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.45 ~.Cham. 624.0 12.45 L584v =690 
Autor: Leonhardt, Fritz, 1909- 1999 
Título: Construções de concreto / . 
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texto 
Setor de Conservação e Restauração 
: Copyright © by Springer-Verlag Berlin/Heidelberg 1973 
Published in Germany under the title "Vorlersungen über Massivbau - Dritter Teil 
Grundlagen zum Bewehren lm Stahlbetonbau" - Dritte Auflage 
Direitos Reservados em 1978 por 
Editora lnterciência Ltda. 
Rio de Janeiro - Brasil 
Impresso no Brasil/Printed in Brazil 
Programação Visual 
l nterciência Arte 
Capa 
AG Comunicação Visual 
Composição do Texto 
1 nterciência 
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Universidacb de Brasília 
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2 I L/ l{ íO-
CIP-Brasil. Catalogação-na-fonte 
Sindicato Nacional dos Editores de Livros. RJ. 
Leonhardt, FritL 
L61c Construções de concreto, volume 3: princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado/Fritz 
Leonhardt l e l Eduard Mõnnig; tradução 1 de 1 José de Moura 
Villas Boas, revisão técnica 1 de 1 João Luís Escosreguy Merino. 
- mo de Janeiro: lnterciência, 1978 
p. 288 ilust. 327 
Tradução de: Vorlesungen über Massivbau 
Dritter Teil·Dritte Auflage 
Bibliografia 
1. Concreto armado 2. Construções de concreto armado 
1. Mo.nnig, Eduard li. Título Ili. Título: Princ(pios básicos sobreª. 
armação de estrutura~ de concreto armado 
78-0334 
coo - 620.137 
624.1834 
693.54 
CDU - 624.012.45:624.043 
693.55 
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É proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meios sem autorização por escrito da editora. 
1•1 EDITORA INTERCltNCIA L TOA. · lliil Rua Verna Magalhães, 66 - Tels.: 281-7495/263-5899 . • ZC 16 - 20000- Rio de Janeiro - Brasil 
IV . 
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[ID~ ~[ill~~[IB~LJ[ill 
F.Leonhardt º E.Mõnnig 
PRINCIPIOS BASICOS SOBRE A ARMAÇÃO 
DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
Vol. 3j 
FR ITZ LEONHARDT 
Doutor Engenheiro 
Doutor Honoris Causa 
Professor do Instituto da Construção 
da Universidade de Stuttgart 
EDUARD MÕNNIG 
Engenheiro Civil 
Professor do Instituto da Construção 
da Universidade de Stuttgart 
TRADUÇÃO 
Josi= DE MOUR~ VILLAS BOAS 
Engenheiro Civil, UFRJ 
REVISÃO TÉCNICA 
JOÃO Lurs ESCOSTEGUY MERINO 
Engenheiro Civil, UFRGS 
EDITORA INTERCIENCI A L TOA. 
1978 
. .!!.l 
: C~pyr.ight © by Springer-Verlag Berlin/Heidelberg 1973 
Published in Germany under the title "Vorlersungen über Massivbau - Dritter Teil 
Grund lagen zum Bewehren lm Stahlbetonbau" - Dritte Auflage 
D irei tos Reservados em 1978 por 
Editora lnterciência Ltda. 
Rio de Janeiro - Brasil 
Impresso no Brasil/Printed in Brazil 
Programação Visual 
lnterciência Arte " . . . . I !""> ~? ., .. ·'. ,i ', y (\ÇJV 1 ·; Capa 
AG C~municação Visual ~ ~~~r~ida~d::~~-2,-~a-s-il-ia....,_ 
Composição do Texto 'C· Y, ,. · : . . _!;' -: . ._ .· _ ... ,,...._\;.-.. \,. iC, 
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CIP-Brasil. Catalogação·na-fonte 
Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ. 
Leonhardt, Fritz. 
L61 c Construções de concreto, volume 3: princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado/Fritz 
Leonhardt 1 e 1 Eduard Mõnnig; tradução 1 de 1 José de Moura 
Villas Boas, revisão técnica 1 de 1 João Luís Escosteguy Merino. 
- Rio de Janeiro: lnterciência, 1978 
p. 288 ilust. 327 
Tradução de: Vorlesungen über Massivbau 
Oritter Teil-Oritte Auflage 
Bibliografia 
1. Concreto armado 2. Construções de concreto armado 
1. Monnig, Eduard li. Título Ili. Título: Princíp ios básicos sobre ª. 
armação de estrutura~ de concreto armado 
78-0334 
coo - 620.137 
624.1834 
693.54 
CDU - 624.012.45:624.043 
693.55 
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É proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meios sem auto rização por escrito da editora. 
1•1 EDITORA INTERCl~NCIA L TOA. tiiit Rua Vema Magalhães, 66 - Tels.: 281-7495/263-5899 .. . IM ZC 16 - 20000 - Rio de Janeiro - Brasil 
IV . 
' ... 
DOOC?~ODO 
O primeiro e segundo volumes desta obra tratam do dimensionamento de estruturas de 
concreto armado; o terceiro é dedicado aos princípios básicos da técn ica de armar. 
Para dispor corretamente as armaduras, é necessário que se conheça a trajetória dos esforços 
de tração no interior das estruturas de concreto armado. Para que se tenha a garantia da capacidade 
resistente e da capacidade de uti l ização das estruturas de concreto armado, as armaduras devem 
corresponder, o mais exatamente ·possi'vel, à trajetória dos esforços de tração. Esta condição, por 
motivos .técn icos de execução, em geral pode não ser inteiramente satisfeita. Por esse motivo, o 
engenheiro, baseado em resulta~os de ensaios e na experiência, deve procurar obter soluções que 
garantam, além da indispensável estabilidade da estrutura, que as aberturas das fissuras sejam as míni-
mas possi'veis. Para isso, é necessár.io que ele cpnheça os critérios relativo~ à aderência e à ancoragem, 
e saiba determinar as influências do valor do diâmetro da barra, do espaçamento entre barras e da 
diferença entre a direção das barras e a das tensões prin~ipais de tração sobre a abertura das fissuras. 
Para a execução da estrutura, é necessário, além disso, não perder de vista a maneira. de 
fabricar e de montar as barras e os conjuntos de barras que constituem as armaduras; e, hoje em dia, 
o que importa não é necessariamente chegar ao m i'nimo de peso de aço, mas sim economizar os custos 
de mão-de-obra. Foram . precisamente as ,?onsiderações técn icas de execução para diminuição dos 
custos de mão-de-obra que influenciaram fortemente a maneira de armar nos últimos anos. Essa 
evoluc;(âO ainda se encontra em processo. As armaduras aqui mostradas já levam em conta essa evo lução; 
é de se esperar, entretanto, que, nos próximos anos, a racionalização das armaduras ainda traga muitas 
modificações, especialmente no caso das pré-fabricadas industrialmente. 
As armaduras constituem um considerável fator de custo em todas as estruturas de concreto 
armado. A economia de uma estrutura continua a depender grandemente da quantidade necessária 
de aço para armadura. O engenheiro projetista deverá, portanto, esforçar-se em prever armaduras 
somente onde elas sejam realmente racionais e necessárias à capacidade resistente e à capacidade de 
utilização. Compensa, portanto, ao engenheiro que traba lha em regime competitivo aprofundar-se 
na arte de armar, pois o sucesso de seu trabalho depende muito da qualidade do projeto das armaduras. 
Este volume sobre a técnica de armar está organizado em capítu los contendo critérios 
gerais ·de como dispor as armaduras; critérios sobre ancoragem ou emendas das barras da armadura, 
bem como a maneira de t ratar os esforços que surgem devido à mudança de direção das barras de 
armadura. A seguir, t rata-se do problema da armadura adequada para os diferentes tipos de estruturas, 
levando em conta os diversos tipos de solicitação. _Para cada tipo de estrutura, apresentam-se exemplos 
sobre a disposição adequada da armadura através de desenhos simplificados. 
··- -- -- · -· -Não serão fratadas~ neste- volume, as particularidades das estruturas de pontes, das -de 
concreto leve armado, de estruturas de concreto armado resistentes a terremotos e a incêndios; mas o 
serão em outros, para aquelés que desejarem se aprofundar. 
Na Norma DIN 1045, encontram-se inúmeras determinações sobre a disposição das arma-
duras, que foram,. em geral, observadas. Entretanto, nos casos em que novos resultadosde ensaios 
VI 
conduziram a conhecimentos em desacordo com as atuais normas, tais resultados foram apresentados, 
chamando-se em geral a atenção para a divergência em relação à OIN 1045. 
Os ensinamentos aqui apresentados sobre os princípios básicos da técnica de armar, baseiam-se 
amplamente em ensaios realizados em muitos institutos de pesquisa de todo o mundo, num período 
de várias décadas; foram utilizados, sobretudo, os conhecimentos oriundos dos ensaios de Stuttgart, 
realiÍados nos últimos 15 anos. Em muitos casos particulares, apresentam-se apenas os problemas 
especiais e indicam-se os trabalhos relacionados na bibliografia, onde podem ser encontradas as 
soluções. Com isso, pretende-se, mais uma vez, que esta obra cumpra não somente o objetivo de 
fornecer conhecimentos básicos aos estudantes, mas, também, o de indicar ao· engenheiro na sua 
prática diária, o caminho para a solução de seus problemas. 
Na elaboração deste volume, cabe um mérito especial ao Eng'? R. Meschkat, que cuidou da 
execução das inúmeras figuras e selecionou criteriosamente a bilbiografia alemã e estrangeira. Muitas 
idéias estimulantes surgiram do fato de estar o Eng'? Meschkat, simultaneamente, preparan'do o manual 
Bewehrungsführung in Stahlbetontragwerken (Disposição de armaduras em estruturas de concreto 
armado), que será publicado pelo CEB {Comité Européen du Béton) e pela FIP (Fédération fnter-
nationale de la Précontrainte). Pela boa reprodução dos desenhos, agradecemos às Sras. V. Zander e 
M .. Martenyi; pela diagramação, aos Srs. A. Hoch e H. Lenzi. A Sra. 1. Paechter escreveu o texto com 
muito cuidado. 
Nossos agradecimentos especiais à Editora, que se prontificou a publicar esta obra a preços 
módicos, de modo a torná-la igualmente acessível tanto como material de estudo para estudantes como 
para engenheiros em atividade profissional. 
Stuttgart, maio de 1974 
F. Leonhardt e E. Mõnnig 
Prefácio da 2é! Edição 
A segunda edição apresenta alguns melhoramentos e complementos em vários capítulos. 
Em especial, foram consideradas a "Determinação Complementar à OIN 1045" {versão de abril de 
1975) e a eminente nova versão do Capítulo 18 da OIN 1045. 
Stuttgart, fevereiro de 1976 
F. Leonhardt e E. Mõnnig 
Prefácio da ~ Edição 
A segunda edição está esgotada. Desde a ocasião em que ela foi elaborada, a Comissão 
para o Capítulo 18 da DIN 1045. sob a direção do professor Dr. Eng~ G. Rehm, introduziu novas e 
consideráveis modificações, que devem ser postas em vigor em 1977 e que foram aqui consideradas. 
