pesquisaoperacional-exerciciosresolvidos-metodosimplex-180602224530

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Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex 
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o 
 
 
EXERCÍCIO Nº 1 
 
Dado o modelo abaixo, resolva-o através do Método Simplex. 
 
Max. z = 3x1 + 5x2 
 s.a. 
2x1 x2 
6x1 x2 
x1 -x2 
x1 e x2 0 
 
1º Normalizar as inequações: 
 
2x1 x2+ f 1 =  
6x1 x2+ f 2 = 20 
x1 -x2+ f 3 = 
- 3x1 - 5x2 =  
 
2º Tabular os coeficientes. 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução x1 x2 f1 f2 f3 
f1 2 4 1 0 0 10 
f2 6 1 0 1 0 20 
f3 1 -1 0 0 1 30 
Z -3 -5 0 0 0 0 
 
4º Identificar a variável que entra, a que sai e o pivô. 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução 
 
x1 x2 f1 f2 f3 
f1 2 4 1 0 0 10 10 / 4 = 2,5 
f2 6 1 0 1 0 20 20 / 1 = 20 
f3 1 -1 0 0 1 30 30/ -1 = -30 
Z -3 -5 0 0 0 0 
 
5º Aplicar a nova equação do Pivô.  N.E.P. = E.P. / Pivô 
 
f 1 0,5 1 0,25 0 0 2,5 
 
 
 
Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex 
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o 
 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução x1 x2 f1 f2 f3 
x2 0,5 1 0,25 0 0 2,5 
f2 5,5 0 -0,25 1 0 17,5 
f3 1,5 0 0,25 0 1 32,5 
Z -0,5 0 1,25 0 0 12,5 
 
6º Calcular os valores para f2, f3, e Z: 
 
Para f2 
 
Antiga 6 1 0 1 0 20 
- (1 x NEP ) 0,5 1 0,25 0 0 2,5 
Nova 5,5 0 -0,25 1 0 17,5 
 
Para f3 
 
Antiga 1 -1 0 0 1 30 
- (-1 x NEP ) -0,5 -1 -0,25 0 0 -2,5 
Nova 1,5 0 0,25 0 1 32,5 
 
Para L 
 
Antiga -3 -5 0 0 0 0 
- (-5 x NEP ) -2,5 -5 -1,25 0 0 -12,5 
Nova -0,5 0 1,25 0 0 12,5 
 
 
6º Analisar o resultado. Como o valor de x1 ainda é negativo, é necessário repetir o ciclo. 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução x1 x2 f1 f2 f3 
x2 0,5 1 0,25 0 0 2,5 
f2 5,5 0 -0,25 1 0 17,5 
f3 1,5 0 0,25 0 1 32,5 
Z -0,5 0 1,25 0 0 12,5 
 
 
Coeficiente da Nova Equação
Nova Equação = Equaçãoanterior 
Coluna de Entrada do Pivô
   
    
   
 
 
Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex 
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o 
 
7º Identificar a variável que entra, a que sai e o pivô  N.E.P. = E.P. / Pivô 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução 
Valores da 
Solução x1 x2 f1 f2 f3 
x2 0,5 1 0,25 0 0 2,5 
f2 5,5 0 -0,25 1 0 17,5 17,5 / 5,5 = 3,18 
f3 1,5 0 0,25 0 1 32,5 32,5 / 1,5 = 21,67 
L -0,5 0 1,25 0 0 12,5 
 
8º Aplicar a nova equação do Pivô.  N.E.P. = E.P. / Pivô 
 
f 2 1 0 -0,045 0,18 0 3,18 
 
9º Calcular os valores para f2, f3, e Z: 
 
Para f3 
 
Antiga 1,5 0 0,25 0 1 32,5 
- (1,5 x NEP ) 1,5 0 -0,067 0,27 0 4,77 
Nova 0 0 0,317 -0,27 1 27,73 
Para L 
 
Antiga -0,5 0 1,25 0 0 12,5 
- (-0,5 x NEP ) -0,5 0 0,022 -0,09 0 -1,59 
Nova 0 0 1,228 0,09 0 14,09 
 
