transcal

Prévia do material em texto

7
Transferência de Calor e Massa 
 
 
1. Introdução 
 
Neste tópico apresenta-se uma breve descrição, importância e alguns exemplos de 
aplicações de transferência de calor e massa, bem como das equações básicas que governam 
estes processos. 
 
1.1 Importância de Transferência de Calor (Energia) e Massa 
 
A Civilização Moderna depende fortemente de como ela manuseia e usa sua energia, 
energia esta suprida através de recursos naturais, nem sempre fáceis de serem explorados. 
O uso de energia pode ser identificado como trabalho, potência e calor, mas na 
realidade o trabalho e potência que são usados finalmente degeneram em calor. Calor é a troca 
de energia entre objetos (sistemas) “quentes” e “frios” e a troca ocorre espontaneamente do 
“quente” para o “frio” 
(Transferência) de Calor é a ciência que explica e prediz quão rápida ocorre a troca de 
energia como calor. É a ciência que integra as várias ferramentas analíticas e empíricas 
provendo um fórum, um corpo de conhecimento, para projetistas, construtores, operadores, 
gerentes e pesquisadores de forma mais acurada estudar calor como uma troca de energia. 
A preocupação com energia, sua conservação ou economia pela sociedade requer 
numa extensão importante a compreensão dos conceitos de transferência de calor e 
transferência de massa. 
Alguns casos de aplicação de transferência de calor: 
- isolamento (por fibra de vidro) de tetos e paredes de edifícios para manter determinadas 
condições climáticas; 
- quantificação da perda de energia através de janelas modernas e isoladas para manter o 
ambiente confortável tanto no inverno quanto no verão; 
- projeto e operação de geradores de vapor (caldeiras) ou ebulidores requer a compreensão 
da transferência de calor que ocorre da queima (combustão) de carvão, gás ou óleo para a 
água nos tubos; 
 8
- projeto e construção de um radiador (convector) para um motor de automóvel para mantê-
lo “frio” quando em operação envolve transferência de calor e massa; 
- dissipação de calor em linhas de potência elétrica devido à resistência elétrica; 
- proteção de cabos elétricos contra fogo e altas temperaturas; 
- manutenção de temperaturas adequadas em circuitos de computadores e outros sistemas; 
- condicionamento de ar para conforto térmico; 
- processos sanitários, manuseio de lixo, esterilização; 
- manuseio e processamento de alimentos. 
Transferência de massa é o estudo do movimento de massa de um local para outro 
através do uso de dispositivos mecânicos ou naturalmente devido a diferença de densidade. A 
diferença de densidade provoca difusão (transporte microscópico) de massa (uma espécie 
penetra em outra) ou convecção natural (transporte macroscópico) de massa. Os dispositivos 
mecânicos (bombas, ventiladores e compressores) provocam difusão e convecção forçada de 
massa. Exemplos onde ocorre transferência de massa: 
- processos químicos; 
- poluição do ar; 
- combustão; 
- processos criogênicos (baixas temperaturas) tais com produção de N2, H2 e O2 líquidos, 
gelo seco (CO2 líquido) 
 
1.2 Conceitos 
 
1.2.1 Sistema Físico 
 
Um sistema físico pode ser considerado com sendo constituído de um sistema material 
(subsistema 1) mais um campo de radiação (subsistema 2). O sistema material, geralmente, 
considerado como meio contínuo, é composto a nível elementar de moléculas (incluindo íons 
e átomos), de elétrons e de partículas fictícias tais como fônons (quanta de energia vibracional 
num sólido), etc. 
Um meio pode ser considerado como contínuo quando o menor elemento de volume 
ainda contém de 1015 a 1020 moléculas. Sob determinadas condições físicas, tais elementos 
podem ser caracterizados estatisticamente por propriedades físicas macroscópicas médias 
sobre todas as moléculas que eles contêm (massa média, velocidade, pressão ou temperatura). 
 9
O campo de radiação eletromagnética é caracterizado em escala macroscópica pela 
definição em cada ponto r do espaço e para cada direção Δ de uma quantidade νI ′ , a 
intensidade monocromática relacionada com a freqüência ν . O campo de radiação resulta da 
distribuição de fótons (quanta de energia particular de Bose-Einstein que em repouso possuem 
massa nula) cada caracterizado pela freqüência ν , momentum p e spin s. Um quanta tem 
energia νhe = , onde 346 6256 10h , x Js−= é a constante de Planck. 
 
