1 - Ney Amorim Silva - Projeto de Concreto Armado (Junho 2018)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS 
 ESCOLA DE ENGENHARIA 
 Departamento de Engenharia de Estruturas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRADUAÇÃO 
 
 
 
PROJETO DE CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
Ney Amorim Silva 
 (Prof. Titular) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Versão Junho 2018 
 
 
 
 
 
PROJETO DE CONCRETO ARMADO 
 
 
Departamento de Engenharia de Estruturas – EE-UFMG 
 
Junho 2018 
 
 
 
1 – Introdução 
 
 Esta apostila, que é uma adaptação daquela produzida pelo professor Antônio 
Carlos Rabello, vem complementar as duas anteriores de dimensionamento de se-
ções em concreto armado, usadas na graduação (Concreto Armado I) e na especiali-
zação (Concreto Armado II). 
 
 Considerando um edifício residencial de 03 pavimentos, o objetivo principal 
desta apostila é fazer o lançamento, a análise, o dimensionamento e o detalhamento 
da sua estrutura, projetada em concreto armado. Inicialmente todo o cálculo será feito 
manualmente e numa segunda etapa estes valores serão comparados com os obtidos 
em programas computacionais, amplamente utilizados em escritórios de projetos. 
 
2 - Considerações sobre a arquitetura 
 
O projeto arquitetônico é de um edifício simétrico com 03 pavimentos tipos, com 
seis apartamentos no total. O primeiro pavimento (térreo) é destinado à garagem co-
berta, com pelo menos 06 vagas para automóveis. Sobre a quarta laje (forro), se apoia 
o telhado com telhas de fibrocimento. Esse edifício será implantado em um lote plano 
de dimensões (12x30 m2) observando afastamentos de 2,30 m nas laterais e de 3 m 
na frente e no fundo. Dessa forma, a projeção do prédio em planta é de (7,40x24,00 
m2), conforme figuras 2.1 e 2.2. 
 
 
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Figura 2.1 – Planta esquemática do tipo e sua projeção no lote de 
12x30 m2 
 
 
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Figura 2.2 – Planta de um apartamento do pavimento tipo 
 
 O pé direito (distância entre o piso e o teto de um pavimento) é de 2,80 m. 
Assim, a distância entre dois pisos de pavimentos consecutivos deve ser de (2,80 + 
10 + 5 = 2,95 m), adotando-se para as lajes a espessura de 10 cm e para os revesti-
mentos do piso e do teto, de um mesmo pavimento, 5 cm. 
 
 A alvenaria usada, de tijolos cerâmicos furados, tem espessura de 20 cm para 
as paredes externas e de 15 cm para as internas. Dessa forma o tijolo furado externo 
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tem espessura de 15 cm e o interno de 12 cm. O peso específico para esse tipo de 
alvenaria é, segundo a NBR 6120:1980, 13 kN/m3. 
 
3 - Lançamento da estrutura 
 
 A estrutura de concreto armado do edifício a ser analisado é convencional, isto 
é, constituída de lajes vigas e pilares. Uma etapa fundamental da análise estrutural é 
o lançamento da estrutura. Uma estrutura mal lançada pode conduzir a uma constru-
ção mais cara e/ou, com pouca rigidez às forças horizontais (por exemplo, a ação do 
vento), exigindo resserviços para melhor adequá-la, podendo muitas vezes culminar 
no lançamento de uma nova estrutura. 
 
 Essa etapa exige uma experiência do projetista, adquirida na prática profissio-
nal, principalmente quando o cálculo do edifício é feito manualmente, devido ao 
grande trabalho para testar novas alternativas estruturais. Hoje essa tarefa é bastante 
facilitada com o cálculo automatizado, proporcionado por uma variedade de “softwa-
res” de análise estrutural confiáveis, disponíveis no mercado. Com esses “softwares” 
as alternativas estruturais podem ser testadas de forma rápida, adotando-se aquela 
que atenda aos requisitos exigidos pela obra e pelo projetista. 
 
 Inicialmente os pilares devem ser lançados, observando-se no projeto arquite-
tônico tanto a distribuição dos cômodos em planta quanto a distribuição das vagas e 
circulação dos veículos na garagem. Dessa forma, algumas recomendações são mos-
tradas a seguir (ver figura 3.1 - parte simétrica da forma): 
 
 Dispor pilares nos cantos do edifício, pilares P1, P12 e P13; 
 Dispor pilares nos cantos da escada/caixa d’água, pilares P8, P9, P16 e P17; 
 Dispor pilares nos cruzamentos de vigas, pilares P2, P3, P6 e P7. 
 
Eventualmente em algumas situações essas recomendações podem não ser 
seguidas como nos apoios da viga V4 sobre as vigas V7 e V8 e no apoio da viga V9 
na viga V3. Em todos esses casos a colocação de pilares nos cruzamentos dessas 
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vigas foi evitada, pela existência de outros pilares nas proximidades (P11 no caso da 
V4 e P8/P9 no caso da V9). 
 
 
 
 
Figura 3.1 – Forma do pavimento tipo - Planta e Corte 
 
 Conforme o item 11.7.1 da NBR 6118:2014 a dimensão mínima de 19 cm para 
pilares retangulares evita a majoração adicional das suas cargas pelo coeficiente n 
(ver tabela 12.1, Concreto II). Neste projeto estrutural adotou-se o valor de 20 cm, 
maior que o mínimo estabelecido de 19 cm. A outra dimensão do pilar é obtida, a 
princípio, em função da carga total que o mesmo suporta. Essa carga pode ser avali-
ada aproximadamente, multiplicando-se a sua área de influência, em cada pavimento 
(ver figura 3.2), pelo número de pavimentos do edifício e pelo peso médio, por unidade 
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de área, do edifício analisado. Na prática considera-se, para edifícios residenciais es-
truturados, um peso médio de 10 kN/m2 = 1 tf/m2. 
 
