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O b j e t i v o Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: 1 estudar alguns tipos de transformações do ℝ2: rotação, reflexão, escala e cisalhamento. Aula 20 RANSFORMAC O ES SPECIAIS NO i i i i i i i i Álgebra Linear I | Transformações Especiais noR2 TRANSFORMAÇÕES ESPECIAIS NO R2 Nesta aula estudaremos algumas transformações especiais noR2. Vamos começar pela transformação de escala. TRANSFORMAÇ ÃO DE ESCALA Dado um escalark, a transformaçãoT : R2→ R2 definida por T(x) = kx é chamadatransformaç̃ao de escala. Também chamamos esta transformação decontraç̃ao quando 0≤ k < 1 e dedilatação quandok> 1. Este tipo de transformação mantém a direção e sentido de cada vetor deR2, multiplicando o módulo do vetor pelo escalar k, como mostra a figura a seguir. x y v T(v) w T(w) Figura 24.1: Transformação de escala. Quando estudamos uma transformação linear, muitas vezesé interessante observar sua ação sobre uma certa região doplano. Por exemplo, observar como ela transforma o quadrado unitário {(x,y) ∈ R2 | 0≤ x≤ 1 e 0≤ y≤ 1} ou o cı́rculo unitário {(x,y) ∈ R2 | x2+y2≤ 1} . 78 C E D E R J i i i i i i i i A U L A 24 1 M Ó D U L O 1 Vejamos a ação da dilataçãoT(x) = 1,5x nestes dois casos: ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� T Figura 24.2: Ação deT(x) = 1,5x em um cı́rculo. ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� T Figura 24.3: Ação deT(x) = 1,5x em um quadrado. CISALHAMENTO Uma transformação de cisalhamento é uma transformação T : R2→R2, dada pela matriz [ 1 k 0 1 ] ou pela matriz [ 1 0 k 1 ] , ondek é um número real não-nulo. A transformação dada por [ 1 k 0 1 ] , isto é T(x,y) = [ 1 k 0 1 ][ x y ] = [ x+ky y ] é chamadacisalhamento horizontal. Observe, na figura a seguir, C E D E R J 79 i i i i i i i i Álgebra Linear I | Transformações Especiais noR2 o efeito desta transformação dada por [ 1 1 0 1 ] sobre o quadrado unitário. ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ T(x,y)=(x+y,y) 11 1 1 2 Figura 24.4: Cisalhamento horizontal. A transformação dada por [ 1 0 k 1 ] , ou seja, T(x,y) = [ 1 0 k 1 ][ x y ] = [ x kx+y ] é chamadacisalhamento vertical. Observe, na figura a seguir, o efeito desta transformação dada por [ 1 0 1 1 ] sobre o quadrado unitário. ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� 1 1 1 2 1 T(x,y) = (x,x+y) Figura 24.5: Cisalhamento horizontal. Para mostrar que uma transformação de cisalhamento leva o quadrado unitário em um paralelogramo, basta notar que uma 80 C E D E R J i i i i i i i i A U L A 24 1 M Ó D U L O 1 transformação deste tipo leva segmentos de reta em segmen- tos de reta. A retaax+ by = c é levada pela transformação T(x,y) = (x+ky,y), por exemplo, na reta a(x+ky)+by= c ⇒ ax+(ak+b)y= c . Além disso, retas paralelasax+ by= c e ax+ by= c′ são claramente levadas em retas paralelas. Portanto, os vértices do quadrado unitário são levados em vértices de um paralelogramo. ROTAÇ ÃO NO PLANO Sejav = (x,y) um vetor no plano. Suponha que este vetor faça um ânguloθ com o eixo-x. Sejav′ = (x′,y′) o vetor obtido