1.2.2 Equilíbrio Termodinâmico 
 
Em termodinâmica, o conceito de equilíbrio termodinâmico perfeito envolve equilíbrio 
térmico (T uniforme), equilíbrio mecânico (P uniforme) e equilíbrio químico (potencial 
químico μ uniforme) e é utilizado para equacionamento dos problemas. O equilíbrio térmico 
significa que o sistema material é isotérmico a temperatura T; o campo de radiação tem uma 
distribuição uniforme dependente apenas de T; o campo de radiação e sistema material estão 
na mesma temperatura. Entretanto, para ocorrer transferência de calor, os sistemas devem 
estar em não equilíbrio térmico. 
 
1.2.3 Equilíbrio Termodinâmico Local 
 
O não equilíbrio térmico causa a transferência de calor devido colisões entre 
moléculas ou entre moléculas e uma parede; interações moléculas/fótons (absorção, emissão 
espontânea, emissão estimulada); interações entre fônons, entre fônons e elétrons, elétrons e 
fótons, outras interações. Como as leis da termodinâmica são utilizadas para equacionar 
problemas de transferência, tem-se que lançar mão do conceito de equilíbrio termodinâmico 
local (LTE). 
A hipótese de equilíbrio termodinâmico local permite definir variáveis físicas 
T( r ,t ), P( r ,t ), ( r ,t )μ , etc. em qualquer instante de tempo e para cada ponto r . Sob esta 
hipótese, pode-se assumir que durante um intervalo dt e em um elemento de volume 
arbitrariamente pequeno (mas macroscópico, contínuo) o sistema material está localmente 
infinitamente próximo a um estado de equilíbrio, descrito por propriedades intensivas e 
extensivas. 
 10
Em LTE adotado para estudo de problemas de transferência de calor o sistema físico é 
o local dos seguintes processos macroscópicos irreversíveis com os quais um fluxo está 
associado: 
- relativo a um elemento de matéria, o efeito cumulativo em escala macroscópica do 
transporte de várias quantidades físicas (carga elétrica, no de moléculas de um dado tipo, 
energia) por partículas (moléculas, elétrons, fônons, etc.) traduz para fluxos por difusão: 
condução elétrica, difusão de uma espécie em outra, condução térmica; 
- simultaneamente associado com cada transferência macroscópica por um movimento 
global de parte do sistema material estão associados fluxos macroscópicos de carga 
elétrica, energia, etc. Estes são chamados fenômenos convectivos: convecção elétrica, 
convecção térmica, etc.; 
- interações entre moléculas do sistema material e os fótons do campo de radiação, quando 
eles não estão em equilíbrio térmico resulta num fluxo macroscópico de energia na forma 
de radiação. 
 
1.2.4 Meio Contínuo 
 
Em teoria cinética dos gases o conceito de meio contínuo é apresentado através da 
seguinte definição de temperatura: 
∑
=
=
N
s
s
B
mv
TNk
1
2
22
3 (1.1) 
na qual N é o no de átomos idênticos de massa m cada em equilíbrio térmico num elemento de 
volume dV ( 2015 1010 −≈N ) o meio é considerado contínuo; KJxkB /1038054,1
23−= é a 
constante de Boltzmann e sv é velocidade de um átomo em relação a dV. 
 
1.3 Modos Principais de Transferência de Energia 
 
Os modos principais de transferência de energia na forma de calor são condução, 
convecção e radiação. A condução térmica ocorre através de um elemento material no qual 
existe um gradiente de temperatura. Ela representa o efeito global do transporte de energia por 
portadores elementares (moléculas, fônons: partícula fictícia que representa quanta de energia 
vibracional de um sólido, elétrons, etc.). 
Em fluidos os portadores elementares (moléculas, átomos, íons, etc.) são 
caracterizados por energia de translação,possivelmente vibração e rotação, energia eletrônica. 
 11
Em sólidos os átomos são arranjados em uma estrutura cristalina mais ou menos 
perfeita. Os vetores de energia são fônons (quanta de vibração da estrutura cristalina) e talvez 
elétrons livres (condução elétrica e térmica). 
Em radiação, energia é permanentemente trocada entre um sistema material e um 
campo de radiação pelos seguintes processos: 
- emissão espontânea de radiação que consiste na conversão de energia térmica (energia de 
vibração ou rotação, energia eletrônica, energia de fônons, etc. para uma energia radiativa 
(de fótons); 
- absorção de radiação pela conversão inversa de energia radiativa para energia térmica. 
Sob o ponto de vista de radiação, pode-se definir três tipos de meio: 
- meio transparente como aquele que não emite, não absorve, não reflete ou difunde, mas 
transmite toda radiação incidente qualquer que seja sua direção e freqüência; 
- meio opaco que não transmite qualquer radiação incidente (Ii) que pode ser absorvida (Ia) 
ou refletida (Ir). O meio opaco também pode emitir a radiação (Ie); 
- meio semitransparente que reflete, absorve ou difunde a radiação incidente, ou a transmite 
em distâncias finitas. 
 