10º Analisar o resultado. Como não há mais valores negativos para as variáveis não básicas x1 e 
x2, a solução é ótima. 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução x1 x2 f1 f2 f3 
x2 0,5 1 0,25 0 0 2,5 
x1 1 0 -0,045 0,18 0 3,18 
f3 0 0 0,317 -0,27 1 27,73 
L 0 0 1,228 0,09 0 14,09 
 
 
Prova: F.O.  3x1 + 5x2  ( 3 . 3,18) + ( 5 . 2,5 ) = 9,54 + 12,5 = 
 
Coeficiente da Nova Equação
Nova Equação = Equaçãoanterior 
Coluna de Entrada do Pivô
   
    
   
 
 
Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex 
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o 
 
EXERCÍCIO Nº 2 
 
Dado o modelo abaixo, resolva-o através do Método Simplex. 
 
Max. z = 4x1 + 3x2 
 s.a. 
x1 x2 
2x1 x2 
x1 x2 
x1 e x2 0 
 
1º Normalizar as inequações: 
 
x1 x2+ f 1 = 7 
2x1 x2+ f 2 = 8 
x1 x2+ f 3 = 
- 4x1 - 3x2 =  
 
2º Tabular os coeficientes. 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução x1 x2 f1 f2 f3 
f1 1 3 1 0 0 7 
f2 2 2 0 1 0 8 
f3 1 1 0 0 1 3 
Z -4 -3 0 0 0 0 
 
4º Identificar a variável que entra, a que sai e o pivô. 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução 
 
x1 x2 f1 f2 f3 
f1 1 3 1 0 0 7 7 / 1 = 7 
f2 2 2 0 1 0 8 8 / 2 = 4 
f3 1 1 0 0 1 3 3 / 1 = 3 
Z -4 -3 0 0 0 0 
 
5º Aplicar a nova equação do Pivô.  N.E.P. = E.P. / Pivô 
 
f 3 1 1 0 0 1 3 
 
 
 
 
Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex 
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o 
 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução x1 x2 f1 f2 f3 
f1 0 2 1 0 -1 4 
f2 0 0 0 1 -2 2 
x1 1 1 0 0 1 3 
L 0 1 0 0 1 12 
 
6º Calcular os valores para f2, f3, e Z: 
 
Para f1 
 
Antiga 1 3 1 0 0 7 
- (1 x NEP ) 1 1 0 0 1 3 
Nova 0 2 1 0 -1 4 
 
Para f2 
 
Antiga 2 2 0 1 0 8 
- (2 x NEP ) 2 2 0 0 2 6 
Nova 0 0 0 1 -2 2 
 
Para L 
 
Antiga -4 -3 0 0 0 0 
- (-4 x NEP ) -4 -4 0 0 -4 -12 
Nova 0 1 0 0 4 12 
 
6º Analisar o resultado. Como não existem mais valores negativos, o processo termina. 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução x1 x2 f1 f2 f3 
f1 0 2 1 0 -1 4 
f2 0 0 0 1 -2 2 
x1 1 1 0 0 1 3 
Z 0 1 0 0 1 12 
 
Prova: F.O.  4x1 + 3x2 = 12  ( 4 . 3 ) + 3x2 = 12  x2 = 0 
Coeficiente da Nova Equação
Nova Equação = Equaçãoanterior 
Coluna de Entrada do Pivô
   
    
   
 
 
Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex 
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o 
 
 
EXERCÍCIO Nº 3 
 
Dado o modelo abaixo, resolva-o através do Método Simplex. 
 
