TEORIA DOS NÚMEROS - Portfólio Ciclo 02

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CLARETIANO – REDE DE EDUCAÇÃO 
GERSON ROSA ALVES
8049429
TEORIA DOS NÚMEROS
PORTFÓLIO - CICLO 02
Guarulhos
2021
ATIVIDADAE
Com base nas leituras propostas, resolva os exercícios a seguir:
1) Exercício 1, da página 112, unidade 4, da obra Números e Operações: elementos lógico-históricos para atividade de ensino, da Biblioteca Digital Pearson.
Resposta: alternativa c).
Sendo que o solicitado deve ser MMC (Mínimo Múltiplo Comum), selecionamos todas as bases da fatoração dos números a e b, que são: 2, 3, 5 e 7. Após, verificamos entre as bases comuns, que apresentam o maior expoente. Esses serão os fatores a serem considerados no cálculo do MMC.
2) Exercício 2, da página 112, unidade 4, da obra Números e Operações: elementos lógico-históricos para atividade de ensino, da Biblioteca Digital Pearson.
Resposta: alternativa b).
Selecionamos somente as bases comuns da fatoração dos dois números. Depois, selecionamos 
os fatores com o menor expoente de cada base em comum.
3) Exercício 3, da página 112, unidade 4, da obra Números e Operações: elementos lógico-históricos para atividade de ensino, da Biblioteca Digital Pearson.
Resposta: alternativa d).
2424, 918 / 2
1212, 459 / 2
606, 459 / 2
303, 459 / 3
101, 153 / 3
101, 51 / 3
101, 17 / 17
101, 1 / 101
1, 1
MMC (2424, 918) = 2x2x2x3x3x3x17x101 = 2³x 3³x 101 x 17 = 370.872. Teorema 4.6 => o produto do MMC pelo MDC de dois números é igual ao produto dos próprios números.
MDC (2424, 918) x MMC (2424, 918) = 2424 x 918
(2 x 3) x (2³x 3³x 101 x 17) = (2³ x 3 x 101) x (2 x 3³x 17) = = 2₄x 3₄x 101 x 17
Algoritmo de Euclides => Se a = bq + r, então MDC (a, b) = MDC (b, r).
Se 2424 = 918 x 2 + 588, então MDC (2424, 918) = MDC (918, 588)
MDC (2424, 918) = MDC (918, 588) = 2 x 3 = 6
4) Exercício 5, da página 113, unidade 4, da obra Números e Operações: elementos lógico-históricos para atividade de ensino, da Biblioteca Digital Pearson.
Resposta: alternativa a).
Um número perfeito é um número inteiro para o qual a soma de todos os seus divisores positivos, exceto ele mesmo, é igual ao próprio número. 
Euclides descobriu uma fórmula e um critério que nos permite encontrar os números perfeitos. Essa fórmula é: 2n-1(2n- 1), sendo que o fator (2n - 1) deve ser primo.
Então, os três primeiros números perfeitos são:
para n = 2: 2¹(2²- 1) = 6
para n = 3: 2²(2³- 1) = 28
para n = 5: 2^4(2^5- 1) = 496
5) Faça o download do vídeo intitulado "Desvendando o Calendário", série Matemática na Escola, que está disponível em:<http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1087>. Acesso em: 10 jan. 2016, assista-o e responda as seguintes perguntas:
(Para responder as letras a, b, c, d, utilize o que está descrito no vídeo acerca do Algoritmo de Euclides bem como a tabela de dias da semana da forma pela qual é proposta). Com base nas explicações do vídeo apresentado, para responder as questões a, b e c vamos considerar o dia 1º de janeiro de 2021, uma sexta-feira, como o dia 0. Então, obtemos a seguinte tabela:
Devemos considerar que:
- Nos anos bissextos, o mês de fevereiro tem 29 dias e o ano 366 dias;
- Um ano é bissexto se for múltiplo de 4 e não terminar em 00;
- Se o ano terminar em 00, serão bissextos se forem múltiplos de 400;
a) Encontre o dia da semana em que você nasceu.
Resposta: 31/05/1982 = Segunda-feira
Determinamos quantos anos se passaram de 1982 até o 1º dia do presente 
ano: 2020 - 1982 = 38 anos; Depois, vamos verificar quantos desses anos foram bissextos. Observamos que o primeiro desses anos que é múltiplo de 4, após 1982, é 1984, que é 4 x 496, e o último desse período que é múltiplo de 4 é 2020 = 4 x 505. 
Desse modo, temos 505 – 496 + 1 = 10 anos bissextos; Assim, nesse período temos 38 anos, dos quais 10 são bissextos e 28 são comuns. Em dias, temos:
10 x 366 = 3660 dias nos anos bissextos;
28 x 365 = 10220 dias nos anos comuns;
31/05 a 31/12/1982 = 214 dias em 1982.
Total dias passados: 3660 + 10220 + 214 = 14094 dias total.
14094 / 7 = 2013 x 7 + 3
2013 + 3 = 2016
7 x -2016 = -14111
-14111 + r = -14094
r = 14111 – 14094
r = 17
Na tabela apresentada acima, 17 equivale a segunda-feira.
b) Encontre em que dia da semana foi o Dia da Independência do Brasil.
Resposta: 07/09/1822 = Sábado
Determinamos quantos anos se passaram de 1822 até o dia imediatamente 
anterior ao 1º dia do presente ano: 2020 - 1822 = 198 anos
Depois, vamos verificar quantos desses anos foram bissextos. Observamos 
que o primeiro desses anos que é múltiplo de 4, após 1822, é 1824, que é 4 x 456, e o último desse período que é múltiplo de 4 é 2020 = 4 x 505. 