 
Figura 1.1 Radiação em meios transparente e opaco 
 
 Os modos de transferência de energia por condução e radiação são objeto de estudo 
deste curso de TCMI. O modo de transferência de energia por convecção será objeto de 
estudo do curso TCMII e será abordado ao longo daquela disciplina. 
 
 12
1.4 Objetivos e Convenções 
 
O objetivo principal é determinar para qualquer sistema em LTE, a evolução do campo 
de temperatura ),( trT e o fluxo de energia (para todas as formas de energia) que é necessário 
para controlar um processo. Um processo será em regime transiente (RT) se as quantidades 
físicas A (escalares, vetores, tensores) dependem do tempo, isto é, 
0),( ≠
∂
∂
t
trA (1.2) 
Para processos em regime permanente (RP), não há variação das grandezas físicas com o 
tempo. Ou seja, 
0),( =
∂
∂
t
trA (1.3) 
Define-se fluxo de energia como a potência Φd (em Watts) atravessando um 
elemento de superfície dS , cuja normal é n e cujo vetor densidade de fluxo é q [W/m2]. 
Numericamente, 
dSnqd •=Φ (1.4) 
Define-se a densidade de fluxo [W/m2] como 
nqq •=′′ (1.5) 
ou 
dS
dq Φ=′′ (1.6) 
 
 
Figura 1.2 Vetor densidade de fluxo através de um elemento dS com normal n . 
 
 13
1.4.1 Lei de Fourier da Condução 
 
Nos processos de condução térmica, define-se o vetor densidade de fluxo condutivo, 
pela Lei de Fourier, como 
Tkq cd ∇−= (1.7) 
na qual k é denominada condutividade térmica do material que pode depender da temperatura 
e da direção espacial (caso em que k é um tensor e Tkq cd ∇•−= ). O sinal negativo na Lei 
de Fourier é requerido pela 2a Lei da Termodinâmica. O fluxo condutivo pode, então, ser 
calculado na forma 
n
TknTknqq cd
∂
∂
−=•∇−=•=′′ (1.8) 
para q ′′ no sentido da normal ao contorno. 
Compare a Lei de Fourier com as lei de Ohm e lei de Fick de difusão. A Lei de Ohm 
estabelece que o vetor densidade de corrente j é dado na forma: 
elVEj ∇−== σσ (1.9) 
na qual E é o campo elétrico, σ é a condutividade elétrica e elV é o potencial elétrico. Já a 
Lei de Fick de difusão de massa, estabelece que a taxa de difusão αj de uma espécie α numa 
espécie β é definida pela equação 
ααβα CDj ∇−= (1.10) 
na qual αβD é a difusividade de α em β e αC é a concentração molar definida por 
n
n
M
C αα
ρ
= (1.11) 
onde ρ é a massa específica da mistura e M é o peso molecular da mistura. 
 
1.4.2 Fluxo Conduto-Convectivo – Condução e Convecção Combinadas numa Parede 
 
Considere um fluido a temperatura fT escoando paralelo a uma parede mantida a uma 
temperatura sT diferente da temperatura do fluido, Figura 1.3. Na interface do lado sólido o 
fluxo por condução será 
w
s
s
cd
s y
T
kq
∂
∂
−= (1.12) 
 14
 
Figura 1.3 Escoamento sobre uma parede 
 
O fluxo condutivo do lado do fluido pode ser definido como 
w
f
f
cd
f y
T
kq
∂
∂
−= (1.13) 
de modo que se tem a igualdade dos fluxos, ou seja, 
w
f
f
w
s
s y
T
k
y
T
k
∂
∂
−=
∂
∂
− (1.14) 
Para o fluxo condutivo do lado do fluido, o problema é determinar o gradiente de 
temperatura na parede 
y
T f
∂
∂
 que depende da convecção. Este fluxo deveria chamar fluxo 
conduto-convectivo ccq (mas é erroneamente chamado de fluxo convectivo). 
 
