Questão resolvida - Limite de (1-cos(x))_x^2 com x tendendo a 0 - envolve limite trigonométrico fundamental e conjulgado - Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Calcule o limte:
 
 lim
x 0→
1- cos x
x
( )
2
 
Resolução:
Subtituindo o limite; = = =lim
x 0→
1 - cos x
x
( )
2
1 - cos 0
0
( )
( )2
1 - 0
0
0
0
 
Zero sobre zero não existe, é uma indeterminação, porém, é possível aplicar a técnica de 
conjulgado para simplificar a expressão;
 
= ⋅ =lim
x 0→
1 - cos x
x
( )
2
lim
x 0→
1 - cos x
x
( )
2
1 + cos x
1 + cos x
( )
( )
lim
x 0→
1 - cos x 1 + cos x
x ⋅ 1 + cos x
( ( ))( ( ))
2 ( ( ))
 
Aplicar a regra da diferença de quadrados : a - b a + b = a - b( )( ) 2 2
 
= =lim
x 0→
1 - cos x
x ⋅ 1 + cos x
( )2 ( ( ))2
2 ( ( ))
lim
x 0→
1 - cos x
x ⋅ 1 + cos x
2( )
2 ( ( ))
 
Agora, utilizando a identidade trigonométrica : sen x = 1 - x2( ) cos2( )
 
= ⋅ ⋅lim
x 0→
sen x
x ⋅ 1 + cos x
2( )
2 ( ( ))
lim
x 0→
sen x
x
( ) sen x
x
( ) 1
1 + cos x( )
 
= ⋅ ⋅lim
x 0→
sen x
x
( )
lim
x 0→
sen x
x
( )
lim
x 0→
1
1 + cos x( )
 
= 1 Limite trigonométrico fundamentallim
 
x 0 →
sen x
x
( )
→
 
⋅ ⋅ = 1 ⋅ 1 ⋅ = =lim
x 0→
sen x
x
( )
lim
x 0→
sen x
x
( )
lim
x 0→
1
1 + cos x( )
1
1 + cos 0( )
1
1 + 1
1
2