Estácio - Aula 3: Potenciação e Radiciação

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Disciplina: Bases matemáticas aplicadas à
saúde
Aula 3: Potenciação e Radiciação
Apresentação
Nesta aula, serão apresentadas situações que podem despertar a possibilidade de utilizar a potenciação ou a exponenciação
como formas de abreviar a multiplicação de uma sequência de fatores iguais nos alunos. Quando se multiplica um número
sucessivas vezes, é possível eleva-lo à quantidade de vezes que o número é multiplicado.
Será abordada também a radiciação, que é a forma de conhecermos a raiz de um determinado número. Sendo um tipo de
representação de expoentes fracionários. Para entender radiciação, é necessário entender também potenciação.
Objetivos
De�nir as propriedades de potenciação;
Solucionar problemas com potenciação e radiciação;
Resolver expressões numéricas com potenciação e radiciação.
De�nição de potenciação
A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. O produto 3x3x3x3 pode ser indicado na forma 3 . O símbolo a , sendo a
um número inteiro e n um número natural maior que 1, indica o produto de n fatores iguais a:
4 n
O resultado corresponde à potência.
Base real e expoente inteiro
Quando o expoente é inteiro, signi�ca que ele pode possuir número negativo ou positivo.
Veja os tipos possíveis de expoente inteiro:
Clique nos botões para ver as informações.
Quando a base for um número real e o expoente for positivo, obtemos a potência efetuando o produto dos fatores.
Acompanhe alguns exemplos:
2 +2 = 2 × 2 = 4
0, 3 +3 = 0, 3 × 0, 3 × 0, 3 = 0, 027
1
2
) +2 =
1
2
×
1
2
=
1
4
Expoente positivo 
(
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Se o expoente é negativo, devemos fazer o inverso do número, isto é, trocar numerador com denominador, para o expoente
passar a ser positivo. Observe alguns exemplos:
2 - 2 =
1
2 +2
=
1
2
×
1
2
=
1
4
0, 3 - 3 =
3
10
- 3
=
1000
27
Expoente negativo 
( )
1
2
- 2
=
2
1
+2
= 2 · 2 = 4( ) ( )
Quando o expoente for igual a um positivo, a potência será o próprio número da base. Veja os exemplos abaixo:
a = a
2 = 2
4 = 4
100 = 100
Expoente igual a 1 
1
1
1
1
Se o expoente for 0, a reposta referente à potência sempre será 1. Acompanhe os exemplos:
a = 1
1000 = 1
25 = 1
Expoente igual a 0 
0
0
0
Atividade
1. Em 7 = 49, responda:
Qual é a base?
Qual é o expoente?
Qual é a potência?
2
2. Escreva na forma de potência:
a) 4x4x4=
b) 5x5=
c) 9x9x9x9x9=
d) 7x7x7x7=
e) 2x2x2x2x2x2x2=
f) cxcxcxcxc=
Propriedades da potenciação
As propriedades da potenciação são utilizadas para simpli�car os cálculos. Há, no total, cinco propriedades (RATTAN, K.;
KLINGBEIL, N. 2017).
1. Produto de
potências de
mesma base
Conserva a base e
soma os expoentes.
a . a = a
2 . 2 = 2 + 3 = 2
4 . 4 = 4 + 2 = 4
n m n + m
2 3 2 5
5 2 5 7
2. Divisão de
potências de
mesma base
Conserva a base e
subtrai os
expoentes.
an ÷ am =
an
am
= an -m
56 ÷ 52 =
56
52
= 56 - 2 =
 Atenção! Para
visualização
completa da
tabela utilize a
rolagem
horizontal
3. Potência de
potência
Devemos multiplicar
os expoentes.
(a ) = an m n . m
4. Potência de
um produto.
O expoente geral é
expoente dos
fatores.
(a x b) = ( a x b )n n n
5.
Multiplicação
de potências
com o mesmo
expoente.
Conserva o expoente
e multiplica as
bases.
a x b = (a x b)
4 x 6 = (4 x 6)
7 x. 4 = (7 x 4)
n n n
