalar 
→
CP · 
→
CQ .
in Teste Intermédio de Matemática, 11.o ano, janeiro de 2010.
3. Na figura está representado um retângulo [ABCD] .
Mostra que o produto escalar 
→
AB · 
→
AC é igual a —AB2 .
in Teste Intermédio de Matemática, 11.o ano, maio de 2006.
C
B
D
A
Geometria no plano e no espaço II – Geometria analítica
46
O x
y
B
A
5
O
t
Q
C
A
P
x
y
Geometria no plan
o e no espaço II – T
rigonometria
4
Síntese
TRIGONOMETRI
A
Razões trigonom
étricas de um ân
gulo agudo
Num triângulo ret
ângulo, definem-s
e as seguintes razõ
es trigonométrica
s de um ângulo ag
udo de amplitude 
α :
sen α = 
= 
cos α = 
= 
tg α = 
= 
comprimento do c
ateto oposto
���
���
comprimento da h
ipotenusa
b
�c
comprimento do c
ateto adjacente
���
���
comprimento da h
ipotenusa
a
�c
comprimento do c
ateto oposto
���
���
comprimento do c
ateto adjacente
b
�a
Relações entre r
azões trigonomé
tricas de um âng
ulo
• tg α = 
sen α
�cos α
Razões trigonom
étricas de ângul
os complementa
res
Razões trigonom
étricas de ângul
os notáveis
sen (90o – α) = cos α
cos (90o – α) = sen α
tg (90o – α) = 
1
�
tg α
• sen2 α + cos2 α = 1 (Fór
mula fundament
al da trigonomet
ria) 
• tg2 α + 1 = 
1
�
cos2 α
a
�
bc
30o
45o
60o
Seno
�
2
1
�
�2�
���
2
�3�
���
2
Cosseno
�
2
1
�
�3�
���
2
�2�
���
2
Tangente
1 �3��3�
���
3
Caderno de apoio ao professor
Nesta publicação incluímos uma proposta de planificação global, um teste de diagnóstico com as respetivas
soluções e resoluções das tarefas e de alguns exercícios do manual. Estas resoluções estão também disponíveis
em , para poderem ser projetadas na sala de aula.
Site de apoio ao projeto (www.y11.te.pt)
Permite o acesso aos links de apoio ao aluno e ao manual multimédia on-line.
Aula digital
Todos os recursos do projeto são disponibilizados em .
A aula digital possibilita a fácil exploração do projeto Y11 através da utilização das novas tecnologias em sala
de aula, permitindo-lhe tirar o melhor partido do seu projeto escolar e simplificando o seu trabalho diário.
Através da aula digital poderá não só projetar e explorar as páginas do manual na sala de aula, como também
aceder a um vasto conjunto de conteúdos multimédia integrados no manual, tornando assim a aula mais dinâmica:
• Apresentações em PowerPoint com as resoluções de todas as tarefas e de alguns exercícios do manual.
• Flipcharts com exemplos e sínteses da matéria dada.
• Animações que, integrando imagem e áudio, são lições sobre um determinado assunto. Englobam uma
componente interativa que permite avaliar o aluno quanto a esse assunto.
• Aplicações realizadas em Geogebra com exemplos dinâmicos relativos aos três temas estudados. 
• Testes interativos – extenso banco de testes interativos, personalizáveis e organizados pelos diversos
temas do manual. 
Para poder comunicar mais facilmente com os seus alunos, a aula digital permite a troca de mensagens e a
partilha de recursos. 
8
9
Sendo o Programa de Matemática A do 11.o ano extenso, uma boa planificação das aulas é essencial.
Apresentamos aqui uma proposta de distribuição dos tempos letivos para cada tema, que poderá constituir
umabase para uma planificação mais detalhada.
PLANIFICAÇÃO GLOBAL
Temas Tempos letivos (90 minutos)
Tema 1 – Geometria no plano e no espaço II 30
• Trigonometria
• Geometria analítica
• Programação linear
15
12
3
Tema 2 – Introdução ao cálculo diferencial I.
Funcões racionais e funções com radicais.
Taxa de variação e derivada 
30
• Funções racionais e funções com radicais
• Taxa de variação e derivada
20
10
Tema 3 – Sucessões 24
• Sucessões
• Limites de sucessões
12
12
Temas transversais
• Comunicação matemática
• Aplicações e modelação matemática
• História da Matemática
• Lógica e raciocínio matemático
• Resolução de problemas 
• Atividades de investigação
• Tecnologia e matemática
TESTE DE DIAGNÓSTICO
NOME: ___________________________________________________________________________________________________ TURMA: ______________ N.O: ________
Grupo I
Este grupo é constituído por itens de seleção. Para cada item, seleciona a opção correta.
1. Num referencial o.n. xOy , uma equação da reta que passa pelo ponto (–1, 5) e é perpendicular à reta de
equação y = –3 , é:
(A) x = –1 (B) x = 5
(C) y = –1 (D) y = 5
2. Considera o paralelepípedo [ABCDEFGH ] num referencial o.n. Oxyz .
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) O plano ABC pode ser definido por z = 0 .
(B) O plano EFB pode ser definido por y = 6 .
(C) O plano BCG pode ser definido por x = 6 .
(D) O plano ADH pode ser definido por y = –3 .
3. Considera a função f : [–3, 3] → IR cujo gráfico se apresenta.
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) f é injetiva e ímpar.
(B) f não é injetiva nem ímpar.
(C) f é ímpar, mas não é injetiva.
(D) f é injetiva, mas não é ímpar.
4. Considera duas funções reais de variável real, f e g , tais que g (x ) = f (x – 3) + 1 . Sabendo que o ponto de
coordenadas (1, 5) pertence ao gráfico de f , podemos afirmar que:
(A) g(4) = 5 (B) g(4) = 8 
(C) g(4) = 2 (D) g(4) = 6
10
z
6
6–3
9
y
x
A
D
E
H
B
C
F
0 G
x
y
2
–2
2 3
–2–3
0
11
Grupo II
Este grupo é constituído por itens de construção. Nas respostas aos itens deste grupo, apresenta o teu raciocínio de
forma clara, indicando todos os cálculos que efetuares e todas as justificações necessárias.
1. No referencial Oxyz da figura está representado um prisma quadrangular regular 
[ABCOEFG H] . O ponto A tem coordenadas (0, 0, 8) e a área da base do prisma é 16 cm2 .
a. Caracteriza por uma condição o plano paralelo a xOy que, 
ao intersetar o prisma, o decompõe em dois cubos. 
b. Escreve uma equação do plano que contém a face [ABFE ] .
c. Define por uma condição a reta EF .
d. Calcula CE�. 
e. Escreve uma condição que defina a esfera de diâmetro [AB ] .
2. No referencial ortonormado da figura estão representados 
dois prismas retos que constituem um sólido. A face [GEH ] 
do prisma triangular é um triângulo isósceles, H ( 3, 4, 0) 
e C (a, b, c ) .
a. Determina as coordenadas de C , sabendo que a – b = �c
2
� .
b. Calcula o volume do sólido representado na figura.
c. Calcula as coordenadas do vetor v→ = 2EA
→
– AB
→
.
d. Escreve uma equação vetorial da reta GH .
3. Para cada a ∈ IR , a expressão g (x ) = �ax –
2
3
� define uma função afim, g .
a. Se a = 4 , determina analiticamente as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico da função com
os eixos coordenados.
b. Determina a de modo que o gráfico da função passe no ponto de coordenadas (1, 3) .
c. Indica o valor de a de modo que g não tenha zeros.
d. Determina a de modo a que a função g seja decrescente.
y
x
C
B
G
F
H
E
A
O
z
z
y
x
F
G
E
D
H
C
A
B
O
I
4. Na figura está representada graficamente a função f .
Sabe-se que esta função tem domínio [–4, + �[ e que é crescente no intervalo [2, + �[ .
a. Diz, justificando, se o número –2 é elemento do contradomínio da função f .
b. Constrói a tabela de monotonia e extremos da função f .
c. Sabendo que os números –3, 0 e 3 são os três zeros de f , constrói a tabela de zeros e de sinal da função f .
d. Diz se a função f é, ou não, injetiva. Justifica a resposta.
e. A função f é par? Justifica a resposta.
5. De uma função quadrática f , sabe-se que:
• a reta de equação x = – 3 é eixo de simetria do gráfico de f ;
• D ′f = ]–�, 5] ;
• 2 é zero de f .
Identifica, das expressões seguintes, a única que pode definir a função f . 
(A) – �
5
1
� (x + 3)2 + 5
(B) – �
5
1
� (x + 3)2 – 5
(C) – �
5
1
� (x – 3)2 + 5
(D) – �
5
2
� (x + 3)2 + 5
Numa pequena composição, indica, para cada uma das outras três expressões, uma razão pela qual a rejeitas. 
12
x
y
5
–1
2–2
–4 0
f
13
Resolução do teste de diagnóstico
Grupo I
1. (A)
2. (D)
3. (C) f não é injetiva, pois há objetos diferentes com imagens iguais. Por exemplo, f (2) = f (3) .
A observação do gráfico permite concluir que a função é ímpar, pois o gráfico é simétrico em relação à ori-
gem do referencial.
4. (D) Como o ponto de coordenadas (1, 5) pertence ao gráfico de f , tem-se que f (1) = 5 e, portanto, 
g(4) = f (4 – 3) + 1 = f (1) + 1 = 5 + 1 = 6 .
0
x = –1
y = –3
1
–1
–2
–3
–4
2
3
4
5
–1 1 2 3 4–2–3–4 x
y
z
6
6–3
9
y
x
A
D
E
H
B
C
F
O G
x
y
2
–2
2 3
–2–3
0
Grupo II
1. a. A base = 16 cm2 e, portanto, arestabase = 4 cm .
A aresta da base é 4 e a altura do prisma é 8. Se dividirmos o prisma ao meio por um plano paralelo a xOy ,
obtemos dois cubos de aresta 4. Uma condição que caracteriza o plano paralelo a xOy que passa no ponto
médio de [OA] é z = 4 .
b. z = 8
c. A reta EF resulta da interseção dos planos ABE e FEG , com equações z = 8 e x = –4 , respetivamente.