Desse modo, teríamos 505 – 456 + 1 = 50 anos bissextos. Porém, devemos 
desconsiderar o ano de 1900, que não é bissexto. Portanto, nesse período 
encontramos 49 anos bissextos. Assim, no período mencionado temos 198 anos, dos quais 49 são bissextos e 149 são comuns. Em dias, temos:
49 x 366 = 17934 dias nos anos bissextos;
149 x 365 = 54385 dias nos anos comuns;
07/09 a 31/12/1822 => 116 dias em 1822.
Total dias passados: 17934 + 54385 + 116 = 72435 dias total.
72435 / 7 = 10347 x 7 + 6
10347 + 6 = 10353
7 x -10353 = -72471
-72471 + r = -72435
r = 72471 – 72435
r = 36
Na tabela apresentada acima, 36 equivale a sábado.
c) Encontre em que dia da semana será 25 de dezembro de 2050. 
Resposta: Domingo
De 2021 a 2049 => 29 anos no período;
1º ano bissexto no período destacado: 2024 = 4 x 506;
Último ano bissexto no período: 2048 = 4 x 512;
512 – 506 = 6 anos bissextos no período;
29 – 6 = 23 anos comuns;
6 x 366 = 2196 dias nos anos bissextos;
23 x 365 = 8395 dias nos anos comuns;
1º/01/2050 a 25/12/2050 => 365 – 6 = 359 dias em 2050.
Total dias no período: 2196 + 8395 + 359 = 10950 dias total.
10950 / 7 = 1564 x 7 + 2
1564 + 2 = 1566
7 x 1566 = 10962
10962 + r = 10950
r = -12 (Na tabela apresentada acima, -12 equivale a domingo.)
d) Encontre qual é o 2010º algarismo após a vírgula na representação decimal do
número 3/101.
Resposta: o algarismo 2
Na divisão de 3 por 101 temos como resultado 0,02970297..., ou seja, a 
sequência dos algarismos 0297;
O primeiro algarismo é o 0, o segundo 2, o terceiro 9 e o quarto 7;
Logo, temos uma sequência de quatro algarismos;
Pelo Algoritmo de Euclides, dividimos o número da posição – no caso, 
2010 – pelo número de algarismos da sequência;
Temos que 2010/4=502 e resto 2, portanto 502 vezes teremos a sequência 
Com os 2 que restam, chegamos ao 2º número da sequência: 2.
6) Da estação rodoviária de uma cidade do interior saem dois ônibus de uma mesma companhia em direção à capital: um leito e o outro, convencional. O ônibus leito parte a cada 16 minutos e o convencional, a cada 12 minutos. A primeira saída conjunta acontece às 16h30 e a última, às 20h30. De quanto em quanto tempo os dois ônibus saem no mesmo horário?
Resposta: a cada 48 minutos.
MMC (16,12):
16,12|2
8,6|2
4,3|2
2,3|2
1,3|3
1, 1 2x2x2x2x3=48 
E nesse período de 4h, saíram seis vezes juntos (16h30min, 17h18min, 18h06min, 18h54min, 19h42min e 20h30min).
7) Em uma avenida, os postes de iluminação estão espaçados por uma distância 
fixa de 120 metros. Existem telefones públicos instalados a cada 300 metros. 
De quantos em quantos metros haverá um telefone público instalado junto a 
um poste de iluminação? 
Resposta: a cada 600 metros.
MMC (120,300):
120=2x2x2x3x5=2³x3x5
300=2x2x3x5x5=2²x3x5²
MMC(120,300)=2³x3x5²=2x2x2x3x5x5=600
8) No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes piscam com frequências diferentes. A primeira luz pisca 15 vezes por minuto e a segunda, 10 vezes por minuto. Em certo instante, as luzes piscam simultaneamente. 
Após quantos segundos as duas voltarão a piscar juntas? 
Resposta: após 12 segundos
Sabendo-se que um minuto equivale a 60 segundos, temos:
Para a primeira luz, temos 60 = 15 x 4, ou seja, a primeira pisca de 4 em 4 segundos;
Para a segunda luz, temos 60 = 10 x 6, ou seja, a segunda pisca de 6 em 6 segundos;
MMC (4,6):
6, 4 | 2
3, 2 | 2
3, 1 | 3
1, 1
2 x 2 x 3 = 12
9) Senhor Fábio, o marceneiro, dispõede três ripas de madeira que medem 120 cm, 160 cm e 200 cm de comprimento, respectivamente. Ele deseja cortá-las em pedaços iguais de maior comprimento possível. Qual é a medida procurada? 
Resposta: 40 cm 
Calcula-se o MDC (120,160,200):
120=2x2x2x3x5=2³x3x5
160=2x2x2x2x2x5=25x5
200=2x2x2x5x5=2²x5²
MDC(120,160,200)=2³x5=2x2x2x5=40
10)Um lojista dispõe de três peças de um mesmo tecido, cujos comprimentos são 
48 m, 60 m e 80 m. Nas três peças o tecido tem a mesma largura. Deseja vender o tecido em retalhos iguais, cada um tendo a largura das peças e o maior comprimento possível, de modo a utilizar todo o tecido das peças. 
Quantos retalhos ele deverá obter?
Resposta: 47 retalhos
MDC (48,60,80):
48=2x2x2x2x3=24x3
60=2x2x3x5=2²x3x5
80=2x2x2x2x5=24x5
MDC(48,60,80)= 2²=4
Após, dividimos o comprimento de cada peça pelo MDC:
48/4 = 12 
60/4 = 15 
80/4 = 20 
Então, somamos 12+15+20 = 47
Serão 47 retalhos de 4m.