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Matemática p/ TJ-PR 
Teoria e exercícios comentados 
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 loga(
c
b
) = logab – logac 
 
 logabk = k  logab 
 
 logab = 
alog
blog
c
c (mudança de base) 
 
Além dessas propriedades, vale a pena relembrar o algarismo neperiano “e”. 
Podemos definir o logaritmo natural como sendo o logaritmo na base “e”, onde “e” 
é igual aproximadamente a 2,7182818... chamado também de número de Euler. 
Esse logaritmo é representado simplesmente por ゲn. Assim, quando temos ゲn2 é o 
mesmo que loge2. Na prova, caso não haja nenhuma informação em contrário, 
podemos usar 2,72 como valor de “e”. 
 
Outra observação importante é o que ocorre quando não é especificada a base do 
logaritmo. Nesse caso, subtende-se que esta base é 10 (log2 = log102). 
 
Vejamos umas questões de concurso: 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
01 - (CPTM - 2013 / Makiyama) Sabe-se que log 9 = 0,954 e log 25 = 1,398. 
Utilizando apenas essas informações, sem recorrer à tabela de logaritmos, 
todos os logaritmos abaixo podem ser calculados. EXCETO: 
 
(A) log 0.625 
(B) log 15 
(C) log 165 
(D) log 225 
(E) log 1250 
 
Solução: 
 
Nessa questão, temos: 
 
log 9 = 0,954 
 
log 32 = 0,954 
 
2.log 3 = 0,954 
 
log 3 = 
2
954,0
 
 
log 3 = 0,477 
 
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Além disso, temos: 
 
log 25 = 1,398 
 
log 52 = 1,398 
 
2.log 5 = 1,398 
 
log 5 = 
2
398,1
 
 
log 5 = 0,699 
 
Bom, para podermos calcular os logaritmos das alternativas, devemos conseguir 
escrevê-los em função de log 3 e log 5. Vamos ver o que conseguimos: 
 
(A) log 0.625 
 
log 0.625 
 
log 
1000
625
 
 
log 
1000
2525
 
 
log 25 + log 25  log 1000 
 
1,398 + 1,398  log 103 
 
1,398 + 1,398  3.log 10 
 
1,398 + 1,398  3 
 
Portanto, é possível calcular log 0.625 
 
 
(B) log 15 
 
log 15 
 
log 3  5 
 
log 3 + log 5 
 
0,477 + 0,699 
 
Portanto, é possível calcular log 15 
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(C) log 165 
 
log 165 
 
log 3  5  11 
 
log 3 + log 5 + log 11 
 
0,477 + 0,699 + log 11 
 
Aqui temos um problema, pois não conseguimos calcular log 11 com as 
informações disponíveis. Portanto, não é possível calcular log 165. 
 
 
(D) log 225 
 
log 225 
 
log 9  25 
 
log 9 + log 25 
 
0,954 + 1,398 
 
Portanto, é possível calcular log 225 
 
 
(E) log 1250 
 
log 1250 
 
log 5  25  10 
 
log 5 + log 25 + log 10 
 
0,699 + 1,398 + 1 
 
Portanto, é possível calcular log 1250 
 
Resposta letra C. 
 
 
02 - (CPTM - 2013 / Makiyama) Analise as seguintes sentenças e, em seguida, 
assinale a alternativa correta: 
 
I – alogbb = a 
 
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II – logbb
k = k 
 
III – logb(a – c) = logba – logbc 
 
(A) I e III são falsas 
(B) Apenas II é falsa 
(C) Apenas I e II são verdadeiras 
(D) Apenas III é verdadeira 
(E) I, II e III são verdadeiras 
 
Solução: 
 
Essa questão nos pede simplesmente as propriedades do logaritmo. Assim, 
temos: 
 
I – alogbb = a 
 
Essa propriedade está ok, conforme vimos na parte teórica. Aplicando log na base 
b dos dois lados da igualdade temos: 
 
logb
alogbb = logba 
 
logba  logbb = logba 
 
logba  1 = logba 
 
logba = logba 
 
 
II – logbb
k = k 
 
Essa propriedade também está ok, conforme vimos na parte teórica: 
 
logbb
k = k 
 
k.logbb = k 
 
k.1 = k 
 
k = k 
 
 
III – logb(a – c) = logba – logbc 
 
Essa propriedade está errada, já que nós vimos que: 
 
logb(
c
a
) = logba – logbc 
 
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Resposta letra D. 
 