Uma condição que define a reta é x = –4 ∧ z = 8 .
d. C (0, –4, 0); E (–4, 0, 8)
CE� = ��(0 + 4)2���+ �(–4 – 0)2�����+ (0 – 8)2� = 4 �6�
e. A esfera tem centro no ponto médio de [AB] , que tem coordenadas (0, –2, 8) e tem raio 2, que é metade
de AB� . Uma condição que define a esfera é:
x 2 + (y + 2)2 + (z – 8)2 � 4
2. a. Sendo H (3, 4, 0) , temos que C (3, 4, c) .
Como a – b = 3 – 4 = – 1 , tem-se c = – 2 . O ponto C tem coordenadas (3, 4, –2) .
b. Volume do prisma [OAHEIBCD ] :
V = 3 × 4 × 2 = 24
Volume do prisma [EHAOGF ] :
EH� = 4 e EG� = 4
V = �
4 ×
2
4
� × 3 = 24
O volume do sólido é 48.
c. EA
→
= (0, 4, 0) – (3, 0, 0) = (–3, 4, 0)
AB
→
= (0, 4, –2) – (0, 4, 0) = (0, 0, –2)
v
→
= 2EA
→
– AB
→
= (–6, 8, 0) – (0, 0, –2) = (–6, 8, 2)
d. GH
→
= (3, 4, 0) – (3, 0, 4) = (0, 4, –4)
Uma equação vetorial da reta GH poderá ser (x, y, z ) = ( 3, 0, 4) + k (0, 4, –4) , k ∈ IR
14
y
x
C
B
H
F
G
E
A
O
z
15
3. a. g(x ) = �4x –
2
3
�
As coordenadas do ponto de interseção do gráfico de g com o eixo das abcissas são ��4
3
�, 0� , pois:
�
4x –
2
3
� = 0 ⇔ x = �
4
3
�
As coordenadas do ponto de interseção do gráfico de g com o eixo das ordenadas são �0, – �2
3
�� , pois:
y = �
4 ×
2
��
0 – 3
� ⇔ y = – �
2
3
�
b. 3 = g (1) ⇔ 3 = �a ×
2
��
1 – 3
� ⇔ a = 9
c. Se a = 0 , g (x ) = – �
2
3
� , e o gráfico de g é uma reta paralela ao eixo das abcissas.
d. Para que a função g seja decrescente o declive da reta que é o seu gráfico tem de ser negativo, ou seja, 
g é decrescente se a ∈ IR– .
4. a. Não, porque o contradomínio de f é [–1, + �[ e –2 não pertence a este intervalo.
b.
c.
d. A função f não é injetiva, pois, por exemplo, –2 � 2 , mas f (–2) = f (2) .
e. A função f não é par, pois o seu domínio não contém os simétricos de alguns dos seus elementos. Por
exemplo, 5 pertence a Df e –5 não pertence a Df , pelo que não se pode afirmar que f (–5) = f (5) .
5. A função f é da família das funções quadráticas definida por y = a (x + h)2 + k , com a ≠ o e h , k ∈ IR .
• O vértice da parábola tem coordenadas (–h, k ) e o eixo de simetria é a reta de equação x = –h . Como o eixo
de simetria tem equação x = – 3 , temos h = 3 . Assim, rejeitamos a opção(C).
• Como o contradomínio da função f é ]–�, 5] , temos que k = 5 , em que 5 é o máximo absoluto da função
atingido em x = – 3 . Assim, rejeitamos a opção (B).
• Como f (2) = 0 , temos que 0 = a (2 + 3)2 + 5 ⇔ a = – �5
1
� . Assim, rejeitamos a opção (D). A opção correta é a
opção (A).
x –4 –2 0 2 +�
f (x ) 5 –1 0 –1
Máximo 
relativo
Mínimo 
absoluto
Máximo 
relativo
Mínimo 
absoluto
x –4 –3 0 3 +�
f (x ) 5 + 0 – 0 – 0 +
16
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS DO MANUAL
VOLUME 1
GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO II
PÁG. 12
5. Sendo x o comprimento do tabuleiro à esquerda do alicerce prin-
cipal e y o comprimento do tabuleiro à direita desse alicerce,
o comprimento da ponte é dado por x + y , com �
10
x
0
� = tg 21o ⇔
⇔ x ≈ 260,509 e �10
y
0
� = tg 16o ⇔ y ≈ 348,741 . Logo, a ponte mede,
aproximadamente, 609 m.
6.
�
5
x
� = cos 40o ⇔ x ≈ 3,830
�
5
h
� = sen 40o ⇔ h ≈ 3,214
�
y
h
� = tg 25o ∧ h ≈ 3,214 ⇔ y ≈ 6,892
AB�� = x + y ≈ 10,72 dm e �
BC�
h
� = sen 25o ⇔ BC�� ≈ 7,60 dm
PÁG. 13
7.
a. �
AC�
15
� = cos 30o ⇔ AC�� ≈ 17,3 cm
b. �
15
BC�
� = tg 30o ⇔ BC�� = 15 tg 30o
BD��2 = AB��2 – AD��2 ⇔ BD��2 = 152 – (15 tg 30o )2 ⇔ 
⇔ BD�� = �15�0� (cm)
Vprisma = (15 tg 30o)2 × �15�0� ≈ 918,6 (cm3)
PÁG. 16
10. 4 cos x + 3 sen x = 5 
⇔
cos x = �
5 – 3 sen x
4
�� 
⇔
sen2 x + cos2 x = 1 sen2 x + x = 1
⇔
cos x = �
5 – 3 sen x
4
��
⇔
16 sen2 x + 25 – 30 sen x + 9 sen2 x = 16
⇔
cos x = �
5 – 3 sen x
4
��
⇔
25 sen2 x – 30 sen x + 9 = 0
⇔
cos x = �
5 – 3 sen x
4
��
⇔
cos x = �
5
4
�
(5 sen x – 3)2 = 0 sen x = �
5
3
�
Logo, cos x – sen x = �
5
4
� – �
5
3
� = �
5
1
�.
11.
a. �
sen2 �
1 + cos �
� = �
1 – cos2�
1 + cos �
� = = 1 – cos �
b. (cos � – sen �)2 – 2 = cos2 � + sen2 � – 2 sen � cos � – 2 =
= – 1 – 2 sen � cos � = –(1 + 2 sen � cos �) = – (sen � + cos �)2
12. = =
= = = = cos �
PÁG. 17
14. Sendo h a altura do trapézio, temos: �
5
h
� = sen 45o ⇔ h = �
5�
2
2�
, 
Atrapézio = �
12 + 3
2
�
5�
2
2�
= �
75�
4
2�
PÁG. 27
3.
Sejam l a largura do rio e h a altura do penhasco. Tem-se:
�
h
l
� = tg 62o l = h tg 62o ––––––––– 
⇔ h tg 62°
––––––––
⇔ 26 tg 52°
–––––––––
⇔
�
h +26
l
� = tg 52o h + 26 
= tg 52o h =
tg 62o – tg 52o
⇔ ––––––––– ⇔ l ≈ 104 m 
h ≈ 55 m –––––––––
7. 
a. (cos x – sen x) ·�
tg x
sen x
= (cos x – sen x) · �
sen
sen x
x · cos x
� =
= (cos x – sen x) ·�
1
cos x
= 1 – tg x
b. tg x �cos x +�1 – sen
2 x
sen x � = �
sen x
cos x �cos x + �
cos2 x
sen x � = sen x + cos x
8. 2 – (cos x – sen x)2 – 2 cos x sen x = 
= 2 – (cos2 x + sen2 x – 2 sen x cos x) – 2 cos x sen x = 
= 2 – 1 + 2 sen x cos x – 2 cos x sen x = 1
(1 + cos α) · (1 – cos α)
��
1 + cos α
1
���
�
s
c
e
o
n
s �
�
� × sen � + cos �
1
���
tg � × sen � + cos �
1
�
�
co
1
s �
�
1
��
�
sen2 �
co
+
s
c
�
os2 �
�
1
���
�
s
c
e
o
n
s
2
�
�
� + cos �
(5 – 3 sen x)2
���
16
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
25°40°
5 dm
h
x yA B
C
38°
28°
A D
C
B
l
26 m
h
52°
62°
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
17
9.
a. �
3
h
� = tg 45o ⇔ h = 3 × 1 = 3 ; h = 3 cm
b. BC��2 = 32 + 32 ⇔ BC�� = �18� = 3�2� ; BC�� = 3�2� cm
c. Ptrapézio = 8 + 3 + 11 + 3�2� = 22 + 3�2� (cm)
10.
a. Como o hexágono é regular, o triangulo [ODE] é equilátero. 
Portanto, a amplitude do ângulo ODE é 60o.
b. Seja h a altura do triângulo [DOE ] . Então, �
4
h
� = tg 60o ⇔
⇔ h = 4�3� ; h = 4�3� cm
c. Ahexágono = 6 ×�
8 × 4�
2
3�
= 96�3� ; Ahexágono = 96�3� cm2
PÁG. 28
1.
A distância a que os dois amigos se encontravam é dada por 
x + y , onde x e y são tais que:
�
x
368
� = tg 45o x = �
tg 45o
368
� x = 368
⇔ ⇔ 
�
y
368
� = tg 65o y = �
tg 65o
368
� y ≈ 171,601
Logo, x + y ≈ 540 m.
2.
Onde c é o comprimento do poste.
a. = sen � ⇔ � = sen–1 � � ⇔ � ≈ 19,5o
b. ��4
3
� c�
2
= ��4
1
� c�
2
+ 32 ⇔ c 2 = 18 ⇔ c = �18� = 3� 2�; 3� 2�m
3.
a. = cos � ⇔ � = cos –1 ���2
2�� ⇔ � = 45o
b. Como EÂD = EĈA = 45o. Conclui-se que AÊC = 90.o
c. Sendo = tg 45o ⇔ h = ��
2
2� 
a , tem-se 
Vpirâmide = �3
1
� × a 2 × ��
2
2� 
a =�
�
6
2�a 3 
PÁG. 29
4.