As modificações são carac;:erizadas como "Nova Versão do Capítulo 18, OI N 1045" e referem-se, 
principalmente, aos novos critérios sobre ancoragens e emendas. Além disso, no futuro, serão admiti-
dos feixes de barras, também na Alemanha. E, ainda, chegaram ao nosso conhecimen to novos resu l-
tados experimentais sobre dentes de apoio, nós de pórticos, lances de escada com patamares, consolos 
curtos e sapatas corridas. que deram ensejo a modificações e acréscimos. 
O Eng'? Werner Dietrich, nosso ex-assistente, encarregou-se da elaboração da 3? edição deste 
volume. 
Stuttgart. março de 1977 
F. Leonhardt e E. Mõnnig 
Ví; 
..... 
DQ600 . .cJo 0006 
VOLUME 1: PRINCIPIOS BÁSICOS DO DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
1. Introdução 
2. Concreto 
3. Aços para concr~to 
4. O material de construção concreto armado 
5. Comportamento das estruturas de concreto armado 
6. Princípios básicos da verificação da segurança 
7. Dimensionamento à flexão composta 
8. Dimensionamento à força cortante 
9. Dimensionamento à torção 
1 O. Dimensionamento de peças comprimidas de concreto armado 
VOLUME 2: CASOS ESPECIAIS DE DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
1. Armadura obl{qua à direção da solicitação 
2. Vigas-parede, consolos e chapas 
3. Introdução de cargas ou forças concentradas 
4. Articulações de concreto 
5. Punção em lajes 
6. Dimensionamento para cargas oscilantes ou muito freqüentemente repetidas 
7. Concreto leve para estruturas 
VOLUME 3: PRINCIPIOS BÁSICOS SOBRE A ARMAÇÃO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
1. Generalidades sobre o projeto e a execução 
2. Esforços solicitantes 
3. Generalidades sobre armadur~s 
4. Ancoragem das barras da armadura 
5. Emendas das barras da armadura 
6. Forças devido à mudança de direção de peças comprimidas e tracionadas 
7. Armadura de peças fie tidas 
8. Lajes 
9. Vigas e vigas T 
10. Lajes nervuradas em uma e mais direções, lajes ocas 
11. Nós de pórticos 
12. Vi9as-parede e chapas 
13. Consolos 
14. Peças comprimidas 
15. Regiões de introdução de esforços 
16. Fundações 
.. 1 
.:··. 
X 
VOLUME 4: VERI FICAÇÂO DA CAPACIDADE DE UTILIZAÇÃO 
Limitação da Fissuração, Deformações, Redistribuição de Momentos e Teoria das Linhas de Ruptura em 
Estruturas de Concreto Armado 
l . Verificação da capacidade de utilização 
2. Limitação da fissuração, limites das aberturas das fissuras 
3. Deformações das estruturas de concreto - Generalidades 
4. Deformações devido à força normal, rigidez à deformação longitudinal 
5. Deformações devido à flexão, rigidez à flexão 
6. Deformações devido à força cortante, rigidez à deformação transversal 
7. Deformações devido à torção, rigidez à torção 
8. Deformações no domínio plástico (Estádio 111) 
9. Teoria das linhas de ruptura para estruturas laminares, em especial para lajes 
VOLUME 5: CONCRETO PROTENDIDO 
VOLl.-!ME 6: PRINCIP.Jos BÁSICOS DA.CONSTRUÇÃO-DE PONTES 
... "'t::lc:. .. _ __ _ - - ·· 
OOOlJUOLJDO 
PREFÁCIO. . . . .......... .. .. . .. .. .. . ..... .......... . ... . . ..... . ...... .... .. . V 
PLANO DA OBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX 
1. GENERALIDADES SOBRE O PROJETO E A EXECUÇÃO ..... ... ..... .. .. ... .. .. ...... . . 
1.1 EVOLUÇÃO DOS TRABALHOS DE ENGENHARIA .... . . ... ................. . ... . . 
1.2 DOCUMENTOS TÉCNICOS NECESSÁRIOS ........ . ...... .. .. . .. . ... . ... . .. .. .. . 
1.2.1 Desenhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 
1.2.2 Memórias de Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 
1.2.3 Especificações de Execução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 
1.3 DIRETRIZES PARA A ESCOLHA DA FORMA DAS PEÇAS DE CONCRETO . . . . . . . . . . . . . . . 3 
1.4 ESCOLHA DOS MATERIAIS . ... . . . : .......... . .. .. .... . ...... . ..... . ... .... 4 
1.4.1 Escolha Adequada das Classes de Concreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 
1.4.2 Escolha Adequada do Tipo de Aço para Concreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 
1".4.3 Utilização de Tipos Diferentes de Aço Simultâneamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 
2. ESFORÇOS SOLICITANTES.... • . . . . • . . . . . . . . . • . • . • • • . . . . • • . . . . . . . • • . . . . • • • • • • • 7 
2.1 GENERALIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 
2.2 CONDIÇÕES OE APOIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 
2.2.1 Apoio Livre à Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 
2.2.2 Engastamento Pequeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 
• 2.2.3 Engastamento Moderado a Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 
2.3 EXTENSÃO DO APOIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 
2.4 VÃOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 
2.5 ORIENTAÇÃO PARA A DETERMINAÇÃODOS ESFORÇOS SOLICITANTES.. .. ... .. . . . . . 11 
2.6 ESFORÇOS SOLICITANTES DETERMINANTES DO DIMENSIONAMENTO . . . . . . . . . . . . . . . 16 
2.6.1 Momentos F letores Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 
2.6.1.1 Momentos Negativos nos Apoios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 
2 .6.1.2 Momentos Positivos nos Apoios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
2.6.1.3 Momentos Positivos nos Vãos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
2.6.1.4 Momentos Negativos nos Vãos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 
. 2.6.2 Forças Cortantes Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 
2.6.3 Reações de Apoio Determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 
3. GENERALIDADES SOBRE A ARMAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . 21 
3.1 OBJETIVOS DA ARMAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . 21 
3.2 DISPOSIÇÃO MAIS FAVORÁVEL DA ARMADURA . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 
3.3 LIGAÇÃO DAS BARRAS DA ARMADURA PARA A FORMAÇÃO DE CONJUNTOS R(GIDOS . . 22 
3.4 ESCOLHA DOS DIÂMETROS E ESPAÇAMENTOS DAS BARRAS . . . . . . . . • • . . . . . . . . . . . . 23 
3.5 ACÚMULO DE BARRAS DA ARMADURA ... _. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 
3.6 COBRIMENTO DE CONCRETO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 
3.7 RACIONALIZAÇÃO DA ARMADURA . . . ...... ... ........ . ............ .... .. . . 29 
4. ANCORAGEM DAS BARRAS DA ARMADURA ................. .. ................... . 31 
4.1 ESFORÇOS DE FENDILHAMENTO NA ZONA DE ANCORAGEM ..................... . 31 
4.2 SOBRE A LOCALIZAÇÃO DAS ANCORAGENS ........................... .... .. . 32 
4.3 ANCORAGENS DE BARRAS TRACIONADAS .......................... .. ....... . 34 
4.3.1 Ancoragens de Extremidades Retas, por Aderência ............. . .............. . 34 
4.3.1.1 Generalidades ........................ .. .................... . 34 
4.3.1.2 Qualidade da Aderência em Função da Situação da Barra por Ocasião da Concre· 
tagem ............... . .. .. ................ ... ......... .. · .. . 34 
4.3.1.3 Tensão Admissível de Aderência na Região da Ancoragem ................. . 35 
4.3.1 .4 Comprimento de Ancoragem Necessário ... .. ........ ... ............. . 37 
4.3.1.5 Segurança Contra os Esforços de Tração Transversal (Esforços de Fendilhamento) 
na Região da Ancoragem .. ............... ... . .................. . 38 
4.3.2 Ancoragem com Ganchos Fechados e Ganchos Abertos ....... ... .... . .......... . 39 
4.3.3 Ancoragem em Laço .. .. .. .. ..... ......... .. ... ............. .. ... .. . . 43 
4.3.3.1 Laços sem Armadura Transversal ............. ... .................. . 43 
4.3.3.2 Laços com Armadura Transversal ..... ....... . . . ... ................ . 44 
4.3.4 Ancoragem com Barras Transversais Soldadas, Malhas de Aço Soldadas . ............ • , , 46 
4 .3.5 Ancoragem de Feixes de Barras .......................................... . 48 
4.3.6 Dispositivos e Peças de Ancoragem ...... .. ....................... . .... .. . . 49 
4.4 ANCORAGENS DE BARRAS COMPRIMIDAS .. . .............. ... ........ . · ' • ..... 50 . -
5. EMENDAS DAS BARRAS DA ARMADURA ...................... . ... . ...... ,. .... .. . 53 . . 
5.1 GENERALIDADES ................... ... .... ..... ...... .............. . . . 53 
5.2 EM ENDAS DIRETAS .... ............ . ........ .. ....................... .. . 53 
5.2.1 Emendas Soldadas Solicitadas à Tração e à Compressão ......... .... ..... ....... . 
S.2.2 Emendas com Luvas Rosqueadas ........................................ . 
53 
55 
5.2.3 Emendas com Luvas de Pressão para Barras Nervuradas ............. .. ... • ... ... . 56 
5.2.4 Emendas com Luvas Termite ............................... , .......... . 57 
5.2.5 Emendas de Contato para Barras Comprimidas ...................... .... ... . . . 57 
5.3 EMENDAS INDI RETAS SOLICITADAS À TRAÇÃO ........... · ................... . . 59 
5.3.1 Emendas por Traspasse com Extremidades Retas. com Ganchos Fechados ou com Ganchos' 
Abertos .... ... ...................... . ..... ~ ..... .. ............ . . 59 
5.3.1.1 Generalidades .. .. ............... . .......................... . 59 
5.3.1.2 Comprimento de Traspasse Necessário Qü .....•.•..................... 
5.3. l.3 Emendas por Traspasse de Feixes de Barras .... . ... ..... .............. . 
61 
65 
5.3.1.4 Armadura Transversal .. . .. . ................................... . 65 
5.3.2 Emendas por Traspasse com Ganchos Grandes . ... ......... ... ... ............ . 67 
5.3.3 Emendas por Traspasse com Laços ....................................... . 67 
5.3.4 Emendas por Traspasse de Malhas de Aço Soldadas ....... . .. ., .. ...... ....... . . ·. 68 
5.3.4.1 Generalidades .. .... ... .... ............... ...... ............ . 68 
5.3.4.2 Emendas por Traspasse de Barras Resistentes, em Dois Planos, sem Armadura Envol· 
vendo a Emenda ................ . ................. ...... ..... . 69 
5.3.4.3 Comprimento de Traspasse de Barras Resistentes, em Dois Planos, sem Armadura 
Envolvendo a Emenda ......................................... . 69 
5.3.4.4 Cargas Alternadas e Repetidas .... . · .... .. .. ..... . ................ . . . 70 
5.3.4.5 Emendas das Barras Transversais de Malhas ........................... . 70 
5.4 EMENDAS POR TRASPASSE SOLICITADAS À COMPRESSÃO 71 
. XII 
6. FORÇAS DEVIDO À MUDANÇAS OE DI REÇÃO DE PEÇAS TRA CIONADAS OU COMPRIMIDAS 
6.1 GENE.KALIDADES ..................................................... . 
6.2 BARRAS TRACIONADAS EM CANTOS REENTRANTES ........................... . 
6.2.1 Ângulos Pequenos ...................................•..... ... ....... 