rodandov de um ânguloφ , no sentido anti-horário, como mostra a figura abaixo. x y θ v v′ φ Figura 24.6: Rotação no plano. Vamos determinar a transformação linear que realiza a rota- ção de um determinado ângulo. Se um vetorv faz um ânguloθ com o eixo-x, as coordenadas deste vetor são (‖v‖cosθ ,‖v‖senθ), como mostra a figura abaixo. C E D E R J 81 i i i i i i i i Álgebra Linear I | Transformações Especiais noR2 x y ‖v‖cosθ θ ‖v‖ ‖v‖senθ v Figura 24.7: Coordenadas do vetorv Portanto, podemos escrever v= (x,y) = (‖v‖cosθ ,‖v‖senθ). Observando que‖v′‖ = ‖v‖ e quev′ faz um ânguloθ + φ com o eixo-x, podemos escrever v′ = (x′,y′) = (‖v‖cos(θ +φ),‖v‖sen(θ +φ)) . Logo, As fórmulas para o cosseno e o seno da soma de dois ângulo são cos(a+b) = cosacosb− senasenb e sen(a+b) = senacosb+ senbcosa x′ = ‖v‖cos(θ +φ) = ‖v‖(cosθ cosφ −senθ senφ) = (‖v‖cosθ)cosφ − (‖v‖senθ)senφ = xcosφ −ysenφ y′ = ‖v‖sen(θ +φ) = ‖v‖(senθ cosφ +cosθ senφ) = (‖v‖senθ)cosφ +(‖v‖cosθ)senφ = xsenφ +ycosφ Isto é [ x′ y′ ] = [ xcosφ −ysenφ xsenφ +ycosφ ] = [ cosφ −senφ senφ cosφ ][ x y ] Assim, a transformação linear dada pela matriz [ cosφ −senφ senφ cosφ ] tem, em termos geométricos, o efeito de fazer 82 C E D E R J i i i i i i i i A U L A 24 1 M Ó D U L O 1 uma rotação, no sentido anti-horário, de um ânguloφ . Aplicando a transformação de rotação de um ânguloφ aos vetores(1,0) e (0,1), obtemos (observe aFigura 24.8). [ cosφ −senφ senφ cosφ ][ 1 0 ] = [ cosφ senφ ] e [ cosφ −senφ senφ cosφ ][ 0 1 ] = [ −senφ cosφ ] x y φ φ (cosφ ,senφ) (−senφ ,cosφ) (1,0) (0,1) Figura 24.8: Rotação de um ânguloφ aplicada aos vetores(1,0) e (0,1). � � � �Exemplo 24.1. blablabl A matriz da transformação linear que tem o efeito geométrico de uma rotação de 450, no sentido anti-horário é a matriz [ cos450 −sen450 sen450 cos450 ] = [ √ 2 2 − √ 2 2√ 2 2 √ 2 2 ] . REFLEX ÕES A transformaçãoT(x,y) = (−x,−y) é chamada reflexão na origem. Este nome é devido ao fato de que os pontos(x,y) e (−x,−y) são simétricos em relação à origem, isto é, a origem é ponto médio do segmento de reta ligando estes dois pontos. Veja, na figura a seguir, a ação desta transformação no quadrado C E D E R J 83 i i i i i i i i Álgebra Linear I | Transformações Especiais noR2 unitário. ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� (−x,−y) (x,y) −1 −1 ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� T(x,y) = (−x,−y) 1 1 Figura 24.9: Reflexão na origem. Dois pontos são ditos simétricos em relação a uma reta quando esta reta é a mediatriz do segmento que liga estes pontos. A mediatriza um segmentoAB é a reta que é perpendicular ao segmentoABe o corta no ponto médio. ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� A B r Figura 24.10: Os pontosA e B são simétricos em relação à retar. Uma transformaçãoT é umareflex̃ao na reta r, quando o pontoT(x,y) é o simétrico, em relação ar, do ponto(x,y). Al- guns exemplos de reflexões em relação a retassão os seguintes. 1. A reflexão no eixox e dada pela matriz [ 1 0 0 −1 ] , ou seja, é dada porT(x,y) = (x,−y). 2. A reflexão no eixoy e dada pela matriz [ −1 0 0 1 ] , ou seja, é dada porT(x,y) = (−x,y). 