3—
4
c
1—
4
c
�
1
�
3
�
4
1
� c
�
�
4
3
� c
�
2
2�
� a
�
a
h
�
�
�
2
2�
� a
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
B A
D E8
FC O
4
h
��2a
a
a
a
�
A B
D C
A
3 87° 46
C
O
D
r
r
x y
45° 65°60°
368
A B8
CDE 3
45°
18
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS DO MANUAL
�
r + 3
r
� = sen (87o 46’) ⇔ r = �
1
3
–
s
s
e
e
n
n
(8
(8
7
7
o
o
4
4
6
6
’)
’)
� ⇔
⇔ r ≈ 3946,521 milhas 
r ≈ 6350 km
5.
[ABCD ] é um trapézio isósceles. A base maior mede 12 cm, 
o lado AD mede 6 cm e o ângulo � tem 55o de amplitude.
5.1 a. �
6
DE�
� = sen 55o ⇔ DE� = 6 sen 55o ⇔ DE� ≈ 4,9 (cm)
b. �
6
AE�
� = cos 55o ⇔ AE� = 6 cos 55o ⇔ AE� ≈ 3,4 (cm)
5.2 DB�2 = DE�2 + EB�2 ⇔ DB�2= (6 sen 55o)2 + (12 – 6 cos 55o)2 ⇔
⇔ DB� ≈ 9,9 (cm)
5.3 �
DF�
CD�
� = tg � ⇔ �
6 sen 55o –2 
12 – 12 cos 55o
� = tg � ⇔
⇔ � = tg–1 ��6 sen 55o
12 – 12 cos 55o
�� ⇔ � ≈ 60o
5.4 AF�2 = 22 + (6 cos 55o)2 ⇔ AF� ≈ 3,98 (cm) ,
FC� = AC� – AF� ⇔ FD� ≈ 5,92 (cm)
P [EFDB] ≈ 2 + 5,92 + 6 + 12 – 3,44 ≈ 22,5 (cm)
PÁG. 30
6.
x + y = 9 y = 9 – x –––––––––
�
h
x
� = tg 40o ⇔ h = x tg 40o ⇔ ––––––––– ⇔
�
h
y
� = tg 70o h = (9 – x ) tg 70o x tg 40o = (9 – x ) tg 70o 
––––––––– ––––––––– y ≈ 2,106
⇔ ––––––––– ⇔ ––––––––– ⇔ h ≈ 5,785
x = �
tg 40o + tg 70o
9 tg 70o
� x ≈ 6,894 ––––––––– 
a2 = h 2 + x 2 ⇔ a ≈ 8,9996 (m) , b 2 = h 2 + y 2 ⇔ b ≈ 6,156 (m)
O comprimento total dos cabos é dado por a + b ≈ 15,16 (m) .
7.
a. A área da zona colorida a amarelo pode obter-se da seguinte forma:
começamos por determinar metade da área do círculo 2 (ilustrado
na Fig. 1). De seguida, determinamos a área do setor circular de cen-
tro em A , raio AC e amplitude 2� (ilustrado na Fig. 2). Por fim, é
necessário subtrair a área do triângulo [ACE ] , para que não seja
contabilizada duas vezes (Fig. 3).
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
�
A
D
E
F
C
B
55°
6
12
Fig. 1
40° 70°
9 m
a b
x y
h
�
A
c2
c1
B
C
D
�
A
c2
c1
B
C
E
D
�
A
c2
c1
B
C
E
D
Fig. 2
19
�
2
Ac2 = �
2
� × CD�
�
2
Como �
AC�
CD�
� = sen � e AC� = 10, tem-se CD� = 10 sen � . Então,
�
2
Ac2 = �
2
� × (10 sen �)2
� = 50� sen2 � .
A setor circular = �360
� × 10 × 2�
� = �
9
5
� ��
A [ACE ] = �2
CE�×AD�
�
Como CE� = 2 × CD� = 20 sen � e �
AC�
AD�
� = cos � ⇔ AD� = 10 cos � ,
tem-se A[ACE ] = �2
20 sen � × 10 cos � 
�� = 100 sen � cos � .
Logo, a área pretendida é 50 � sen2 � + �
9
5
� �� – 100 sen � cos � .
b. O valor exato dessa área para � = 60o é:
50� sen2 60o + �
9
5
� � × 60 – 100 sen 60o cos 60o = �4
6
25�
� – 25�3� cm2
PÁG. 47
28. Como – 1 ≤ sen � ≤ 1 , tem que se ter – 1 ≤ �k
2
2
– 3
� ≤ 1 .
– 1 ≤ �k
2
2
–3
� ≤ 1 ⇔ �k
2
2
–3
� ≥ –1 ∧�k
2
2
–3
� ≤ 1 ⇔ k 2 ≥ 1 ∧ k 2 ≤ 5 ⇔
⇔ (k ≤ –1 ∨ k ≥ 1) ∧ (k ≥ –�5� ∧ k ≤ �5� ) ⇔
⇔ k ∈ [–�5� , –1] ∪ [1, �5� ]
PÁG. 53
32. A partir do cosseno de �, pode obter-se o seno de � :
sen2 + cos2 � = 1 ⇔ sen � = +–�1 –���–��41���
2� ⇔ sen � = +– ��415��
Como � ∈ ]�2
�
�, �[ , sen � = ��4
15�
� .
De tg � = �
sen �
cos �
� conclui-se que tg � = = –�15�
Assim, tg � – sen � = –�15� – ��
4
15�
� = – �
5�
4
15�
� .
33. A partir do valor da tangente é possível determinar o valor do
cosseno, como se segue:
tg2 � + 1 = �
cos
1
2 �
� ⇔ �– �3
1
��
2
+ 1 = �
cos
1
2 �
� ⇔ cos2 � = �
1
9
0
� ⇔
⇔ cos � = +– �
3�
10
10�
�
Como � ∈��32
�
�, 2�	 , cos � = �3�10
10�
� .
Agora, a partir do cosseno, pode obter-se o seno de � :
sen2 � + cos2 � = 1 ⇔ sen � = +–�1 –����3��1�01�0����2� ⇔
⇔ sen � = +– �
�
10
10�
�
Como � ∈ ��32
�
�, 2�	 , sen � = – ��10
10�� .
Assim, sen � cos � = – �
�
10
10�
� × �
3�
10
10�
� = – �
1
3
0
� .
PÁG. 56
35.
a. cos (� + �) – cos (� – �) = –cos � – (–cos �) = 0
b. sen (� – �) – sen (� + �) = sen � – (–sen �) = 2 sen �
c. tg (� – �) cos (� + �) = –tg � (–cos �) = – �
s
c
e
o
n
s �
�
� (–cos �) = sen �
PÁG. 58
36. Tem-se cos(–�) = – �
5
2
� ⇔ cos � = – �
5
2
�
Simplificando a expressão dada, obtém-se: 
sen (–�) – 2tg (� – �) – cos (� + �) = –sen � – 2 (–tg �) – (– cos �) =
= –sen � + 2 tg � + cos �
A partir do cosseno, pode obter-se o seno de � :
sen2 � + cos2 � = 1 ⇔ sen � = +–�1 –���–��52���
2� ⇔ sen � = +– ��521��
Como � ∈ ]–�, 0[ , sen � = – �
�
5
21�
� .
Agora, a partir do seno e do cosseno, obtém-se a tangente de � : 
tg � = �
�
2
21�
� 
�
�
4
15�
�
�
– �
4
1
�
Fig. 3
�
A
c2
c1
B
C
E
D
20
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS DO MANUAL
Assim, o valor exato da expressão dada é: 
�
�
5
21�
� + 2 × �
�
2
21�
� + �– �5
2
�� = �6�25
1� – 2
�
PÁG. 59
38. Tem-se cos ��2
�
� – x� = – �1
5
3
� ⇔ sen x = – �
1
5
3
� .
Simplificando a expressão dada, obtém-se:
sen (–x ) tg ��2
�
� –x� – sen (–x ) = –sen x �tg
1
x
� + sen x = –cos x + sen x 
A partir do seno, pode-se obter o cosseno de x :
sen2 x + cos2 x = 1 ⇔ cos x = +–�1 –���–��153����
2� ⇔ cos x = +– �1132�
Como x ∈ ��23
�
�, �
3
2
�
�	 , o cos x é negativo. 
Logo, cos x = – �
1
1
3
2
� .
Assim, o valor exato da expressão dada é – �– �1
1
3
2
�� – �1
5
3
� = �
1
7
3
� .
39. tg ��2
�
� – x� tg x – cos ��2
�
� – x� sen (� – x ) = �tg
1
x
� tg x – sen x sen x = 
= 1 – sen2 x = cos2 x
PÁG. 61
41.
a. A = A[ABCD ] – A[ADP ] = 42 – 
�
A�
D�
D�
P�
� = tg x ⇔ DP� = �
t
4
g x
�
A área da região colorida é, portanto, dada por: 
16 – = 16 – �
tg
8
x
�
b. cos �x + �2
�
�� = – �1
1
3
2
� ⇔ sen x = �
1
1
3
2
�
sen2 x + cos2 x = 1 ⇔ cos x = +–�1 –����1132����
2� ⇔ cos x = +– �153�
Como x ∈ � , 	 , cos x = �1
5
3
� .
tg x = �
1
5
2
�
Logo, A = 16 – = �
3
3
8
� .
PÁG. 78
2.
a. A = = (cm2)
b. B �3 cos ��56���, 3 sen ��56�� �� , ou seja, B �– , �23�� .
c. A[OBB’ ] = = (cm2)
PÁG. 79
3.
