Exercícios de Equações Diferenciais de 2ª Ordem

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Equações Diferenciais de Segunda Ordem
Maio 2020
Exerćıcios
1. O pêndulo simples é uma aproximação em que não existem forças
dissipativas, ou seja, forças de atrito ou de arraste, atuando sobre
quaisquer componentes do sistema. Nesses pêndulos, o movimento
oscilatório surge em decorrência da ação das forças peso e tração,
exercida por um fio. A figura 1, ilustra esse caso:
1
Figura 1: Pêndulo simples
Considerando que para valores pequenos de θ a seguinte aproximação
é válida sin θ ≈ θ. Mostre por comparação com a equação do MHS
x(t) = A cosωt que:
a)A frequência angular é ω =
√
g
L
b) A equação do pêndulo é θ(t) = θ0 cosωt, se θ(0) = θ0 e θ
′(0) = 0
c) Que o peŕıodo do pêndulo é T = 2π
√
L
g
2. Um oscilador subamortecido que está inicialmente em repouso fica
submetido a uma força F = F0e
−at onde F0 e a são constantes. Dada
as considerações mostre que:
a)O deslocamento é:
x(t) =
F0
m(a2 − 2γa+ ω20)
[(
a− γ
ω1
sinω1t− cosω1t
)
e−γt + e−at
]
Considere ω0 =
√
k
m
, γ =
b
2m
e ω1 =
√
γ2 − ω20
b)Se b = 2ma a solução é dada por:
2
x(t) =
F0e
−at
m(ω20 − a2)
(1− cosω1t)
3. Um circuito RLC (também conhecido como circuito ressonante ou
circuito aceitador) é um circuito elétrico consistindo de um resistor
(R), um indutor (L), e um capacitor (C), conectados em série ou em
paralelo. Considere o seguinte circuito RLC em série na figura 2:
Figura 2: Circuito RLC
Seja i(t) a corrente, em Ampères A, no circuito elétrico, mostre que a
carga q(t) é dada por:
q(t) = q0e
−2t
(
cos 6t+
1
3
sin 6t
)
Se L = 0, 25H, R = 1Ω,C = 0, 1F , ε(t) = 0V , q(0) = q0 e i(0) = 0A.
3
4. Um circuito resistor-indutor (circuito RL), filtro RL ou malha RL, é
um dos mais simples filtros eletrônicos de resposta de impulso infinita
analógicos. Ele consiste de um resistor e de um indutor, podendo estar
ligados tanto em série quanto em paralelo, sendo alimentados por uma
fonte de tensão. A figura 3 ilustra um circuito RL em série:
Figura 3: Circuito RL
Se a força eletromotriz do circuito é dada por E(t) = sin 3t, seja
R = 6Ω, L = 1H, q(0) = q0 e i(0) = 0. Qual a expressão de q(t) e
i(t)?
5. Tem-se um movimento harmônico superamortecido quando o parâmetro
de amortecimento γ for muito maior que ω0. Tendo em vista essas con-
siderações mostre que uma forma alternativa do deslocamento é dada
em termos da função:
4
x(t) = e−γt(A coshω2t+B sinhω2t)
Onde ω2 =
√
γ2 − ω20
6. Um oscilador sem amortecimento (b = 0) inicialmente em repouso é
submetido a uma força F = F0 sinωt. Mostre que o deslocamento é
dado pela função:
x(t) =
F0
mω0(ω20 − ω2)
[ω0 sinωt− ω sinω0t]
5