Lógica e Raciocínio - Questionário

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Lógica e Raciocínio /
Lógica e Raciocínio - Tipos de Provas Matemáticas I
Sobre demonstrações matemáticas, podemos afirmar que:
a
Uma demonstração pode ser feita testando casos particulares até um número satisfatório e, se não encontrarmos nenhuma contradição, o resultado é considerado válido. Esta é a prova intuitiva
b
Uma demonstração por indução pode ser feita verificando o resultado para os primeiros 100 casos, e sendo válida nestes casos, estende-se a validade para todos os números naturais
c
Uma demonstração não pode ser pautada somente em testes de casos particulares, porém um caso particular pode verificar que a implicação hipótese-tese é falsa, como é o caso da Conjectura de Euler
d
Em uma prova direta, supomos a hipótese e negamos a tese, a fim de encontrar uma falha lógica
e
Em uma demonstração indireta, utilizamos a relação lógica “p ⇒ q”
 Estranhou esse gabarito?
Juliana Mayra Silva Marcilio
sugeriu uma solução
Alternativa C. Uma demonstração não pode ser pautada somente em casos particulares, logo as alternativas A e B estão incorretas. A alternativa D descreve a prova indireta, e a alternativa E, descreve a prova direta.
Iarley da Cunha Melo
sugeriu uma solução
Uma demonstração não pode ser pautada somente em testes de casos particulares, porém um caso particular pode verificar que a implicação hipótese-tese é falsa, como é o caso da Conjectura de Euler
Lógica e Raciocínio /
Lógica e Raciocínio - Tipos de Provas Matemáticas I
Sobre demonstrações matemáticas, podemos afirmar que:
a
Em uma prova por indução não é necessário verificar a base da indução, pois ele serve apenas de intuição para o argumento de indução, e não possui importância no argumento lógico-matemático
b
Uma prova direta consiste em duas etapas: a base da prova e o passo indutivo
c
A prova indireta é pouco utilizada pois não possui base lógica para validar teoremas e proposições
d
Em uma prova por indução é necessário verificar a base de indução, pois sem ela não é possível garantir que o resultado é válido
e
Uma prova indireta consiste em duas etapas: a base da prova e o passo dedutivo, porém este tipo de prova só funciona para demonstrações geométricas
 Estranhou esse gabarito?
Juliana Mayra Silva Marcilio
sugeriu uma solução
Alternativa D. As demais alternativas contradizem as definições de prova direta, indireta e por indução.
Iarley da Cunha Melo
sugeriu uma solução
Em uma prova por indução é necessário verificar a base de indução, pois sem ela não é possível garantir que o resultado é válido
Boa solução?
Lógica e Raciocínio /
Lógica e Raciocínio - Tipos de Provas Matemáticas I
Um matemático adota a seguinte estratégia para demonstrar um teorema: partindo da hipótese inicial, demonstra para um caso particular inicial indexado pelos Naturais, e supondo válido para algum número natural genérico, verifica que a tese é válida para o sucessor deste número.
A estratégia de demonstração utilizada por este matemático é:
a
Prova direta
b
Prova indireta
c
Prova por contradição
d
Prova por indução
e
Prova por dedução finita
 Estranhou esse gabarito?
Juliana Mayra Silva Marcilio
sugeriu uma solução
Alternativa D. A descrição dada na questão vai de encontro com os passos descritos na prova por indução.
Iarley da Cunha Melo
sugeriu uma solução
Prova por indução
Lógica e Raciocínio /
Lógica e Raciocínio - Tipos de Provas Matemáticas I
Uma demonstração matemática pode envolver diversas técnicas já conhecidas (de fato, esta é uma prática muito comum). Suponha que um matemático adota a seguinte estratégia para demonstrar um lema técnico: partindo da hipótese inicial, demonstra através da estrutura de implicações “p ⇒ q” um resultado particular, e indexado pelos números naturais, demonstra que se o resultado é válido para um número natural genérico, que a tese é válida para o sucessor deste número, utilizando nesta etapa da demonstração um argumento via contradição, chegando ao resultado inicial desejado, e finalizando a demonstração.
Podemos dizer que o matemático adotou as seguintes técnicas:
a
Prova por indução, utilizando dentro da indução a prova direta e a prova intuitiva
b
Prova direta, utilizando a prova por indução e prova inversa
c
Prova por indução, utilizando dentro da indução a prova indireta e a prova por contradição
d
Prova por indução, utilizando dentro da indução a prova direta e a prova indireta
e
Prova indireta, utilizando dentro da contradição um argumento de indução e de contradição
 Estranhou esse gabarito?