3.1 Determinemos as coordenadas do ponto C :
x 2 + y 2 = 1 
⇔
x = �
�
6
6�
�
y = �5�x y = ��
6
30�
�
sen � = �
�
6
30�
� , cos � = e tg � = = �5�
3.2 
a. sen (� – �) = �
�
6
30�
� , cos (� – �) = – , tg (� – �) = –�5�
c. sen (–�) = – �
�
6
30�
� , cos (–�) = , tg (–�) = –�5�
4.
a. O ponto Q pertence à circunferência trigonométrica, pois:
�– ��3
3�
��
2
+ ���3
6�
��
2
= 1
b. O ponto P está no 4.o quadrante e pertence à reta que passa pela 
origem e pelo ponto Q . Logo, P ���3
3�
� , – �
�
3
6�
�� .
c. � = + �
tg � = tg � + �� = –
cos (� + �) = – �
�
3
3�
� ⇔ cos � = �
�
3
3�
� , sen (� + �) = �
�
3
6�
� ⇔
D�P� × A�D�
��
2
�
tg
4
x
� × 4
��
2
�
�
2
�
�
4
8
�
�
1
5
2
�
15�
�
4
�
5
6
�
� × 32
�
2
3�3�
�
2
�
6�
2
3�
� × �
2
3
�
�
2
�30�
�
�6�
�6�
�
6
�
�
2
9�3�
�
4
�6�
�
6
�6�
�
6
1
�
tg �
�
�
2
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
b. sen (� + �) = – �
�
6
30�
� , cos (� + �) = – , tg (� + �) = �5��6��
6
d. sen � – �� = , cos � – �� = ��6
30�
� , tg � – �� =��2
�6�
�
6
�
�
2
�
�
2
�5�
�
5
sen � = sen � + �� = cos � , cos � = cos � + �� = –sen � , ��2
�
�
2
21
sen � = �
�
3
3�
� , cos � = �
�
3
6�
� , tg � = �
�
2
2�
�
PÁG. 80
5. cos (� – �) + cos � + �� + tg (–�) = – cos � – sen � – tg � = 
6.
a. A (cos �, sen �) , C (cos �, –sen �)
b. A[ABC ] = �
A�C� ×
2
h
� = = sen � (1 + cos �)
c. Se o triângulo [ABC ] for equilátero, os seus ângulos internos têm
�
�
3
� rad de amplitude. Assim, o ângulo OBA tem de amplitude ��
6
� .
Como α é o ângulo ao centro correspondente ao ângulo inscrito
OBA , a sua amplitude é o dobro da amplitude de OBA . Logo, � = ��
3
�
l = A�C� = 2 sen ��
3
� = �3�
d. Recorrendo à fórmula da alínea b, tem-se: 
A���3�� = sen ��3� �1 + cos ��3�� = 
PÁG. 87
47.
a. = cos � ⇔ AC� = 20 cos � , 
f (�) = 10 + 10 + 20 cos � = 20 + 20 cos �
b. Df = �0, � , Df’ = ]20, 40[ 
PÁG. 89
50. Tem-se g (–x ) = cos � – x� = sen x = –cos � + x� = –g (x ) . 
Logo, a função g é ímpar.
PÁG. 93
52.
a. Seja h a altura do trapézio. Tem-se �
h
2
� = tg x ⇔ h = 2 tg x . 
Logo, A(x) = �
8 +
2
4
� × 2 tg x = 12 tg x .
b. DA = �0, � , DA’ = ]0, + �[ 
c. A� � = 12 tg � � = 12�3�
PÁG. 116
1.
a. A expressão sen(100�t) toma todos os valores do intervalo 
[–1, 1] se t toma todos os valores do intervalo [0, +∞[ . Logo, a fun-
ção V (t ) toma todos os valores do intervalo [–330, 330] e, por-
tanto, o valor máximo da tensão elétrica é 330 V.
b. V(t) = 0 ⇔ 330 sen (100�t) = 0 ⇔ sen (100�t) = 0 ⇔
⇔ 100�t = 0 + k� , k ∈ INo ⇔ t = 0,01k , k ∈ INo
O valor da tensão elétrica é nulo 100 vezes por segundo.
c. V (t ) = Vef ⇔ 330 sen (100�t ) = ⇔ sen (100�t ) = ⇔
⇔ t = 0,0025 + 0,02 k ∨ t = 0,0075 + 0,02, k ∈ INo
Para k = 0 , t = 0,0025 segundos.
2.
a. T (2) = 8 + 3 cos ��(2 +12
7) �
�� = 8 – ≈ 5,9 oC
Às 2 horas desse dia a temperatura foi, aproximadamente, 5,9
graus Celsius.
b. Se t toma todos os valores do intervalo [0, 24[ , toma 
e, portanto, a expressão cos � � toma todos os valores do 
intervalo [–1, 1] . Logo, a função T (t ) toma todos os valores do in-
tervalo [5, 11] . A temperatura mínima foi 5 oC e a temperatura
máxima foi 11 oC.
T (t ) = 8 + 3 cos � � = 5 ⇔ cos � � = – 1 ⇔
A temperatura mínima ocorreu às 5 horas.
�
�
2
�
�
2
2 sen � (1 + cos �)
��
2
3�3�
�
4
A�C�
�
�
1
2
0
�
�
�
2
�
�
2
�
�
2
�
�
3
�
�
3
�2�
�
2
330
�
�2�
3�2�
�
2
(t + 7) �
�
12
(t + 7) �
�
12
(t + 7) �
�
12
(t + 7) �
�
12
4
8 AD
C B
x
h
10
AC
B
�
⇔ sen � = – , tg � = �sen �
cos �
� = – �2��6��
3
= –0,6 + 0,8 – �– �43�� =
23
�
15
c. f � � = 20 + 20 cos � � = 20 + 10�2���4
�
�
4
⇔ 100�t = + k 2� ∨ 100 �t = + k 2�, k ∈ INo ⇔
�
�
4
3�
�
4
todos os valores do intervalo � , � que tem amplitude 2�7��12
31�
�
12
⇔ = � + 2k� , k ∈ ZZ ⇔ t = 5 + 24k , k ∈ ZZ(t + 7) ��
12
22
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS DO MANUAL
T (t ) = 11 ⇔ 8 + 3 cos � � = 11 ⇔ cos � � = 1 ⇔
⇔ = 0 + 2k� , k ∈ ZZ ⇔ t = –7 + 24k , k ∈ ZZ
A temperatura máxima ocorreu às 17 horas.
c. O António pôde ir brincar para a rua durante 6 horas e 25 minutos.
3.
a. Tem-se = cos � ⇔ A�B� = 2 cos � . Logo, f (�) = 2 cos � .
b. Tem-se A[ABC ] = e = sen � . 
Logo, g (�) = = sen � cos � .
c. D = �0, �
d. A função g é não injetiva, pois, por exemplo, 
g � � = g � � e ≠ .
f. Não existe nenhum valor de � para o qual a área do triângulo [ABC ]
seja uma unidade quadrada, pois o máximo das funções seno e cos-
seno é 1, mas não ocorre nas duas funções para o mesmo valor de � .
PÁG. 117
4.
a. A[ABC ] = 
= cos � ⇔ A�C� = 6 cos �
= sen � ⇔ B�C� = 6 sen �
Logo, A(�) = = 18 cos � sen � . 
b. No referencial seguinte apresenta-se o gráfico da função A . 
A área máxima do triângulo [ABC ] é 9 dm2, para � = . Nesse
caso, o triângulo é isósceles.
c. A� – �� = 18 cos � – �� sen � – �� = 18 sen � cos � =A (�) 
d. 1 + tg2 � = ⇔ 1 + 32 = ⇔ cos � = 
sen � = �1 –�����2� ⇔ sen � = 
A(�) = 18 × × ⇔ A (�) = 5,4
A área do triangulo é 5,4 dm2 .
A�B�
�
2
h
�
1
A�B� × h
��
2
2 cos � sen �
��
2
�
�
2
�
�
6
�
�
3
�
�
6
�
�
3
(t + 7) �
�
12
(t + 7) �
�
12
(t + 7) �
�
12
A�C� × B�C�
��
2
A�C�
�
6
B�C�
�
6
6 cos � 6 sen �
��
2
�
�
4
�
�
2
�
�
2
�
�
2
	10�
�
10
1
�
cos2 �
1
�
cos2 �
	90�
�
10
	10�
�
10
	10�
�
10
	90�
�
10
A B
C
h
11
�
0
(0,79; 9)
4
2
6
8
�—
2
x
y
�—
4 
 0,79
0
(13,79; 10) (20,21; 10)
2
6
10
2 6 10 14 18 22 t
T
A B
C
�
6
e. � ∈�0, �∧ f (�) = 	2� ⇔ 2 cos � = 	2� ∧ � ∈�0, �⇔��2
�
�
2
⇔ cos � = ⇔ cos � = ∧ � ∈�0, � ⇔ � = ��4	2��2
�
�
2
	2�
�
2
23
5.
a. Tem-se: = cos � ⇔ A�B� = 4 cos �
= sen � ⇔ B�C� = 4 sen �
Logo A(�) = � × 22 – 4 cos � 4 sen � = 4 � – 16 sen � cos � .
b. A� � = 4 � – 16 sen� � cos � � = 4 � – 4�3�
c. 1 + tg2 � = ⇔1 + � �
2
= ⇔ cos � = 
sen � = �1 –�����
2
� ⇔ sen � = ��55�� 
A(�) = 4 � – 16 ×�
�
5
5�
� × ⇔ A(�) = 4� – �3
5
2
�
d. No referencial seguinte apresenta-se o gráfico da função A . 
� ∈ ]0,2; 1,4[
PÁG. 118
6.
E�C�2 = 12 + 22 ⇔ E�C� = �5� 
Como E�C� = E�H� , tem-se E�H� = �5� 
= sen � ⇔ H�I� = �5� sen �
D�I� = E�I� – 1 = �5� cos � – 1
A(�) = × (�5� cos � – 1)
b. D = ]0, tg–1 (2)[
c. A � � = × ��5� cos ��4
�
�� – 1� = �4
3
�
d. No referencial seguinte apresenta-se o gráfico da função A . 
A área máxima do trapézio [HIDG] é aproximadamente 0,83 
para α� 0,63 .
7.
a. A[ABCD ] = × h , sendo h a altura do trapézio.
= cos � ⇔ B�C� = 6 cos � , A�D� = 3 + �3
2
� = �
9
2
�
A�B�
�
4
B�C�
�
4
�
�
6
�
�
6
�
�
6
2�5�
�
5
1
�
cos2 �
1
�
2
1
�
cos2 �
2�5�
�
5
2�5�
�
5
H�I�
�
�5�
�5� sen � + tg �
��
2
�5� sen ��4
�
�� + tg ��4
�
��
���
2
�
�
4
B�C� + A�D�
��
2
�
B�C�
2
�
�
3
B
A3
�
D
C
O
y
x
3—
2
-
0
(0,2; 10) (1,4; 10)
4
2
6
8
10
12
14
�
—
2
x
y
O
D C
A B
�
4
�
A F
H
E D
C
I
B
G
2
1
0
(0,63; 0,83)
0,5
1
x
y
= tg � ⇔ D�G� = tg �D�G��
1
= cos � ⇔ E�I� = �5� cos �
E�I�
�
�5�
a. A[HIDG ] = ×D�I�
H�I� + D�G�
�
2
24
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS DO MANUAL
A(�) = × 3 sen � = 9 sen � cos � + �2
4
7
� sen �
b. A� � = 9 sen � � cos � � + �24
7
� sen � � = + �28
7
�
c. 1 + tg2 � = ⇔ 1 + ��4
1
��
2
= ⇔ cos � = 
sen � = �1 –�����2� ⇔ sen � = 
A(�) = 9 × × + × = + 
d. Quando o trapézio [ABCD ] é retângulo cos � = = �
2
1
� e � = .
O valor exato da área do trapézio é: 
A� � = 9 sen � � cos � � + �24
7
� sen � � = 
PÁG. 119 
8.
a. A = A�E� × E�T� , = cos β ⇔ E�T� = 
A(�) = 10 × = 
b. D = �0, �
d. A(�) = 125 ⇔ = 125 ⇔ � = cos–1 � �⇔ � 	 0,64 rad
e. A afirmação é falsa, pois se o ponto T coincidir com o ponto
médio da aresta [FG ] , tg � = �
1
5
0
� = �
2
1
� , mas tg � �	 0,41 .
PÁG. 135
79. AB
→
= B – A = (–4, –1) , AD
→
= D – A = (1, –4)
AB
→
• AD
→
= (–4, –1) • (1, –4) = – 4 × 1 + 1 × 4 = 0
Logo, AB
→
e AD
→
são perpendiculares.
BA
→
= A – B = (4, 1) , BC
→
= C – B = (1, –4)
BA
→
• BC
→
= (4, 1) • (1, –4) = 4 × 1 – 1 × 4 = 0
Logo, BA
→
e BC
→
são perpendiculares.
CB
→
= B – C = (–1, 4) , CD
→
= D – C = (4, 1)
CB
→
• CD
→
= (–1, 4) • (4, 1) = – 1 × 4 + 4 × 1 = 0
Logo, CB
→
e DC
→
são perpendiculares.
DC
→
= C – D = (–4, –1) , DA
→
= A – D = (–1, 4)
DC
→
• DA
→
= (–4, –1) • (–1, 4) = 4 × 1 – 1 × 4 = 0
Logo, DC
→
e DA
→
são perpendiculares.
Como os vetores definidos por lados consecutivos são perpendi-
culares e têm todos normas iguais, concluímos que o quadrilátero
[ABCD ] é um quadrado.
PÁG 143
91. x 2 – 5x + y 2 – 2y + z 2 + 4z + 7 = 0 ⇔
⇔ �x – �52��
2
+ (y – 1)2 + (z + 2)2 + 7 – �
2
4
5
� – 1 – 4 = 0 ⇔
⇔ �x – �52��
2
+ (y –1)2 + (z + 2)2 = �
1
4
7
�
C ��52� , 1 , –2� r = 
PÁG 154
18. B (3, 7, 0) e CD
→
= 2
a. AD
→
= D – A = (0, 7, 2) – (3, 0, 0) = (–3, 7, 2)
DB
→
= B – D = (3, 7, 0) – (0, 7, 2) = (3, 0, –2)
b. cos (AD B̂D ) = = 
= =
AD B̂D = cos–1 � �	 63o
PÁG. 155
24. u→ ⊥ v→ ⇒ u→ • v→ = 0 ⇔ (k, 3 – k ) • (2, –k ) = 0 ⇔
⇔ k × 2 + (3 – k )(–k ) = 0 ⇔ k 2 – k = 0 ⇔ k = 0 ∨ k = 1
17�
�
2
|(–3, 7, 2) • (3, 0, –2)|
���
||(–3, 7, 2)|| ||(3, 0, –2)||
13
��
62� 
13�
| – 3 × 3 + 7 × 0 – 2 × 2|
������
(–�3)�2 +� 7�2 +� 2�2� 
32� +� (–�2)�2�
13
��
62� 
13�
4
17�
�
17
1
�
cos2 �
1
�
cos2 �
17�
�
17
4
17�
�
17
27
17�
�
68
36
�
17
17�
�
17
27
�
4
4 × 
17�
�
17
17�
�
17
�
�
3
�
3
2
�
�
3
45
3�
�
8
�
�
3
�
�
3
�
�
3
�
�
3
10
�
cos �
10
�
E�T�
100
�
cos �
10
�
cos �
�
�
4
100
�
125
100
�
cos �
�
�
8
9
3�
�
4
�
�
6
�
�
6
�
�
6
�
�
6
6 cos � + �
9
2
�
��
2
�
A B
H
D
E
G
C
T
F
10
�
h
3
� = sen � ⇔ h = 3 sen �
Se β = 0 , a seção coincide com o quadrado [ABFE ]
e A = 10 × 10 = .100�
cos 0
c. A� � = = ��6 100�cos �(�6)
200
3�
�
3
25
PÁG. 156
32. Seja P (x ,y) um ponto da circunferência:
PA
→
• PB
→
= 0 ⇔ (2 – x, –1 –y ) • (–1 – x, 1 – y ) = 0 ⇔
⇔ (2 – x )(–1 – x ) + (–1 –y ) (1 – y ) = 0 ⇔ x 2 – x + y 2 – 3 = 0
33.
a. A (–2, –2) , B(1, 2) , M � , �⇔ M �– �2
1
�, 0�
b. Seja P (x ,y) um ponto da mediatriz.
Equação da mediatriz do segmento de reta [AB ] :
MA
→
• MP
→
= 0 ⇔ �– �32� , – 2� . �x + �2
1
� , y� = 0 ⇔
⇔ – �3
2
� �x + �2
1
�� – 2y = 0 ⇔ 6x + 8y = –3
35. Comecemos por determinar uma equação da reta r . Seja P (x, y )
um ponto de r .
AB
→
• BP
→
= 0 ⇔ (2, 2) • (x – 4, y – 3) = 0 ⇔
⇔ 2(x – 4) + 2(y – 3) = 0 ⇔ x + y – 7 = 0
As coordenadas dos pontos de interseção da reta r com os eixos
coordenados são (7, 0) e (0, 7) .
PÁG. 157
39. A equação dada define o plano mediador do segmento [AB] .
A(0, –3, 2) e B (1, 1, –4) . 
M � , , � ⇔ M ��2
1
� , –1, –1�
AB
→
• MP
→
= 0 ⇔ (1, 4, –6) • �x – �12� , y + 1, z + 1� = 0 ⇔
⇔ x – �
2
1
� + 4( y + 1) – 6(z + 1) = 0 ⇔ 2x + 8y – 12z – 5 = 0
PÁG. 158
3.
a. OA
→
= A – O = (xA , 0) , OB
→
= B – O = (xB , yB ) 
b. OA
→
• OB
→
= (xA , 0) • (xB , yB ) = xA xB
c. H (xB , 0)
d. OA
→
• OH
→
= (xA , 0) • (xB , 0) = xA xB = OA
→
• OB
→
PÁG. 159
6. r : 2x + y – 3 = 0 ⇔ y = – 2x + 3
a. 6 = –2x + 3 ⇔ x = – 
b. P ∈ r ∧ P (2, k ) ⇔ k = –2 × 2 + 3 ⇔ k = –1
c. 5 = – 2 × (–1) + b ⇔ b = 3 , s : y = –2x + 3
d. t : y = – �
–
1
2
� x ⇔ y = �
2
1
� x
e. (x, y ) = (0, 3) + k (2, 1) , k ∈ IR
f. 0 = �
2
1
� × 5 + b ⇔ b = – �5
2
� , y = �
2
1
� x – �
5
2
�
g. No plano, existem infinitas retas perpendiculares à reta r .
h. y = �
2
1
� x + b , b ∈ IR 
7. Sejam A (–3, 1) e B (1, –2) . C (x, y ) é o ponto tal que o triângulo
[ABC ] é retângulo em A e tem área 25.
Tem-se AB
→
= (4, –3) e, portanto A�B� = ||AB
→
|| = 5 .
Como a área do triângulo [ABC ] é 25 e A�B� = 5 , 
tem-se = 25 ⇔ A�C� = 10 . Então, AC
→
é um vetor per-
pendicular a AB
→
com o dobro da norma do vetor: AC
→
= (6, 8) ou
AC
→ 
= (–6, –8).
Portanto, C = A + (6, 8) = (3, 9) ou C = A + (–6, –8) = (–9, –7).
O ponto C tem coordenadas (3, 9) ou (–9, –7) .
PÁG. 161
12.
a. A(1, –2) , B (–1, 0) e M (0, –1) .
A equação reduzida da reta r , mediatriz de [AB ] é dada por 
AM
→ 
• MP
→ 
= 0 ⇔ (–1, 1) • (x, y + 1) = 0 ⇔ –x + y + 1 = 0 ⇔ y = x – 1 .
A equação reduzida da reta s é y = – x – 1 .
b. Como a circunferência tem centro em A e passa pela origem do
referencial, o raio é � 12 + (–2)2�= �5� e a equação da circuferência
é (x – 1)2 + (y + 2)2 = 5 . 
c. Uma condição que define a parte colorida da figura é:
(x – 1)2 + (y + 2)2 < 5 ∧ y > –x – 1 ∧ y < x – 1 . 
14.
a. A(3, 0) , B (0, 4) , D (–3, 0) , E (3, 8)
AB
→
= B – A = (3, –4) , AB : y = – �
4
3
�x + 4 
DE
→
= E – D = (6, 8) , DE : y = �
4
3
�x + 4
b. ��y ≥ – �43� x + 4 ∧ y ≥ �
4
3
�x + 4� ∨
PÁG. 175 
110. (a, 3, 4) • (a, 1, –a) = 0 ⇔ a 2 – 4a + 3 = 0 ⇔ a = 1 ∨ a = 3
–2 + 2
�
0
–2 + 1
�
2
2 – 4
�
2
–3 + 1
�
2
0 + 1
�
2
3
�
2
5 × A�C�
��
2
∨ �y ≤ – �43� x + 4 ∧ y ≤ �
4
3
�x + 4��∧ x 2 + (y – 4)2 ≤ 25
26
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS DO MANUAL
PÁG. 176
111. Tem-se �
– x
2
– 1
� = = �
2
5
z
� ⇔ = = .
