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Aula 20-Transformações Especiais no plano

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O b j e t i v o 
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: 
 
1 estudar alguns tipos de transformações do ℝ2: 
rotação, reflexão, escala e cisalhamento. 
Aula 20 
RANSFORMAC O ES SPECIAIS NO 
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Álgebra Linear I | Transformações Especiais noR2
TRANSFORMAÇÕES ESPECIAIS NO R2
Nesta aula estudaremos algumas transformações especiais
noR2. Vamos começar pela transformação de escala.
TRANSFORMAÇ ÃO DE ESCALA
Dado um escalark, a transformaçãoT : R2→ R2 definida
por
T(x) = kx
é chamadatransformaç̃ao de escala. Também chamamos esta
transformação decontraç̃ao quando 0≤ k < 1 e dedilatação
quandok> 1.
Este tipo de transformação mantém a direção e sentido de
cada vetor deR2, multiplicando o módulo do vetor pelo escalar
k, como mostra a figura a seguir.
x
y
v
T(v)
w
T(w)
Figura 24.1: Transformação de escala.
Quando estudamos uma transformação linear, muitas vezesé
interessante observar sua ação sobre uma certa região doplano.
Por exemplo, observar como ela transforma o quadrado unitário
{(x,y) ∈ R2 | 0≤ x≤ 1 e 0≤ y≤ 1}
ou o cı́rculo unitário
{(x,y) ∈ R2 | x2+y2≤ 1} .
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Vejamos a ação da dilataçãoT(x) = 1,5x nestes dois casos:
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T
Figura 24.2: Ação deT(x) = 1,5x em um cı́rculo.
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T
Figura 24.3: Ação deT(x) = 1,5x em um quadrado.
CISALHAMENTO
Uma transformação de cisalhamento é uma transformação
T : R2→R2, dada pela matriz
[
1 k
0 1
]
ou pela matriz
[
1 0
k 1
]
,
ondek é um número real não-nulo.
A transformação dada por
[
1 k
0 1
]
, isto é
T(x,y) =
[
1 k
0 1
][
x
y
]
=
[
x+ky
y
]
é chamadacisalhamento horizontal. Observe, na figura a seguir,
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o efeito desta transformação dada por
[
1 1
0 1
]
sobre o quadrado
unitário.
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T(x,y)=(x+y,y)
11
1 1
2
Figura 24.4: Cisalhamento horizontal.
A transformação dada por
[
1 0
k 1
]
, ou seja,
T(x,y) =
[
1 0
k 1
][
x
y
]
=
[
x
kx+y
]
é chamadacisalhamento vertical. Observe, na figura a seguir, o
efeito desta transformação dada por
[
1 0
1 1
]
sobre o quadrado
unitário.
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1
1 1
2
1
T(x,y) = (x,x+y)
Figura 24.5: Cisalhamento horizontal.
Para mostrar que uma transformação de cisalhamento leva o
quadrado unitário em um paralelogramo, basta notar que uma
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transformação deste tipo leva segmentos de reta em segmen-
tos de reta. A retaax+ by = c é levada pela transformação
T(x,y) = (x+ky,y), por exemplo, na reta
a(x+ky)+by= c ⇒ ax+(ak+b)y= c .
Além disso, retas paralelasax+ by= c e ax+ by= c′ são
claramente levadas em retas paralelas. Portanto, os vértices do
quadrado unitário são levados em vértices de um paralelogramo.
ROTAÇ ÃO NO PLANO
Sejav = (x,y) um vetor no plano. Suponha que este vetor
faça um ânguloθ com o eixo-x. Sejav′ = (x′,y′) o vetor obtido
rodandov de um ânguloφ , no sentido anti-horário, como mostra
a figura abaixo.
x
y
θ
v
v′
φ
Figura 24.6: Rotação no plano.
Vamos determinar a transformação linear que realiza a rota-
ção de um determinado ângulo. Se um vetorv faz um ânguloθ
com o eixo-x, as coordenadas deste vetor são
(‖v‖cosθ ,‖v‖senθ), como mostra a figura abaixo.
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x
y
‖v‖cosθ
θ
‖v‖
‖v‖senθ v
Figura 24.7: Coordenadas do vetorv
Portanto, podemos escrever
v= (x,y) = (‖v‖cosθ ,‖v‖senθ).
Observando que‖v′‖ = ‖v‖ e quev′ faz um ânguloθ + φ
com o eixo-x, podemos escrever
v′ = (x′,y′) = (‖v‖cos(θ +φ),‖v‖sen(θ +φ)) .
Logo,
As fórmulas para o
cosseno e o seno da
soma de dois
ângulo são
cos(a+b) =
cosacosb−
senasenb e
sen(a+b) =
senacosb+
senbcosa
x′ = ‖v‖cos(θ +φ) = ‖v‖(cosθ cosφ −senθ senφ)
= (‖v‖cosθ)cosφ − (‖v‖senθ)senφ
= xcosφ −ysenφ
y′ = ‖v‖sen(θ +φ) = ‖v‖(senθ cosφ +cosθ senφ)
= (‖v‖senθ)cosφ +(‖v‖cosθ)senφ
= xsenφ +ycosφ
Isto é
[
x′
y′
]
=
[
xcosφ −ysenφ
xsenφ +ycosφ
]
=
[
cosφ −senφ
senφ cosφ
][
x
y
]
Assim, a transformação linear dada pela matriz
[
cosφ −senφ
senφ cosφ
]
tem, em termos geométricos, o efeito de fazer
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uma rotação, no sentido anti-horário, de um ânguloφ .
Aplicando a transformação de rotação de um ânguloφ aos
vetores(1,0) e (0,1), obtemos (observe aFigura 24.8).
[
cosφ −senφ
senφ cosφ
][
1
0
]
=
[
cosφ
senφ
]
e
[
cosφ −senφ
senφ cosφ
][
0
1
]
=
[
−senφ
cosφ
]
x
y
φ
φ
(cosφ ,senφ)
(−senφ ,cosφ)
(1,0)
(0,1)
Figura 24.8: Rotação de um ânguloφ aplicada aos vetores(1,0) e (0,1).
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�
�
�Exemplo 24.1. blablabl
A matriz da transformação linear que tem o efeito geométrico
de uma rotação de 450, no sentido anti-horário é a matriz
[
cos450 −sen450
sen450 cos450
]
=
[ √
2
2 −
√
2
2√
2
2
√
2
2
]
.
REFLEX ÕES
A transformaçãoT(x,y) = (−x,−y) é chamada reflexão na
origem. Este nome é devido ao fato de que os pontos(x,y) e
(−x,−y) são simétricos em relação à origem, isto é, a origem
é ponto médio do segmento de reta ligando estes dois pontos.
Veja, na figura a seguir, a ação desta transformação no quadrado
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Álgebra Linear I | Transformações Especiais noR2
unitário.
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(−x,−y)
(x,y)
−1
−1
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T(x,y) = (−x,−y)
1
1
Figura 24.9: Reflexão na origem.
Dois pontos são ditos simétricos em relação a uma reta quando
esta reta é a mediatriz do segmento que liga estes pontos.
A mediatriza um
segmentoAB é a
reta que é
perpendicular ao
segmentoABe o
corta no ponto
médio.
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A
B
r
Figura 24.10: Os pontosA e B são simétricos em relação à retar.
Uma transformaçãoT é umareflex̃ao na reta r, quando o
pontoT(x,y) é o simétrico, em relação ar, do ponto(x,y). Al-
guns exemplos de reflexões em relação a retassão os seguintes.
1. A reflexão no eixox e dada pela matriz
[
1 0
0 −1
]
, ou
seja, é dada porT(x,y) = (x,−y).
2. A reflexão no eixoy e dada pela matriz
[
−1 0
0 1
]
, ou
seja, é dada porT(x,y) = (−x,y).
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3. A reflexão na retay=−x é dada pela matriz
[
0 −1
−1 0
]
,
ou seja, é dada porT(x,y) = (−y,−x).
As figuras a seguir ilustram estas três reflexões.
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T(x,y) = (x,−y)
1
1
Figura 24.11: Reflexão no eixox.
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T(x,y) = (−x,y)
1
1
Figura 24.12: Reflexão no eixoy.
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T(x,y) = (−y,−x)
1
1
y=−x
(x,y)
(−y,−x)
Figura 24.13: Reflexão na retay=−x.
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Álgebra Linear I | Transformações Especiais noR2
PROJEÇÃO
A projeç̃aode um pontoA sobre uma retar é um pontoP∈ r
tal queAP é perpendicular à reta.
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A
r
P
Figura 24.14: Projeção do pontoA sobre a retar.
A transformação de projeção na retar leva cada ponto em
sua projeção na retar, isto é, o pontoT(x,y) é a projeção do
ponto(x,y) na retar.
São exemplos de projeção:
1. A projeção sobre o eixox é dada pela matriz
[
1 0
0 0
]
, ou
seja, é dada porT(x,y) = (x,0).
2. A projeção sobre o eixoy é dada pela matriz
[
0 0
0 1
]
, ou
seja, é dada porT(x,y) = (0,y).
As figuras a seguir ilustram estas duas projeções.
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T(x,y) = (x,0)
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1
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Figura 24.15: Projeção no eixox.
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�
�
T(x,y) = (0,y)
1
1 1
Figura 24.16: Projeção no eixoy.
Resumo
Nesta aula estudamos algumas transformações lineares
T : R2→R2 de especial importância.
Outras transformações lineares podem ser construı́das por
composicão de duas ou mais das transformações apre-
sentadas nesta aula. Observe que a composição de
transformações lineares é uma transformação linear.
Exerćıcio 24.1.
1. Indique o efeito sobre o quadrado unitário das transforma-
ções dadas pelas seguintes matrizes:
a.
[
2 0
0 2
]
b.
[
1 2
0 1
]
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Álgebra Linear I | Transformações Especiais noR2
c.
[
1 0
2 1
]
2. Determine a matriz da transformação de rotação de um
ângulo de 450.
3. Determine a matriz da transformação linear que leva a
uma reflexão na origem seguida de uma rotação de 300.
4. Determine a núcleo da projeção sobre o eixox.
5. Determine a núcleo da transformação de rotação de 600,
seguida de projeção sobre o eixoy.
RESPOSTAS DOSEXERCÍCIOS
1. a. dilatação
b. cisalhamento horizontal
c. cisalhamento vertical
2. Considerando a rotação no sentido anti-horário:
[
cos450 −sen450
sen450 cos450
]
=


√
2
2 −
√
2
2
√
2
2
√
2
2


3.


√
3
2 −12
1
2
√
3
2

 .
[
−1 0
0 −1
]
=


−
√
3
2
1
2
−12 −
√
3
2


4. A transformação é dada porT(x,y) = (x,0). Logo,
N(T) = {(0,y) ∈ R2}
5. A matriz canônica é obtida por
[
0 0
0 1
]
.


1
2 −
√
3
2
√
3
2
1
2

=
[
0 0√
3
2
1
2
]
,
assim, a transformação é dada porT(x,y)=
(
0,
√
3x+y
2
)
.
Logo,N(T) = {(x,y) ∈ R2; y=−
√
3x}
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