Juliana Mayra Silva Marcilio
sugeriu uma solução
Alternativa D. A descrição dada na questão vai de encontro com os passos nesta alternativa.
Iarley da Cunha Melo
sugeriu uma solução
Prova por indução, utilizando dentro da indução a prova direta e a prova indireta
Lógica e Raciocínio /
Lógica e Raciocínio - Tipos de Provas Matemáticas I
Um estudante de matemática adotou a seguinte estratégia para demonstrar um teorema: indexando pelos números inteiros, demonstrou que se o resultado é válido para os números 1, 2 e 3, concluindo diretamente que ele seria válido para todos os números naturais. A demonstração para o número 1 foi via prova direta, e dos casos 2 e 3, utilizando a argumento da contradição.
A demonstração apresentada pelo estudante possui erros, que são:
a
O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por indução, porém provou apenas a base da indução, não demonstrando o passo indutivo. Além disto, ele indexou a indução nos números inteiros ao invés dos naturais
b
O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por indução, porém provou apenas o passo indutivo, não demonstrando a base da indução
c
A demonstração por indução, utilizada pelo estudante, não pode ser usada junto da técnica da demonstração por contradição, pois invalida o resultado demonstrado
d
O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por dedução, deduzindo que se o resultado é válido para os primeiros casos, então automaticamente ele é válido para qualquer número inteiro. O erro consiste que para isto ele deveria ter demonstrado todos os casos utilizando somente a prova direta
e
O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por dedução, porém esqueceu de fazer o passo dedutivo
 Estranhou esse gabarito?
Juliana Mayra Silva Marcilio
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Alternativa A. A demonstração por indução pode ser utilizada junto das demais técnicas de demonstração, desde que indexada corretamente aos números naturais, e respeitando a sua estrutura de base da indução e passo indutivo.
Iarley da Cunha Melo
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O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por indução, porém provou apenas a base da indução, não demonstrando o passo indutivo. Além disto, ele indexou a indução nos números inteiros ao invés dos naturais
Lógica e Raciocínio /
Lógica e Raciocínio - Tipos de Provas Matemáticas I
Uma das fórmulas mais famosas do ensino básico é a Fórmula Resolutiva da Equação Quadrática (conhecida no Brasil como “Fórmula de Bhaskara”). Dada uma equação do segundo grau na forma
temos que a fórmula resolutiva é dada por:
Sua demonstração consiste na seguinte manipulação algébrica:
Este tipo de demonstração pode ser classificada como:
a
Prova direta
b
Prova indireta
c
Prova por contradição
d
Prova por indução
e
Prova por dedução finita
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Juliana Mayra Silva Marcilio
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Alternativa A. A demonstração da fórmula de resolução da equação quadrática é uma cadeia lógica baseada na implicação p⇒q, logo uma prova direta.
Iarley da Cunha Melo
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Prova direta
Lógica e Raciocínio /
Lógica e Raciocínio - Tipos de Provas Matemáticas I
Utilizando o Princípio da Indução Finita, demonstre que a soma dos n primeiros números ímpares naturais é n^2n​2​​, isto é, prove que:
1+3+5+7+...+(2n-1)=n²
a
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Juliana Mayra Silva Marcilio
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Base da indução: Para n=1 temos que:
1=1²
Isto é, o enunciado é válido para este caso.
Hipótesede Indução: Suponha que a igualdade seja válida para algum n=k, provamos que também é válida para:
1+3+. …+(2k-1)=k²
Indução: Temos que:
1+. …+(2k+1)+(2k+1)=k^2k​2​​+(2k+1)=k^2k​2​​+2k+12k+1=(k+1)²
Logo pelo Princípio da Indução, temos que a igualdade é válida para todo nn ∈ N
Iarley da Cunha Melo
sugeriu uma solução
1=1²
1+3+. …+(2k-1)=k²
1+. …+(2k+1)+(2k+1)=k²+(2k+1)=k²+2k+1=(k+1)²
logo, para todo n = N
Fernandes Elesban
sugeriu uma solução
1=1²
1+3+. …+(2k-1)=k²
1+. …+(2k+1)+(2k+1)=k²+(2k+1)=k²+2k+1=(k+1)²
Logo, para todo n = N
Aluno do Descomplica
sugeriu uma solução
para Indução
1=1²
para hipótese de Indução
1+3+. …+(2k-1)=k²
para indução
1+. …+(2k+1)+(2k+1)=k^2k
​2+(2k+1)=k^2k
​2+2k+12k+1=(k+1)²
para todo n= N
Robert Pereira da Cunha
sugeriu uma solução
Concordo com as explicações acima.