 
04 - (Petrobrás - 2012 / Cesgranrio) Se y = log81

 27
1
 e x IR+ são tais que 
xy = 8 , então x é igual a 
 
(A) 
16
1
 
(B) 
2
1
 
(C) log38 
(D) 2 
(E) 16 
 
Solução: 
 
Nessa questão temos: 
 
y = log81 





27
1
 
 
81y = 





27
1
 
 
(34)y = 





33
1
 
 
34y = 33 
 
4y = 3 
 
y = 
4
3
 
 
Assim, temos: 
 
xy = 8 
 
x 4
3

 = 8 
 
(x 4
3

)4 = 84 
 
x3 = 84 
 
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log102 + log32 = 2 + 2.logk 
 
2.log10 + 2.log3 = 2 + 2.logk 
 
2  1 + 2.log3 = 2 + 2.logk 
 
2 + 2.log3 = 2 + 2.logk 
 
2.log3 = 2.logk 
 
k = 3 
 
Resposta letra E. 
 
 
06 - (Pref. Santa Maria Madalena/RJ - 2010 / Consulplan) Simplificando-se 
log8(log53  log216  log95) obtém-se: 
 
(A) 1/3 
(B) 1/5 
(C) 2/3 
(D) 2/5 
(E) 3/4 
 
Solução: 
 
Nessa questão, temos: 
 
log8(log53  log216  log95) 
 
log8(
5log
3log
 log224  
9log
5log
) 
 
log8( 23log
3log
  4.log22) 
 
log8(
3log2
3log
  4) 
 
log8(2) 
 
8log
2log
2
2 
 
3
2 2log
1
 
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2log.3
1
2
 = 
3
1
 
 
Resposta letra A. 
 
 
07 - (TJ/SC - 2011 / TJ/SC) Sabendo que log10123 = 2,09, assinale a alternativa 
que contém o valor de log101,23. 
 
(A) 0,09 
(B) 0,0209 
(C) 0,209 
(D) 1,09 
(E) 1,209 
 
Solução: 
 
Nessa questão, temos: 
 
log101,23 
 
log10 





100
123
 
 
log10123  log10100 
 
2,09  log10102 
 
2,09  2.log1010 
 
2,09  2 = 0,09 
 
Resposta letra A. 
 
 
(Texto para as questões 08 e 09) A soma dos logaritmos na base 10 de 2 
números é 6, e o dobro de um desses logaritmos é 4. Com relação a esses 
números, julgue os itens a seguir. 
 
08 - (CBM/ES - 2011 / CESPE) O produto desses números é igual a 1 milhão. 
 
Solução: 
 
Vamos chamar os dois números de A e B. Assim: 
 
A soma dos logaritmos na base 10 de 2 números é 6 
 
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logA + logB = 6 (equação 1) 
 
O dobro de um desses logaritmos é 4 
 
2.logA = 4 
 
logA = 
2
4
 
 
logA = 2 
 
A = 102 
 
A = 100 
 
Voltando para a equação 1, temos: 
 
logA + logB = 6 
 
2 + logB = 6 
 
logB = 6  2 
 
logB = 4 
 
B = 104 
 
B = 10.000 
 
Assim, podemos encontrar o produto A  B: 
 
A  B = 100  10.000 = 1.000.000 
 
Item correto. 
 
 
09 - (CBM/ES - 2011 / CESPE) A soma desses números é igual a 2.000. 
 
Solução: 
 
Utilizando as informações da questão anterior, temos: 
 
A + B = 100 + 10.000 = 10.100 
 
Item errado. 
 
 
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(Texto para as questões 10 e 11) Os números positivos a e b são tais que 
seus logaritmos, na base 10, são 0,01 e 0,1, respectivamente. Acerca desses 
números, julgue os itens subsequentes. 
 
10 - (CBM/ES - 2011 / CESPE) O logaritmo na base 10 do número a50.b35 é 
igual a 4. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, temos: 
 
log a = 0,01 
 
log b = 0,1 
 
Assim, temos: 
 
log a50.b35 
 
log a50 + log b35 
 
50.log a + 35.log b 
 
50  0,01 + 35  0,1 
 
0,5 + 3,5 = 4 
 
Item correto. 
 
 
11 - (CBM/ES - 2011 / CESPE) A razão 
a
b
 é igual a 10. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, temos 
 
log a= 0,01 
 
a = 100,01 
 
log b = 0,1 
 
b = 100,1 
 
Assim, temos: 
 
a
b
 = 
01,0
1,0
10
10
 
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a
b
 = 100,1  0,01 
 
a
b
 = 100,09 
 
Como 100,09 é diferente de 10, concluímos que o item está errado. 
 