1.4.3 Coeficiente de Transferência de Calor Convectiva 
 
Considere o escoamento de um fluido com velocidade )(rV e temperatura )(rT num 
canal de altura l , cuja parede inferior ( 0y = ) está a 1T e a parede superior ( 1y = ) está a 2T . 
Suponha que a distribuição de temperatura em função de y seja como ilustrado na Figura 1.4 
O fluxo conduto-convectivo na parede inferior pode ser definido como 
)( 1
1
0
0 m
m
f
y
f
fy
cc TTh
TT
k
y
T
kq −=
−
−=
∂
∂
−=
=
= ξ
 (1.15) 
na qual ),( escoamentodonaturezafluidodoespropriedadfunçãoh = e é denominado de 
coeficiente de transferência de calor por convecção. Generalizando pode-se calcular o fluxo 
conduto-convectivo por 
cw
cc TThq −= (1.16) 
 15
na qual wT é a temperatura na parede e cT é uma temperatura característica do fluido. A 
ordem de grandeza do coeficiente de transferência de calor é apresentada na Tabela 1.1. 
 
Figura 1.4 Temperatura de um fluido num canal em função de y. 
 
Tabela 1.1. Valores de h para determinados escoamentos 
Tipo Fluido h [Wm-2K-1] 
 
Convecção natural 
gás 5-30 
água 100-1000 
 
 
Convecção forçada 
gás 10-300 
água 300-12000 
óleo 50-1700 
metal líquido 6000-110000 
 
Mudança de fase 
ebulição (água) 3000-60000 
condensação (água) 5000-110000 
 
 16
O fluxo conduto-convectivo será denominado pela sigla convencional, qqcc ′′= ou 
simplesmente q (este último símbolo em T.C. é equivalente a Q ). Desta forma 
fw TT
qh
−
′′
= , para fw TT > (1.17) 
ou 
0=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
−
=
yfw y
T
TT
kh (1.18) 
h é uma propriedade do escoamento; k é a condutividade térmica do fluido; wT é a 
temperatura em 0=y que coincide com a interface entre o fluido e o outro meio (por 
exemplo, um parede sólida); fT é uma temperatura característica da corrente de fluido longe 
da parede; 
0=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
yy
T é o gradiente de temperatura do lado do fluido na interface. 
 
1.4.4 Radiação - Transferência de calor entre superfícies negras 
 
Considere o problema de determinar a taxa líquida de transferência de calor 
( )1 2q W− entre duas superfícies negras isotérmicas ( )1 1,A T e ( )2 2,A T mostradas na Figura 1.5. 
Um corpo negro é aquele que emite uma intensidade de radiação de acordo com a lei 
( )
5 4 4 4
2 2
2 3
0
2
15b
k T TI T n n
c h
π σ
π π
= = (1.19) 
na qual 
5 4
2 3
0
2
15
k
c h
πσ = (1.20) 
é a constante de Stefan-Boltzmann e seu valor em unidades SI é 8 2 45,67 10 W/(m K )xσ −= ⋅ . 
h e k são, respectivamente, as constantes de Planck e de Boltzmann, 0c é a velocidade da luz 
no vácuo, T é a temperatura absoluta e ν é a freqüência de propagação da onda. 
Esta análise pode ser feita nos seguintes passos: 
1. A fração da radiação emitida pelo elemento de área 1dA e interceptada (absorvida 
totalmente) pelo elemento de área 2dA ; 
2. A fração da radiação emitida pelo elemento de área 2dA e interceptada (absorvida 
totalmente) pelo elemento de área 1dA ; 
 17
3. A taxa de transferência líquida de 1dA para 2dA , isto é, a diferença entre as respostas 
da parte 1. e 2. e finalmente, 
4. A taxa de transferência líquida de 1A para 2A , que é entre as duas áreas finitas 
isotérmicas. 
 
