Limites trigonométricos (exercício)

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Limites Trigonométricos
b) lim
𝑥→0
tg 3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 6𝑥a) lim
𝑥→0
1−cos 𝑥
𝑥2
Resolução:
a) lim
𝑥→0
1−cos 𝑥
𝑥2
=
1 −cos 0
02
=
0
0
É uma indeterminação 
Substituir direto leva a uma indeterminação, por isso precisamos manipular algebricamente 
a equação. 
Conseguimos reduzir essa equação utilizando o produto notável: 𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2 e 
a identidade trigonométrica: s𝑒n2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 = 1
Limites Trigonométricos
lim
𝑥→0
1−cos 𝑥
𝑥2
= lim
𝑥→0
1−cos 𝑥
𝑥2
1+cos 𝑥
1+cos 𝑥
= lim
𝑥→0
12−𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑥2 1+cos 𝑥
= lim
𝑥→0
s𝑒n2 𝑥
𝑥2 1+cos 𝑥
= lim
𝑥→0
1
1+cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
2
= 
lim
𝑥→0
1
1+cos 𝑥
∙ lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
2
= 
1
1+cos 0
∙ 12 = 
1
2
b) lim
𝑥→0
tg 3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 6𝑥 =
𝑠𝑒n 3𝑥
cos 3𝑥
⋅
1
𝑠𝑒𝑛(6𝑥)
=
𝑠𝑒n(3∙0)
cos 3∙0
⋅
1
𝑠𝑒𝑛 6∙0
= 
0
0
No 𝑠𝑒𝑛(6𝑥) vamos utilizar a soma de arcos: s𝑒n 2𝛼 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos𝛼. 
𝑠𝑒𝑛(6𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 2 ∙ 3𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) cos(3𝑥)
lim
𝑥→0
tg 3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 6𝑥 = lim
𝑥→0
𝑠𝑒n 3𝑥
cos 3𝑥
⋅
1
𝑠𝑒𝑛 6𝑥
= lim
𝑥→0
𝑠𝑒n 3𝑥
cos 3𝑥
⋅
1
2𝑠𝑒𝑛 3𝑥 cos(3𝑥)
= lim
𝑥→0
1
2𝑐𝑜𝑠2(3𝑥)
= 
1
2𝑐𝑜𝑠2(3 ∙ 0)
=
1
2
3x = 𝛼