Aluno do Descomplica
sugeriu uma solução
1=1²
1+3+. …+(2k-1)=k²
1+. …+(2k+1)+(2k+1)=k²+(2k+1)=k²+2k+1=(k+1)²
Logo, verificasse por indução para todo n ∈ N
Aluno do Descomplica
sugeriu uma solução
1=1²
1+3+. …+(2k-1)=k²
1+. …+(2k+1)+(2k+1)=k²+(2k+1)=k²+2k+1=(k+1)²
Logo, para todo n = N
Lógica e Raciocínio /
Lógica e Raciocínio - Tipos de Provas Matemáticas I
Utilizando a técnica de demonstração da prova direta, demonstra que “se x é um número inteiro e par, então o número (x+5) é um número ímpar”.
a
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Juliana Mayra Silva Marcilio
sugeriu uma solução
Seja x∈ Z um número par, então podemos escrevê-lo da forma x=2k, para algum k∈ Z. Logo, temos que:
x+5=2k+2⋅2+1=2(k+2)+1=2p+1
Onde p=(k+2)∈ Z. Logo o número (x+5) é um número ímpar.
C.Q.D.
Iarley da Cunha Melo
sugeriu uma solução
x+5=2k+2⋅2+1=2(k+2)+1=2p+1
Onde p=(k+2)∈ Z.
Logo o número (x+5) é um número ímpar.
C.Q.D.
Fernandes Elesban
sugeriu uma solução
x+5=2k+2⋅2+1=2(k+2)+1=2p+1
Onde p=(k+2)∈ Z. Logo o número (x+5) é um número ímpar.
C.Q.D.
Aluno do Descomplica
sugeriu uma solução
x+5=2k+2⋅2+1=2(k+2)+1=2p+1
Onde p=(k+2)∈ Z. Logo o número (x+5) é um número ímpar.
C.Q.D.
Aluno do Descomplica
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assumindo x=2k
x+5
2k+2⋅2+1
2(k+2)+1
2p+1
p=(k+2)∈ Z logo (x+5) é um número ímpar
C.Q.D
Aluno do Descomplica
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x+5=2k+2⋅2+1=2(k+2)+1=2p+1
Lógica e Raciocínio /
Lógica e Raciocínio Tipos de Provas Matemáticas II
Sobre demonstrações matemáticas, podemos afirmar que:
a
As demonstrações por contradição e por contraposição são o mesmo método e não possuem qualquer distinção entre elas
b
Apesar de semelhantes, as demonstrações por contraposição e contradição se diferem no fato da segunda se basear na negação da hipótese, enquanto a primeira, a negação da tese
c
O método da demonstração por construção só pode ser utilizado no contexto da geometria, pois é pautada essencialmente nas técnicas de construções geométricas
d
Se quisermos demonstrar uma hipótese para um número infinito de possibilidades divididas em uma quantidade finita de casos, devemos usar obrigatoriamente o método da força-bruta
e
O método da demonstração por exaustão só pode usar utilizada se tivermos uma quantidade finita de casos, mesmo que a quantidade de possibilidades seja infinita
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Juliana Mayra Silva Marcilio
sugeriu uma solução
Alternativa E. Nas alternativas A e B temos que os métodos mencionados se diferem na negação da hipótese que só ocorre na prova por contraposição. Na alternativa C, apesar do método da construção ser mais comum na geometria, ela também é utilizada em demonstrações algébricas. Na alternativa D temos que o método mais indicado é o da exaustão, e não o da força-bruta, além do fato de que nenhum método é obrigatório, e sim apenas mais adequado ou não para demonstrar uma hipótese.
Iarley da Cunha Melo
sugeriu uma solução
O método da demonstração por exaustão só pode usar utilizada se tivermos uma quantidade finita de casos, mesmo que a quantidade de possibilidades seja infinita
Lógica e Raciocínio /
Lógica e Raciocínio Tipos de Provas Matemáticas II
É comum que em demonstrações mais elaboradas um matemático utilize diversas técnicas ao longo da demonstração, dividindo-a em etapas. Para a demonstração do teorema de existência e unicidade de soluções das equações ordinárias lineares de primeira ordem, utiliza-se a seguinte estratégia:
i. A partir de uma função inicial, inicia-se um processo de iteração, a fim de construir uma função específica que satisfaz a hipótese e a tese do teorema, provando a sua existência;
ii. Para provar a unicidade, supõe-se que existem duas funções que satisfazem a hipótese e a tese do teorema, a fim de encontrar uma falha lógica nesta suposição.