2 2 2
3 3 3
Atenção
Fique atento aos sinais.
Número negativo elevado a expoente par �ca positivo.
Exemplo: (−2) = −2 x−2 x−2 x−2=16
Número negativo elevado a expoente ímpar permanece negativo.
Exemplo: (−2) = −2 x−2 x−2= −8
Se x = 2, qual será o valor de “- x ”?
Observe:
- (2) = -4 pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado.
- x = - (2) = -4 → os parênteses devem ser usados, porque o sinal negativo “-” não deve ser elevado ao quadrado, somente o
número 2 que é o valor de x.
2
3
2
2
2 2
Nomenclaturas
7
Quadrado
O expoente 2 é chamado de quadrado.
Em 7 , lemos sete elevado ao quadrado.
2
2
4
Cubo
O expoente 3 é chamado de cubo.
Em 4 , lemos quatro elevado ao cubo.
3
3
5
Quarta potência
O expoente 4 é chamado de quarta potência.
Em 5 , lemos cinco elevado à quarta potência.
4
4
2
Quinta potência
O expoente 5 é chamado de quinta potência.
Em 2 , lemos dois elevado à quinta potência.
5
5
Saiba mais
Assista aos vídeos sobre potências de produtos e quocientes <https://pt.khanacademy.org/math/algebra/rational-exponents-and-
radicals/alg1-exp-prop-review/v/multiplying-and-dividing-powers-with-integer-exponents> e resolva as atividades a seguir.
Atividade
3. Utilize o que foi visto até aqui e resolva os seguintes exercícios:
a) 3 =
b) 2 =
c) 30 =
d) 3 =
e) (-2) =
f) (-8) =
g) -
1
2
4
=
h) (-10) =
i) -2 =
j) (-1) =
3
3
2
0
4
3
( )
-2
4
43
4. Utilize as propriedades para uni�car as potências:
a) 4 x 4 =
b) 6 x 6 =
c) 7 x 7 =
d) 
93
9
=
e) 8 ÷ 8 =
f) 6 ÷ 6 =
g) (7 ) =
h) (6 ) =
i) (7 ) =
3 2
3
2 6
7 3
6
2 4
3 5
8 0
5. Uma cultura inicial de 100 bactérias reproduz-se em condições ideais. Supondo que, por divisão celular, cada bactéria dessa
cultura dê origem a duas outras bactérias idênticas por hora.
a) Qual é a população dessa cultura após 3 horas do instante inicial?
b) Depois de quantas horas a população dessa cultura será 51.200 bactérias?
 Fonte: Por ShutterStockStudio / Shutterstock).
Radiciação
A radiciação é a operação inversa da potenciação. Ela é muito utilizada na obtenção de solução de equações e na simpli�cação
de expressões aritméticas e algébricas. Ao considerar um número real não negativo x e um número natural n ≥ 1, chama-se raiz
enésima de x o número real não negativo y tal que y = x.
O símbolo utilizado para representar a raiz enésima de x é 
n
√x, que é chamado de radical. Nesse símbolo, x é o radicando e n é o
índice.
Pela de�nição de radiciação, temos que:
n
n
√x = y → y ≥ 0 e yn = x
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Exemplo
3
√27 = 3 (raiz cúbica de 27 igual a 3)
√16 = 4 pois 4 = 16
(Raiz quadrada de 16 igual a 4), quando não aparece o índice, consideramos esse índice igual a 2.
3
√8 = 2, pois 2 = 8
4
√81 = 3 pois 3 = 81 (Leia-se: raiz quarta de 81 igual a 3).
2
3
4
Veja, a seguir, as propriedades da radiciação (RATTAN, K.; KLINGBEIL, N., 2017)
n
√0 = 0
n
√1 = 1
n
√an = a
n
√xm =
n · p
√xn · p
n
√x · a =
n
√x ·
n
√a n x
a
=
n
√x
n
√a√
n
√x
m
=
n
√xm( )
m n
√x =
m · n
√x√
m
√xn = x
n
m
Atividade
6. Calcule 8
4
3 e marque a opção correta:
a) 12.
b) 16.
c) 32.
d) 8.
e) 64.
7. Indique o valor correspondente a 10√2 √
2
÷ (0, 1)5 ?( )
a) 10 .5
b) 10 .3
c) 10 .4
d) 10 .6
e) 10 .7
Expressões numéricas com potenciação
Para resolver uma expressão numérica, efetuamos as operações obedecendo à seguinte ordem:
1. Potenciação