Logo, um vetor diretor da reta é �–2, 3, �52�� .
Tem-se 2(x + y ) –2z = 2 – y ⇔ 2x + 3y –2z = 2 . Logo, um vetor nor-
mal ao plano é (2, 3, –2) .
Como �–2, 3, �52�� • (2, 3, –2) = –2 × 2 + 3 × 3 + �
5
2
� × (–2) = 0 , concluímos 
que a reta é paralela ao plano.
PÁG. 199
1.
a. Sendo (3, –2) o vetor diretor da reta, um vetor normal terá coor-
denadas k (2, 3) , k ∈ IR \ {0} .
b. Como o declive da reta é –2 , um vetor diretor da reta é (1, –2) 
e um vetor normal será da forma k (2, 1) , k ∈ IR \ {0} .
c. Tem-se 3x + y = 7 ⇔ y = –3x + 7 . Como o declive da reta é –3, um
vetor diretor da reta é (1, –3) e um vetor normal será da forma 
k (3, 1) , k ∈ IR \ {0} .
2. Tem-se –2(x + y ) = 3 ⇔ y = –x – �3
2
� . O declive da reta r é –1, logo 
o declive da reta s perpendicular a r é – = 1 e um vetor diretordessa reta é (1, 1) .
Equação vetorial da reta s : (x, y ) = (1, 1) + k (1, 1) , k ∈ IR .
Equação reduzida da reta s : y = x , pois 1 = 1 × 1 + b ⇔ b = 0 .
3. Um vetor diretor da reta AB é AB
→
= B – A = (3, 4) e um vetor diretor
da reta CD é CD
→
= D – C = (4, –3) . Como (3, 4) • (4, – 3) = 0 , concluí-
mos que as retas AB e CD são perpendiculares.
4. Um vetor diretor da reta AB é AB
→
= B – A = (–2, –5) e o declive 
desta reta é �
5
2
� . Logo, o declive de uma reta perpendicular à reta 
AB é – = – �
2
5
� e a equação reduzida dessa reta é da forma 
y = – �
2
5
� x + b , b ∈ IR.
6. O plano que contém o triângulo [ABC ] é o plano definido pelos
três pontos não colineares A , B e C .
Tem-se AB
→
= B – A = (–2, –4, 0) e AC
→
= C – A = (–2, 0, 2) . Seja 
n
→
(a, b, c) um vetor normal ao plano definido por A , B e C . Esse
vetor tem de verificar as condições: 
n
→⊥ AB
→
∧ n→⊥ AC
→
⇔ n→ • AB
→
= 0 ∧ n→ • AC
→
= 0 , ou seja, 
(a, b, c) • (–2, –4, 0) = 0 
⇔ 
–2a – 4b = 0 
⇔
b = – �
2
1
�a
(a, b, c) • (–2, 0, –2) = 0 –2a + 2c = 0 c = a
O vetor n
→
é da forma �a, – �2
1
�a, a� . Se considerarmos a = –2 , 
vem n
→
(–2, 1, –2) e a equação pretendida é –2x + y – 2z + d = 0 .
Subs tituindo as coordenadas do ponto B , obtém-se 
–2 × 0 – 4 – 2 × 0 + d = 0 ⇔ d = 4 . Assim, a equação do
plano que contém o triângulo [ABC ] é –2x + y – 2z + 4 = 0 .
10. Tem-se � : 2(x + y ) = 2x – z + 1 ⇔ 2y + z – 1 = 0 e � : 0 = x + z . Logo,
o plano α é paralelo ao eixo Ox , pois a primeira coordenada do
respetivo vetor normal é nula, e o plano � é paralelo ao eixo Oy ,
pois a segunda coordenada do respetivo vetor normal é nula.
PÁG. 202
1.
a. A(1, 0, 0) , B(1, 1, 0) , C(1, 1, 1) , D(1, 0, 1) , E(0, 0, 0) , F (0, 1, 0) , G(0, 1, 1) ,
H(0, 0, 1) .
b. EFG : x = 0 ; ABC : x = 1 ; ADH : y = 0 ; BCG : y = 1 ; ABF : z = 0 ; 
CDG : z = 1 .
c. Vamos determinar vetores diretores das retas que contêm as dia-
gonais faciais do cubo.
EG
→
= G – E = (0, 1, 1) , x = 0 ∧ y = z ; 
FH
→
= H – F = (0, –1, 1) , x = 0 ∧ –y = z – 1 ;
AC
→
= C – A = (0, 1, 1) , x = 1 ∧ y = z ;
BD
→
= D – B = (0, –1, 1) , x = 1 ∧ –y = z – 1 ;
AH
→
= H – A = (–1, 0, 1) , y = 0 ∧ –x + 1 = z ;
DE
→
= E – D = (–1, 0, –1) , y = 0 ∧ x = z ;
BG
→
= G – B = (–1, 0, 1) , y = 1 ∧ –x + 1 = z ;
CF
→
= F – C = (–1, 0, –1) , y = 1 ∧ x = z ;
AF
→
= F – A = (–1, 1, 0) , z = 0 ∧ –x + 1 = y ;
BE
→
= E – B = (–1, –1, 0) , z = 0 ∧ x = y ;
CH
→
= H – C = (–1, –1, 0) , z = 1 ∧ x = y ;
DG
→
= G – D = (–1, 1, 0) , z = 1 ∧ –x + 1 = y ;
2.
a. A(0, 0, 0) , B (0, 2, 0)
C (0, 1, �3�) , pois a altura do triângulo [ABC ] é determinada por
x 2 = 22 – 12 ⇔ x = �3� .
D (–5, 0, 0) , pois a altura do prisma é 5 cm.
E (–5, 2, 0) , F (–5, 1, �3� )
1
�
–1
1
�
�
5
2
�
z
�
�
5
2
�
y + 3
�
3
x + 1
�
–2
y + 3
�
3
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
z
y
x
D
H
A
E
C
G
B
F
27
b. Tem-se AC
→
= C – A = (0, 1, �3� ) e AB
→
= B – A = (0, 2, 0) . 
Logo, AC
→
• AB
→
= (0, 1, �3� ) • (0, 2, 0) = 2
c. V = × 5 = 5�3� (cm3)
d. ABE : z = 0
Tem-se AD
→
= D – A = (–5, 0, 0) e AC
→
= C – A = (0, 1, �3�) . Seja 
n
→
(a, b, c ) um vetor normal ao plano que contém a face [ACFD ] .
Esse vetor tem de verificar as condições:
n
→⊥ AD
→
∧ n→⊥ AC
→
⇔ n→ • AD
→
= 0 ∧ n→ • AC
→
= 0 , ou seja: 
(a, b, c) • (–5, 0, 0) = 0 –5a = 0 a = 0
(a, b, c) • (0, 1, �3�) = 0 
⇔ 
b + �3�c = 0 
⇔
b = –�3�c
O vetor n
→
é da forma (0, –�3�c, c ) . Se considerarmos c = 1 , vem
n
→(0, –�3� , 1) e a equação pretendida é –�3�y + z + d = 0 . Recor-
rendo às coordenadas do ponto A , obtém-se d = 0 . Assim, 
uma equação do plano que contém a face [ACFD ] do prisma é 
–�3�y + z = 0 .
Tem-se BC
→
= C – B = (0, –1, �3�) e BE
→
= E – B = (–5, 0, 0) . Seja 
n
→
(a, b, c ) um vetor normal ao plano que contém a face [BCEF ].
Esse vetor tem de verificar as condições:
n
→⊥ BC
→
∧ n→⊥ BE
→
⇔ n→ • BC
→
= 0 ∧ n→ • BE
→
= 0 , ou seja:
(a, b, c) • (0, –1, �3�) = 0 –b + �3�c = 0 b = �3�c
(a, b, c) • (–5, 0, 0) = 0 
⇔
–5a = 0 
⇔
a = 0
O vetor n
→
é da forma (0, �3�c, c ) . Se considerarmos c = 1 , vem
n
→(0, �3�, 1) e a equação pretendida é �3�y + z + d = 0 . Recorren -
do às coordenadas do ponto B , obtém-se d = –2�3� . Assim,
uma equação do plano que contém a face [BCEF ] do prisma é 
�3�y + z – 2�3� = 0 .
e. Tem-se CF
→
= F – C = ( –5, 0, 0) , logo as equações cartesianas da
reta CF podem ser y = 1 ∧ z = �3� .
f. Um plano paralelo à face [BCEF ] tem uma equação cartesiana
da forma �3�y + z + d = 0 . Como esse plano contém a origem do
referencial, uma equação é �3�y + z = 0 .
PÁG. 203
4.
a. O ponto A tem de coordenadas (x, 0, 0) . Substituindo-as na equa-
ção que define o plano ABC , obtemos x = 2 . Assim, A(2, 0, 0). Pro-
cedendo de forma idêntica, obtém-se B (0, 1, 0) e C (0, 0, 2) .
b. Tomando [AOB ] para base da pirâmide, tem-se:
V = �
3
1
� × × 2 = �
3
2
�
PÁG. 204
7.
a. V (3, 3, 0)
b. Um vetor diretor da reta FV é FV
→
= V – F = (–3, –3, 6) . Logo, as
equações cartesianas dessa reta podem ser: 
= = ⇔ – = – = �
6
z
� .
c. Uma equação cartesiana do plano EFG é z = –6 .
9. Vamos começar por escrever uma condição da reta perpendicular
ao plano que passa em P :
= = ⇔ x + 1 = �
–
y
2
� = z – 3 
De seguida, vamos determinar as coordenadas do ponto de inter-
seção dessa reta com o plano: 
x – 2y + z = 3 ––––––––––––– x = – �
6
5
�
x + 1 = �
–
y
2
� ⇔ y = –2x – 2 ⇔ y = –�
3
1
�
x + 1 = z – 3 z = x + 4 z = �
1
6
9
�
Agora vamos determinar a distância deste ponto ao ponto P : 
��–� �65���+�1��
2
+� ��–��31�� –� 0��
2� +����169��� –� 3��
2� = 
Logo, a distância do ponto P ao plano de equação x – 2y + z = 3 
é .