6.2.2 Ângulos Grandes ........................................... . ...... . 
6.3 BA RRAS COM CURVATURA CONTINUA . ............ . ... . ........... . .. . .... . 
6.3.1 Grandes Curvatura, Empuxo ao Vazio Absorvido por Estribos .................... • . 
6.3.2 Pequena Curvatura, Empuxo ao Vazio Absorvido pelo Cobrimento de Concreto ........ . 
6.4 f3ARRAS CURVADAS EM UM PLANO PARALELO À SUPERFICIE EXTERNA ............ . 
6.5 BARRAS COM GRANDE CURVATURA OU BARRAS DOBRADAS ......... .. ......... . 
6.6 FORÇAS DEVIDO À MUDANÇAS DE DIREÇÃO DE FORÇAS OE COMPRESSÃO NO CON· 
CRETO ................... . .................... .. ............. . ..... . 
7. ARMADURA DE PEÇAS FL ETIDAS ......................... . ............. . ..... . 
7.1 ESCALONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL ............................ . 
7 .1.1 Diagrama dos Esforços de Tração, Vaíor do Deslocamento do Diagrama de Momentos ... .. . 
7.1.2 Cobertura dos Esforços de Tração. Escalonamento da Armadura ... ....... ... . . . ..• . 
7 .1.3 Ancoragem de Barras Longitudinais Escalonadas ............................ .. . 
7 .1 .3.1 Comprimento de Ancoragem de Barras Retas .. ....... . ........... . . • ... 
7 .1.3.2 Comprimento de Ancoragem de Barras Dobradas .................. .. ... . 
7.2 ANCORAGEM DAS BARRAS LONGITUD INAIS NOS APOIOS .................. .. ... . 
7.2.1 Comprimento de Ancoragem nos Apoios Extremos ... ............. ..... .... ... . 
7 .2.2 Comprimento de Ancoragem nos Apoios Intermediários .. • ...................... 
7.3 f-DERÊNC IA EM ZONAS TRACIONADAS NA FLEXÃO ........... . ................ . 
8. LAJES ................ . ... . ...... .. . . .................... • .........•..... 
8.1 GENERALIDADES ................ . .................................... . 
8.1.1 Dimensões .............. .... ................... . ................. . 
8.1.2 Sobre o Comportamento Resistente e a Determinação dos Esforços SoJicitantes ...... . .. . 
8.2LAJES APO IADAS EM UMA DIREÇÃO ... . . . ............. . . . ............ . .... . 
8.2.1 Lajes de Um Só Vão, sem Engastamento .. ....... . . • . . .. . . .... .. . ..... . ..... 
8.2.2 Lajes com Um Só Vão, Engastadas na Ext remidade ............................ . 
8.2.3 Lajes Conti'nuas de Vários Vãos ................................... ... ... . 
8.2.4 Armadura Transversal ... ...... ...................................... . 
8.2.4.1 Carga Uniformemente Distribuída ......... .. ..... ..... ... ... ... • ... 
8.2.4.2 Apoio Paralelo à Direção do Vão, Não Considerado Estaticamente ....... . .... . 
8.2.5 Armadura em Bordos livres ...............................•............ 
8.2.6 A rmadura de Cisalhamento em Lajes . ..•............ . . . .............. ... .. 
8.2.7 Consideração de Cargas Concentradas .............. . .. .. ........•... . . .. ... 
8.2.8 Consideração de Cargas Lineares ........................................ . 
8.2.9 Lajes Apoiadas em Urna Direção com Aberturas Retangulares .......... . .......... . 
8.3 LAJES RETANGULARES APOIADAS EM DUAS DIREÇÕES .. . ............... . . . .... . 
8.3.1. Lajes Retangulares Apoiadas nos Quatro Lados ........................ .. .... . 
8.3.1.1 Apoios Livres à Rotação em Todo Contorno ... ...... ...... . . ...... ... . 
8.3.1.2 Bordos Engastados ....................... . ....... . ... ... ..... . 
8.3.1.3 Lajes Retangulares Contínuas Apoiadas em Duas Dirçções . . ..... .. . . . .. ... . 
73 
73 
73 
73 
73 
74 
74 
75 
76 
71 
79 
81 
81 
81 
83 ' 
84 
84 
86 
86 
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87 
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91 
91 
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95 
95 
96 
96 
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100 
100 
100 
106 
106 
108 
110 
110 
111 
114 
XII I 
1 
íl 
J 
8.3.2 Lajes Retangulares Apoiadas em Três Lados ........ · .......... ............... . 
8.3.2.1 Apoios Livres à Rotação ....................................... . 
8.3.2.2 Engastamento Perfeito .....•....... . ........ ... ................. 
8.3.2.3 Laje Engastada em Três Lados, com Um Trecho em Balanço ................ . 
8.3.3 Lajes Retangulares Apoiadas em Dois Lados, Formando Um Ãngulo Reentrante . ... ..... . 
8.3.3.1 Apoios Livres à Rotação ...... .. ........... .. ............ . ..... . 
8.3.3.2 Engastamento Perfeito ..................... . .... . .. .. .......... . 
8.3.4 Laje em Balanço Sobre Um Canto de Parede .............•......... . ......... 
8.3.5 Lajes Sobre Pilares Individuais ... ....... ... .... ..... .... ..... ..... ..... . . 
8.3.5.1 Lajes de Pisos.sem Vigas ........... • . . .. . ...........•............ 
8.3.5.2 Lajes-Cogumelo .... ... .............. ................. . ... ... . 
8.4 ABERTURAS EM LAJES RETANGULARES APOIADAS EM DUAS DIREÇÕES ...... ... ... . 
8.5 LAJES RETANGULARES COM APOIOS DESCONT(NUOS .. . ........... ... • ......... 
8.6 LAJES TRIANGULARES .... ...... .. ....... ........ .... ................ . . · 
8.7 LAJES CIRCULARES E EM COROA DE C(RCULO ..........•.... · ....... · . . . · .. · . 
9. VIGAS E V IGAS T .............. • .. ................ . ... ...................... 
9.1 GENERALIDADES ..................................................... . 
9.2 TIPOS E ESCOLHA DA ARMADURA DE CISALHAMENTO .......... ..... .... ... ... . 
9.2.1 Estribos .............. ...... .... .... .... .. ...................... . 
9.2.2 Estribos em Malha ................ . ................. . .. ..... ... .. .. . 
9.2.3 Armaduras Suplementares de Cisalhamento ................... · .............. . 
9.2.4 Espaçamento e Diâmetros de Estribos, Espaçamento das Armaduras Suplementares de 
Cisalhamento ..............•.............. . ........................ 
9.2.5 Barras Dobradas ................. . ...... ... . • ................ . ...... 
'9.2.6 Escalonamento da Armadura de Cisalhomento ... .......•.. ....... ........ .. .. 
9.3 ARMADURA LONGITUDINAL EM ALMAS DE VIGAS ALTAS ....................... . 
9.4 PARTICULARIDADES NOS CASOS DE VIGAS T ........ . .... ....... .. .. • ........ 
9.4. 1 Distribuição da Armadura do Banzo em Vigas T ...... . ................ . ...... . 
9.4.2 Armadura de Costura para Mesas ou Flanges .. ...•.. ...... .. .. ............... 
9.4.3 Introdução de Momentos Fletores Transversais à Alma ......................... . 
9.5 VIGAS ESBELTAS DE UM SÓ VÃO (.Q/h ;;;i. 8) •......•.....•....................•. 
9.6 VIGAS ESBELTAS CONT(NUAS (Q/h;;;. 8) ......................... : ........... . 
9.7 VIGAS ESBELTAS EM BALANÇO ................... ... ..... . . ..... ......... . 
9.8 VIGAS COMPACTAS (2 :( Q/h < 8) E CARGAS PRÓXIMAS AOS APOIOS ... ....... .. . ... . 
9.9 ·TRANSMISSÃO INDIRETA DE CARGAS OU APOIO INDIRETO DE VIGAS . : .... .. . ... . . . 
9.10 CARGAS PENDURADAS ................. . ............................... . 
9.11 APOIOS DE ALTURA REDUZIDA ........................................... . 
9.12 VIGAS COM ABERTURAS NA ALMA ........................ .. .............. . 
9.13 VIGAS SOLICITADAS À TORÇÃO .......................................... . 
9.13.1 Torção Simples ................................................... . 
9.13.2 Solicitação Combinada de Torção, Força Cortante e Flexão . ..... .... ... ....... .. . 
10. LAJES NERVURADAS EM UMA E MAIS OI REÇÕes; LA JES OCAS 
10.1 LAJES NERVURADAS ............... • . .......... 
[.'..: , ". XIV. 
'.','\ 
' . 
