Algebra Linear (4)

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Lista 4 - Álgebra Linear
1) No espaço R3 consideremos os seguintes sub-espaços vetoriais: S = [(1,−1, 2), (2, 1, 1)], T =
[(0, 1,−1), (1, 2, 1)], U = {(x, y, z)|x+ y = 4x− z = 0} e V = {(x, y, z)|3x− y − z = 0}. Deter-
minar as dimensões de S, T, U, V, S + T, S ∩ T, T + U e T ∩ U .
2) Seja {u1, u2, ..., un} uma base de um espaço vetorial V de dimensão n sobre C. Mostrar
que {u1, u2, ..., un, iu1, ..., iun} é uma base de V considerado como espaço vetorial sobre R.
3) No espaço vetorial R3 consideremos os seguintes sub-espaços: U = {(x, y, z)|x = 0}, V =
{(x, y, z)|y − 2z = 0} e W = [(1, 1, 0), (0, 0, 2)]. Determinar uma base e a dimensão de cada um
dos seguintes sub-espaços: U, V,W,U ∩ V, V +W e U + V +W .
4) Suponha que {u1, ..., un} seja uma base de um espaço vetorial. Mostre que {u1, u1 +
u2, ..., u1 + u2 + ...un} também é uma base desse espaço.
5) Considere o seguinte sub-espaço vetorial de C3:
W = [(1, 0, i), (1, 1 + i, 1− i), (1,−1− i,−1 + 3i)].
Determine uma base desse sub-espaço.
6) Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões m e n, respectivamente. Considere
o espaço vetorial U × V cuja adição é dada por
(u1, v1) + (u2, v2) = (u1 + u2, v1 + v2)
e a multiplicação por escalares por α(u, v) = (αu, αv). Admitindo que {u1, ..., um} e {v1, ..., vn}
são bases de U e de V , respectivamente, prove que:
{(u1, o), ..., (um, o), (o, v1), ...(o, vn)}
é uma base de U × V .
7) Determinar a dimensão dos seguintes sub-espaços de Mn(R):
a) Sub-espaço das matrizes simétricas;
b) Sub-espaço das matrizes anti-simétricas;
c) Sub-espaço das matrizes A tais que A = 2At.
8) Considere as bases B = {e1, e2, e3} e C = {g1, g2, g3} de R3 assim relacionadas:
g1 = e1 −e2 −e3
g2 = +2e2 +3e3
g3 = 3e1 +e3.
(I) Determine as matrizes de mudança, de B para C e de C para B.
(II) Se um vetor u de R3 apresenta coordenadas 1,2 e 3, em relação a B, quais as coordenadas
de u relativamente a C?
9) Considere o seguinte sub-espaço vetorial de M2(R):
U =
{(
x y
z t
)
|x− y − z = 0
}
.
(I) Mostre que os seguintes subconjuntos de M2(R) são bases de U :
B =
{(
1 1
0 0
)
,
(
1 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
e
C =
{(
1 0
1 0
)
,
(
0 −1
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
.
(II) Ache a matriz de mudança de B para C e a de C para B.
(III) Ache uma base D de U de tal maneira que a matriz de mudança de D para B seja: 1 1 00 0 2
3 3 1
 .
10) Seja F : R3 −→ R3 o operador linear assim de�nido na base canônica: F (1, 0, 0) =
(2, 3, 1), F (0, 1, 0) = (5, 2, 7) e F (0, 0, 1) = (−2, 0, 7). Determinar F (x, y, z).
11) Veri�que se são operadores lineares no espaço Pn(R):
a) F : Pn(R) −→ Pn(R) tal que F (f(t)) = tf ′(t),∀f(t) ∈ Pn(R);
b) F : Pn(R) −→ Pn(R) tal que F (f(t)) = f ′(t) + t2f ′′(t), ∀f(t) ∈ Pn(R).
12) Sejam U e V sub-espaços de um espaço W tais que W = U ⊕ V . Sejam P1 e P2 as
aplicações de W em W tais que para todo w = u + v de W (com u ∈ U e v ∈ V ) associam,
respectivamente, u e v, ou seja P1(w) = u e P2(w) = v. Mostre que P1 e P2 são lineares.
13) Seja A uma matriz �xa de Mn(R). Mostre que F : Mn(R) −→ Mn(R) dada por:
F (X) = XA−AX,∀X ∈Mn(R), é linear. Se A = λIn com λ ∈ R, o que é F?