 
12 - (Petrobrás - 2012 / Cesgranrio) Utilizando-se as aproximações 
log2 = 0,30 e log3 = 0,48, o valor de x na igualdade 
2
6x
 = 25 é, 
aproximadamente, de 
 
(A) 2,12 
(B) 2,18 
(C) 2,42 
(D) 2,58 
(E) 2,92 
 
Solução: 
 
Nessa questão, temos: 
 
2
6 x
 = 25 
 
6x = 2  25 
 
6x = 50 
 
log6x = log50 
 
x.log6 = log
2
100
 
 
x.log2  3 = log100  log2 
 
x.(log2 + log3) = log102  0,3 
 
x.(0,3 + 0,48) = 2.log10  0,3 
 
x.(0,78) = 2  0,3 
 
x = 
78,0
7,1
 
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x = 2,18 
 
Resposta letra B. 
 
 
13 - (TJ/PR - 2014 / UFPR) Suponha que o tempo necessário para se tomar 
uma decisão esteja relacionado com o número de escolhas de que se 
dispõe. Nesse caso, um modelo matemático que fornece o tempo de reação 
R, em segundos, em função do número de escolhas N, é dado pela 
expressão: 
 
R = 0,17 + 0,44 log(N) 
 
De acordo com esse modelo, quando o número de escolhas for reduzido de 
100 para 10, qual será o percentual de diminuição no tempo de reação, 
aproximadamente? 
 
(A) 26%. 
(B) 42%. 
(C) 55%. 
(D) 88%. 
 
Solução 
 
Nessa questão, primeiro vamos calcular o tempo de reação para 100 opções de 
escolha, em seguida calculamos o tempo de reação para 10 opções de escolha e 
por fim calculamos o percentual de redução: 
 
100 opções de escolha 
 
R = 0,17 + 0,44.log(N) 
 
R = 0,17 + 0,44.log(100) 
 
R = 0,17 + 0,44.log(102) 
 
R = 0,17 + 0,44  2.log(10) 
 
R = 0,17 + 0,44  2 
 
R = 0,17 + 0,88 
 
R = 1,05 
 
 
Agora calculamos o tempo para 10 opções de escolha: 
 
10 opções de escolha 
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R = 0,17 + 0,44.log(N) 
 
R = 0,17 + 0,44.log(10) 
 
R = 0,17 + 0,44 
 
R = 0,61 
 
 
Por fim, calculamos a redução percentual: 
 
% de Redução = 
05,1
61,005,1 
 
 
% de Redução = 
05,1
44,0
 = 0,42 = 42% 
 
Resposta letra B. 
 
 
14 - (Colégio Militar de Curitiba - 2013 / UFPR) O valor numérico da 
expressão (log23).(log34).(log45)....(log3132) é igual a: 
 
(A) 5. 
(B) 6. 
(C) 7. 
(D) 8. 
(E) 9. 
 
Solução 
 
Para a solução dessa questão, devemos lembrar das seguintes propriedades: 
 
 logabk = k  logab 
 
 logab = 
alog
blog
c
c (mudança de base) 
 
Vamos lá: 
 
Valor = (log23).(log34).(log45)....(log3132) 
 
Valor = 
2log
3log
10
10 
3log
4log
10
10 
4log
5log
10
10 …
31log
32log
10
10 
 
 
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15  2x = 960 
 
2x = 
15
960
 
 
2x = 64 
 
2x = 26 
 
x = 6 
 
Portanto, item correto. 
 
 
16 - (INMETRO - 2010 / CESPE) Uma pesquisa a respeito do crescimento 
populacional de certa comunidade constatou que esse crescimento varia 
segundo a lei P(t) = P0 e
0,1155t, em que e é a base do logaritmo natural, P0 é a 
população da comunidade no início da pesquisa e P(t) é a população t anos 
depois do início da pesquisa. 
 
Nessa situação, tomando 0,693 como valor aproximado de ゲn2, é correto 
afirmar que, 6 anos depois do início da pesquisa, a população inicial foi 
multiplicada por 4. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, temos: 
 
P(t) = P0 e
0,1155t 
 
P(6) = P0 e
0,1155 x 6 
 
P(6) = P0 e
0,693
 
 
 
Assim, sabendo que ゲn2 = 0,693, temos: 
 
ゲn2 = 0,693 
 
e0,693 = 2 
 
 
Assim, 
 
P(6) = P0 e
0,693
 
 
P(6) = P0.2 
 
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Portanto, o tem está errado, pois a população inicial foi multiplicada por 2. 
 
 
17 - (Prefeitura de Vila Velha - 2008 / CESPE) A figura abaixo ilustra 
corretamente o gráfico, no plano cartesiano xOy, da função y = 2x – 1. 
 
 
 
Solução: 
 
A melhor forma de resolver esta questão é testar se os pontos do gráfico 
pertencem à função. Podemos perceber os pontos (1, 1) e (0 , –2): 
 
Para o ponto onde x = 1, temos: 
 
y = 2x – 1 
 
y = 21 – 1 
 
y = 20 
 
y = 1 
 
Portanto, a função passa pelo ponto (1, 1). 
 