VOLUME 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL I
FUNÇÕES RACIONAIS E FUNÇÕES COM RADICAIS
TAXA DE VARIAÇÃO E DERIVADA
PÁG. 7
1.
a. D = {x ∈ IR: x + 2 ≠ 0} = IR \ {–2}
b. D = {x ∈ IR: x 2 – 4 ≠ 0} = IR \ {–2, 2}
c. D = IR
d. D = {a ∈ IR: (a + 5)(a – 3) ≠ 0} = IR \ {–5, 3}
PÁG. 20
9. A função racional cujo gráfico é a hipérbole de assíntotas x = 0 
e y = 2 tem uma expressão analítica da forma f (x ) = 2 + �
a
x
� . Como
passa no ponto (3, 1) , verifica 1 = 2 + �
a
3
� , ou seja, a = –3 . Logo, 
f (x ) = 2 – �
3
x
� .
PÁG. 22
13.
a. = = , a = 4 , b = 0 , c = 2
2 × 1
�
2
y – 3
�
3
x – 3
�
3
z – 0
�
6
y – 3
�
–3
x – 3
�
–3
z – 3
�
1
y – 0
�
–2
x – (–1)
�
1
�6�
�
6
�6�
�
6
2 × �3�
�
2
4
�
x + 2
12
�
3(x + 2)
12
�
3x + 6
⎧⎪
⎪
⎨
⎪⎪⎩
⎧⎪
⎪
⎨
⎪⎪⎩
⎧⎪
⎪
⎨
⎪⎪⎩
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
28
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS DO MANUAL
b. 1 + = 1 + , a = 2 , b = 1 , c = – �
5
2
�
PÁG. 24
18.
a. f (x ) = = 5 – Assíntotas: x = –2 , y = 5
b. g(x ) = = –3 + Assíntotas: x = – , y = –3
c. h (x ) = = – – Assíntotas: x = �
3
5
� , y = – �
3
2
�
PÁG. 32
23.
a. f (x ) = x + 3 – �
x –
1
2
� Assíntotas: x = 2 , y = x + 3
b. g (x ) = = �
2
1
� x – 2 – �
2
1
x
� Assíntotas: x = 0 , y = �
2
1
� x – 2
c. h(x ) = = 2x + 3 + Assíntotas: x = 1 , y = 2x + 3
PÁG. 33
26.
a. = D = IR \ {–2, 0}
b. = D = IR \ {1}
c. = D = IR \ {–1, 1}
27. = = x – 2
PÁG. 38
32.
a. × = = 
D = IR \ {–2}
b. × = = 
D = IR \ {–3, 0, 3}
c. : = × = 
D = IR \ {–2, 0, 1, 2}
d. : = × = 2x
D = IR \ {–2, 0}
33.
a. �1 + � : = × = 
D = IR \ {–1, 0, 1}
b. = = = –
D = IR \ {0, 2}
PÁG. 39
34.
a. = 0 ⇔ x – 5 = 0 ∧ x + 1 ≠ 0 ⇔ x = 5 ∧ x ≠ – 1
C.S. = {5}
b. = 0 ⇔ x 2 – 4 = 0 ∧ x – 2 ≠ 0 ⇔ (x = –2 ∨ x = 2) ∧ x ≠ 2
C.S. = {–2}
c. = 3 ⇔ – 3 = 0 ⇔ = 0 ⇔
⇔ 2x – 5 = 0 ∧ x + 1 ≠ 0 ⇔ x = �5
2
� ∧ x ≠ –1
C.S. = ��52��
d. = 2 ⇔ – 2 = 0 ⇔ = 0
Impossível C.S. = { }
PÁG. 40
35.
a. – = 6 ⇔ + – 6 = 0 ⇔ = 0 ⇔
⇔ –6x + 9 = 0 ∧ x – 1 ≠ 0 ⇔ x = �3
2
� ∧ x ≠ 1
C.S. = ��32��
b. �
4
x
� + = ⇔ �4
x
� + – = 0 ⇔
⇔ = 0 ⇔ = 0⇔
⇔ –10x – 8 = 0 ∧ x (x + 2)(x – 1) ≠ 0 ⇔ x = – �4
5
� ∧ x ≠ –2 ∧ x ≠ 0 ∧ x ≠ 1
C.S. = �– �45��
13
�
x + 2
5x – 3
�
x + 2
1
�
2
8
�
2x + 1
5 – 6x
�
2x + 1
�
1
3
0
�
�
3x – 5
2
�
3
–2x
�
3x – 5
x 2 – 4x – 1
�
2x
5
�
x – 1
2x 2 + x + 2
�
x – 1
x – 2
�
3x
x 2 – 4
�
3x 2 + 6x
x 2 + x + 1
�
x – 1
x 3 – 1
�
x 2 – 2x + 1
1 – 2x
�
x + 1
2x2 – 3x + 1
��
1 – x 2
x 2 – 3x + 2
�
x – 1
f (x ) – f (1)
�
x – 1
x
�
6
2x (x + 2)
��
3(x + 2) × 4
x 2 + 2x
�
4
2
�
3x + 6
2
�
a + 3
2a (a – 3)a
��
a2 (a – 3)(a + 3)
a
�
a 2 – 9
2a 2 – 6a
�
a 2
x + 2
�
x
(x – 2) (x + 2)
��
x 2
x (x – 1)
��
(x – 1) (x – 2)
x 2
�
x2 – 4
x 2 – x
�
x 2 – 3x + 2
x 3 + 2x 2
�
2
4
�
x(x + 2)
x 2(x + 2)
�
2
x2 + 2x
�
4
x + 1
�
2
(x – 1) (x + 1)
��
2x
x
�
x – 1
2x
�
x 2 – 1
1
�
x – 1
1
�
2x
2 – x
�
2x (x – 2)
�
2
2
–
x
x
�
�
x – 2
�
x
1
� – �
2
1
�
�
x – 2
x – 5
�
x + 1
x 2 – 4
�
x – 2
2x – 5
�
x + 1
5x – 2
�
x + 1
5x – 2
�
x + 1
7
�
x – 3
2x + 1
�
x – 3
2x + 1
�
x – 3
–6x + 9
�
x – 1
1
�
x – 1
2
�
x – 1
1
�
1 – x
2
�
x – 1
6
�
x – 1
2
�
x + 2
6
�
x – 1
2
�
x + 2
–10x – 8
��
x (x + 2)(x – 1)
4(x + 2)(x – 1) + 2x (x –1) – 6x (x + 2)
���
x (x +2)(x – 1)
2
�
x – �
5
2
�
4
�
2x – 5
29
c. + = ⇔ + – = 0 ⇔
⇔ x 2 – 4 = 0 ∧ x 2 – 2x ≠ 0 ⇔ (x = –2 ∨ x = 2) ∧ x ≠ 0 ∧ x ≠ 2 
C.S. = {–2}
d. – = ⇔ + – = 0 ⇔
⇔ = 0 ⇔ = 0 ⇔
⇔ –x 2 + 5x – 4 = 0 ∧ (x – 1)(x – 3)(x + 3) ≠ 0 ⇔
⇔ (x = 1 ∨ x = 4) ∧ x ≠ 1 ∧ x ≠ 3 ∧ x ≠ –3 
C.S. = {4}
e. + = ⇔ – – = 0 ⇔
⇔ = 0 ⇔ = 0 ⇔
⇔ –x 2 + 6x – 8 = 0 ∧ 3x – 6 ≠ 0 ⇔ (x = 2 ∨ x = 4) ∧ x ≠ 2 
C.S. = {4}
PÁG. 43
40.
a. �
x
1
� ≥ 2 ⇔ �
x
1
� – 2 ≥ 0 ⇔ ≥ 0 ⇔ x ∈�0, �2
1
��
b. < 0 ⇔ x ∈ ]–2, 1[ ∪ ]2, +∞[
c. > 0 ⇔ x ∈ ]–∞, –3[ ∪]–1, 2[
d. ≤ 0 ⇔ x 2 – 6x < 0 ⇔ x ∈]0, 6[
e. �
x
1
2� ≥ 0 ⇔ x ∈IR \ {0} 
f. ≤ ⇔ – ≤ 0 ⇔ ≤ 0 ⇔
⇔ ≤ 0 ⇔ x ∈ ]–∞, –2 [ ∪ [0, 2[ ∪ ]2, +∞[
g. ≤ x – 1 ⇔ – + 1 ≤ 0 ⇔ ≤ 0 ⇔
⇔ ≤ 0 ⇔ x ∈ [0, 2 [ ∪ [4, +∞[
PÁG. 51
42.