14) Seja F : U −→ V uma transformação linear com a seguinte propriedade: se {u1, ..., un}
é uma base de U , então {F (u1), ..., F (un)} é linearmente independente em V . Prove que F é
injetora.
15) Se F é um isomor�smo de U em V , então F−1 : V → U é também um isomor�smo.
16) Seja F : R3 → R2 a transformação linear dada por F (x, y, z) = (x + y, 2x − y + z). Dê
uma base e a dimensão do Ker(F ) e da Im(F ).
17) Determinar uma aplicação linear F : R3 −→ R4 tal que
Im(F ) = [(1, 1, 2, 1), (2, 1, 0, 1)].
18) Seja F :M2(R) −→M2(R) o operador linear de M2(R) de�nido por F (X) =MX,∀X ∈
M2(R). No caso de
M =
(
1 0
2 −1
)
determine Ker(F ) e uma base da imagem de F .
19) A aplicação linear F : R3 −→ R3 dada por F (1, 0, 0) = (1, 1, 0), F (0, 1, 0) = (0, 0, 1) e
F (0, 0, 1) = (1,−1, 6), é um automor�smo?
20) Determinar o núcleo e a imagem, bem como as respectivas dimensões, de F : P2(R) −→
P3(R) dada por F (f(t)) = f(t) + t2f ′(t).
21) Seja U e V espaços vetoriais sobre R e F : U −→ V uma transformação linear. Provar
que se B ⊂ U é tal que [B] = U , então [F (B)] = Im(F ).
22) Ache uma transformação linear do R3 no R2 cujo núcleo seja gerado por (1, 1, 0).
23) Para cada uma das transformações lineares abaixo determine uma base e a dimensão do
núcleo e da imagem:
a) F : R3 −→ R dada por F (x, y, z) = x+ y − z,
b) F : R2 −→ R2 dada por F (x, y) = (2x, x+ y),
c) F : R3 −→ R4 de�nida por F (x, y, z) = (x− y − z, x+ y + z, 2x− y + z,−y),
d) F : P2(R) −→ P2(R) dada por F (f(t)) = t2f ′′(t),
e) F :M2(R) −→M2(R) dada por F (X) =MX +X, onde
M =
(
1 1
0 0
)
,
f) F :M2(R) −→M2(R) de�nida por F (X) =MX −XM , onde
M =
(
1 2
0 1
)
.
24) Determinar um operador linear F : R3 −→ R3 cuja imagem é gerada por (2, 1, 1) e
(1,−1, 2).
25) Seja F : R3 −→ R3 de�nida por F (1, 0, 0) = (1, 1, 0) e F (0, 0, 1) = (0, 0, 2) e F (0, 1, 0) =
(1, 1, 2). Determine uma base de cada um dos seguintes sub-espaços vetoriais: Ker(F ), Im(F ),Ker(F )∩
Im(F ) e Ker(F ) + Im(F ).
26) Condidere o operador linear F do R3 de�nido por F (1, 0, 0) = (1, 1, 1);F (0, 1, 0) = (1, 0, 1)
e F (0, 1, 2) = (0, 0, 4). F é inversível? Se sim, determine o isomor�smo inverso.
27) Sejam u, v ∈ R2 vetores tais que {u, v} seja uma base de R2. Sendo F : R2 −→ Rn uma
transformação linear, mostre que uma das seguintes alternativas se veri�ca:
a) {F (u), F (v)} é LI, ou
b) dim(Im(F )) = 1, ou
c) Im(F ) = {o}.
28) Sejam U e V sub-espaços do espaço W tais que W = U ⊕ V . Consideremos o espaço
vetorial U × V cuja adição é (u1, v1) + (u2, v2) = (u1 + u2, v1 + v2) e cuja multiplicação por
escalares é dada por α(u, v) = (αu, αv). Mostrar que é um isomor�smo de U × V em W a
aplicação assim de�nida: F (u, v) = u+ v.
29) Seja {e1, ..., en} a base canônica do Rn. Seja F : Rn −→ Rn o operador linear dado por
F (e1) = e2, F (e2) = e3, ..., F (en) = e1. Determine F (x1, ..., xn) e veri�que se F é um automor-
�smo. Se for, ache o automor�smo inverso.