115 
115 
11 7 
118 
118 
118 
118 
118 
121 
121 
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133 
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138 
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160 
164 
166 
166 
170 
171 
171 
.; 
10.2 LAJES NERVURADAS EM MAIS DE UMA DIREÇÃO ............................. 174 
10.3 LAJES OCAS ................. ..... ................................... 175 
10.3.1 Lajes Ocas Apoiadas em Uma Direção (Espaços Vazios na Direção do Vão) ........... . 175 
10.3.2 Lajes Ocas Apoiadas em Duas Direções ................................... . 175 
10.3.3 Lajes Ocas Apoiadas em Duas Direções com Elementos de Fõrma Paralelepipédicos ..... . 177 
10.4 OUTROS TIPOS DE PISOS ............................................... . 177 
11. NÓS DE PÓRTICOS ............... ........... ............................ .. . 179 
11.1 DESENVOLVIMENTO DOS ESFORÇOS NO INTERIOR DO NÓ ..................... . 179 
11 .2 NÓS DE PÓ RT 1 cos COM MOM ENi::os N EGATI vos (TRAÇÃO EXTERNA) ............. . 180 
11.3 NÓS DE PÓRTICOS COM MOMENTOS POSITIVOS (TRAÇÃO INTERNA) ...... .... .... . 183 
11.3.1 Nós em Ãngulo Reto ............................................... . 183 
11 .3.2 Nós com Ângulos Obtusos ou Agudos ... . . . . . ............................ . 190 
11.3.3 Muros de Arrimo de Flexão .......................................... . 191 
11 .3.4 Ligação de Pilares de Pórticos com Lajes (no Caso de Grandes Forças Horizontais) ... .. . . 192 
11.3.5 Ligaçêo de Traves a Pilares Externos Cont(nuõs .............................. . 192 
12. VIGAS-PAREDE OU CHAPAS ........ . .... . .. ............................... .. . 195 
12.1 VIGAS·PAREDE COM APOIO DIRETO. CARREGADAS EM CIMA ............ ........ . 195 
12.1.1 Vigas·Parede de Um Só Vão ...... .... ................................ . 195 
12.1.2 Vigas-Parede Contínuas ............................................. . 195 
12.1.3 Paredes Estruturais em Balanço ......................... .............. . . 199 
12.2 VIGAS-PAREDE COM CARGA PENDURADA EMBAIXO .......................... . 199 
12.3 VIGAS·PAREOE COM APOIO INDIRETO ...................... ...... ......... . 202 
12.4 PISOS DE EOIF ICIOS, PAREDES DE CONTRAVENTAMENTO E TABULEIROS DE PONTES 
COMO CHAPAS ..................... ..... . · ............................ . 205 
12.5 ARMADURA DE CHAPAS DE PISO E PAREDES ESTRUTURAIS OE CONTRAVENTAMENTO . 208 
13. CONSOLOS ............................. .... .. ....... .................... . 209 
13.1 CONSOLOS CARREGADOS DIRETAMENTE .... ..................... ......... . 209 
13.2 CONSOLOS CARREGADOS INDIRETAMENTE ............ ................. .... . 213 
14. PEÇAS COMPRIMIDAS . ........ . ........ ... ................................ . 21514.1 PRINCIPIOS BÁ.SICOS PARA A ARMAÇÃO DE PEÇAS COMPRIMIDAS ................ . 215 
14.2 PILARES DE CONCRETO ARMADO . . . ............. ..........•........ . .. . .. , 215 
14:3 CASOS ESPECIAIS DE EXECUÇÃO DE PILARES PARA EDIF(CIOS ALTOS ............. . 220 
14.3.1 Pilares com Núcleos de Aço ... .. ........... ....... .. ..... ............ . 
14:3.2 Pilares com Aço de Alta Resistência .....•.......... .. ......... . ........ . . 
220 
221 
14.4 INTERPENETRAÇÃO DAS ARMADURAS DOS PILARES E DO PISO ........ ... . ..... . 222 
14.5 PAREDES ESTRUTURAIS ............................................. · · · 226 
14.6 PAREDES DE SUBSOLO SUBMETIDAS A EMPUXO DE TERRA .... .. ......... ...... . 228 
15. REGIÕES DE INTRODUÇÃO DE ESFORÇOS .... , ............•..................... 229 
15.1 PRINCIPIOS BÁSICOS .· ................................................. . 229 
15.2 TIPOS OE ARMADURA DE FENOILHAMENTO ADEQUADAS ...................... . 230 
XV 
À 
16. FUNDAÇÕES 
16.1 OBSERVAÇÃO PRELIMINAR ... ............................. .... ......... . 
16.2 SAPATAS CORRIDAS PARA CARGAS TRANSMITIDAS POR PAREDES .... . .......... . 
16.3 FUNDAÇÕES ISOLADAS PARA PILARES .... .............. ... ........... .... . 
16.3.1 Fundações com Carregamento Predominantemente Centrado .. ....... . ..... .... . . 
16.3.1.1 Blocos de Concreto Simples .................................... . 
16.3.1.2 Sapatas Armadas ........................................... . 
16.3.1.3 Segurança de Sapatas Armadas à Punção ...... .... .... . . . ....... .. . . 
16.3.1.4 Segurança Contra a Ruptura da Aderência e Contra Ruptura por Fendilhamento .. 
16.3.2 Sapatas para Pilares Carregados Excentricamente ............................ . 
16.3.3 Fundações para Pilares Pré·Moldados ............. . ........... ........ ... . 
16.3.3.1 Fõrmas com Superf ícies Rugosas ........ .... .................... . 
16.3.3.2 Fõrmas com Superfícies Lisas ............................. . .... . 
16.4 SAPATAS CORRIDAS PARA PILARES ......................... . .... ..... .. . . 
16.5 RADIERS PARA CARGAS DE PAREDES ...... . .... ..... ....... ........... ... . 
16.6 RADIERS PARA PILARES .... .... ...... .. ..... .. ..... ..... .. ... ......... . 
16.7 ANCORAGEM DE PILARES DE AÇO NAS FUNDAÇÕES ... ..................... . . . 
16.8 BLOCOS OE COROAMENTO DE ESTACAS ..... .... .............. ..... . ...... . 
BIBLIOGRAF IA 
XVI. 
235 
235 
232 
241 
241 
241 
242 
244 
247 
250 
251 
251 
254 
254 
255 
258 
258 
260 
265 
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1. Generalidades sobre o projeto e a execução 
1.1 EVOLUÇÃO DOS TRABA LHOS DE ENGENHARIA 
O in i'cio das atividades de Engenharia em uma obra planejada é o projeto que, em geral, deve 
ser executado por engenheiros e arquitetos, em trabalho conjunto, pois formõ e construção depen-
dem intimamente uma da outra. Para o projeto de uma estrutura, é importante a experiência. que 
permite: escolher o material mais favorável , sob os pontos de vista técnico e econômico e um sistema 
estrutura l adequado; orientar para um tipo de execução favorável; avaliar as dimensões das peças 
estruturais o mais exatamente possível ou calculá-las aproximadamente, a partir de hipóteses as mais 
simples possíveis. As dimensões são então verificadas e melhoradas através de cálculo preliminar, · 
quando então se devem esboçar os deta lhes cons tru tivos e examinar sua exeqüibi lidade. O projeto 
é representado em desenhos de conjunto, com vistas gerais. Seguem-se após os cálculos estruturais 
definitivos, com o dimensionamento, quando então se devem verif icar as exigências de segurança 
quanto à capacidade resistente e à de uti l ização. Finalmente, elaboram-se os detalhes construtivos e 
produzem-se os desenhos de execução. Para isso, é necessário, freqüentemente, prever e levar em 
conta, até o detalhe, o processo de execução. 
Projetar e construir bem uma obra é uma arte que pressupõe o conhecimento amp lo e 
variado dos materiais, do desenvolvimento dos esforços, do dimensionamento, da execução e do 
comportamento, mas também uma ampla observação de obras, o exercício da profissão, além de 
aptidão natural. Em sua atividade, o engenheiro deveria sempre, por isso, aspirar não somente a uma 
boa coqstrução, mas, também, a uma bela forma. 
1.2 DOCUMENTOS T ÉCNICOS NECESSA RIOS 
Para haver entendimento claro e perfeito entre o proprietário, o arqu iteto, o engenheiro, 
o empreiteiro e os órgãos públicos na implantação de uma obra são necessários os seguintes documen-
tos técnicos: 
- desenhos de projeto, memória de cálcu lo com esquemas estruturais, desenhos de execução, 
relação de itens e quantidades de serviço, especificações e exigências de qualidade (particu larmente 
importantes), cronograma de execução; no caso de haver utilização de elemel"tos construtivos recente-
mente desenvolvidos, verificações especiais de segurança, acompanhadas eventualmente de certificados 
de ensatos e de relatórios de verificação do engenheiro verificador.* 
Na D IN 1045, Cap. 3, estão descritos, detalhadamente, os "DocumentosTécnicos"necessários. 
1.2.1 Desenhos 
O projeto de uma obra é representado por desenhos de conjunto : vistas, cortes e plantas, nas 
escalas 1 : 100 ou 1 : 200; detalhes construtivos, nas escalas 1 : 20. 1 : 10, 1 : 5 ou 1 : 1. Os desenhos 
• N. R. T. O engenheiro verificador (PrüfingenieurJ é geralmente um engenheiro consultor independente, contratado pelo órgão 
público proprietário da obra, para efetuar a verificação formal d o projeto, no caso de obras de grande importância. 
., 
que contêm a localização e a designação das peças esuuturais " servem como esquema de conjunto 
para o cálculo estrutural. 
Para a execução da obra, é necessário elaborar os desenhos de execução (working drawings) : 
Desenhos de fôrmas (concrete drawings}, nas escalas 1 : 50, 1 : 25 ou 1 : 20. Compreendem 
plantas - que representam a vista superior das superfícies das fôrmas - e cortes na estrutura con-
cluída. Estes desenhos contêm todas as dimensões, cotas, elevações, rebaixes. aberturas, canalizações 
embutidas no concreto, indicações sobre os materiais, juntas, vedações etc.; 
Desenhos de armaduras (reinforcing drawings) , nas esca las 1 : 50, 1 : 25 ou 1 : 20; detalhes 
nas escalas 1 : 1 O, 1 : 5 e 1 : 1. Destinam-se à representação das armaduras, com indicação da forma 
das barras, diâmetros, quantidades, espaçamentos entre barras, posição das camadas. comprimentos de 
emenda e de ancoragem, i:nedidas exatas de cada barra individualmente ou das malhas de armadura, 
diâmetros dos pinos de dobramento, marcas (posições) para a lista de barras, cobrimento de concreto, 
indicações sobre o tipo de aço e o traço e classe de resistência do concreto. No caso tle armaduras 
. padronizadas. é suficiente dar essas indicações sob a forma de tabelas, que, no futuro, poderão ser 
fornecidas por computador; 
2 
Desenhos de fabricação, no caso de pré-moldados. Em geral, para cada peça pré-moldada 
(prefabricated element}, existe um desenho de fabricação separado, contendo a fôrma e a armadura, 
com indicação da qualidade dos materiais, tolerâncias nas dimensões, ganchos de suspensão para 
transporte, peso da peça, instruções para t ransporte etc.; 
Desenhos de escoramentos. de fôrmas complicadas e de processos de montagem. 
1.2.2 Memórias de Cálculo 
O prefácio de uma memória de cálculo deve conter indicações sobre o fl uxo dos esforços 
na estrutura, conforme seNiu de base ao cálcu lo estrutural (como, por exemplo, a absorção das cargas 
de vento). 
O cálculo propriamente dito fornece essencialmente a demonstração da estabilidade da 
estrutura e o dimensionamento das peças est ruturais. Em casos comp licados, devem-se acrescentar 
croqu i e indicações sobre a seção transversal e a disposição da armadura. São importantes, também, · 
a avaliação do terreno de fundação, quanto a recalques e à segurança da fundação, a verificação da 
capacidéjde de utilização relativamente a deformações,aberturas de f issuras. vibrações etc. Conforme o 
caso. é necessário levar em consideração as influências da temper~tura, da retração e da deformação 
lenta. Freqüentemente, é necessário calcular. também, a estrutura para as diversas fases de execução, 
bem como os escoramentos e as fôrmas. 
Todas as demonstrações devem ser facilmente verificáveis; a bibl iografia utilizada deve ser 
indicada; fórmulas e expressões não usuais. provenientes de bibliografia dificilmente acessível, devem 
• N. R. T . Este tipo de desenho, como documento de projeto, não é usual entre nós. De acordo com a NB·16. a .designaç.lo das peças 
é feita nos próprios desenhos de fõrmas e de armaduras. 