Max. z = 5x1 + 2x2 
 s.a. 
x1  
x2  
x1 x2 
x1 e x2 0 
 
1º Normalizar as inequações: 
 
 x1 + f 1 = 3 
 X2 + f 2 = 4 
 X1 + 2x2 + f 3 = 9 
 -5x1 – 2x2 = 0 
 
2º Tabular os coeficientes. 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução x1 x2 f1 f2 f3 
f1 1 0 1 0 0 3 
f2 0 1 0 1 0 4 
f3 1 2 0 0 1 9 
Z -5 -2 0 0 0 0 
 
4º Identificar a variável que entra, a que sai e o pivô. 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução 
 
x1 x2 f1 f2 f3 
f1 1 0 1 0 0 3 3 / 1 = 3 
f2 0 1 0 1 0 4 4 / 0 =  
f3 1 2 0 0 1 9 9 / 1 = 9 
Z -5 -2 0 0 0 0 
 
5º Aplicar a nova equação do Pivô.  N.E.P. = E.P. / Pivô 
 
 
f 1 1 0 1 0 0 3 
 
 
Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex 
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o 
 
 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução x1 x2 f1 f2 f3 
x1 1 0 1 0 0 3 
f2 0 1 0 1 0 4 
f3 0 2 -1 0 1 6 
Z 0 -2 5 0 0 15 
 
6º Calcular os valores para f2, f3, e Z: 
 
 
Para f2 
 
Antiga 0 1 0 1 0 4 
- (0 x NEP ) 0 0 0 0 0 0 
Nova 0 1 0 1 0 4 
 
Para f3 
 
Antiga 1 2 0 0 1 9 
- (1 x NEP ) 1 0 1 0 0 3 
Nova 0 2 -1 0 1 6 
 
Para L 
 
Antiga -5 -2 0 0 0 0 
- (-5 x NEP ) -5 0 -5 0 0 -15 
Nova 0 -2 5 0 0 15 
 
6º Analisar o resultado. Como o valor de x2 ainda é negativo, é necessário repetir o ciclo. 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução x1 x2 f1 f2 f3 
x1 1 0 1 0 0 3 
f2 0 1 0 1 0 4 
f3 0 2 -1 0 1 6 
Z 0 -2 5 0 0 15 
 
Coeficiente da Nova Equação
Nova Equação = Equaçãoanterior 
Coluna de Entrada do Pivô
   
    
   
 
 
Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex 
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o 
 
 
7º Identificar a variável que entra, a que sai e o pivô  N.E.P. = E.P. / Pivô 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução 
Valores da 
Solução x1 x2 f1 f2 f3 
x1 1 0 1 0 0 3 
f2 0 1 0 1 0 4 4 / 1 = 4 
x2 0 2 -1 0 1 6 6 / 2 = 3 
L 0 -2 5 0 0 15 
 
8º Aplicar a nova equação do Pivô.  N.E.P. = E.P. / Pivô 
 
f 3 0 1 -1/2 0 1/2 3 
 
9º Calcular os valores para f2, f3, e Z: 
 
Para f2 
 
Antiga 0 1 0 1 0 4 
- (1 x NEP ) 0 1 -1/2 0 1/2 3 
Nova 0 0 1/2 1 -1/2 1 
Para L 
 
Antiga 0 -2 5 0 0 15 
- (-2 x NEP ) 0 -2 1 0 -1 -6 
Nova 0 0 4 0 1 2110º Analisar o resultado. Como não há mais valores negativos para as variáveis não básicas x1 e 
x2, a solução é ótima. 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução x1 x2 f1 f2 f3 
x1 1 0 1 0 0 3 
f2 0 0 1/2 1 -1/2 1 
x2 0 1 -1/2 0 1/2 3 
L 0 0 4 0 1 21 
 
 
Prova: F.O.  5x1 + 2x2  ( 5 . 3 ) + ( 2 . 3 ) = 15 + 6 = 21 
Coeficiente da Nova Equação
Nova Equação = Equaçãoanterior 
Coluna de Entrada do Pivô
   
    
   
 
 
Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex 
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o 
 
 
 
EXERCÍCIO Nº 4 
 
Dado o modelo abaixo, resolva-o através do Método Simplex. 
 