a. Df + g = Df ∩ Dg = IR \ {–1, 2} ∩ ]–∞, 2] = ]–∞, 2[ \ {–1}
b. D = Df ∩ Dg ∩ {x ∈IR: g(x ) ≠ 0} = 
= IR \ {–1, 2} ∩ ]–∞, 2] ∩ IR\ {–3} = ]–∞, 2[ \ {–3, –1} 
c. D = Dg ∩ Df ∩ {x ∈IR : f (x) ≠ 0} =
= ]–∞, 2] ∩ IR \ {–1, 2} ∩ IR\ {–2, 3} = ]–∞, 2[ \ {–2, –1}
d. D = Dg ∩ Dg ∩ {x ∩ IR: g (x ) ≠ 0} =
= ]–∞, 2] ∩ IR\ {–3} = ]–∞, 2] \ {–3}
1
�
x – 1
1
��
(x – 3)(x + 3)
4
��
(x – 1)(x + 3)
1
�
x – 1
1
�
9 – x 2
4
�
x 2 + 2x – 3
–x 2 + 5x – 4
��
(x – 1)(x – 3)(x + 3)
4(x – 3) + x – 1 – (x – 3)(x + 3)
���
(x – 1)(x – 3)(x + 3)
x – 1
�
3
3
�
3(x – 2)
x – 1
�
x – 2
x – 1
�
3
3
�
6 – 3x
x – 1
�
x – 2
–x 2 + 6x – 8
��
3x – 6
3(x – 1) – 3 – (x – 1)(x – 2)
���
3(x – 2)
1 – 2x
�
x
4 – x2
�
x – 1
x + 1
��
(2 – x )(x + 3)
x 2 + 1
�
x 2 – 6x
4x – x (x + 2)
��
x 2 – 4
x
�
x – 2
4x
��
(x – 2)(x + 2)
x
�
x – 2
4x
�
x2 – 4
–x 2 + 2x
�
x 2 – 4
4 – x (x – 2) + 2(x – 2)
��
2(x – 2)
x
�
2
2
�
x – 2
1
�
2
2
�
x – 2
–x2 + 4x
�
2x – 4
8
�
x (x –2)
4
�
x – 2
x – 2
�
x
8
�
x2 – 2x
4
�
x – 2
x – 2
�
x
f
�g
g
�
f
g
�g
x – ∞ 0 �
1
2
� + ∞
1 – 2x + + + 0 –
x – 0 + + +
– n.d. + 0 –
x – ∞ –2 1 2 + ∞
4 – x 2 – 0 + + + 0 –
x – 1 – – – 0 + + +
+ 0 – n.d. + 0 –
x – ∞ –3 –1 2 + ∞
x + 1 – – – 0 + + +
(2 – x )(x + 3) – 0 + + + 0 –
�
(2 – x)(x + 3)
x – 1
� + n.d. – 0 + n.d. –
x – ∞ –2 0 2 + ∞
–x 2 + 2x – – – 0 + 0 –
x 2 – 4 + 0 – – – 0 +
– n.d. + 0 – n.d. –
x – ∞ 0 2 4 + ∞
–x 2 + 4x – 0 + + + 0 –
2x – 4 – – – 0 + + +
+ 0 – n.d. + 0 –
–x 2 + 2x
�
x 2 – 4 
–x 2 + 4x
�
2x – 4 
4 – x 2
�
x – 1 
1 – 2x
�
x – 1 
⇔ = 0 ⇔ = 0 ⇔
(x – 2)2 + 4x – 8
��
x 2 – 2x
x 2 – 4
�
x 2 – 2x
30
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS DO MANUAL
PÁG. 52
43. Sejam f (x ) = e g(x ) = 
b. Df –g = Df ∩ Dg = IR \ {–1} ∩ IR \ {–1, 1} = IR \ {–1, 1}
(f – g)(x ) = f (x) – g (x) = – = + =
= = = = 
D = Dg ∩ Df ∩ {x ∈IR : f (x) ≠ 0} =
= IR \ {–1, 1} ∩ IR\ {–1} ∩ IR \ {–2} = IR \ {–2, –1, 1}
��gf�� (x ) = = = × = 
PÁG. 56
47. A imagem, por g , de f (3) é g(f (3)) = g (5) = �
5
1
� e a imagem, por f , 
de g (3) é f (g(3)) = f ��3
1
�� = �3
7
� .
48. (f ° g) (2) = f (g (2)) = f (4) = 5 (g ° f ) (2) = g(f (2)) = g (3) = 9
PÁG. 57
49.
a. (g ° f ) (–2) = g(f (–2)) = g (–1) = –1 (f ° g) (0) = f (g (0)) = f (–2) = –1
b. Dg ° f = {x ∈IR : x ∈Df ∧ f (x ) ∈Dg } =
= {x ∈IR : x ∈[–2, 3] ∧ f (x ) ∈[–2, 2]} = [–2, 3] ∩ [–2, 1 ] = [–2, 1]
Df ° g = {x ∈IR : x ∈Dg ∧ g(x ) ∈Df } =
= {x ∈IR : x ∈[–2, 2] ∧ g (x ) ∈[–2, 3]} = [–2, 2]
D ’g °f = [–2, 2] D ’f °g = [–1, 3]
PÁG. 58
50.
a. g (f (x )) = 4 ⇔ f (x ) = 0 ⇔ x = –2
b. f (g(x )) = 2 ⇔ g(x ) = 0 ⇔ x = –2 ∨ x = 2
c. g (f (x )) ≥ 0 ⇔ –2 ≤ f (x ) ≤ 2 ⇔ –4 ≤ x ≤ 0
51. Df ° g = {x ∈IR : x ∈Dg ∧ g(x ) ∈Df } =
= �x ∈IR : x ∈IR \ {0} ∧ ∈IR \ {0} � = IR \ {–1, 0} 
Dg ° f = {x ∈IR : x ∈Df ∧ f (x ) ∈Dg } =
= �x ∈IR : x ∈IR \ {0} ∧ �
x
1
� ∈IR \ {0} � = IR \ {0} 
(g ° f )(x ) = g(f (x )) = g ��x
1
�� = = = 1 + x
2
��
(x + 1)(x – 1)
x + 2
�
x + 1
2
�
1 – x 2
x + 2
�
x + 1
x
�
x – 1
(x + 2)(x – 1) + 2
��
x2 – 1
g
�
f
2
�
2 – x – x 2
�
1 –
2
x 2
�
��
�
x
x
+
+
2
1
�
g (x )
�
f (x )
2
�
1 – x 2
x + 2
�
x + 1
x 2 + x
�
x 2 – 1
x (x + 1)
�
(x + 1)(x – 1)
2
�
(1 – x )(1 + x )
x + 1
�
x + 2
x + 1
�
x
�
x
1
� + 1
�
�
x
1
�
�
�
x
1
�
f
x
y
1–1–3 30
1
3
–1
g
x
y
1–1–3 30
1
–2
g
x
y
1–2–4 30
1
3
–2
f
x
y
1–2–4 30
1
3
–2
a. (f + g)(0) = f (0) + g (0) = 2 + 2 = 4 ��g
f
�� (–2) = = = 0f (–2)�g (–2)
0
�
– �
3
2
�
(f ° g)(x ) = f (g (x )) = f � � =x + 1�x
x
�
x + 1
1 + x
�
x
31
PÁG. 60
53. Seja f a função definida por f (x ) = 2x + 1 e seja g a função 
definida por g(x) = �x – 1 se x ≤ 0 =x + 1 se 0 < x ≤ 5
(g ° f )(x) = g(f (x)) = �f (x ) – 1 se f (x ) ≤ 0 =f(x ) + 1 se 0 < f (x ) ≤ 5
=
2x + 1 – 1 se 2x + 1 ≤ 0 
=
2x se x ≤ – �
2
1
�
2x + 1 + 1 se 0 < 2x + 1 ≤ 5 2x + 2 se – �
2
1
� < x ≤ 2
PÁG. 64
59. Seja f (x ) = definida em [0, +∞[ .
Tem-se D ’g = ��2
1
�, +∞�
f (x ) = y ⇔ = y ⇔ = x
f –1(x) = f –1 : ��2
1
�, +∞�→ IR 
PÁG. 66
61. g(x ) = y ⇔ = y ⇔ 2x + 1 = xy + 3y ⇔ 1 – 3y = x (y – 2) ⇔
g–1(x ) = Dg –1 = IR \ {2}
PÁG. 69
64.
a. D = {x ∈ IR : 2 – x ≥ 0} = ]–∞, 2]
b. D = {x ∈ IR : x 2 – 1 ≥ 0} = ]–∞, –1] ∪ [1, +∞[
c. D = IR
d. D = � x ∈ IR : 1 – �3
x
� ≥ 0 � = � x ∈ IR : ≥ 0 � = ]–∞, 0[ ∪ [3, +∞[
PÁG. 71
67.
a. Tem-se A = . 
Sendo BP� = x e x = 2 , vem 62 = 22 + AP�2 ⇔ AP� = �32� = 4�2� . 
Logo, A = = 4�2� .
b. Tem-se A = . Sendo BP� = x , vem AP�2 = 62 – x 2 ⇔
⇔ AP� = �36� –� x�2� Logo, A = , com x ∈ ]0, 6[ .
c. O triângulo de maior área é o triângulo isósceles, cujos catetos
medem 3�2� , pois 62 = x 2 + x 2 ⇔ x = �18� = 3�2� .
PÁG. 72
68. Sejam f e g as funções definidas respetivamente por, 
f (x ) = �1 –� x� e g (x ) = x 2 .
a. (g ° f )(x ) = g (f (x )) = g (�1 –� x� ) = (�1 –� x� )
2 = 1 – x
Dg ° f = {x ∈IR : x ∈Df ∧ f (x ) ∈Dg } =
= {x ∈IR : x ∈]–∞, 1] ∧ �1 –� x� ∈IR} = ]–∞, 1]
(f ° g)(x ) = f (g(x )) = f (x
2) = �1 –� x�2�
Df o g = {x ∈IR : x ∈Dg ∧ g(x ) ∈Df } =
= {x ∈IR : x 2 ∈]–∞, 1]} = [–1, 1]
b. Df ° f = {x ∈IR : x ∈Df ∧ f (x ) ∈Df } =
= {x ∈IR : x ∈]–∞, 1] ∧ �1 –� x� ∈]–∞, 1]} = [0, 1]
PÁG. 73
69.
a. �x�+�1� + 1 = 2x ⇔ �x�+�1� = 2x – 1 ⇒ (�x�+�1�)2 = (2x – 1)2 ⇔
⇔ x + 1 = 4x 2 – 4x + 1 ⇔ 4x 2 – 5x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = �
4
5
� 
Verificação:
Para x = 0 , obtém-se �0�+�1� + 1 = 2 × 0 ⇔ 2 = 0
Como esta afirmação é falsa, conclui-se que 0 não é solução da
equação.
Para x = �
4
5
� , obtém-se ��45�� +� 1� + 1 = 2 × �45� ⇔ �52� = �52�
Esta afirmação é verdadeira e, portanto, �
4
5
� é solução da equação.
O conjunto-solução da equação é, portanto, C.S. = 	�4
5
� 
 .
b. x + �2x� –� 3� = 3 ⇔ �2x� –� 3� = 3 – x ⇒ (�2x� –� 3� )2 = (3 – x )2 ⇔
⇔ 2x – 3 = 9 – 6x + x 2 ⇔ x 2 – 8x + 12 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = 6
Verificação:
Para x = 2 , obtém-se 2 + �2�×� 2� –� 3� = 3 ⇔ 3 = 3
Como esta afirmação é verdadeira, conclui-se que 2 é solução da
equação.
3x + 2
�
4
4y – 2
�
3
3x + 2
�
4
4x – 2