1. Generalidades Sobre o Projeto e a Execução 
ser deduzidas. Mesmo após decorridas algumas décadas, deverá ser possível verificar um cálculo (por 
exemplo, para a execução de reformas ou de consertos) . i= ind ispensável que a escrita seja bem legível. 
1.2.3 Especificações de Execução 
Nas especificações de execução, devem ser resumidas as instruções para a execução da obra 
(como, por exemplo: a localização adequada das juntas de construção; a seqüência de implantação da 
obra ou das fases de execução; eventualmente a proteção contra variações bruscas de temperatura; exi-
gências para superfícies de concreto aparente; o processo de montagem para peças pré-moldadas etc.). 
1.3 DIRETRIZES PARA A ESCOLHA DA FORMA DAS PEÇAS DE CONCRETO 
A fabricação do concreto - que é produzido como uma massa ·pastosa - permite dar qual-
quer tipo de forma à peça estrutural. Dá-se preferência, no entanto, a formas com superf/cies simples, 
planas, de modo que se possam utilizar fôrmas (formwork, shuttering) simples, fabricadas com painéis 
planos, como, por exemplo, de madeira compensada. No caso de utilização muito repetida, vale a 
pena adotar fôrmas metálicas, sendo necessário prever a maneira mais fáci l de desformar. Para superfí-
cies com uma só curvatura, podem-se construir fôrmas econômicas com ripas pequenas de madeira 
ou com chapas de aço dobradas; já as superfícies com dupla curvatura exigem fôrmas de alto custo, 
que só excepcionalmente se revelam compensadoras. As fôrmas devem ser suficienLemente enrijecidas, 
de modo a conservar sua forma mesmo sob a ação das fortes pressões que ocorrem por ocasião da 
concretagem e do adensamento. 
A escolha da forma é fortemente influenciada pelo processo de fabricação do concreto: 
1. Concreto moldado no local (concrete cast in situ) é o concreto executado no local da 
obra, em fôrmas montadas sobre escoramento, e que exige formas simples e que as peças tenham 
espessura suficiente. A continu idade monolítica de todas as partes da estrutura que dai' resulta é 
vantajosa e conduz a reservas de segurança, devidas aos esforços hiperestáticos. 
2. Peças pré-fabricadas (prefabricated elements) são as partes pré-moldadas da estrutl:Jra, 
em usina ou no. local da obra, e posteriormente montadas. Nesse caso, deve-se procurar obter o 
menor número possível de formas e o maior número passivei de peças com a mesma forma. Quando 
o número de peças é grande, a forma pode ser complicada, desde que, cbm isso, se economize em 
materia l, peso ou mão-de-obra. Os pesos de transporte e os equipament.os de elevação devem ser 
compa_t(veis entre si. O projeto das ligações, para junção das peças pré-moldadas. é um problema 
construtivo, cuja solução exige cuidado especial (técnica das juntas). 
Não se deve adotar dimensões excessivamente delgadas, porque causam dificuldades para 
a armadura, para a concretagem e para o adensarnente, principalmente em almas de vigas e em paredes. 
Não se aeve ligar peças delgadas a peças espessas, a fim de evitar tensões internas elevadas, provocadas 
pela retração e pelos efeitos da temperatura, nas zonas de transição. Não devem existi r peças muito 
grossas, com dimensões > 80 cm em 3 direções porque provocam o aparecimento de tensões e 
fissuras devido ao elevado calor de hidratação; quando essas peças forem necessárias, deve-se empre-
gar um tipo de cimento e adotar um traço de concreto que produzam baixo calor de hidratação, 
ou, então, resfriar o concreto ou protendê-lo moderadamente. 
3 
4 .. 
" 
1.4 ESCOLHA DOS MATE RIAIS 
1.4.1 Escolha Adequada das Classes de Concreto 
Concreto simples (plain concrete}, antigamente denominado também concreto socado: 
Bn 50, Bn 100, Bn 150 - para fundações, paredes, muros de arrimo etc .• no caso de solitações 
baixas; 
Bn 150, Bn 250, Bn 350 - para paredes de subsolos, p~redes portantes delgadas em edifícios,. ou 
pilares grossos de pontes. 
Bn 150 
Bn250 
Concreto armado (reinforced concrete): 
- para peças estru turais simples de edifi'cios,submetidas a baixas solicitações, 
sem perigo de corrosão e também para fundações; não deve ser empregado 
para peças delgadas; 
- para estruturas de editt'cios usuais; 
Bn 350, Bn 450 - para estruturas de edifícios com solicitações elevadas; para pontes e 
Bn550 
outras obras de custo elevado; para peças pré-moldadas; para estruturas de 
qualquer tipo em concreto pretendido; 
- para concreto moldado no local, em peças estruturais não muito delgadas, 
com solicitações muito elevadas; para pontes e outras obras de arte; para 
peças pré-moldadas, também em edif ícios; para construções de alto custo 
em concreto pretendido; 
Classes de concreto de resistências mais elevadas até a Bn 800 - não normalizadas, necessi-
tam aprovação especial dos órgãos públicos de fiscalização; exigem uma 
inspeção extremamente cuidadosa e freqüente controle de qualidade; 
são especificadas, por exemplo, para dormentes de concreto pretendido. 
Concreto leve (light weight concrete) ( 2 ] : simples e armado, quando for especificado 
isolamento térmico ou baixo peso, entre outras razões, para o transporte. 
No caso de grandes vãos ou de muitos andares, o peso menor resu lta fre-
qüentemente em economia na armadura. no aço de pretensão ou nas 
fundações. 
De acordo com as "Diretrizes para Concreto Leve Simples e Armado com Textura Densa" 
(versão de junho de 1973). deve-se observar o seguinte: 
LBn 100, LBn 150 - podem ser utilizadas para concreto leve armado, somente no caso de 
carregamento predominantemente estático; a classe LBn 100 somente para 
peças tipo parede; 
LBn 350 e mais elevadas - necessitam, por enquanto, de aprovação em casos isolados ou licença. 
- ·- Para~ a armadura, deve-se utilizar somente barras nervuradas ou malhas de 
aço soldadas. 
Considerações econômicas 
Os custos dos agregados e do cimento são decisivos. Muitas vezes agregados mais caros 
1. Generalidades Sobre o Projeto e a Execução 
. tornam-se vantajosos. pois uma granulometria bem graduada resulta numa textura mais densa, neces-
si tando menos cimento. Agregados com granulometria descont(nua podem ser mais econômicos e 
produzir concreto de melhor qualidade, no caso. de armaduras com malhas abertas. 
1.4.2 Escolha Adequada dos Tipos de Aço para Concreto 
BSt 22/34 
(Aço para concreto 1) 
8St42/50 
(Aço para concreto 11 1) 
BSt50/55 
(Aço para concreto IV) 
Hoje em dia, é ainda utilizado quase que exclusivamente para as denomina-
das "armaduras construtivas", em zonas pouco solicitadas, e como arma-
dura de compressão; deve-se limitar o uso de barras lisas (plain bars} a 
</> ~ 8 mm e exigir barras neNuradas (deformed bars} para </> > 8 mm. 
Nos casos em que as barras posteriormente devam ser de novo dobràdas 
- como, por exemplo, barras de espera em juntas de concretagem - deve-se 
uti 1 izar de preferência o aço para concreto 1. 
Só é fornecido com nervuras. É adequado a todos os tipos de armaduras 
principais. O BSt 111 U só é soldável dentro de certas condições, porém é 
mais barato que o BSt 111 K. 
i; usado geralmente sob a forma de malhas soldadas - const ituídas de 
preferência por barras nervuradas (welded wire mesh} para armadura de 
lajes, paredes e outros tipos de estruturas laminares. As malhas podem 
ser dobradas como um todo e funcionam então comoestribos em malha, 
estribos de pilares, armadura de torção etc. 
Definições, propriedades e marcas características de fabricação dos aços para concreto 
são descritas e comentadas na D IN 488, Fls. 1, 2 e 4 (ver também [ 1 a ], Cap. 3). 
Para a encomenda de barras ou de malhas de aço para concreto armado foram estabelecidas 
certas denominações; por exemplo, uma barra de 20 mm de diâmetro, de aço BSt 42/50 R U (flervura-
do, sem tratamento} com comprimento nominal de 12 m, é determinada pelas ind icações: 
"Barra de aço para concreto 20 DIN 488 - BSt 42/50 RU - 12" 
Uma malha de aço para concreto é determinada pelas seguintes indicações: 
a) Forma de execução ; 
b) Espaçamento das barras longitudinais em mm; 
c) Espaçamento das barras transversais em mm; 
d) Diâmetro das barras longitudinais em mm; 
e) Diâmetro das barras· transversais em mm; 
d) e e) eventualmente, com acréscimo de um D . 
f) Comprimento da malha em m; 
g) Largura da malha em m; 
h) Sobreposição das barras longitudinais em mm; 
i} Sobreposição das barras transversais em mm. 
para barras duplas; 
Exemplo. Malha de aço para concreto, não·soldada, constitu ída de barras nervuradas BSt 50/55 RK 
(neNurado e deformado a frio): 
5 
1 
·l 
t 
i 
1 
'! 
·; 
1t 
1 
·!,\ .,, 
·1 
' ·t ., 
.... 1 
6 
"Malha de aço para concreto X 150 x 250 x 10 x 8 DIN 488 
- RK - 5,0 X 2,15- 125/125 -25/25". 
No caso de malhas soldadas, não se indica o X. 
No mercado alemão existem os seguintes diâmetros de barras: 
- barras individuais: (5). 6. 8, 1 O, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 28, (32. 36, 40) mm; 
- malhas de aço soldadas: 4 a 12 mm, variando de 0.5 em 0,5 mm; 
- malhas de aço não-soldadas: 4, 6. 8, 1 O, 12 mm. 
1.4.3 Utilização Simultânea de Tipos Diferentes de Aço 
Em princípio, no dimensionamento à ruptura, podem ser utilizados concomitantemente tipos 
diferentes de aço para concreto, cada um com aproveitamento integral do seu limite de escoamento f3s . 
Entretanto, para a armadura principal em uma seção transversal, deve-se adotar um só tipo 
de aço, para evitar uma possível t roca de barras na obra (por exemplo. no caso de barras com o mesmo 
diâmetro). 
Nas direções longitudinal e transversal podem ser dispostos tipos de aço diferentes, como 
por exemplo, em lajes. ou. np caso de vigas e pilares, para os estribos e para a armadura longitudinal. 
[ 2. Esforços solicitantes 
2.1 GENERALIDADES 
Para o cálculo dos esforços solicitantes, idealiza-se a estrutura real, ou suas partes. por meio 
de modelos estruturais, que, em estruturas de edifícios. são geralmente modelos de estruturas lineares 
simples (vigas. pórticos etc.). 