Dentre as técnicas de demonstração estudadas, podemos afirmar que:
a
A primeira etapa (existência) utiliza a prova por construção, e a segunda etapa (unicidade), a prova por exaustão.
b
A primeira etapa (existência) utiliza a prova por contraposição, e a segunda etapa (unicidade), a prova indireta
c
A primeira etapa (existência) utiliza a prova direta, e a segunda etapa (unicidade), a prova por força bruta
d
A primeira etapa (existência) utiliza a prova por construção, e a segunda etapa (unicidade), a prova por absurdo
e
A primeira etapa (existência) utiliza a prova por contraposição, e a segunda etapa (unicidade), a prova por construção
 Estranhou esse gabarito?
Juliana Mayra Silva Marcilio
sugeriu uma solução
Alternativa D. As demais alternativas mencionam métodos que, respectivamente, não vão de encontro com as etapas descritas no enunciado da questão.
Iarley da Cunha Melo
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A primeira etapa (existência) utiliza a prova por construção, e a segunda etapa (unicidade), a prova por absurdo
Lógica e Raciocínio /
Lógica e Raciocínio Tipos de Provas Matemáticas II
Observe a seguinte proposição e a sua demonstração:
Proposição: Se n∈ N é tal que n!>(n+1), então n>2.
Prova: Provaremos que n ≤ 2 ⇒ n!≤ n + 1. De fato, se n=1 então 1! = 1 ≤ 1 + 1 = 2, e se n = 2 então 2! = 2 ≤ 2 + 1 = 3. Logo n! > (n + 1) implica em n > 2. ∎
Podemos afirmar que:
a
A demonstração utilizou o método da prova direta
b
A demonstração utilizou o método da contraposição e da força-bruta
c
A demonstração utilizou o método da contradição e da exaustão
d
A demonstração utilizou o método da indução e da força-bruta
e
A demonstração utilizou o método da contraposição e da indução
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Juliana Mayra Silva Marcilio
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Alternativa B. As demais alternativas mencionam métodos que não são compatíveis com a demonstração apresentada.
Iarley da Cunha Melo
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A demonstração utilizou o método da contraposição e da força-bruta
Lógica e Raciocínio /
Lógica e Raciocínio Tipos de Provas Matemáticas II
Para demonstrar uma proposição, um estudante de matemática fez a seguinte argumentação:
Proposição: Se x é um número inteiro e par, então x+5 é um número ímpar.
Prova: Suponha que (x+5) é um número par, isto é, (x+5)=2k para algum k∈ Z. Logo temos que:
x+5=2k ⇒ x = 2k-5 ⇒ x = 2k-2 ⋅ 2-1 ⇒ x=2$(k-2)-1
Isto é, x é um número ímpar, e a proposição é válida.
C.Q.D.
A demonstração feita pelo estudante pode ser classificada como:
a
Prova direta
b
Prova indireta
c
Prova por contraposição
d
Prova por construção
e
Prova por exaustão
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Juliana Mayra Silva Marcilio
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Alternativa C. A demonstração apresentada utiliza a estrutura de negar-se a tese para concluir a negação da hipótese.
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Iarley da Cunha Melo
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Prova por contraposição
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Lógica e Raciocínio Tipos de Provas Matemáticas II
Em um exercício sobre demonstrações matemáticas, um estudante deveria provar, via contraposição, a seguinte proposição: se x e y são dois inteiros cujo produto é par, então pelo menos um deles precisa ser um número par.
O estudante deu a seguinte argumentação: “Suponha que x e y são ambos números inteiros e ímpares, então temos que:
x ⋅ y = (2k + 1) ⋅ (2p + 1) = 4k ⋅ p +2k + 2p + 1 = 2 (2k ⋅ p +k + p) +1
Como por hipótese x⋅y é um número par, temos entãoum erro lógico, e sendo assim, a proposição não é válida, e existem inteiros pares tal que o produto entre eles é um número ímpar.”