 
Figura 1.5 – Parâmetros geométricos para cálculo do fator de forma 
 
Se r é a distância entre os elementos de áreas 1dA e 2dA , então o ângulo sólido 
através do qual 2dA é visto por um observador estacionado em 1dA é igual a 
2
2 2cos /dA rφ . 
Note que 2 2cosdA φ é a dimensão de 2dA após ele ter sido projetadona direção da linha 
1 2dA dA− . 
Viajando de 1dA na direção de 2dA (e para todo o resto do espaço) tem-se a 
intensidade total de radiação de corpo negro ( ),1 1b bI I T= . O tamanho da área emitente que é 
normal à direção r é a área “ 1dA projetada”, 1 1cosdA φ . Portanto, a resposta ao item 1. é: 
1 2
2 2
,1 1 1 2
coscosdA dA b
dAq I dA
r
φφ→ = (1.21) 
A seta usada no subscrito 1 2dA dA→ é para lembrar que 1 2dA dAq → representa a 
transferência de energia unidirecional por unidade de tempo, neste caso, de 1dA (emissor) para 
2dA (alvo). Analogamente, a resposta ao item 2. será: 
 18
2 1
1 1
,1 2 2 2
coscosdA dA b
dAq I dA
r
φφ→ = (1.22) 
O terceiro passo consiste simplesmente de subtrair a Eq. (1.22) da Eq. (1.21) para 
calcular a transferência de calor líquida de 1dA para 2dA : 
( )
1 2 1 2 2 1
1 2
,1 ,2 1 22
cos cos
dA dA dA dA dA dA b bq q q I I dA dAr
φ φ
− → →= − = − (1.23) 
Usando a equação (1.19) para as intensidades de radiação de corpo negro, com 1n = , a Eq. 
(1.23) pode ser reescrita como 
( )1 2 4 4 1 21 2 1 22
cos cos
dA dAq T T dA dAr
φ φσ
π−
= − (1.24) 
Para se calcular ( )1 2q W− deve-se somar as contribuições de todos os elementos de 
área de 1A e 2A , ou seja, 
( )
1 2
4 4 1 2
1 2 1 2 1 22
cos cos
A A
q T T dA dA
r
φ φσ
π−
= − ∫ ∫ (1.25) 
No lado esquerdo da Eq. (1.25) o subscrito 1-2 estabelece que a taxa de transferência 
( )1 2q W− deixa a superfície 1A e entra (cruza) a superfície 2A . 
A unidade da integral dupla na Eq. (1.25) é metro quadrado ( )2m . É conveniente 
definir um fator adimensional formado pela razão da integral dupla por 1A , denominado de 
fator de forma geométrico baseado em 1A : 
1 2
1 2
12 1 22
1
1 cos cos
A A
F dA dA
A r
φ φ
π
= ∫ ∫ (1.26) 
A equação (1.25) pode, então, ser reescrita como 
( )4 41 2 1 2 1 12q T T A Fσ− = − (1.27) 
O fator de forma é puramente geométrico, pois depende apenas de dimensões, 
orientações e posições relativas das duas superfícies. 
Alternativamente poderia se definir 
1 2
1 2
21 1 22
2
1 cos cos
A A
F dA dA
A r
φ φ
π
= ∫ ∫ (1.28) 
de modo que ( )1 2q W− fica na forma 
( )4 41 2 1 2 2 21q T T A Fσ− = − (1.29) 
 19
Assim para se calcular ( )1 2q W− deve-se calcular ou 12F ou 21F . Ao se integrar a Eq. (1.21) 
obtém-se o resultado 
 
1 2
41 2
1 2 ,1 1 2 1 1 122
cos cos
b A A
q I dA dA T A F
r
φ φ σ→ = =∫ ∫ (1.30) 
Se 1b,E representa o fluxo emissivo total ou poder emissivo total da superfície 1, este fluxo é 
da forma 
4
,1 1bE Tσ= (1.31) 
Portanto, pode-se demonstrar que 
4
1 1 ,1 1bT A E Aσ = (1.32) 
que é o número de watts de radiação de corpo negro emitida pela superfície 1A em todas as 
direções que os pontos de 1A podem “olhar”. Apenas uma porção de ,1 1bE A é interceptada e 
absorvida por 2A ( porque, em geral, 1A pode ser cercada por outras superfícies além de 2A ); 
aquela porção é 1 2q → ou ,1 1 12bE A F . Em conclusão, o significado físico do fator de forma é: 
1 2 1 2
12
,1 1 1
radiaçao deixando e sendo interceptada por 
radiaçao deixando em todas as direçoesb
q A AF
q A A
→= = (1.33) 
A razão formulada na Eq. (1.33) sugere que o fator de forma está no intervalo entre 0 e 
1. Livros textos de transferência de calor apresentam gráficos e tabelas de fatores de forma 
para várias configurações. Vide Bejan (1993) Cap. 10, por exemplo. 
 