Para o ponto onde x = 0, temos: 
 
y = 2x – 1 
 
y = 20 – 1 
 
y = 2–1 
 
y = 
2
1
 
 
Portanto, para x = 0 temos y = 
2
1
. Assim podemos concluir que o gráfico da função 
não passa pelo ponto (0 , –2). Item errado. 
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Solução: 
 
Nessa questão, temos: 
 
y = a + b.2cx 
 
Sabendo que a função passa pelos pontos (0, 53), (1, 31) e (2, 29), podemos 
substituir esses valores na função para tentar encontrar os coeficientes a, b e c: 
 
Substituindo o ponto (0, 53): 
 
y = a + b.2cx 
 
53 = a + b.2c.0 
 
53 = a + b.20 
 
53 = a + b.1 
 
a + b = 53 
 
 
Substituindo o ponto (1, 31): 
 
y = a + b.2cx 
 
31 = a + b.2c1 
 
31 – a = b.2c 
 
2c = 
b
a31
 
 
 
Substituindo o ponto (2, 29): 
 
y = a + b.2cx 
 
29 = a + b.2c.2 
 
29 – a = b.(2c)2 
 
(2c)2 = 
b
a29 
 
 
 
Substituindo 2c por 
b
a31
 
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(
b
a31
)
2
 = 
b
a29
 
 
Portanto, chegamos às três equações do sistema. Item correto. 
 
 
(Texto para as questões 21 e 22) Considere que a produção de óleo cru, em 
milhares de barris por dia, de uma bacia petrolífera possa ser descrita por 
uma função da forma Q(t) = Ae–kt, em que A e k são constantes positivas, t é 
o tempo, em anos, a partir do ano t = 0, que corresponde ao ano de maior 
produtividade da bacia. Com base nessas informações, julgue os itens a 
seguir. 
 
21 - (Petrobrás - 2007 / CESPE) Considere que a maior produtividade da 
bacia tenha sido de 1.200.000 barris de óleo cru por dia e, 10 anos depois, a 
produtividade caiu para 800.000 barris por dia. Nessa situação, depois de 20 
anos, a produção caiu para menos de 500.000 barris por dia. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, nós temos o seguinte: 
 
Q(t) = Ae–kt 
 
 
Foi dito que Q(0) = 1.200.000 e que Q(10) = 800.000. Assim, temos: 
 
Q(t) = Ae–kt 
 
Q(0) = Ae–k0 
 
1.200.000 = Ae0 
 
A = 1.200.000 
 
 
Q(t) = Ae–kt 
 
Q(t) = 1.200.000e–kt 
 
Q(10) = 1.200.000e–k.10 
 
800.000 = 1.200.000e–k.10 
 
e–k.10 = 
000.200.1
000.800
 
 
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e–k.10 = 
3
2
 
 
 
Assim, podemos calcular o valor de Q(20): 
 
Q(t) = 1.200.000e–kt 
 
Q(20) = 1.200.000e–k.20 
 
Q(20) = 1.200.000(e–k.10)2 
 
Q(20) = 1.200.000(
3
2
)2 
 
Q(20) = 1.200.000(
9
4
) 
 
Q(20) = 533.333,33 
 
Portanto, item errado. 
 
 
22 - (Petrobrás - 2007 / CESPE) Considerando a função Q(t) referida no texto 
como definida para todo t real, é correto afirmar que o gráfico de sua inversa, 
t = t(Q), tem o aspecto indicado na figura abaixo. 
 
 
 
Solução: 
 
Nessa questão, é mais fácil desenhar o gráfico de Q(t) e em seguida encontrar o 
gráfico de sua função inversa, sabendo que ele é simétrico à bissetriz dos 
quadrantes 1 e 3: 
 
Q(t) = Ae–kt 
 
Para t = 0, temos:Q(0) = Ae–k.0 
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Nessa questão, temos: 
 
P(T) = 6(1 – e–0,02T) + 3 
 
 
Podemos perceber que quanto maior o T, menor será o valor de e–0,02T, fazendo 
com que quando T tende a infinito, e–0,02T tende a zero. Assim, temos: 
 
P() = 6(1 – e–0,02) + 3 
 
P() = 6(1 – 0) + 3 
 
P() = 6(1) + 3 
 
P() = 6 + 3 = 9 
 
Portanto, para o tempo tendendo a infinito, a população feminina será no máximo 
igual a 9 bilhões. Como a população masculina será sempre inferior à população 
feminina, podemos concluir que a população mundial nunca excederá 18 bilhões. 
Item correto. 
 
 
24 - (BB - 2007 / CESPE) Tomando 1,7 como valor aproximado para ゲn 6, é 
correto afirmar que em 2093 a população mundial feminina será igual a 8 
bilhões de habitantes. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, temos: 
 
P(T) = 6(1 – e–0,02T) + 3 
 
Para ano = 2008, t = 0 
Para ano = 2009, t = 2009 – 2008 = 1 
Para ano = 2010, t = 2010 – 2008 = 2 
... 
Para ano = 2093, t = 2093 – 2008 = 85 
 
 
P(85) = 6(1 – e–0,02.85) + 3 
 
P(85) = 6(1 – e–1,7) + 3 
 
 
Assim, sabendo que ゲn6 = 1,7, temos: 
 
ゲn6 = 1,7 
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e1,7 = 6 
 
 
Com isso: 
 
P(85) = 6(1 – e–1,7) + 3 
 
P(85) = 6(1 – 
7,1e
1
) + 3 
 
P(85) = 6(1 – 
6
1
) + 3 
 
P(85) = 6(
6
16 
) + 3 
 
P(85) = 6(
6
5
) + 3 
 
P(85) = 5 + 3 = 8 
 
Portanto, item correto. 
 
 
25 - (BB - 2007 / CESPE) Em 2058, a população feminina mundial será 
superior a 7 bilhões de habitantes. 
 
Solução: 
 
Aqui nós temos: 
 
Para ano = 2058, t = 2058 – 2008 = 50 
 
 
Assim: 
 
P(T) = 6(1 – e–0,02T) + 3 
 
P(50) = 6(1 – e–0,02.50) + 3 
 
P(50) = 6(1 – e–1) + 3 
 
P(50) = 6(1 – 
e
1
) + 3 
 
P(50) = 6(
e
1e 
) + 3 
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Lembrando que e  2,72, temos: 
 
 P(50) = 6(
72,2
172,2 
) + 3 
 
P(50) = 6(
72,2
72,1
) + 3 
 
P(50) = 
72,2
32,10
 + 3 
 
P(50) = 
72,2
16,832,10 
 
 
P(50) = 
72,2
48,18
 
 
P(50) = 6,8 
 
Portanto, item errado. 
 
 
26 - (Petrobrás - 2012 / Cesgranrio) Considere as funções g(x) = log2x e 
h(x) = logbx, ambas de domínio R
*
 . 
 
Se h(5) = 
2
1
, então g(b + 9) é um número real compreendido entre 
 
(A) 5 e 6 
(B) 4 e 5 
(C) 3 e 4 
(D) 2 e 3 
(E) 1 e 2 
 
Solução: 
 
Bom, nessa questão, temos a informação de que h(5) = 
2
1
. Assim, temos: 
h(x) = logbx 
 
h(5) = logb5 
 
2
1
 = logb5 
 
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b 2
1
 = 5 
 
(b 2
1
)2 = 52 
 
b = 25 
 
 
Com isso, podemos encontrar g(b + 9): 
 
g(x) = log2x 
 
g(b + 9) = log2(b + 9) 
 
g(25 + 9) = log2(25 + 9) 
 
g(34) = log2(34) 
 
 
Bom, não temos a informação de quanto vale log2(34), mas podemos fazer o 
seguinte: 
 
log2(2) = 1 
 
log2(4) = log2(2
2) = 2.log2(2) = 2 
 
log2(8) = log2(2
3) = 3.log2(2) = 3 
 
log2(16) = log2(2
4) = 4.log2(2) = 4 
 
log2(32) = log2(2
5) = 5.log2(2) = 5 
 
log2(64) = log2(2
6) = 6.log2(2) = 6 
 
Como 34 é maior que 32 e menor que 64, concluímos que log2(34) é um número 
real compreendido entre 5 e 6. 
 
Resposta letra A. 
 
 
27 - (Petrobrás - 2010 / Cesgranrio) Dada a função f(x) = log10x, de domínio 
R * , têm-se f(2) = 0,30 e f(3) = 0,48. Se f(p) = 1,38 , então p é igual a 
 
(A) 12 
(B) 18 
(C) 24 
(D) 30 
(E) 36 
 
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Solução: 
 
Bom, para podermos calcular p, devemos poder escrever f(p) em função de f(2) e 
f(3). Assim, podemos dizer o seguinte: 
 
1,38 = 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,48 
 
f(p) = f(2) + f(2) + f(2) + f(3) 
 
f(p) = log102 + log102 + log102 + log103 
 
f(p) = log10(2  2  2  3) 
 
f(p) = log10(24) 
 
Portanto, p = 24 
 
Resposta letra C. 
 
 
28 - (DECEA - 2012 / Cesgranrio) Considerem-se as funções logarítmicas 
f(x) = log4 x e g(x) = log2 x, ambas de domínio R * . 
 
Calculando-se f(72) g(3), o valor encontrado será de 
 
(A) 1,0 
(B) 1,5 
(C) 2,0 
(D) 2,5 
(E) 3,0 
 
Solução: 
 
Vamos lá! 
 
f(x) = log4 x 
 
f(72) = log4 72 
 
 
g(x) = log2 x 
 
g(3) = log2 3 
 
 
Assim, temos: 
 
f(72) Ѹ g(3) 
 
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2ª Raiz = 
2
37 
 = 2 
 
Como queremos o menor valor de x e quanto maior o valor de 3x maior será o 
valor de x, ficaremos com A = 2: 
 
3x = A 
 
3x = 2 
 
log3x = log2 
 
x.log3 = 0,3 
 
x.0,48 = 0,3 
 
x = 
48,0
3,0
 
 
x = 0,625 
 
Resposta letra D. 
 
 
30 - (TJ/PR - 2014 / UFPR) Após o processo de recuperação de uma reserva 
ambiental, uma espécie de aves, que havia sido extinta nessa reserva, foi 
reintroduzida. Os biólogos responsáveis por essa área estimam que o 
número P de aves dessa espécie, t anos após ser reintroduzida na reserva, 
possa ser calculado pela expressão 
 
P = 
t)5,0(87
300

 
 
De acordo com essa estimativa, quantos anos serão necessários para dobrar 
a população inicialmente reintroduzida? 
 
(A) 2 anos. 
(B) 4 anos. 
(C) 8 anos. 
(D) 16 anos. 
 
Solução 
 
Nessa questão, primeiro devemos encontrar a quantidade inicialmente introduzida 
na reserva, que será o valor de P quando t = 0: 
 
P = 
t)5,0(87
300

 
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P(0) = 
0)5,0(87
300

 
 
P(0) = 
187
300

 
 
P(0) = 
87
300

 
 
P(0) = 
15
300
 
 
P(0) = 20 
 
 
Agora, como queremos saber o tempo que levará para dobrar a população 
inicialmente reintroduzida, encontraremos o valor de t quando P = 2  20 = 40: 
 
P = 
t)5,0(87
300

 
 
40 = 
t)5,0(87
300

 
 
40.[7 + 8.(0,5)t] = 300 
 
280 + 320.(0,5)t = 300 
 
320.(0,5)t = 300  280 
 
320.(0,5)t = 20 
 
(0,5)t = 
320
20
 
 
(
2
1
)t = 
16
1
 
 
t2
1
= 
42
1
 
 
t = 4 anos 
 
Resposta letra B. 
 
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0  loge3 = loge2  loge2 
 
0 = loge2  loge2 
 
Como loge2  loge2 é diferente de zero, concluímos que esta afirmação não é 
verdadeira. 
 
Item errado. 
 
 
(D) 2.log5 + log4 = 2.log10. 
 
Aqui temos o seguinte: 
 
2.log5 + log4 = 2.log10 
 
log52 + log4 = log102 
 
log25 + log4 = log100 
 
log(25  4) = log100 
 
log100 = log100 
 
Item correto. 
 
 
(E) Sendo log2 = a e log3 = b , então log12 = 2a +b . 
 
Aqui temos o seguinte: 
 
log12 = log(2  2  3) 
 
log12 = log2 + log2 + log3 
 
log12 = a + a + b 
 
log12 = 2a + b 
 
Item correto. 
 
 
Portanto, resposta letra C. 
 
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3 - Exercícios comentados nesta aula 
 
 
01 - (CPTM - 2013 / Makiyama) Sabe-se que log 9 = 0,954 e log 25 = 1,398. 
Utilizando apenas essas informações, sem recorrer à tabela de logaritmos, todos 
os logaritmos abaixo podem ser calculados. EXCETO: 
 
(A) log 0.625 
(B) log 15 
(C) log 165 
(D) log 225 
(E) log 1250 
 
 
02 - (CPTM - 2013 / Makiyama) Analise as seguintes sentenças e, emseguida, 
assinale a alternativa correta: 
 
I – alogbb = a 
 
II – logbb
k = k 
 
III – logb(a – c) = logba – logbc 
 
(A) I e III são falsas 
(B) Apenas II é falsa 
(C) Apenas I e II são verdadeiras 
(D) Apenas III é verdadeira 
(E) I, II e III são verdadeiras 
 
 
03 - (CORREIOS - 2008 / Consulplan) Sabendo que log102  0,3 qual é o menor 
número natural que verifica a relação 2n > 104? ( : aproximadamente) 
 
(A) 11 
(B) 12 
(C) 13 
(D) 14 
(E) 15 
 
 
04 - (Petrobrás - 2012 / Cesgranrio) Se y = log81 





27
1
 e x 䳲 IR+ são tais que 
xy = 8 , então x é igual a 
 
(A) 
16
1
 
(B) 
2
1
 
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(C) log38 
(D) 2 
(E) 16 
 
 
05 - (Pref. Campo Verde/MT - 2010 / Consulplan) Qual é o valor de k, para que a 
expressão 
klog1
25log9log4log


 seja igual a 2? 
 
(A) 5 
(B) 4 
(C) 9 
(D) 2 
(E) 3 
 
 
06 - (Pref. Santa Maria Madalena/RJ - 2010 / Consulplan) Simplificando-se 
log8(log53  log216  log95) obtém-se: 
 
(A) 1/3 
(B) 1/5 
(C) 2/3 
(D) 2/5 
(E) 3/4 
 
 
07 - (TJ/SC - 2011 / TJ/SC) Sabendo que log10123 = 2,09, assinale a alternativa 
que contém o valor de log101,23. 
 
(A) 0,09 
(B) 0,0209 
(C) 0,209 
(D) 1,09 
(E) 1,209 
 
 
(Texto para as questões 08 e 09) A soma dos logaritmos na base 10 de 2 números 
é 6, e o dobro de um desses logaritmos é 4. Com relação a esses números, julgue 
os itens a seguir. 
 
08 - (CBM/ES - 2011 / CESPE) O produto desses números é igual a 1 milhão. 
 
 
09 - (CBM/ES - 2011 / CESPE) A soma desses números é igual a 2.000. 
 
 
(Texto para as questões 10 e 11) Os números positivos a e b são tais que seus 
logaritmos, na base 10, são 0,01 e 0,1, respectivamente. Acerca desses números, 
julgue os itens subsequentes. 
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10 - (CBM/ES - 2011 / CESPE) O logaritmo na base 10 do número a50.b35 é igual a 
4. 
 
 
11 - (CBM/ES - 2011 / CESPE) A razão 
a
b
 é igual a 10. 
 
 
12 - (Petrobrás - 2012 / Cesgranrio) Utilizando-se as aproximações 
log2 = 0,30 e log3 = 0,48, o valor de x na igualdade 
2
6x
 = 25 é, aproximadamente, 
de 
 
(A) 2,12 
(B) 2,18 
(C) 2,42 
(D) 2,58 
(E) 2,92 
 
 
13 - (TJ/PR - 2014 / UFPR) Suponha que o tempo necessário para se tomar uma 
decisão esteja relacionado com o número de escolhas de que se dispõe. Nesse 
caso, um modelo matemático que fornece o tempo de reação R, em segundos, em 
função do número de escolhas N, é dado pela expressão: 
 
R = 0,17 + 0,44 log(N) 
 
De acordo com esse modelo, quando o número de escolhas for reduzido de 100 
para 10, qual será o percentual de diminuição no tempo de reação, 
aproximadamente? 
 
(A) 26%. 
(B) 42%. 
(C) 55%. 
(D) 88%. 
 
 
14 - (Colégio Militar de Curitiba - 2013 / UFPR) O valor numérico da expressão 
(log23).(log34).(log45)....(log3132) é igual a: 
 
(A) 5. 
(B) 6. 
(C) 7. 
(D) 8. 
(E) 9. 
 
 
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15 - (Prefeitura de Vila Velha - 2008 / CESPE) A solução da equação 
15  2x = 960 é superior a 5. 
 
 
16 - (INMETRO - 2010 / CESPE) Uma pesquisa a respeito do crescimento 
populacional de certa comunidade constatou que esse crescimento varia segundo 
a lei P(t) = P0 e
0,1155t, em que e é a base do logaritmo natural, P0 é a população da 
comunidade no início da pesquisa e P(t) é a população t anos depois do início da 
pesquisa. 
 
Nessa situação, tomando 0,693 como valor aproximado de ゲn2, é correto afirmar 
que, 6 anos depois do início da pesquisa, a população inicial foi multiplicada por 4. 
 
 
17 - (Prefeitura de Vila Velha - 2008 / CESPE) A figura abaixo ilustra corretamente 
o gráfico, no plano cartesiano xOy, da função y = 2x – 1. 
 
 
 
 
(Texto para as questões 18 a 20) O ranking das 100 melhores cidades do Brasil 
para a realização de novos investimentos e negócios é feito pela empresa 
Simonsen Associados, em parceria com a revista EXAME. Dos 5.507 municípios 
brasileiros, foram pesquisados apenas aqueles com população superior a 95 mil 
habitantes e que oferecem melhores condições para negócios. A pontuação para 
classificar os municípios levou em consideração fatores como: qualidade de vida, 
tendência dos investimentos, distribuição de renda e classes sociais e educação e 
grau de escolaridade. 
 