Sobre a argumentação do estudante, podemos dizer que:
a
O estudante está correto, pois sua demonstração por contraposição foi feita corretamente
b
Apesar da demonstração por contraposição estar correta, o estudante estava equivocado em sua conclusão final, pois a proposição é de fato válida
c
O estudante não fez a demonstração utilizando o método de modo correto, pois ele partiu da negação da tese, mas supôs a hipótese, o que seria uma demonstração indireta. Além disto, a sua conclusão final estava equivocada, pois a proposição é de fato válida
d
O estudante não fez a demonstração utilizando o método solicitado, pois ele realizou uma demonstração indireta. Todavia, a sua conclusão final está correta, pois a proposição de fato possui exceções
e
Uma vez que a demonstração foi realizada com incógnitas x e y representando números, não podemos afirmar nada sobre a paridade dos mesmos ou do produto entre eles, e por conta exclusivamente deste fato, a demonstração para tal proposição não é válida
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Juliana Mayra Silva Marcilio
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Alternativa C. A argumentação do estudante começa como uma demonstração por contraposição, porém como ele em dado momento assume a hipótese como válida, ela se tornaria uma demonstração indireta. De qualquer modo, a conclusão final do aluno é equivocada.
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Iarley da Cunha Melo
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O estudante não fez a demonstração utilizando o método de modo correto, pois ele partiu da negação da tese, mas supôs a hipótese, o que seria uma demonstração indireta. Além disto, a sua conclusão final estava equivocada, pois a proposição é de fato válida
Lógica e Raciocínio /
Lógica e Raciocínio Tipos de Provas Matemáticas II
Em todo triângulo temos que a soma dos ângulos internos é igual a 180º. Observe a seguir a demonstração deste fato da geometria euclidiana:
“Seja ABC um triângulo qualquer. Prolongando os lados B e C pelo vértice A, e traçando uma reta r paralela ao lado BC passando por A. Pelo postulado das retas paralelas, temos que os ângulos transportados em B ̂ e C ̂ formam, junto de A ̂, um ângulo raso, logo a soma dos ângulos internos do triângulo é igual a 180º. C.Q.D.”
Temos que esta demonstração utiliza a técnica de:
a
Prova indireta
b
Prova por construção
c
Prova por contraposição
d
Prova por força-bruta
e
Prova por exaustão
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Juliana Mayra Silva Marcilio
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Alternativa B. A demonstração usa a construção de ângulos e retas, logo é uma prova por construção.
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Iarley da Cunha Melo
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Prova por construção
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Lógica e Raciocínio Tipos de Provas Matemáticas II
Utilizando o método da contraposição, prove que se x^2-6x+5x​2​​−6x+5 é par, então x é ímpar.
a
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Juliana Mayra Silva Marcilio
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Se x é par, então x=2kx=2k, kk ∈ N. Logo:
x^2-6x+5=(2k)^2x​2​​−6x+5=(2k)​2​​ -− 66 ⋅ 2k2k + 5 =4k^2+5=4k​2​​ 12k+512k+5 =2=2 (2k^2-6k+2)+1(2k​2​​−6k+2)+1
Logo x^2-6x+5x​2​​−6x+5 é ímpar, e pelo método da contraposição, a relação desejada está provada. ∎
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Iarley da Cunha Melo
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(2k)²+6(2k)+5
4k²+12k+5
2(2k²+6k+2)+1
a relação é verdadeira pois o valor é impar.
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Fernandes Elesban
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(2k)²+6(2k)+5
4k²+12k+5
2(2k²+6k+2)+1
Não importa o valor de k, pois sempre será somado 1 ao final do calculo tornando o valor da equação ímpar, tornando verdadeira a relação
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Aluno do Descomplica
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(2k)²+6(2k)+5
4k²+12k+5
2(2k²+6k+2)+1
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Aluno do Descomplica
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(2k)²+6(2k)+5
4k²+12k+5
2(2k²+6k+2)+1
Não importa o valor de k, pois sempre será somado 1 ao final do calculo tornando o valor da equação ímpar, tornando verdadeira a relação
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Aluno do Descomplica
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Não sei informar
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Allyson Cley Correia da Silva
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Logo x^2-6x+5 para x= ​2k
​​ x^2−6x+5 é ímpar, e pelo método da contraposição, a relação
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Lógica e Raciocínio Tipos de Provas Matemáticas II
Utilizando o método da contraposição, prove que se (x+y)(x+y) é um número par, então x e y tem a mesma paridade (isto é, ambos são números pares ou ambos são números ímpares).
a
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Juliana Mayra Silva Marcilio
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Se x e y não possuem a mesma paridade, então um é um número par e o outro é um número ímpar. Supondo que x=2kx=2k e y=2p+1y=2p+1, para algum k, p ∈ Z, temos que:
x+y=2k+2p+1=2(k+p)+1x+y=2k+2p+1=2(k+p)+1
Logo (x+y) é um número ímpar, e a proposição é válida.