1.5 Medições de temperatura usando termopares: (Prática 1) 
 
Nesta parte do curso será realizado um experimento de medições de temperatura 
através de termopares. O experimento consiste na confecção, aferição e fixação de 
termopares, bem como o manuseio de milivoltímetros e registradores potenciómetricos. 
Temperatura é um conceito intuitivo de quente e frio. Existem várias maneiras de 
medir temperatura, por exemplo, baseando-se na variação de pressão, variação de volume, 
resistência elétrica, coeficientes de expansão, etc., uma vez que todos estes efeitos são 
relacionados com a temperatura através da estrutura molecular da matéria. Eles mudam com a 
temperatura e estas mudanças podem ser usadas para medir temperatura. Os termômetros de 
gás baseiam-se no efeito de variação da pressão para medir a temperatura através da equação 
de estado de gases ideais. Medida de temperatura por efeito mecânico baseia-se na dilatação 
 20
de um material, como por exemplo, a dilatação de mercúrio em um tubo de vidro graduado. O 
efeito bi metálico baseia-se na colagem de duas fitas de metais de diferentes coeficientes de 
expansão que se deformam de forma diferente sob o efeito da temperatura. Efeito elétrico é 
uma maneira conveniente de medir porque o sinal elétrico pode ser facilmente detectado, 
amplificado, ou usado para propósitos de controle. 
O método elétrico mais comum de se medir temperatura usa termopares. Quando dois 
metais diferentes são unidos por uma de suas extremidades, Figura 1.6, aparece entre as 
extremidades livres uma força eletromotriz (emf – electromotive force) que será função da 
temperatura da junção. Este fenômeno é chamado efeito Seebeck. Se os dois materiais são 
conectados a um circuito externo de tal maneira que origina uma corrente, a emf pode ser 
alterada levemente devido ao fenômeno chamado efeito Peltier. Além do mais, se um 
gradiente de temperatura existe ao longo de um ou ambos os materiais, a emf da junção sofre 
uma alteração adicional chamada de efeito Thomsom. Existem, portanto, três emf’s presentes 
no circuito: o efeito Seebeck causado pela junção de materiais não similares; o efeito Peltier 
causado pelo efeito de escoamento de corrente elétrica no circuito; e o efeito Thomson, que 
resulta de gradiente de temperatura nos materiais. A emf de Seebeck é a mais importante visto 
que ela depende da temperatura da junção. Se a emf gerada da junção de dois materiais 
diferentes é cuidadosamente medida como uma função da temperatura, então tal junção pode 
ser utilizada para medida de temperatura. 
 
 
Figura 1.6 Junção de dois metais não similares indicando efeito termoelétrico. 
 
Duas regras estão disponíveis para análise de circuitos termoelétricos: 
1) Se um terceiro metal é conectado no circuito como mostrado na Figura 1.7, a emf 
líquida não é afetada se ambas as conexões estiverem na mesma temperatura. Isto 
pode ser provado com ajuda da segunda lei da termodinâmica e é conhecido como lei 
de metais intermediários. 
2) Considere o arranjo da Figura 1.8. Os circuitos simples de termopares são construídos 
dos mesmos materiais mas operam entre diferentes limites de temperaturas. O circuito 
 21
na Figura 1.8a desenvolve uma emf de valor E1 entre as temperaturas T1 e T2; o 
circuito na Figura 1.8b desenvolve uma emf de valor E2 entre as temperaturas T2 e T3 . 
A lei das temperaturas intermediárias estabelece que este mesmo circuito desenvolve 
uma emf E3= E1 + E2 quando operando entre as temperaturas T1 e T3, como mostrado 
na Figura 2.8c. 
 
 
Figura 1.7 Influência de um terceiro metal no circuito termoelétrico; lei de metais 
intermediários. 
 
 
Figura 2.8 Circuitos ilustrando a lei de temperaturas intermediárias. 
 