Os esforços solicitantes (internai forces, action effects) resultam de cargas (due to loads); em 
sistemas estruturais hiperestáticos. freqüentemente, resultam também de efeitos de coação (due to 
restraint), como por exemplo, os devido à retração, ao recalque de apoios, às variações de temperatura 
etc. Os esforços so licitantes provenientes de cargas têm que ser sempre levados em consideração no 
dimensionamento; os provenientes de efeitos de coação, o são somente quando sua influência na sorna 
dos esforços solicitantes - mesmo para a determinação da carga-limite exigida - for desfavorável. 
Desejando-se levar em conta uma eventual ação favorável dos efeitos de coação, é necessário observar 
que esses efeitos podem ser acentuadamente reduzidos pela diminuição da rigidez (stiffness) no Está-
dio 11. Pode-se levar em conta a redução dos esforços solic itantes provenientes de efeitos de coação 
provocados pela deformação lenta do concreto. 
Para o cálculo dos esforços solicitantes em estruturas usuais de edifícios é necessário. em 
geral, admitir hipóteses simplificadoras para a distribuição do carregamento, para as condições de 
apoio e. no caso de sistemas hiperestáticos. também para as relações de rigidez entre as diversas partes 
da estrutura. As hipóteses para o modelo estrutural ( = sistema estático) devem ser tais que as dife-
renças entre o cálculo e a realidade sejam as mlnimas passiveis. Os esforços resultantes de efeitos 
desprezados, em relação à realidade, devem ser, entretanto, estimados e levados em consideração 
por meio de uma armadura "construtiva". "Armadura construtiva" é a adotada sem comprovação 
analítica, para evitar fissuras muito abertas. 
2.2 CONDIÇÕES DE APOIO 
Na escolha do sistema estático, as condições de apoio têm papel decisivo. Via de regra, 
essas condições não podem ser determinadas com precisão; freqüentemente, por exemplo, admite-se 
apoio livre à rotação para lajes ou vigas, embora sua ligação monoli'tica com pilares ou paredes. ou a 
existêrlcia de cargas que atuem sobre os apoios (supports). impeçam a livre rotação. As condições reais 
de apoio, quase sempre, estarão situadas entre as condições extremas de apoio livre à rotação (por 
exemplo. apoio em linha ou pêndulo) e engastamento perfeito (por exemplo, extremidade de viga 
enga?tada em uma parede) . Antes de se iniciar o cálculo de uma estrutura. é necessário estabelecer 
claramente até que ponto a ligação de uma peça estrutural com outra pode, ou deve, ser levada em 
- . -· . ~ <::or.tn . . ô.z indicaçõ.e.s-a seguir podem seNir de orientação. 
2.2.1 Apoio Livre à Rotação 
A rigor, só existe em apoios puntuais (esféricos} ou sobre uma linha (cil i'ndricos). Apa-
relhos de apoio de elastômeros estreitos ou articulações de concreto dão um momento de engastamento 
" 1 
8 
pequeno, desprezível. No caso de lajes, ou vigas, concretadas diretamente sobre alvenaria ou sobre 
paredes de concreto sem armadura de ligação, pode-se admitir apoio livre à rotação, desde que não 
existam paredes sobre o apoio que impeçam a rotação. A resistência à t ração na junta de concreto 
provoca, in icialmente, um pequeno engastamento, que logo desaparece, devido à formação de f issuras, 
já para pequenos carregamentos nas lajes ou vigas. No caso de lajes esbeltas, muito solici tadas à f lexão, 
a abertura das fissuras pode-se tornar grande; deve-se. nesse caso. guiar a formação da fissu ra por meio 
de uma ripa de madeira (fig. 2.1 a) . O perigo de rompimento do bordo interno do apoio (f ig. 2.1 b) 
devido ao aumento da pressão pode ser evi tado com a introdução de material macio no bordo. Com 
isso, centra-se mais a reação de apoio na parede e diminui-se o perigo de flambagem. no caso de pa-
redes esbeltas. 
ai 
Localização da fissura 
fixada previamente por 
meio de ripas d e madeira 
b) 
Centragem d a carga com a in· 
t rod uçiío de ripa de m adeira 
Fissura devjdo à rotaç.i o da laje 
A pressão de bordo elevada 
podo levar o bordo a romper 
Figura 2.1 Apoio de lajes sobre paredes, na hipótese de apoio livre à ro tação 
2.2.2 Engastamento Pequeno 
Cargas atuantes em cima de apoios. como, por exemplo, as devidas a pilares ou paredes 
sobre eles, provocam um efei to de engas tamento permanente, que, em geral, pode deixar çle ser consi-
derado na determinação dos esforços solicitantes. O momento de engastamento chega a atingir, 
aproximadamente. o valor MA ;:::: 1/2 b w e deve ser coberto por uma armadura construtiva na 
parte superior (fig. 2.2a). Nesta caso, também se pode centrar as cargas com o aux ílio de materiais 
macios, introduzidos nos bordos. diminuindo-se assim as pressões de bordo na parede (fig. 2.2b) . 
a) bl 
Ripas de madeira macia 
lsolamen10 
Laje de con-
Figura 2.2 Momento de engastamento de lajes sobre paredes sem a rmadura de ligação 
2. Esforços Solicitantes 
2.2.3 Engastamento Moderado a Forte 
Quando as lajes ou vigas forem ligadas rigidamente à flexão, por meio de uma armadura, 
com as peças estruturais que lhes servem de apoio. surge um engastamento, de moderado a forte, 
conforme as relações de rigidez (fig. 2.3). Em geral, esse engastamento deve ser levado em conta nos 
( 
\ 
Apoio extremo Apoio intermediário 
Esquema astrutural 
ai Laje contínua 
®··· 
O engastamento dovo ser 
verificado analiticamente 
O ongastamento precisasor 
considerado apenas constru· 
tivamonte 
Pilar de bordo Pilar de canto 
e) Laje sobre vigas de bordo e vigas intermediárias 
1\ 
1 \ 
1 \ 
1 l 
1 I 
1 , 
'1 
1 
/ 1 
Apoio extremo em parede estrutural 
E.squema estrutural 
~~-------< 
b) Viga engastada em parede 
Pilar interno 
Figura 2.3 Diversos casos em que o engastamento de lajes ou de vigas necessita ser verificado 
9 
" 
apoios extremos. e coberto totalmente por uma armadura. Em apoios internos, esse engastamento 
pode ser desprezado, no caso de estruturas enrijecidas horizontalmente; pode-se também levá-lo em 
conta no cálculo, desde que sua eficácia seja assegurada, por meio de disposições construtivas. 
2.3 EXTENSÃO DO APOIO 
A extensão da superfície de apoio ( t = comprimento efetivo da superfície de apoio, medi-
do na direção do vão, fig. 2.4a) deve ser adotada de ta l modo que as pressões admissíveis (fig. 2.4b} 
não sejam ultrapassadas (para concreto, ver [1 b]; para alvenaria, ver DIN 1053) e que se possa acomo-
dar a ancoragem necessária da armadura. Os valores mi'n imos da extensão do apoio situam-se entre 
3 e 7 cm, ºno caso de lajes (DIN 1045, parágrafo 20.1.2), e em cerca de 10 cm, no caso d~ vigas, 
quando a armadura não for soldada a peças metá licas (fig . 4.20}. 
a) b) 
l 1 1: p < pressão admissfvel de bordo 
Figura 2.4 a) Extensão do a poio t; b) pressão admitida no apoio, no caso de apoio "rotulado" 
2.4 VÃOS 
Quando o vão (span) não for imediatamente determinado de maneira inequívoca, pelo tipo 
de apoio (por exemplo. apoios em linha ou apoios puntuais} calcula-se o vão Q da seguinte maneira : 
- na hipótese de apoio livre à rotação, a partir de um ponto situado a uma distância do 
bordo, para dentro do apoio, igual a um terço da extensão do apoio (centro de gravidade das pressões 
no apoio, admitidas com uma distribuição triangular}; ou, então, no caso de comprimento de apoio 
muito grande, a partir de um ponto situado a uma distância do bordo, para dentro do apoio, igual a 
0,925 w ( w = vão livre entre faces dos apoios} adotando-se o J:Tlenor dos dois valores; 
- no caso de engastamento, a partir do meio do apoio ou de um ponto situado a 0,025 w 
do bordo do apoio, adotando-se o menor dos dois valores; 
- em vãos intermediários de estruturas contínuas, a partir do cenfro do apoio, dos pilares 
ou das vigas . 
... .... 
; .. ·>· .... 
2. Esforços Solicitantes 
2.5 ORIENTAÇÃO PARA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 
Após a escolha do esquema estrutural. determina-se os esforços solicitantes (M . Q. N e 
eventualmente Mr) para os carregamentos devidos ao peso próprio e à carga acidental (ver DIN 1055). 
nris combinações mais desfavoráveis. Supõe-se. em geral. que as cargas distribuídas em uma superfície 
são constantes em cada tramo. 
A determinação dos esforços solicitantes. em sistemas isostáticos (statical determinate 
structure) . é simples, porque basta considerar apenas as condições de equilíbrio. O resultado inde-
pende das re lações de rigidez. 
No caso de sistemas hiperestáticos (statical indeterminate structure). é necessário levar em 
conta, ainda. as condições de deformação e, com isso, as relações de rigidez, que, no caso do concreto 
armado. dependem de muitos fatores (ver (1 a]. Cap. 5 e (1 c)). Usualmente, determina-se os esforços 
solicitantes ca lculando as deformações pela teoria elástica! admit indo-se a rigidez das seções de con-
creto sem armadura e não-fissuradas (Estád io 1). Naturalmente, a f issuração modifica as relações 
de rigidez (Estádio li) e os esforços solicitantes reais podem diferir dos calcu lados no Estádio 1. 
mesmo para cargas inferiores às de utilização. No caso de vigas contínuas (.continuous beam) e, 
especialmente, no de pórticos (frame), essa diferença pode ser considerável (fig. 2.5). Essa divergência 
de resul tados não prejudica a segurança à ruptura, porque, para solicitações mais elevadas, a plasti-
ficação parcial dos materiais origina uma redistribuição de momentos, que resulta em reserva de capa-
cidade resistente. Na maioria dos casos. portanto, é dispensável determinar mais rigorosamente as 
rigidezas, a não ser quando se deseja conscientemente distribuir os momentos mais favoravelmente, 
evitando, assim, armaduras muito densas. Para o dimensionamento, a DIN 1045 permite diminuir 
(ou aumentar) os momentos sobre os apoios em 15%, sem demonstração especial, desde que os mo-
mentos correspondentes nos vãos sejam aumentados (ou diminuídos). de acordo cbm as condições 
de equilíbrio (fig. 2.6). A fig. 2.7 mostra a diminuição e o aumento do momento no apoio, para 
diferentes distribuições de carregamento. Em [ 1 c] indica-se como é possível obter ainda maiores 
modificações na distribuição de momentos, sem prejuízo do atendimento à capacidade de util ização, 
e~colhendo-se adequadamente as relações de armadura para M apoio/ Mvão. e introduzindo-se. no 
cálcu lo. a rigidez EJll (permitido pela DIN 1045). 