2. Multiplicações e divisões

3. Adições e Subtrações
Exemplo
Exemplo A
5 + 3 x 2 =2
= 5 + 9 x 2 =
= 5 + 18 =
= 23
Exemplo B
7 - 4 x 2 + 3 =
= 49 – 8 + 3 =
= 41 + 3 =
= 44
2
Há expressões em que aparecem os sinais de associação e que devem ser eliminados na seguinte ordem:
( )
Parênteses

[ ]
Colchetes

{ }
Chaves
Exemplo
40 – [5 + ( 2 - 7 )] =
= 40 – [5 + ( 8 - 7 )]
= 40 – [25 + 1 ] =
= 40 – 26 =
= 14
50 – {15 + [4 : (10 – 2) + 5 x 2]} =
= 50 – {15 + [16 : 8 + 10]} =
= 50 – {15 + [2 + 10]} =
= 50 – {15 + 12} =
2 3
2
2
= 50 – 27 =
= 23
Atividade
8. O valor da expressão 72 - √64 + 32 é?
a) 42.
b) 51.
c) 50.
d) 38.
9. Escreva na forma de potência com expoente fracionário 
5
√32:
a) 3
3
5 .
b) 2
2
5 .
c) 3
1
5 .
d) 3
2
5 .
e) 3
10
5 .
 Fonte: Por Sashkin / Shutterstock.
Raízes literárias
Escrever o radical √x9 na forma de expoente fracionário x
9
2
 não resolve o problema, pois 9 não é divisível por 2. Decomporemos o
número 9 da seguinte forma:
9 = 8 + 1, pois 8 é divisível por 2 que é o índice da raiz (RATTAN, K.; KLINGBEIL, N., 2017).
Assim,teremos:
√x9 = √x8+1 = √x8 · x1 = √x8 · √x = x
8
2 · √x = x4 · √x
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Exemplo
3
√x14 =
3
√x12+2, pois 12 é divisível por 3 (índice da raiz)
=
3
√x12 · x2
=
3
√x12 ·
3
√x2
= x
12
3 ·
3
√x2
= x4 ·
3
√x2
Atividade
10. O cálculo do IMC é feito dividindo o peso (em quilogramas) pela altura (em metros) ao quadrado. É simples calcular o seu
IMC. Por exemplo, se o seu peso é 80kg e a sua altura é 1,80m, a fórmula para calcular o IMC �cará:
IMC =
80
1 , 82
=
80
3 , 24
= 24, 69
Mas se você precisasse saber qual deveria ser a altura que uma pessoa com 80 Kg e IMC igual a 23? Como você faria esse
cálculo? Qual é a resposta correta?
a) 1,68m.
b) 1,86m.
c) 1,59m.
d) 1,91m.
e) 1,89m.
Notas
Referências
GUIMARÃES, L., et al. Bases matemáticas para Engenharia. Rio de janeiro: SESES, 2015.
ZENKER, I. Radiciação. Universidade de São Paulo. Disponível em: //eaulas.usp.br/portal/video.action?idItem=7501
<//eaulas.usp.br/portal/video.action?idItem=7501> . Acesso em: 27 nov. 2018.
Próxima aula
Porcentagem;
Notação Cientí�ca.
Explore mais
Assista ao vídeo sobre Matemática Básica – Potenciação <https://matematicabasica.net/potenciacao/> .
Assista ao vídeo sobre Matemática Básica – Radiciação <https://matematicabasica.net/radiciacao/> .
Pratique com a lista de exercícios <galeria/aula3/anexo/a3_doc1.pdf> .
Depois, con�ra suas respostas no gabarito <galeria/aula3/anexo/a3_doc2.pdf> .