Os circuitos termopares devem envolver pelo menos duas junções. Se a temperatura de 
uma junção é conhecida, então, a temperatura da outra junção pode ser facilmente calculada 
usando as propriedades termoelétricas dos materiais. A temperatura conhecida é chamada de 
temperatura de referência. Um arranjo comum para estabelecer a temperatura de referência é 
banho de gelo como mostrado na Figura 1.9. Uma mistura de gelo e ar saturado de água 
destilada à pressão atmosférica produz uma temperatura de 0 oC. Quando a mistura é mantida 
numa garrafa térmica, ela pode ser mantida por longos períodos. Ambos os fios do termopar 
podem ser mantidos à temperatura de referência como mostrado na Figura 1.9a ou apenas um 
fio pode ser mantido na temperatura de referência como mostra a Figura 1.9b. O arranjo da 
Figura 1.9a seria necessário seos conectores no medidor de voltagem estiverem à diferentes 
temperaturas, enquanto a conexão na Figura 1.9b seria satisfatório se os conectores estiverem 
na mesma temperatura. Para ser efetivo o sistema na Figura 1.9a deve ser de mesmo material. 
 
 22
 
Figura 1.9 Métodos convencionais para estabelecer temperatura de referência em circuito 
termopar. Termopar ferro-constantan ilustrado. 
 
É comum expressar a emf do efeito termoelétrico em termos do potencial gerado com 
a junção de referência a 0 oC. Tabelas de termopares padrões têm sido elaboradas com base 
nisso e um sumário das características de saída dos termopares mais comuns é apresentado na 
Tabela 1.2, na qual também está indicado o tipo de termopar: T, E, J, K, S. Estes dados são 
mostrados graficamente na Figura 1.10, juntamente com o comportamento de alguns dos mais 
exóticos materiais. 
 
Tabela 1.2 - Emf térmica em milivolts absolutos para combinações de termopares comumente 
usados (Junção de referência a 0oC) 
Temperatura Cobre 
Constantan1 
(T) 
Cromel2 
Constantan 
(E) 
Ferro 
Constantan 
(J) 
Cromel 
Alumel3 
(K) 
Platina 
Platina-10%Ródio 
(S) 
oF oC 
-300 -184,4 -5,341 -8,404 -7,519 -5,632 
-250 -156,7 -4,745 -7,438 -6,637 -5,005 
-200 -128,9 -4,419 -6,471 -5,760 -4,381 
-150 -101,1 -3,365 -5,223 -4,623 -3,538 
-100 -73,3 -2,581 -3,976 -3,492 -2,699 
 
1 Liga de 60% Cu – 40% Al 
2 Liga de 90% Ni – 10% Al 
3 Liga de 95% Ni-2%Mn-2%Al-1%Si 
 23
-50 -45,6 -1,626 -2,501 -2,186 -1,693 
0 -17,8 -0,674 -1,026 -0,885 -0,692 -0,092 
50 10 0,422 0,626 0,526 0,412 0,064 
100 37,8 1,518 2,281 1,942 1,520 0,221 
150 65,6 2,743 4,075 3,423 2,667 0,408 
200 93,3 3,967 5,869 4,906 3,819 0,597 
250 121,1 5,307 7,788 6,425 4,952 0,807 
300 148,9 6,647 9,708 7,947 6,092 1,020 
350 176,7 8,085 11,728 9,483 7,200 1,247 
400 204,4 9,523 13,748 11,023 8,314 1,478 
450 232,2 11,046 15,844 12,564 9,435 1,718 
500 260,0 12,572 17,942 14,108 10,560 1,962 
600 315,6 15,834 22,287 17,178 12,865 2,472 
700 371,1 19,095 26,637 20,253 15,178 2,985 
800 426,7 31,108 23,338 17,532 3,524 
1000 537,8 40,056 29,515 22,251 4,609 
1200 648,9 48,927 26,911 5,769 
1500 815,6 62,240 33,913 7,514 
1700 926,7 38,287 8,776 
2000 1093,3 44,856 10,675 
2500 1371,1 54,845 14,018 
3000 1648,9 17,347 
 
A voltagem de saída de um circuito termopar simples é usualmente escrita na forma 
 
2 31 1
2 3
E AT BT CT= + + (1.34) 
 
na qual T é a temperatura em graus Celsius e E é baseada na temperatura de junção de 0 oC. 
As constantes A, B e C são dependentes do material do termopar. 
A sensibilidade ou coeficiente de Seebeck, ou potência termoelétrica, de um termopar 
é definida por 
 
2dES A BT CT
dT
= = + + (1.35) 
 
 24
A Tabela 1.3 contém valores do coeficiente de Seebeck (sensibilidade) de vários materiais 
versus platina. 
 
 
Figura 1.10 Relações emf temperatura para materiais termopares, eletrodo positivo listado 
primeiro. 
 
A Figura 1.11 ilustra um termopar com duas junções de referência para os dois 
materiais. Neste circuito termopar pode-se demonstra que a relação entre a força eletromotriz 
a temperatura é da forma da Eq. (1.36): 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Ref . Tip Ref . Gage
out lead A B LeadGage Ref Tip Ref
Tip Ref .
A BRef Tip
Tip
A BRef
dT dT dT dTE S T dx S T dx S T dx S T dx
dx dx dx dx
S T dT S T dT
S T S T dT
= + + +
= +
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
 (1.36) 
 
 25
 
Figura 1.11 – Circuito termopar 
 
Tabela 1.3 – Sensibilidade de termo elementos feitos de materiais listados contra platina, 
1oV Cμ − (Junção de referência mantida a 0oC) 
Bismuto -72 Prata 6,5 
Constantan -35 Cobre 6,5 
Níquel -15 Ouro 6,5 
Patássio -9 Tungstênio 7,5 
Sódio -2 Cádmio 7,5 
Platina 0 Ferro 18,5 
Mercúrio 0,6 Nicromo 25 
Carbono 3 Antimônio 47 
Alumínio 3,5 Germânio 300 
Chumbo 4 Silício 440 
Tântalo 4,5 Telúrio 500 
Ródio 6 Selênio 900 
 
Se os coeficientes de Seebeck forem aproximadamente constates com a temperatura, a 
Eq.(1.36) pode ser integrada resultando 
 
( )( )out A B Tip RefE S S T T= − − ou outTip Ref
A B
VT T
S S
= +
−
 (1.37) 
 
Para cálculos computacionais, fórmulas polinomiais, por exemplo, de nona ordem 
podem ser usadas na forma 
 
 26
2 9
0 1 2 9T a a E a E a E= + + + + ou (1.38) 
 
( )( )( )( )( )( )( )0 1 2 3 4 5 6 7 8 9T a E a a a a a a a a a E E E E E E E E⎛ ⎞= + + + + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ (1.39) 
 
na qual T é a temperatura em oC; E é a voltagem do termopar em volts referente a junção a 0 
oC e a são os coeficientes do polinômio dados na Tabela 1.4 para várias combinações de 
termopares. 
 
Tabela 1.4 - Coeficientes de polinômios para Eq. (1.39) para várias combinações termopares 
padrões. 
 Tipo E Tipo J Tipo K Tipo R Tipo S Tipo T 
 Cromel(+) 
Contantan(-) 
Ferro(+) 
Constantan(-) 
Cromel(+) 
Ni-5%(-) 
(Al-Si) 
Pt-13%-Rh(+) 
Platina(-) 
Pt-10%-Rh(+) 
Platina(-) 
Cobre(+) 
Constantan(-) 
 100oC a 1000 oC 
± 0,5 oC 
Nona ordem 
0oC a 1000 oC 
± 0,1 oC 
Quinta ordem 
0oC a 1370 oC 
± 0,7 oC 
Oitava ordem 
0oC a 1000 oC 
± 0,5 oC 
Oitava ordem 
0oC a 1750 oC 
± 1oC 
Nona ordem 
-160oC a 400 oC 
± 0,5 oC 
Sétima ordem 
a0 0,104967248 -0,048868252 0,226584602 0,263632971 0,927763167 0,100860910 
a1 17189,45282 19873,14503 24152,10900 179075,491 169526,5150 25727,94369 
a2 -282639,0850 -218614,5353 67233,4248 -48840341,37 -31568363,94 -767345,8295 
a3 12695339,5 11569199,78 2210340,682 1,90002E+10 8990730663 78025595,81 
a4 -448703084,6 -264917531,4 -860963914,9 -4,82704E+12 -1,63565E+12 -9247486589 
a5 1,10866E+10 2018441314 4,83506E+10 7,62091E+14 1,88027E+14 6,97666E+11 
a6 -1,76807E+11 -1,18452E+12 -7,20026E+16 -1,37241E+1? -2,66192E+13 
a7 1,71842E+12 1,38690E+13 3,71496E+18 6,17501E+17 3,94078E+14 
a8 -9,19278E+12 -6,33708E+13 -8,03104E+19 -1,56105E+19 
a9 2,06132E+13 1,69535E+20