Na prática, para a determinação dos esforços so licitantes, em estruturas hiperestáticas, 
recomenda-se o seguinte proced imento (ver exemplo na fig. 2.9) : 
a) estabelecimento do esquema estrutural, dos vãos e das rigidezas das peças. simplificada-
ment~. no Estádio 1. Determinação das cargas devido ao peso próprio; 
b) determinação das combinações mais desfavoráveis d~s cargas acidentais (=casos de carrega-
mento) para obter os valores máximos ou mínimos dos esforços solicitantes: os casos de carregamento 
mais desfavoráveis tornam-se imediatamente evidentes, quando se esboçam. de maneira qualitativa, as 
linhas de influência (influence fine); verifica-se assim. quais os vãos que devem ser carregados (ver 
fig. 2.8) rara se obter os valores extremos (positivos ou negativos) dos esforços solicitantes: = -- --
e) observação dos valores mlnimos dos esforços solicitantes a serem considerados de acordo 
com a norma; 
d) diminuição ou. aumento eventual de 15%. dos momentos sobre os apoios, obseNando-se 
as cond ições de cqui l íbrio. A rigor, modificação na distribuição de momentos acarreta, também, 
11 
! 
l 
l 
t 
i 
J 
1 
L 
' 
12 
modificação das forças cortantes e das reações de apoio, o que pode, entretanto, ser desprezado, 
devido à sua pequena influência; 
e) traçado de diagramas dos valores máximos e mínimos dos esforços solicitantes, como 
envoltórias de todos os diag ramas desses esforços (maxímum moment envelopes) ou in.dicação dos 
valores máximos nas seções determinantes, para servir de base ao dimensionamento e à distribuição 
da armadura. Os valores máximos dos momentos sobre apoios intermediários podem ser arredonda-
dos no trecho da.largura do apoio (ver parágrafo 2.6.1.1); 
f) pesquisa das seções determinantes para o dimensionamento (criticai sections). 
A determinação dos esforços solicitantes em lajes em duas direções é mais complicada; 
algumas indicações sobre o assunto encontram-se no Célp. 8. 
a) l' l J J J J l J J J J tl 
b) 
e1ll) não fissurado, dovi· 
do il fsrça normal maior 
Diagrama de M 
Diagrama do M 
1 
Momento no apoio 
/ para e1m 
Diagrama de N 
Momento no apoio 
para e10ll 
Oisgrama de N 
Figura 2.5 Distribuição de esforços solicitantes em sistemas hiperestáticos: a) com as relações de rigidez do Estádio I; 
b) com a consideração das relações reais de rigidez no Estádio li 
2. Esforços Solicitantes 
Mapoio• para 
Figura 2.6 Distribuição de momentos com a diminuição de 15% do momento no apoio 
ai 
b) 
cl 
q = g + p 
! ~OOUU IUlli 'ºli! HHHIH 
liOOOOIHUllilOIUIUOO 
9 
q 
1 
1 
1 
1 
1 
0, 15 Mapoio li 
1 
1 
sz, _____ __,,J ... 
1 
·~ .. 
Caso de carregamento 1 
Caso de carregamento li 
Diminuição de Mapoio, para 
o caso de carregamento li 
Aumento de Mapoio, para 
o caso de carregamento t 
Envoltória de momentos 
máximos e mínimos, com 
redistribu ição de acordo 
coma) e b). 
De acordo com a DIN 1045, 
permite-se, sem verificação, 
a redistribuição de momen· 
tos em lajes, vigas e vigas T 
·contínuas com vãos de até 
12m.Figura 2.7 Redistribuição de momentos, para diferentes casos de carregamento e cnvoltória de momentos 
13 
., 
! 
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~ 
i • 
J 
~-·\ . 
l·:. 
li· • 
14• 
A B e o 
C5. 
1 
lS 2 zs 
1 1 3 
1 1 J 
a) Esforços solicitantes 1 
1 1 ! 
1 Me Me 1 
1 A ;.._- 1 
NJ±J:rv4?''((1JY'4"~ 
1 1 M2 I M 1 
J Mi OBdir ÜCdir 3 1 
~ A11ffJ)lflP" À [tJV ~ 
09 esq 
ts 
Ocesq 
te ªº to 
b) Linhas de influência 1 
~ s 
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E o 
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~ .. 
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o 
u 
1 
1 . 1 i 
l 1 1 
1 ~i.c:=:-::---.1 -= 1 
1 1 2 1 : 
1-==1~1=1 
1 
1 1 
1 1 1 V l-===~ ---=I 
--p 
... 1 ... 2 o 3J2 A 8 e 
Momentos: Mi max 
M3 max 
Mo min.M2 min 
Forças cortantes: OAmax 
(ver par.ígrafo 2.6.21 Oo min 
Reações de apoio: Amax 
(ver parágrafo 2.6.3) Dmax 
li 
-- p 
" ... " 
Mzmax 
Mi min 
M3min 
A 
B 
J., 
Combill3çâo de cargas mais d esfavoravel 
A 
Ili 
----p 
"' " .. J,. 
Memin 
Oeesq min 
09 dir max 
Bmax 
B e 
Peso pr6prio g 
Carga Cni l p 
Vão em que p atua 
IV 
p 
" "' .. l.. 
Mcmin 
<lc ~sq min 
Oc dir max 
Cmax 
o 
V 
Mt max 
Mt min 
Mamax 
Mamin 
Mzmax 
Mzmin 
09 esq max 
09 esq min 
Oa dirmax 
OBdirmin 
Amax 
Amin 
Bmax 
-----g 
" .. "' J,, 
M devido ao peso 
próprio 
a devido ao pM<> 
próprio 
A a D dovido ao 
peso próprio 
Figura 2.8 Pesquisa das combinações de cargas mais desfavoráveis, com o auxilio de linhas de influência esboçadas 
qualitativamente (mostrado para uma viga contínua) 
2. Esforços Solicitantes 
A B 
a) Estrutura 
e o 
b 
2 
Esquema estrutural l 
l EI~ 
1 
e1; 1 
l 1 -------.;1"-~ - - -- ~ 2 --?----- ~ 3 ------J>'-. 1 
Carregamento: Peso próprio g 
Carga acidentei p 
b) Casos do carreoamonto (ver fig. 2.81 
e) Diagramas de momentos 
Valores máximos dos momentos = envolt6ria de todos os diagramas de momentos 
para os casos de CJ1rregamento 1 a V 
Diagrama de momentos para o caso de carregamento l (os demais casos 
não es~ão todos indicados) 
d) Redistribuição de momentos (ver figs. 2.6 o 2.7) mostrada para os valores mfnimos dos momentos nos apoios 
e) Arredondamento na largura do apoio b (ver fig. 2.10) 
. 1 
1 
1 
1 
Figura 2.9 Determinação de esforços solicitantes {exemplo para laje de piso, contínua) 
h 
J 
15 
16 
·. 
2.6 ESFORÇOS SOLICITANTES DETERMINANTES DO DIMENSIONAMENTO 
2.6.1 Momentos Fletores Determinantes 
2.6. 1. 1 Momentos Negativos nos Apoios 
Quando se admite, ao fazer o cálculo estrutural, que os apoios são livres à rotação. os 
momentos nos apoios (moment at support} podem ser arredondados segundo uma parábola, no t recho 
correspondente à largura do apoio (f ig. 2. 1 O). 
No caso de ligação r ígida de lajes ou vigas com os seus apoios, basta em geral considerar, 
no dimensionamento . o momento no bordo M r = M
5 
- .D.M r •. porque a altura úti l cresce de 
h r a h
5
• De acordo com a DIN 1045, entretanto, esse momento no bordo não pode ser suposto 
menor que (ver fig. 2.11 a): 
1 
IMr l ~ - q w 2 
10 
1 
IMrl ~ - q w 2 
12 
no primeiro apoio interno do vão extremo 
(porém não maior que M
5
!); 
nos demais apoios intermediári os. 
(2.1) 
(2.2) 
No caso de ligação sem rigidez à flexão com o apoio {por exemplo, apoio sobre alvenaria), deve-se 
dimensionar para o momento no apoio M
5 
- .ó.M
5 
(fig. 2. 10). 
1 
hs > hr• ponanto M,. via de regra, é 
determinante para o dimensionamento 
Mr = M5 - óMr, dir 
com 
ó Mr, d ir = 
bo bo' bo 
= Clc!ir • 2 - q a "" Clc!ir • - 2-
quando l<ld;, I < l<losq l 
bo 
A = Üesq + Clc!ir 
( 6 M5 "' A • 0 determinante 
no caso de ligação sem rigidez à 
flexão com os apoios, por exem-
plo, alvenariol l 
1 
figura 2.10 Arredondamento do diaorama de momentos no trecho da largura do apoio b0 
•N. R. T. Os índices que aparecem sign ificam: r bordo, s apoio, f vão. --:-
. / 
.·· 2. Esforços Solicitantes 
/ 
/ 
// i6. 1.2 Momentos Positivos nos Apoios 
Momentos positivos nos apoios podem surgir no caso de recalques grandes e desiguais 
dos apoios, como, por exemplo, no caso de lajes apoiadas em vigas de aço esbeltas. Quando estes 
casos ocorrerem, a armadura deverá ser disposta convenientemente. 
2.6.1.3 Momentos Positivos nos Vãos 
No caso de carregamento uniforme, não se pode supor os momentos menores que: 
1 
Mr ~ - q Q2 
14 
no vão extremo; (2.3) 
1 
Mr ~ 24 q Q2 nos vãos intermediários. (2.4) 
Esses valores correspondem a um engastamento perfeito só em um lado e em ambos os lados, respecti-
vamente (ver fig. 2.11 b). Quando se considera o grau de engastamento real na determinação dos mo-
mentos, não é necessário respeitar esses va lores. 
Ligação rfgida à flexão -- "~ . ... / .. . ...... ·/ 
1 
( Livre ;I rotação 1 
l~I 
1 
1 
1 
1 
Carregamento: 
Carga uniforme 
Esquema estrutu-
ral simplificado 
para ~lculo dos 
momentos 
a) 
Momentos 
nos apoios 
b l 
Momentos 
nos vãos 
Figura 2.1 1 Valores mínimos para os momentos nos bordos e para os momentos nos vãos, no caso de vãos aproxima· 
damente iguais (2/~k ;;;;: 0,8), quando não for determinado anali ticamente o engastamento parcial nos 
apoios 
17 
l 
{· 
~ 
-
2.6.1.4 Momentos Negativos nos Vãos 
No caso de lajes, vigas ou lajes nervuradas cont ínuas, ligadas rigidamente à flexão aos seus 
apoios. quando os momentos forem calculados admitindo-se apoios livres à rotação, os momentos 
ne~ativos nos vãos, devido à carga acidental, podem ser reduzidos aos seguintes valores: 
a 50%, no caso de lajes nervuradas contínuas; 
a 70%, no caso de vigas contínuas. 
