Aula 2 - Museu Oscar Niemeyer e a integral definida - solucao

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Aula 2 – desafios aplicados de cálculo diferencial e integral 
Museu Oscar Niemeyer e a integral definida 
O Museu Oscar Niemeyer, em Curitiba-PR, foi inaugurado em 2002 e inicialmente 
foi batizado de Museu Novo e desde sempre foi conhecido como Museu do Olho. 
Em 2003, com a mudança do governo estadual, foi rebatizado com o nome em 
homenagem ao famoso arquiteto que o projetou. Curiosamente, o mesmo arquiteto 
havia sido responsável pelo projeto do prédio que abrigava uma escola até ser 
remodelada e transformada em museu, que recebeu outro prédio independente da 
obra já existente, tão arrojado que surpreendeu a todos os arquitetos da época, 
tamanho o desafio e inovação que foram propostos e executados, conforme 
aparece na Fig. 1: 
 
 
Figura 1: Vista frontal do “olho”. Museu Oscar Niemeyer. 
 
"Era um prédio construído 40 anos atrás, suspenso em pilotis, com vãos de 30 e 60 
metros e as fachadas cegas como a iluminação zenital adotada permitia. Era tão 
leve e atualizado que surgiu a ideia de transformá-lo num museu de arte. E isso 
explica o grande salão projetado, solto no ar, com 70m de comprimento e 30m de 
largura. As rampas de acesso indispensáveis, e o novo museu a exibir com sua 
forma diferente os milagres que o concreto armado oferece à arquitetura 
contemporânea." NIEMEYER, O. Minha Arquitetura, Rio de Janeiro: Revan, 2004. 
p. 290. 
 
 
 
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Como percebemos neste trecho escrito pelo próprio Oscar Niemeyer, as dimensões 
do que ele chama de “grande salão suspenso”, o “olho”, são 70 m de comprimento 
e 30 de altura. Quanto à parte curvilínea, que gera o formato de olho, a distância 
entre os pontos mais baixo e mais alto possui aproximadamente 18 m, sendo que a 
reta que separa as duas curvas parabólicas encontra-se a 14 m do ponto mais alto 
e a 4 m do ponto mais baixo. Essas dimensões foram utilizadas para fazer a 
representação, em escala apropriada, conforme aparece na Fig. 2. 
 
 
 
Os pontos marcados na curva que contorna o “olho” foram nomeados de A a N. 
Repare que percorrendo os pontos A, B, C, D, E, F, G e H, contornamos a parte 
côncava para baixo enquanto percorrendo os pontos H, I, J, K, L, M, N, A, 
percorremos o contorno da curva côncava para cima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1ª QUESTÃO 
 
Escreva, na tabela abaixo, as coordenadas aproximadas desses dois conjuntos de 
pontos. 
 
Pontos da curva 
superior 
Coordenada 
x 
Coordenada 
y 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
 
 
Pontos da curva 
inferior 
Coordenada 
x 
Coordenada 
y 
H 
I 
J 
K 
L 
M 
N 
A 
 
 
Pontos da curva superior: 
A(0; 0), B(10; 6,8), C(20; 11,4), D(30; 13,6), 
E(40; 13,6), F(50;1,4), G(60; 6,8), H(70; 0). 
 
Pontos da curva inferior: 
H(70; 0), I(60; –2), J(50; –3,1), K(40; –3,9), 
L(30; –3,9), M(20; –3,1), N(10; –2), A(0 ;0). 
 
 
 
 
 
 
 
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2ª QUESTÃO 
 
Utilize uma planilha eletrônica e realize um ajuste de curvas para obter as funções 
quadráticas, cujos gráficos representam os contornos superior e inferior do “olho”. 
Para isso, siga os seguintes passos: 
 
1º passo: 
 
Utilizando os dados da tabela que foi preenchida na 1ª questão, construa o gráfico 
de dispersão. 
 
Cole a imagem do gráfico de dispersão nesse espaço. 
 
 
Figura 3: Gráfico de dispersão dos pontos amostrais do contorno do “olho” do Museu 
Oscar Niemeyer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2º passo: 
 
Agora, usando outro recurso estudado na disciplina “Cálculo Diferencial”, insira a 
linha de tendência para obter as funções quadráticas que se ajustam aos conjuntos 
aos dois conjuntos de pontos anteriormente citados (parte superior e parte inferior 
da curva do “olho”), ou seja, construa o gráfico de dispersão dos pontos amostrais 
do contorno do “olho” do Museu Oscar Niemeyer, com ajuste de curvas. 
 
Cole a imagem do gráfico de dispersão, com ajuste de curvas, nesse espaço. 
 
 
Figura 4: Gráfico de dispersão dos pontos amostrais do contorno do “olho” do Museu 
Oscar Niemeyer, com ajuste de curvas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3º passo: 
 
Escreva, as funções que modelam os contornos superior e inferior. 
 
 
Função do contorno superior: 
 
 
 
Função do contorno inferior: 
 
 
 
 
 
 
De acordo com os resultados de todo o processo anteriormente citado, 
temos, agora, as funções que modelam os 
contornos superior (y = –0,00114x2 + 0,795x) e 
inferior (y = 0,0032x2 – 0,2233x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3ª QUESTÃO 
 
Calcule a integral definida dessas duas funções, no intervalo de 0 a 70, que nos dá 
uma ideia da área ocupada pela superfície do “olho” do Museu Oscar Niemeyer. 
 
Apresente, obrigatoriamente, todos os cálculos necessários. 
 
 
Assim, podemos dizer que a área superficial do “olho” do museu é: 
 
A = 1817,41 + |–181,22| = 1998,63 m2, aproximadamente (pois usando um 
ajuste de curvas para obtenção das funções, sendo que as ordenadas dos 
pontos foram determinadas por observação, o que está sujeito a erros de 
precisão). 
 
 
Área = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
7070 3 2
2 2
0 0
0,00114 0,795
0,00114 0,795 130,34 1947,75 1817,41 m
3 2
x x
x x dx
−
− + = + =− + =

 
e 
 
( )
7070 3 2
2 2
0 0
0,0032 0,2233
0,0032 0,2233 365,87 547,09 181,22 m
3 2
x x
x x dx

− = − = − =−

 
 
 
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4ª QUESTÃO 
 
Admita que você seja o engenheiro responsável por uma reforma na superfície do 
“olho” do Museu Oscar Niemeyer. Sendo assim, deverá escolher um tipo de vidro 
para ser utilizado nessa reforma. Faça uma pesquisa, na internet, sobre o tipo de 
vidro que irá utilizar e o correspondente preço por m². Em seguida, calcule o custo 
total, em reais, dessa reforma, com base na área calculada na 3ª questão. 
 
 
Tipo de vidro: 
 
 
 
Preço por m²: 
 
 
 
Custo total: