derivação implicita

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Lista Exerćıcios de Derivação Impĺıcita
Prof.: Jeferson L. G. Araújo
Cálculo de Uma Variável I - Licenciatura em Matemática
1. Determine
dy
dx
por derivação impĺıcita:
(a) xy = 10;
(b)
√
x +
√
y =
√
2;
(c) 3x3 + 5y3 = 15;
(d) x2(x− y) = y2(x + y);
(e) x2 + xy + y2 = 9.
2. Determine
dy
dx
e
d2y
dx2
por derivação impĺıcita:
(a) y2 = x2 + sin(xy);
(b) y sin( 1
y
) = 1− xy;
(c) xy3 + tan(x + y) = 1.
3. No ponto P dado, determine a equação da
reta tangente ao gráfico da curva dada pela
equação:
(a) x3 + y3 = 2xy, P = (1, 1);
(b) x2 + y2 + x =
√
x2 + y2, P = ( 4
25
, 3
25
);
(c) (x2 + y2)
2
= x2 − y2, P = (2
√
3
5
,
√
3
5
);
(d) x2/3 + y2/3 = 1, P = (
√
2
4
,−
√
2
4
);
(e) x3 + 4y2 = 6xy, P = (2, 1);
(f) 4
3
x2y = 5x + y2, P = (−1, 3);
(g) x2y3 = 2y + x, P = (−1, 1).
4. Encontre os pontos da curva em que a reta
tangente seja horizontal e os pontos em que
ela é vertical:
(a) x4 + y4 + 2 = 4xy3;
(b) (x2 + y2)
2
= x2 − y2;
(c) x3 + y3 = 2xy.
5. Nos exerćıcios seguintes, admita que todas as
variáveis sejam funções de t:
(a) Se A = x2 e
dx
dt
= 3, quando x = 10,
determine
dA
dt
.
(b) Se V = −5p3/2 e dV
dt
= −4, quando
V = −40, ache dp
dt
.
(c) Se x2 + 3y2 + 2y = 10 e
dx
dt
= 2 quando
x = 3 e y = −1, ache dy
dt
.
(d) Se
{
x2 + y2 + z2 = 3
x + y − z = 1
e
dx
dt
= 2 quando
x = y = z = 1, determine
dy
dt
e
dz
dt
.
1