Procedidas as análises com base em indicadores, chegou-se a um total de 
pontuação de cada município. A classificação final selecionou os 100 municípios 
com melhor combinação dos indicadores ponderados em relação à média, com 
base em 2001. O estado do Espírito Santo destacou-se com três cidades, de 
acordo com a tabela a seguir. 
 
 
 
 
 
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(Texto para as questões 21 e 22) Considere que a produção de óleo cru, em 
milhares de barris por dia, de uma bacia petrolífera possa ser descrita por uma 
função da forma Q(t) = Ae–kt, em que A e k são constantes positivas, t é o tempo, 
em anos, a partir do ano t = 0, que corresponde ao ano de maior produtividade da 
bacia. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 
 
21 - (Petrobrás - 2007 / CESPE) Considere que a maior produtividade da bacia 
tenha sido de 1.200.000 barris de óleo cru por dia e, 10 anos depois, a 
produtividade caiu para 800.000 barris por dia. Nessa situação, depois de 20 anos, 
a produção caiu para menos de 500.000 barris por dia. 
 
 
22 - (Petrobrás - 2007 / CESPE) Considerando a função Q(t) referida no texto 
como definida para todo t real, é correto afirmar que o gráfico de sua inversa, t = 
t(Q), tem o aspecto indicado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
(Texto para as questões 23 a 25) Considere que o tamanho da população mundial 
feminina possa ser expresso, em bilhões de habitantes, pela função P(T) = 6(1 – 
e–0,02T) + 3, em que T = 0 representa o ano de 2008, T = 1, o ano de 2009, e assim 
por diante. Com base nesse modelo, julgue os itens seguintes. 
 
23 - (BB - 2007 / CESPE) Considerando que o tamanho da população masculina 
mundial seja sempre inferior ao da feminina, tem-se que a população mundial será 
sempre inferior a 18 bilhões de habitantes. 
 
 
24 - (BB - 2007 / CESPE) Tomando 1,7 como valor aproximado para ゲn 6, é 
correto afirmar que em 2093 a população mundial feminina será igual a 8 bilhões 
de habitantes. 
 
 
25 - (BB - 2007 / CESPE) Em 2058, a população feminina mundial será superior a 
7 bilhões de habitantes. 
 
 
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26 - (Petrobrás - 2012 / Cesgranrio) Considere as funções g(x) = log2x e 
h(x) = logbx, ambas de domínio R
*
 . 
 
Se h(5) = 
2
1
, então g(b + 9) é um número real compreendido entre 
 
(A) 5 e 6 
(B) 4 e 5 
(C) 3 e 4 
(D) 2 e 3 
(E) 1 e 2 
 
 
27 - (Petrobrás - 2010 / Cesgranrio) Dada a função f(x) = log10x, de domínio R
*
 , 
têm-se f(2) = 0,30 e f(3) = 0,48. Se f(p) = 1,38 , então p é igual a 
 
(A) 12 
(B) 18 
(C) 24 
(D) 30 
(E) 36 
 
 
28 - (DECEA - 2012 / Cesgranrio) Considerem-se as funções logarítmicas 
f(x) = log4 x e g(x) = log2 x, ambas de domínio R
*
 . 
 
Calculando-se f(72) Ѹ g(3), o valor encontrado será de 
 
(A) 1,0 
(B) 1,5 
(C) 2,0 
(D) 2,5 
(E) 3,0 
 
 
29- (Petrobrás - 2012 / Cesgranrio) Qual o menor valor de x que torna a expressão 
9x − 7.3x + 10 = 0 verdadeira? 
Dados: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48 
 
(A) 1,625 
(B) 1,458333... 
(C) 1 
(D) 0,625 
(E) 0,458333...30 - (TJ/PR - 2014 / UFPR) Após o processo de recuperação de uma reserva 
ambiental, uma espécie de aves, que havia sido extinta nessa reserva, foi 
Matemática p/ TJ-PR 
Teoria e exercícios comentados 
Prof Marcos Piñon – Aula 09 
 
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4 - Gabaritos 
 
01 - C 
02 - C 
03 - D 
04 - A 
05 - E 
06 - A 
07 - A 
08 - C 
09 - E 
10 - C 
11 - E 
12 - B 
13 - B 
14 - A 
15 - C 
16 - E 
17 - E 
18 - E 
19 - E 
20 - C 
21 - E 
22 - C 
23 - C 
24 - C 
25 - E 
26 - A 
27 - C 
28 - B 
29 - D 
30 - B 
31 - C