C.Q.D.
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Iarley da Cunha Melo
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x = 2k (par)
y = 2p + 1 (ímpar)
2k + 2p + 1
2 (k + p) +1
logo (x+y) é um número ímpar, e a proposição é válida.
C.Q.D.
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Fernandes Elesban
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x = 2k (par)
y = 2p + 1 (ímpar)
2k + 2p + 1
2 (k + p) +1
Assim não importa o valor de k+p pois multiplicado por dois sempre chegará em valor par somado a 1 ficará ímpar. Essa preposição é válida desde que x e y possuam mesma pariedade
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Aluno do Descomplica
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é válida.
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Aluno do Descomplica
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x = 2k (par)
y = 2p + 1 (ímpar)
2k + 2p + 1
2 (k + p) +1
Assim não importa o valor de k+p pois multiplicado por dois sempre chegará em valor par somado a 1 ficará ímpar. Essa preposição é válida desde que x e y possuam mesma pariedade
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Aluno do Descomplica
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Proposição é válida
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Allyson Cley Correia da Silva
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Negamos a tese, afirmando que os números x e y não possuem a mesma paridade. Então encontramos uma indicação de resultado impar, constatando a negativa da hipótese. Assim, verificou-se que se os números não possuírem paridade terá como soma um numero impar.
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Lógica e Raciocínio - Paradoxos, Sofismas e Falácias
Observe a falácia matemática abaixo:
a=ba=b
a+a=a+ba+a=a+b
2a=a+b2a=a+b
2a-2b=a+b-2b2a−2b=a+b−2b
2(a-b)=a-b$
\dfrac{2.\left( a-b\right) }{a-b}=\dfrac{a-b}{a-b}​a−b​​2.(a−b)​​=​a−b​​a−b​​
2=12=1
Temos que o erro está:
a
Na primeira linha, pois não sabemos quais são os valores de a e b para poder validar ou não as linhas seguintes
b
Na segunda linha, pois adicionamos a do lado esquerdo e b do lado direito, perdendo a relação de igualdade entre o 1º e 2º membro da equação
c
Na quarta linha, pois não podemos subtrair 2b dos dois lados de uma equação sem saber o valor de b
d
Na quinta linha, pois não podemos colocar (a-b) em evidência, uma vez que a=b
e
Na sexta linha, pois não podemos dividir ambos os lados da equação por (a-b), uma vez que a=b
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Juliana Mayra Silva Marcilio
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Alternativa E. O erro está no fato de dividir a sexta linha por 0=(a-b), sendo que a divisão por zero nem sequer é definida na matemática.
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Iarley da Cunha Melo
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Na sexta linha, pois não podemos dividir ambos os lados da equação por (a-b), uma vez que a=b
Lógica e Raciocínio /
Lógica e Raciocínio - Paradoxos, Sofismas e Falácias
Observe a falácia matemática abaixo:
x=-2x=−2
xx ⋅ xx=-2x2x
x^2=-2xx​2​​=−2x
\sqrt{x^{2}}=\sqrt{-2x}√​x​2​​​​​=√​−2x​​​
x=\sqrt{-2x}x=√​−2x​​​
x=\sqrt{(-2).(-2})x=√​(−2).(−2​​​)
x=\sqrt4x=√​4​​​
x=2x=2
-2=2−2=2
Temos que o erro está:
a
Na terceira linha, pois para escrever que x⋅x=x², estamos assumindo que x é positivo
b
Na quarta linha, pois não podemos extrair a raiz quadrada do número negativo √(-2x)
c
Na quinta linha, pois para escrever que √(x^2 )=x, estamos assumindo que x é não-negativo
d
Na sexta linha, pois para substituir x=-2, obrigatoriamente devemos substituir todos os x’, incluindo o do 1ºmembro da equação
e
Na oitava linha, pois ao extrair a raiz quadrada √4, não consideramos o caso √4=-2
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Juliana Mayra Silva Marcilio
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Alternativa C. O erro está em elevar ao quadrado um número negativo e depois extrair a raiz quadrada do resultado. Como a raiz quadrada de um número é sempre não-negativa, temos que a igualdade seria válida se escrevêssemos |x|=√(-2x).
