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Página 1 de 5 CADERNO DE RESPOSTAS – AVALIAÇÃO VIRTUAL - [AV1] PREENCHER OS CAMPOS ABAIXO ATENÇÃO! ESSE É O CADERNO DE RESPOSTAS. LEIA ATENTAMENTE O CADERNO DE QUESTÕES E SIGA AS INSTRUÇÕES CONTIDAS NOS ENUNCIADOS. BOA PROVA! RESPOSTA DA QUESTÃO 1 a) (1,0 ponto) 𝑦′ = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦2 𝑦(1) = −1 ∫ 𝑦−2 = ∫ 𝑑𝑥 𝑦−1 −1 = 𝑥 + 𝑐 1 𝑦 = −𝑥 + 𝑐 PROVA AV1 VALOR DA PROVA: 7,0 pontos CURSO: Bacharelado em Engenharia Civil TURMA: 51620201 DISCIPLINA: Equação Diferencial e Ordinária I TURNO PROFESSOR(A): Me. Fabiane da Rocha Farias Lima MAT ( ) VESP ( ) NOT (X) ALUNO(A): AIRTON OSORIO BARDALES NOTA AVALIAÇÃO: 19/04/2021. CORREÇÃO: 26/04/2021. Prova Trabalho Média A postagem desse Caderno de Respostas no Portal do Aluno é a ciência da participação do aluno na AV1. Página 2 de 5 1 1 = −1 + 𝑐 ==> 𝑐 = 2 1 𝑦 = −𝑥 + 2 𝒚(𝒙) = 𝟏 𝟐 − 𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂 b) (1,0 ponto) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦2 ∗ 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥2) ∫ ( 1 𝑦2 ) ∗ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥2)𝑑𝑥 𝑦−1 −1 = ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥2) 𝑑𝑥 − 1 𝑦 = ∫ cos(𝑥2) 𝑑𝑥 ____________________ ∫ cos(𝑥2) 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑥2 ==> 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 ∫ xcos(𝑢) 𝑑𝑢 2𝑥 ( 1 2 ) ∗ ∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢 = ( 1 2 ) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑢) Como 𝑢 = 𝑥2 = ( 1 2 ) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑥2) + 𝑐 ______________________ − 1 𝑦 = ( 1 2 ) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑥2) + 𝑐 𝑦 ( 𝜋 2 ) = 1 Página 3 de 5 − 1 1 = ( 1 2 ) ∗ 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋 2 ) 2 + 𝑐 − 1 1 = ( 1 2 ) ∗ 0 + 𝑐 ==> 𝑐 = −1 − 1 𝑦 = ( 1 2 ) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑥2) − 1 1 𝑦 = (− 1 2 ) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑥2) + 1 𝒚(𝒙) = 𝟏 [(− 𝟏 𝟐 ) ∗ 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐) + 𝟏] 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂 RESPOSTA DA QUESTÃO 2 (1,5 ponto) 𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑘, 𝑦, 𝑡 𝑒𝑚 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑘 ∗ 𝑥(𝑡) ∗ 𝑦(𝑡) 𝐸𝑛𝑡ã𝑜 teremos que x(t)é algo do tipo: 𝑥(𝑡) = 𝑘 ∗ 𝑒(𝑒 𝑘𝑡+𝑏) 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑘𝑡 = 𝑦(𝑡) 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑚 𝑥 = 1 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 1 𝑒 𝑘 = (𝑥 + 1)² = 4, 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠: 1 = 𝑒𝑘𝑡0 => 1 = 𝑒4𝑡0 => 𝑡0 = 0 1 = 4𝑒𝑏 => 𝐵 = −2 ln(2) 𝑺𝒐𝒍𝒖çõ𝒆𝒔: 𝒙(𝒕) = 𝒌 ∗ 𝒆(𝒆 𝒌𝒕−𝟐 𝐥𝐧(𝟐)) 𝒆 𝒚(𝒕) = 𝒆𝒌𝒕 RESPOSTA DA QUESTÃO 3 (1,5 ponto) 𝒚 𝑰𝒏(𝒙) ∗ 𝒙′ = ( 𝒚 + 𝟏 𝒙 ) 𝟐 Organizamos as variáveis membro a membro: <=> 𝑦 𝐼𝑛(𝑥) ∗ 𝑥′ = (𝑦 + 1)2 𝑥2 <=> 𝑥2𝐼𝑛(𝑥) ∗ 𝑥′ = (𝑦 + 1)2 𝑦 <=> 𝑥2𝐼𝑛(𝑥) ∗ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = (𝑦 + 1)2 𝑦 <=> 𝑥2𝐼𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = ( 𝑦2 + 2𝑦 + 1 𝑦 ) 𝑑𝑦 Página 4 de 5 Aplicar integrais para ambos membros <=> ∫ 𝑥2 ∗ 𝐼𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ ( 1 𝑦 + 𝑦 + 2) 𝑑𝑦 Para calcular a primeira integral uso a integração por partes: ∫ 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖 ∗ 𝒗 − ∫ 𝒖𝒅𝒗 Seja: 𝑢 = 𝐼𝑛(𝑥); 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 <=> 𝑑𝑣 = 𝑥2𝑑𝑥; 𝑣 = 𝑥3 3 <=> 𝑥3 ∗ 𝐼𝑛(𝑥) 3 − ∫ 𝑥3 3 ∗ 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐼𝑛(𝑦) + 𝑦2 + 2𝑦 <=> 𝑥3 ∗ 𝐼𝑛(𝑥) 3 − 1 3 ∫ 𝑥2𝑑𝑥 = 𝐼𝑛(𝑦) + 𝑦2 + 2𝑦 <=> 2𝑦 = 𝑥3𝐼𝑛(𝑥) 3 − 𝑥3 9 − 𝐼𝑛(𝑥) − 𝑦2 𝒚 = 𝒙𝟑𝑰𝒏(𝒙) 𝟔 − 𝒙𝟑 𝟏𝟖 − 𝒚𝟐 𝟐 + 𝑪, 𝒄𝒐𝒎 𝑪 𝝐 𝑹 RESPOSTA DA QUESTÃO 4 a) (1,0 ponto) 𝑦 = 𝑒𝑚𝑥 𝑦′ = 𝑚 ∗ 𝑒𝑚𝑥 𝑦′′ = 𝑚² ∗ 𝑒𝑚𝑥 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0 𝑚² ∗ 𝑒𝑚𝑥 − 3 ∗ 𝑚 ∗ 𝑒𝑚𝑥 + 2 ∗ 𝑒𝑚𝑥 = 0 𝑒𝑚𝑥 ∗ (𝑚² − 3 + 2) = 0 𝑚² − 3 + 2 = 0 𝒎′ = 𝟏 𝒆 𝒎′′ = 𝟐 b) (1,0 ponto) 𝑦 = 𝑥𝑚 Página 5 de 5 𝑦′ = 𝑚 ∗ 𝑥𝑚−1 𝑦′′ = 𝑚 ∗ (𝑚 − 1) ∗ 𝑥𝑚−2 𝑥² ∗ 𝑦′′ − 4𝑦′𝑥 + 4𝑦 = 0 𝑥² ∗ 𝑚 ∗ (𝑚 − 1) ∗ 𝑥𝑚−2 − 4𝑚 ∗ 𝑥𝑚−1 ∗ 𝑥 + 4 ∗ 𝑥𝑚 = 0 𝑥² ∗ 𝑚 ∗ (𝑚 − 1) ∗ 𝑥𝑚−2 − 4𝑚 ∗ 𝑥𝑚−1 ∗ 𝑥 + 4 ∗ 𝑥𝑚 = 0 𝑚 ∗ (𝑚 − 1) ∗ 𝑥𝑚 − 4𝑚 ∗ 𝑥𝑚 + 4 ∗ 𝑥𝑚 = 0 𝑥𝑚 ∗ [𝑚 ∗ (𝑚 − 1) − 4𝑚 + 4] = 0 𝑚 ∗ (𝑚 − 1) − 4𝑚 + 4 = 0 𝑚² − 𝑚 − 4𝑚 + 4 = 0 𝑚² − 5𝑚 + 4 = 0 𝒎′ = 𝟏 𝒎′′ = 𝟒 OBSERVAÇÃO: a) O PRESENTE CADERNO DE QUESTÕES DEVERÁ SER RESOLVIDO E POSTADO NO PORTAL DO ALUNO NA VERSÃO WORD NO PRAZO MÁXIMO DE 24 HORAS APÓS A POSTAGEM DOS ARQUIVOS DA AVALIAÇÃO PELO PROFESSOR; b) O ALUNO ESTÁ CIENTE DAS ORIENTAÇÕES CONTIDAS NO CADERNO DE ORIENTAÇÕES, UM DOS ARQUIVOS QUE COMPÕEM ESTA AVALIAÇÃO VIRTUAL. ,𝒎-′.=𝟏 𝒆 𝒎′′=𝟐 ,𝒎-′.=𝟏 𝒎′′=𝟒
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