84 C E D E R J i i i i i i i i A U L A 24 1 M Ó D U L O 1 3. A reflexão na retay=−x é dada pela matriz [ 0 −1 −1 0 ] , ou seja, é dada porT(x,y) = (−y,−x). As figuras a seguir ilustram estas três reflexões. ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� T(x,y) = (x,−y) 1 1 Figura 24.11: Reflexão no eixox. ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� T(x,y) = (−x,y) 1 1 Figura 24.12: Reflexão no eixoy. ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ T(x,y) = (−y,−x) 1 1 y=−x (x,y) (−y,−x) Figura 24.13: Reflexão na retay=−x. C E D E R J 85 i i i i i i i i Álgebra Linear I | Transformações Especiais noR2 PROJEÇÃO A projeç̃aode um pontoA sobre uma retar é um pontoP∈ r tal queAP é perpendicular à reta. ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� ��������� A r P Figura 24.14: Projeção do pontoA sobre a retar. A transformação de projeção na retar leva cada ponto em sua projeção na retar, isto é, o pontoT(x,y) é a projeção do ponto(x,y) na retar. São exemplos de projeção: 1. A projeção sobre o eixox é dada pela matriz [ 1 0 0 0 ] , ou seja, é dada porT(x,y) = (x,0). 2. A projeção sobre o eixoy é dada pela matriz [ 0 0 0 1 ] , ou seja, é dada porT(x,y) = (0,y). As figuras a seguir ilustram estas duas projeções. 86 C E D E R J i i i i i i i i A U L A 24 1 M Ó D U L O 1 ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ������ T(x,y) = (x,0) 1 1 1 Figura 24.15: Projeção no eixox. ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� � � � � � � � � � � � � T(x,y) = (0,y) 1 1 1 Figura 24.16: Projeção no eixoy. Resumo Nesta aula estudamos algumas transformações lineares T : R2→R2 de especial importância. Outras transformações lineares podem ser construı́das por composicão de duas ou mais das transformações apre- sentadas nesta aula. Observe que a composição de transformações lineares é uma transformação linear. Exerćıcio 24.1. 1. Indique o efeito sobre o quadrado unitário das transforma- ções dadas pelas seguintes matrizes: a. [ 2 0 0 2 ] b. [ 1 2 0 1 ] C E D E R J 87 i i i i i i i i Álgebra Linear I | Transformações Especiais noR2 c. [ 1 0 2 1 ] 2. Determine a matriz da transformação de rotação de um ângulo de 450. 3. Determine a matriz da transformação linear que leva a uma reflexão na origem seguida de uma rotação de 300. 4. Determine a núcleo da projeção sobre o eixox. 5. Determine a núcleo da transformação de rotação de 600, seguida de projeção sobre o eixoy. RESPOSTAS DOSEXERCÍCIOS 1. a. dilatação b. cisalhamento horizontal c. cisalhamento vertical 2. Considerando a rotação no sentido anti-horário: [ cos450 −sen450 sen450 cos450 ] = √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 √ 2 2 3. √ 3 2 −12 1 2 √ 3 2 . [ −1 0 0 −1 ] = − √ 3 2 1 2 −12 − √ 3 2 4. A transformação é dada porT(x,y) = (x,0). Logo, N(T) = {(0,y) ∈ R2} 5. A matriz canônica é obtida por [ 0 0 0 1 ] . 1 2 − √ 3 2 √ 3 2 1 2 = [ 0 0√ 3 2 1 2 ] , assim, a transformação é dada porT(x,y)= ( 0, √ 3x+y 2 ) . Logo,N(T) = {(x,y) ∈ R2; y=− √ 3x} 88 C E D E R J
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