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Iarley da Cunha Melo
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Na quinta linha, pois para escrever que √(x^2 )=x, estamos assumindo que x é não-negativo
Lógica e Raciocínio /
Lógica e Raciocínio - Paradoxos, Sofismas e Falácias
Está correto afirmar que:
a
Paradoxos e sofismas têm como objetivo ludibriar o interlocutor, fazendo-o acreditar em argumentos com falhas lógicas
b
Um argumento matemático pautado em paradoxos sempre possui um valor lógico falso
c
Paradoxos falsídicos e sofismas possuem a característica comum de trazerem um argumento com uma ou mais falhas lógicas, porém com a diferença de que o primeiro tem como objetivo expor a falha, enquanto o segundo, escondê-la
d
Antinomias e falácias possuem a característica comum de trazerem um argumento com falhas lógicas, porém com a diferença de que o primeiro tem o objetivo de esconder a falha, enquanto o segundo, exibi-la
e
Paradoxos e sofismas sempre possuem valores-lógicos falsos
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Juliana Mayra Silva Marcilio
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Alternativa C. Na alternativa A temos que um paradoxo não tem o objetivo de convencer o interlocutor de um argumento com falhas lógicas, mas sim exibi-las. Nas alternativas B e E um paradoxo pode ter um valor lógico verdadeiro, que é o caso dos paradoxos verídicos. Na alternativa D temos que a diferença entre os conceitos está invertida.
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Iarley da Cunha Melo
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Paradoxos falsídicos e sofismas possuem a característica comum de trazerem um argumento com uma ou mais falhas lógicas, porém com a diferença de que o primeiro tem como objetivo expor a falha, enquanto o segundo, escondê-la
Lógica e Raciocínio /
Lógica e Raciocínio - Paradoxos, Sofismas e Falácias
Uma argumentação pode ser analisada segundo a lógica matemática, a fim de se verificar se é um silogismo (argumento válido) ou um sofisma. Observe as seguintes sentenças:
I. Se o jardineiro cometeu o crime, suas mãos terão resquícios de sangue. Todavia, as mãos do jardineiro não contêm nenhum traço de sangue, logo conclui-se que o jardineiro não cometeu o crime.
II. Se o jardineiro cometeu o crime, então ele ficará inquieto durante o interrogatório. O jardineiro não ficou inquieto durante o interrogatório, logo ele não cometeu o crime.
Com relação as sentenças I e II, podemos afirmar que:
a
Ambas as sentenças são silogismos
b
Ambos as sentenças são sofismas
c
A sentença (I) é um silogismo e a sentença (II) um sofisma
d
A sentença (II) é um sofisma e a sentença (II) é um silogismo
e
Ambas as sentenças não são silogismos
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Juliana Mayra Silva Marcilio
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Alternativa C. Observe que a sentença (I) se baseia na contraposição p→q⇔q→p, sendo assim um argumento lógico verdadeiro. Já a sentença (II) se baseia na argumentação errônea de p→q⇒p→q, que é falsa.
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Iarley da Cunha Melo
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A sentença (I) é um silogismo e a sentença (II) um sofisma
Lógica e Raciocínio /
Lógica e Raciocínio - Paradoxos, Sofismas e Falácias
Observe as seguintes sentenças:
I. Se o funcionário for eficiente, ele receberá uma promoção. O funcionário não é competente, logo não será promovido.
II. Se o funcionário receber uma promoção, então alguém terá de ser demitido. O funcionário foi promovido, logo alguém foi demitido.
a
Ambas as sentenças são silogismos
b
Ambos as sentenças são sofismas
c
A sentença (I) é um silogismo e a sentença (II) um sofisma
d
A sentença (II) é um sofisma e a sentença (II) é um silogismo
e
Ambas as sentenças não são silogismos
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Juliana Mayra Silva Marcilio
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Alternativa D. Observe que a sentença (II) se baseia na contraposição p→q⇔~ q → ~ p, sendo assim um argumento lógico verdadeiro. Já a sentença (I) se baseia na argumentação errônea de p→q⇒~ p→~ q, que é falsa.
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Iarley da Cunha Melo
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A sentença (II) é um sofisma e a sentença (II) é um silogismo
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Lógica e Raciocínio - Paradoxos, Sofismas e Falácias
Observe as seguintes sentenças:
I. Se os acionistas aceitarem a oferta da direção, a empresa não irá a falência. Os acionistas não aceitaram a oferta da direção, logo a empresa foi a falência.
II. Se a direção da empresa fizer uma boa proposta, os acionistas irão aprova-la. A direção da empresa não fez uma boa proposta, logo os acionistas reprovaram-na.
a
Ambas as sentenças são silogismos
b
Ambos as sentenças são sofismas
c
A sentença (I) é um silogismo e a sentença (II) um sofisma
d
A sentença (II) é um sofisma e a sentença (II) é um silogismo
e
Ambas as sentenças não são silogismos
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Iarley da Cunha Melo
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Ambos as sentenças são sofismas
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Lógica e Raciocínio - Paradoxos, Sofismas e Falácias
Observe a seguinte argumentação falaciosa:
“Temos que 16-36=25-45, e de fato o resultado em ambos os lados da igualdade resulta em -20. Sendo assim, se somarmos qualquer número positivo em ambos os lados da equação, não alteramos o seu resultado, logo:
Reescrevendo os números através de multiplicações, temos que:
Utilizando o produto notável podemos reescrever a equação:
Extraindo a raiz quadrada dos dois lados:
E por fim, somando 9/2 dos dois lados da equação:
4=5”
Onde está o erro desta argumentação?
a
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Juliana Mayra Silva Marcilio
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O erro está ao extrair a raiz quadrada dos produtos notáveis, sem considerar que o resultado dentro de cada parênteses é um número negativo. Para retirar-se a raiz quadrada, deveríamos colocar os valores em módulo:
Para o caso positivo, encontramos um erro, logo é inválido. Para o caso negativo, temos que:
Uma conta válida.
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Iarley da Cunha Melo
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Não podemos extrair raiz de valores negativos
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Fernandes Elesban
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não podemos extrair raiz de valores negativos
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Aluno do Descomplica
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não podemos extrair raiz de valores negativos
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Lógica e Raciocínio - Paradoxos, Sofismas e Falácias
Em uma disputa eleitoral presidencial fictícia, um trecho do embate entre os candidatos é transcrito a seguir:
“Candidato A: Se eleito, irei aumentar a verba da educação e da saúde, pastas extremamente importantes para o nosso país!
Candidato B: Fico surpreso o quão seja irresponsável, pois assim faltará verba para a segurança pública, mergulhando nosso país na insegurança da criminalidade!
Candidato A: Você não pode argumentar sobre a criminalidade em nosso país, pois no passado, seu pai foi assaltante de banco!
Candidato B: Os crimes de meu pai não refletem em nada na minha vida! Sempre fui íntegro e moral, logo o candidato mais competente para o cargo de presidente!”
Ambos os candidatos cometeram falácias em suas falas. Identifique-as.
a
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Juliana Mayra Silva Marcilio
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As falácias são: primeiro, quando o candidato B associa que o aumento da verba na educação e saúde implica na redução da verba da segurança pública (falácia “cum hoc ergo propter hoc” – com isto, logo por causa disto), a segunda quando o candidato A ataca a honra do candidato B ao induzir que a sua moral é corrompida pelos crimes de seu pai (falácia ad hominem – ataque pessoal), e por fim, o candidato B comete uma falácia ao dizer que por ser íntegro e moral se torna automaticamente o candidato mais competente ao cargo (falácia “cum hoc ergopropter hoc”).
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Iarley da Cunha Melo
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As falácias são: primeiro, quando o candidato B associa que o aumento da verba na educação e saúde implica na redução da verba da segurança pública (falácia “cum hoc ergo propter hoc” – com isto, logo por causa disto), a segunda quando o candidato A ataca a honra do candidato B ao induzir que a sua moral é corrompida pelos crimes de seu pai (falácia ad hominem – ataque pessoal), e por fim, o candidato B comete uma falácia ao dizer que por ser íntegro e moral se torna automaticamente o candidato mais competente ao cargo (falácia “cum hoc ergo propter hoc”).
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Fernandes Elesban
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As falácias são: primeiro, quando o candidato B associa que o aumento da verba na educação e saúde implica na redução da verba da segurança pública (falácia “cum hoc ergo propter hoc” – com isto, logo por causa disto), a segunda quando o candidato A ataca a honra do candidato B ao induzir que a sua moral é corrompida pelos crimes de seu pai (falácia ad hominem – ataque pessoal), e por fim, o candidato B comete uma falácia ao dizer que por ser íntegro e moral se torna automaticamente o candidato mais competente ao cargo (falácia “cum hoc ergo propter hoc”).