Com isso, leva:se em consideração o engastamento parcial. 
1 J Jl t~'1Jt1 1JJ 1 \11'' l l l ~' IQ 
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Diagrama de forças cortan-
tes determinante no caso 
· de apoio direto 
Armadura de suspensão 
(ver parágra fo 9.9) 
Diagrama de fo rças cortan· 
t es determinante no caso 
de apoio indireto 
Figura 2.12 Seções determinantes para a força co rtante 
..... _. .. 
· . ... ~ 
2. Esforços So licitantes 
2.6.2 Forças Cortantes Determinantes 
No caso de estruturas de edifi'cios, levando-se em conta a continuidade ou o engastamento, 
as forças cortantes (shear forces) podem ser calculadas para o carregamento total em todos os vãos; 
porém quando os vãos forem diferentes, só se a relação entre os vãos adjacentes satisfizer à condição: 
Qmenor : Qmaior > O, 7· 
Caso con trário, deve-se considerar o carregamento variável, conforme o vão (ver fig. 2.8}. 
As seções determinantes para o dimensionamento (criticai sections) devem ser as indicadas 
na f ig. 2.1 2. 
2.6.3 Reações de Apo io Determinantes 
. Em estruturas de ediHcios, no caso de peças estruturais apoiadas numa só direção, as reações 
de apoio podem ser calculadas, em geral, sem se levar em consideração a con tinuidade, ou seja, corno 
vigas simplesmente apoiadas. Para a reação de apoio (support reaction) no primeiro apoio intermediá-
rio e para uma relação entre os vãos adjacentes menor que 0,7. é necessário levar em conta a continu i-
dade e o carregamento variável conforme o vão {ver fig. 2.8). 
19 
,•, 
[ 3. Generalidades sobre a armação 
Para armar corretamente. é necessário ter uma idéia clara do desenvolvimento dos esforços 
no interior da estrutura. principalmente no Estádio li. mas é preciso também examinar detalhadamen-
te os aspectos práticos do processo construtivo. Só se consegue solucionar bem os problemas de 
armaduras complicadas com trabalho exaustivo, até o detalhe, e amor pela atividade de projetar. O 
engenheiro deve conscientizar-se que o grau de importância da arte de armar é o mesmo que o de suas 
demais tarefas parciais, n9 quadro de atividades de uma obra. 
3.1 OBJETIVOS DA ARMAÇÃO 
A armadura do concreto com barras de aço, malhasde aço, telas ou malhas de arame tem . 
por finalidade vários objetivos. 
- A armadura de aço deve absorver os esforços de tração em peças estruturais solicitadas 
à flexão e à t ração. No seu dimensionamento, admite-se que o concreto, devido à sua pequena resis-
tência à tração. não colabora na absorção dos esforços de tração. As armaduras . portan.to. têm por 
função contribuir para a capacidade resistente ou para a estabi lidade da estrutura. 
- Com a armadura, não se pode evitar o aparecimento de fissuras no concreto solicitado à 
tração; a armadura deve, porém, fazer com que as fissuras no concreto, sob a ação das cargas de 
utilização. permaneçam na ordem de grandeza de capilares, isto é, que não sejam facilmente visíveis 
a olho' nu. Com esse objetivo, foram estabelecidos os se.guintes valores máximos para aberturas de 
fissuras : em ambiente seco 0,3 mm e ern ambiente úmido 0,2 mm, que não devem ser ultrapassados 
para não prejudicar a proteção contra a corrosão. No caso de concreto pretendido ou concreto 
aparente, em que as exigências são mais rigorosas, a abertura admissível das f issuras deve ser ainda 
menor, como por exemplo, 0.1 mm. 
- Em muitos casos. a armadura também tem a função de limi tar a abertura das fissuras 
devido a estados de tensão produzidos por efeitos de coação, tais como o impedimento à deformação, 
no caso de variação de temperatura. de retração. de estruturas hiperestáticas etc. 
- Em peças comprimidas. a armadura tem por função aumentar a capacidade resistente 
do concreto à compressão (por exemplo. no caso de pilares) ou a segurança de peças comprimidas 
esbeltas contra a flambagem. evitando ainda o aparecimento de grandes fissuras ou o colapso devido à 
ação simultânea de momentos fletores. Com armadura de compressão, pode-se também diminuir 
as deformações devido à retração do concreto e à deformação lenta - por exemplo, as flechas devido 
à retração e à deformação lenta - dispondo a armadura nas zonas comprimidas na flexão altamente 
solicitadas. A armadura solicitada somente à compressão, em peças sem perigo de flambagem, deve ser 
tão pequena quanto possível, por motivos econômicos, devido à existência de concretos de alta 
resistência. Quando ocorrerem tensões de compr~ão elevadas. será necessário dispor uma armadura 
transversal ou um cintamento, que garanta o concreto contra o risco de fendilhamento devido à 
deformação transversal ou à tração transversal e a armadura de compressão contra o risco de flambagem. 
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22 
- Armaduras com malha estreita - por exemplo, telas de arame com abertura de malha 
da ordem de 3 a 5 cm - ou malhas de arame são utilizadas como armaduras de pele para evitar que o 
cobrimento de concreto das armaduras principais se rompa devido a tensões de aderência ou em caso 
de incêndio (ver DI N 4102). 
3.2 DISPOSIÇÃO MAIS FAVORÁVEL DA ARMADURA 
Obtém-se um comportamento resistente mais favorável das peças de concreto armado, 
quando as armaduras forem dispostas segundo as trajetórias das tensões principais de tração e distribuí-
das, em barras finas, na seção tracionada, proporcionalmente ao valor das tensões de tração. Essa regra 
é seguida quase que somente no caso de cascas e de outras estruturas laminares de parede fina. Em 
todos os demais tipos de estrutura, para diminui r o custo, a disposição da armadura é limitada a duas 
ou três direções e às zonas de bordo, ficando, assim. muito simpli ficada. 
A direção da armadura principal (dírection of main reínforcement) deve coincidir, o mais 
possível, com a das tensões principais de tração. Em lajes e chapas, es$as duas direções não devem 
divergir de mais de 20°. Quando a divergência é superior a 20°, a rigidez no Estádio li diminui devido 
ao aumento de solicitação nas bielas de compressão que se formam e. também, às deformações secun-
dárias da armadura nas fissuras; em conseqüência, as aberturas das fissuras aumentam (ver também o 
Cap. 8). Nas armaduras de cisalhamento e de torção, entretanto, essas desvantagens são levadas 
em conta quase que regularmente: elas são projetadas com uma divergência de direção que varia de 
40° a 45º . 
3.3 LIGAÇÃO DAS BARRAS DA ARMADURA PARA A FORMAÇÃO DE CONJUNTOS RrGIDOS 
As barras devem ser ligadas entre si para formar "gaiolas" ou "esqueletos" (cages) rígidos, 
indeslocáveis; na Alemanha, até recentemente, essa ligação era feita amarrando-se ou prendendo-se 
as barras com arame de amarração; hoje em dia, faz-se também por meio de brasagem*; no exterior, 
de preferência, por meio de solda. 
Com solda de resistência por pontos, executam-se conjuntos de armaduras particu larmente 
rígidos. Na A lemanha, entretanto, esse processo só pode ser uti lizado em fábricas sujeitas à fiscal i-
zação, como, por exemplo, para a fabricação de malhas de aço para concreto. Muitos aços para 
armadura alemães (por exemplo o 111 U} tornam-se mais ou menos frágeis, quando são soldados [3 ]. 
No exterior, freqüentemente, utiliza-se aço produzido em fornos Siemens-Martin, com baixo teor de 
carbono,· fósforo e enxofre, mais adequado à solda, e ao qual se aplica bem a solda por pontos. Na 
França, na Áustria, nos Estados Unidos e na Rússia, por exemplo. as armaduras de pilares, vigas, 
paredes etc. são pré-fabricadas em usinas, por meio de solda com proteção a gás. formando elementos 
ou conjuntos rígidos, de grandes dimensões, e que são transportados ao local da obra, lá montados e 
colocados nas fôrmas. 
'N. R. T. Brasagem é o processo de solda que se realiza por açio do metal de adição, fundido entre as bordas do metal-base não 
levadas à fusão (cf. Associação Brasileira para o Desenvolvimento da Solda Elétrica). 
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3. Generalidades Sobre Armaduras 
3.4 ESCOLHA DOS DIÂMETROS E ESPAÇA MENTOS DAS BARRAS 
l'.'Jo caso de. elevadas tensões no aço, ·que surgem na zona de tração, quando se aproveitam 
in tegralmente os aços BSt 11 1 e·sst IV, os diâmetros das barras (bar sizes} çlevem ser escolhidos de ta·I 
modo que: 
a} não surjam tensões de fendilhamento muito elevadas, 'pela ação da aderência; 
b) as aberturas das fissuras permaneçam abaixo dos valores admissíveis. 
Por esse motivo, 3 DIN 1045 limita o diâmetro máximo das barras, por exemplo, a 28 mm 
para o BSt 111; e a 16 mm para o BSt IV, o que faz sentido para barras tracionadas. Em peças com 
paredes delgadas. as barras deveriam ser escolhidas com </> ~ 0, 12 d ( d = espessura da peça). Em 
peças comprimidas de grandes dimensões, pode ser conveniente uti l izar barras com </> > 28 até cerca 
de tlO mm. 
Em princípio, as distâncias entre as fissuras e as abertu ras das fissuras são tanto menores 
quanto menor o. espaçamento entre as barras (/;Jar spacing} e o diâmet ro das barras. Para evitar fissu ras 
visíveis, o melhor é utilizar barras com </> = 5 a 10 mm, espaçadas de 5 a 10 cm, quando não forem 
necessárias barras de diâmetro maior, para a absorção das cargas. 
O espaçamento mínimo entre barras paralelas fora dos locais de emenda, deve ser e ;;?;. r/> 
ou e ;;;;i: 2 cm (fig. 3. 1). Quando a dimensão máxima do agregado for 8 mm, pode-se reduzir emin a 
até 1 cm (diferente do especificado na _DIN 1045). Deve-se considerar, entreranto, que.no caso do 
espaçamento entre bar~as ser mu ito pequeno, podem-se formar ninhos de concretagem, devido à 
ação de peneiramento. Sempre que for possível, portanto, e desde que não haja desvantagens, a 
distância livre entre barras deverá ser maior do que a mínima especificada e ser aproximadamente uma 
vez e meia o maior diâmetro do agregado. Deve-se prestar atenÇão a esse fato, especialmente quando 
as barras forem e·mendadas por traspasse, ou quando se utilizarem agregados com granulometria 
descontínua. Em zonas com tensões de aderência elevadas, podem ser necessários espaçamentos 
maiores, devido ao perigo de fendilhamento (ver parágrafo 16.3. 1.4). 
·{ (;;. 1,5 diâmetro máximo do agregado: recomendação) 
;;;., 2 cm 
Figura 3.1 Critérios para o espaçamento mínimo de barras