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AV1 - EDO-AIRTON OSORIO BARDALES

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CADERNO DE RESPOSTAS – AVALIAÇÃO VIRTUAL - [AV1] 
 
 
PREENCHER OS CAMPOS ABAIXO 
ATENÇÃO! 
ESSE É O CADERNO DE RESPOSTAS. LEIA ATENTAMENTE O CADERNO 
DE QUESTÕES E SIGA AS INSTRUÇÕES CONTIDAS NOS ENUNCIADOS. 
BOA PROVA! 
 
RESPOSTA DA QUESTÃO 1 
 
a) (1,0 ponto) 
 
 
 
𝑦′ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦2 𝑦(1) = −1 
∫ 𝑦−2 = ∫ 𝑑𝑥 
𝑦−1
−1
= 𝑥 + 𝑐 
1
𝑦
= −𝑥 + 𝑐 
 PROVA 
AV1 
VALOR DA PROVA: 7,0 pontos 
CURSO: Bacharelado em Engenharia Civil TURMA: 51620201 
DISCIPLINA: Equação Diferencial e Ordinária I TURNO 
PROFESSOR(A): Me. Fabiane da Rocha Farias Lima MAT ( ) VESP ( ) NOT (X) 
ALUNO(A): AIRTON OSORIO BARDALES NOTA 
AVALIAÇÃO: 19/04/2021. CORREÇÃO: 26/04/2021. Prova Trabalho Média 
A postagem desse Caderno de Respostas no Portal do 
Aluno é a ciência da participação do aluno na AV1. 
 
 
 
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1
1
= −1 + 𝑐 ==> 𝑐 = 2 
1
𝑦
= −𝑥 + 2 
𝒚(𝒙) =
𝟏
𝟐 − 𝒙
 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂 
 
b) (1,0 ponto) 
 
 
 
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦2 ∗ 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥2) 
∫ (
1
𝑦2
) ∗ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑑𝑥 
 
𝑦−1
−1
= ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥2) 𝑑𝑥 
−
1
𝑦
= ∫ cos(𝑥2) 𝑑𝑥 
____________________ 
∫ cos(𝑥2) 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥2 ==> 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 
∫ xcos(𝑢) 
𝑑𝑢
2𝑥
 
(
1
2
) ∗ ∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢 = (
1
2
) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑢) 
Como 𝑢 = 𝑥2 
= (
1
2
) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑥2) + 𝑐 
______________________ 
−
1
𝑦
= (
1
2
) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑥2) + 𝑐 
𝑦 (
𝜋
2
) = 1 
 
 
 
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−
1
1
= (
1
2
) ∗ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
)
2
+ 𝑐 
−
1
1
= (
1
2
) ∗ 0 + 𝑐 ==> 𝑐 = −1 
−
1
𝑦
= (
1
2
) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑥2) − 1 
1
𝑦
= (−
1
2
) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑥2) + 1 
𝒚(𝒙) =
𝟏
[(−
𝟏
𝟐
) ∗ 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐) + 𝟏]
 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂 
 
RESPOSTA DA QUESTÃO 2 
(1,5 ponto) 
 
𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑘, 𝑦, 𝑡 𝑒𝑚 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑡 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑘 ∗ 𝑥(𝑡) ∗ 𝑦(𝑡) 
𝐸𝑛𝑡ã𝑜 teremos que x(t)é algo do tipo: 𝑥(𝑡) = 𝑘 ∗ 𝑒(𝑒
𝑘𝑡+𝑏) 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑘𝑡 = 𝑦(𝑡) 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑚 𝑥 = 1 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 1 𝑒 𝑘 = (𝑥 + 1)² = 4, 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠: 
1 = 𝑒𝑘𝑡0 => 1 = 𝑒4𝑡0 => 𝑡0 = 0 
1 = 4𝑒𝑏 => 𝐵 = −2 ln(2) 
𝑺𝒐𝒍𝒖çõ𝒆𝒔: 𝒙(𝒕) = 𝒌 ∗ 𝒆(𝒆
𝒌𝒕−𝟐 𝐥𝐧(𝟐)) 𝒆 𝒚(𝒕) = 𝒆𝒌𝒕 
 
 
RESPOSTA DA QUESTÃO 3 
(1,5 ponto) 
 
𝒚 𝑰𝒏(𝒙) ∗ 𝒙′ = (
𝒚 + 𝟏
𝒙
)
𝟐
 
 
Organizamos as variáveis membro a membro: 
 
<=> 𝑦 𝐼𝑛(𝑥) ∗ 𝑥′ = 
(𝑦 + 1)2
𝑥2
 
<=> 𝑥2𝐼𝑛(𝑥) ∗ 𝑥′ =
(𝑦 + 1)2
𝑦
 
<=> 𝑥2𝐼𝑛(𝑥) ∗
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
(𝑦 + 1)2
𝑦
 
<=> 𝑥2𝐼𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = (
𝑦2 + 2𝑦 + 1
𝑦
) 𝑑𝑦 
 