Max. z = 4x1 + 8x2 
 s.a. 
3x1 x2 
x1 x2 
x1  
x1 e x2 0 
 
1º Normalizar as inequações: 
 
 3X1 + 2x2 + f 1 = 18 
 X1 + x2 + f 2 = 5 
 X1 + f 3 = 3 
 -4x1 – 8x2 = 0 
 
2º Tabular os coeficientes. 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução x1 x2 f1 f2 f3 
f1 3 2 1 0 0 18 
f2 1 1 0 1 0 5 
f3 1 0 0 0 1 3 
Z -4 -8 0 0 0 0 
 
4º Identificar a variável que entra, a que sai e o pivô. 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução 
 
x1 x2 f1 f2 f3 
f1 3 2 1 0 0 18 18 / 2 = 9 
f2 1 1 0 1 0 5 5 / 1 = 5 
f3 1 0 0 0 1 3 3 / 0 =  
Z -4 -8 0 0 0 0 
 
5º Aplicar a nova equação do Pivô.  N.E.P. = E.P. / Pivô 
 
f 2 1 1 0 1 0 5 
 
 
Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex 
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução x1 x2 f1 f2 f3 
x1 1 0 1 0 0 3 
f2 0 1 0 1 0 4 
f3 0 2 -1 0 1 6 
Z 0 -2 5 0 0 15 
 
6º Calcular os valores para f2, f3, e Z: 
 
 
Para f2 
 
Antiga 0 1 0 1 0 4 
- (0 x NEP ) 0 0 0 0 0 0 
Nova 0 1 0 1 0 4 
 
Para f3 
 
Antiga 1 2 0 0 1 9 
- (1 x NEP ) 1 0 1 0 0 3 
Nova 0 2 -1 0 1 6 
 
Para L 
 
Antiga -5 -2 0 0 0 0 
- (-5 x NEP ) -5 0 -5 0 0 -15 
Nova 0 -2 5 0 0 15 
 
6º Analisar o resultado. Como o valor de x2 ainda é negativo, é necessário repetir o ciclo. 
 
Variáveis na Variáveis de Decisão Valores da 
Coeficiente da Nova Equação
Nova Equação = Equaçãoanterior 
Coluna de Entrada do Pivô
   
    
   
 
 
Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex 
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o 
Solução x1 x2 f1 f2 f3 Solução 
x1 1 0 1 0 0 3 
f2 0 1 0 1 0 4 
f3 0 2 -1 0 1 6 
Z 0 -2 5 0 0 15 
 
 
 
7º Identificar a variável que entra, a que sai e o pivô  N.E.P. = E.P. / Pivô 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução 
Valores da 
Solução x1 x2 f1 f2 f3 
x1 1 0 1 0 0 3 
f2 0 1 0 1 0 4 4 / 1 = 4 
x2 0 2 -1 0 1 6 6 / 2 = 3 
L 0 -2 5 0 0 15 
 
8º Aplicar a nova equação do Pivô.  N.E.P. = E.P. / Pivô 
 
f 3 0 1 -1/2 0 1/2 3 
 
9º Calcular os valores para f2, f3, e Z: 
 
Para f2 
 
Antiga 0 1 0 1 0 4 
- (1 x NEP ) 0 1 -1/2 0 1/2 3 
Nova 0 0 1/2 1 -1/2 1 
Para L 
 
Antiga 0 -2 5 0 0 15 
- (-2 x NEP ) 0 -2 1 0 -1 -6 
Nova 0 0 4 0 1 21 
 
10º Analisar o resultado. Como não há mais valores negativos para as variáveis não básicas x1 e 
x2, a solução é ótima. 
 
Variáveis na 
Solução 
Variáveis de Decisão Valores da 
Solução x1 x2 f1 f2 f3 
x1 1 0 1 0 0 3 
Coeficiente da Nova Equação
Nova Equação = Equaçãoanterior 
Coluna de Entrada do Pivô
   
    
   
 
 
Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex 
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o 
f2 0 0 1/2 1 -1/2 1 
x2 0 1 -1/2 0 1/2 3 
L 0 0 4 0 1 21 
 
 
Prova: F.O.  5x1 + 2x2  ( 5 . 3 ) + ( 2 . 3 ) = 15 + 6 = 21