 
 
 
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Aplicar integrais para ambos membros 
 
<=> ∫ 𝑥2 ∗ 𝐼𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ (
1
𝑦
+ 𝑦 + 2) 𝑑𝑦 
 
Para calcular a primeira integral uso a integração por partes: 
 
∫ 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∗ 𝒗 − ∫ 𝒖𝒅𝒗 
 
Seja: 𝑢 = 𝐼𝑛(𝑥); 𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
𝑥
 
 
<=> 𝑑𝑣 = 𝑥2𝑑𝑥; 𝑣 =
𝑥3
3
 
<=> 
𝑥3 ∗ 𝐼𝑛(𝑥)
3
− ∫
𝑥3
3
∗
1
𝑥
 𝑑𝑥 = 𝐼𝑛(𝑦) + 𝑦2 + 2𝑦 
<=> 
𝑥3 ∗ 𝐼𝑛(𝑥)
3
−
1
3
 ∫ 𝑥2𝑑𝑥 = 𝐼𝑛(𝑦) + 𝑦2 + 2𝑦 
<=> 2𝑦 =
𝑥3𝐼𝑛(𝑥)
3
−
𝑥3
9
− 𝐼𝑛(𝑥) − 𝑦2 
 
𝒚 =
𝒙𝟑𝑰𝒏(𝒙)
𝟔
−
𝒙𝟑
𝟏𝟖
−
𝒚𝟐
𝟐
+ 𝑪, 𝒄𝒐𝒎 𝑪 𝝐 𝑹 
 
 
RESPOSTA DA QUESTÃO 4 
 
a) (1,0 ponto) 
 
𝑦 = 𝑒𝑚𝑥 
𝑦′ = 𝑚 ∗ 𝑒𝑚𝑥 
𝑦′′ = 𝑚² ∗ 𝑒𝑚𝑥 
𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0 
𝑚² ∗ 𝑒𝑚𝑥 − 3 ∗ 𝑚 ∗ 𝑒𝑚𝑥 + 2 ∗ 𝑒𝑚𝑥 = 0 
𝑒𝑚𝑥 ∗ (𝑚² − 3 + 2) = 0 
𝑚² − 3 + 2 = 0 
𝒎′ = 𝟏 𝒆 𝒎′′ = 𝟐 
 
b) (1,0 ponto) 
 
𝑦 = 𝑥𝑚 
 
 
 
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𝑦′ = 𝑚 ∗ 𝑥𝑚−1 
𝑦′′ = 𝑚 ∗ (𝑚 − 1) ∗ 𝑥𝑚−2 
𝑥² ∗ 𝑦′′ − 4𝑦′𝑥 + 4𝑦 = 0 
𝑥² ∗ 𝑚 ∗ (𝑚 − 1) ∗ 𝑥𝑚−2 − 4𝑚 ∗ 𝑥𝑚−1 ∗ 𝑥 + 4 ∗ 𝑥𝑚 = 0 
𝑥² ∗ 𝑚 ∗ (𝑚 − 1) ∗ 𝑥𝑚−2 − 4𝑚 ∗ 𝑥𝑚−1 ∗ 𝑥 + 4 ∗ 𝑥𝑚 = 0 
𝑚 ∗ (𝑚 − 1) ∗ 𝑥𝑚 − 4𝑚 ∗ 𝑥𝑚 + 4 ∗ 𝑥𝑚 = 0 
𝑥𝑚 ∗ [𝑚 ∗ (𝑚 − 1) − 4𝑚 + 4] = 0 
𝑚 ∗ (𝑚 − 1) − 4𝑚 + 4 = 0 
𝑚² − 𝑚 − 4𝑚 + 4 = 0 
𝑚² − 5𝑚 + 4 = 0 
𝒎′ = 𝟏 𝒎′′ = 𝟒 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
a) O PRESENTE CADERNO DE QUESTÕES DEVERÁ SER RESOLVIDO E 
POSTADO NO PORTAL DO ALUNO NA VERSÃO WORD NO PRAZO 
MÁXIMO DE 24 HORAS APÓS A POSTAGEM DOS ARQUIVOS DA 
AVALIAÇÃO PELO PROFESSOR; 
b) O ALUNO ESTÁ CIENTE DAS ORIENTAÇÕES CONTIDAS NO CADERNO 
DE ORIENTAÇÕES, UM DOS ARQUIVOS QUE COMPÕEM ESTA 
AVALIAÇÃO VIRTUAL. 
	,𝒎-′.=𝟏 𝒆 𝒎′′=𝟐
	,𝒎-′.=𝟏 𝒎′′=𝟒