 
 
Figura 3.2 – Áreas de influência dos pilares no pavimento tipo 
 
 Assim para os pilares de canto como, por exemplo, o P1, a carga total aproxi-
mada vale (AP1 = 4)x4x10 = 160 kN = 16 tf. Os pilares de fachada (P2, P3, P6) servem 
de apoio interno para a viga de fachada e de apoio externo para a outra viga, que 
sobre eles apoiam. Devido à continuidade da viga, um apoio interno absorve, de forma 
aproximada, 10% a mais de carga, em cada vão que nele apoia, quando comparado 
com o modelo de duas vigas biapoiadas isoladas. Dessa forma para o pilar P2, a carga 
total aproximada vale (1,2xAP2 = 1,2x10)x4x10 = 480 kN = 48 tf. De forma análoga, para 
pilares internos, como o P7, os apoios das vigas que se cruzam sobre eles, são ambos 
internos. Nesse caso deve-se majorar a área em 2x20% = 40%. 
 
 No caso dos pilares que sustentam também a caixa d’água (P8 e P16) deve ser 
acrescentada a sua carga, que nessa fase de lançamento da estrutura, será calculada 
aproximadamente. Para isto, adota-se como carga total da caixa d’água o peso da 
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água (Págua = Vágua x 10 kN/m3) mais o peso da sua estrutura em concreto armado. 
Pode-se adotar aproximadamente como peso da estrutura de concreto armado da 
caixa, o mesmo peso da água a ser reservada. Assim, para um volume adotado de 12 
m3 de água o peso total estimado da caixa cheia é de 2x12x10 = 240 kN = 24 tf. Nesse 
projeto, esse valor deve ser divididoigualmente para os quatro pilares. 
 
Tabela 3.1 - Áreas de influência, cargas e seções dos pilares 
 
PILAR 
ÁREA / PAV. TIPO 
m2 
CARGA 
TOTAL (kN) 
(4xAT,P)x10 
SEÇÂO 
AP AP AT,P=AP+AP 
P1 4 - 4 160 20/20 
P2 10 (20%) = 2 12 480 30/20 
P3 13 (20%) = 3 16 640 30/20 
P6 8 (20%) = 2 10 400 20/20 
P7 17 (40%) = 7 24 960 25/40 
P8* 15 - 15 660* 20/35 
P12 5 - 5 200 20/20 
P13 9 - 9 360 20/20 
P16* 8 - 8 380* 20/20 
(*) - pilares da caixa d’água (60 kN de acréscimo) 
 
 A definição da outra dimensão da seção transversal dos pilares (adotou-se 20 
cm para a menor dimensão) se faz com algumas premissas. Para simplificar, os pila-
res são calculados apenas à compressão centrada, situação não permitida pela NBR 
6118:2014. Dessa forma a carga total solicitante de cálculo deve atender à seguinte 
condição: 










 ss
c
ck
cscs
c
ck
cssccfd σ'ρ
1,4γ
0,85f
Aσ'Aρ
1,4γ
0,85f
Aσ'AfA1,4)N(γN )( (3.1) 
Onde: 
 fc = 0,85 fcd - é a tensão final de cálculo do concreto; 
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 ’s = 0,002x21000 = 42 kN/cm2 - tensão no aço CA 50, para s = 2‰; 
 s = As/Ac - taxa geométrica de armação (≤ 4% no traspasse). 
 
 Para o pré-dimensionamento da seção transversal dos pilares considerou-se 
uma taxa geométrica (s = 1%), bem menor que o máximo permitido, tendo em vista 
o acréscimo de armadura na situação real de dimensionamento (flexo-compressão e 
efeitos de 2a ordem). Foi considerado também concreto com resistência fck = 20 MPa 
(menor classe possível de concretos da NBR 6118:2014). Com isso, a área de con-
creto Ac pode ser estimada pela equação aproximada (3.1), com fc = 0,85x2 / 1,4 = 
1,214 kN/cm2, resultando: 
 
 )cm em Ae kN em (N NN0,86
1,17
N
0,01x421,214
1,4N
A 2cc 

 (3.2) 
 
 Com a equação (3.2) e a dimensão mínima de 20 cm foram determinadas as 
seções transversais dos pilares da última coluna da tabela 3.1. Para o pilar central P7, 
com carga aproximada de 960 kN, a dimensão maior deveria ser de 50 cm. No en-
tanto, no caso específico deste pilar, adotou-se a seção de 25/40 cm entre os níveis 
da fundação e o da primeira laje, fazendo-se a partir daí uma redução de 5 cm con-
forme indicado no desenho de fôrma 3.1. 
 
 Para todas as lajes adotou-se espessura constante de 10 cm. A situação ideal 
é apoiar as alvenarias de vedação diretamente sobre as vigas, o que delimitaria as 
lajes do pavimento tipo. Visando uma fôrma mais lisa, sem muitos recortes para as 
vigas, adotou-se apenas quatro lajes, conforme figura 3.1. Dessa forma apenas a laje 
L4 não suporta diretamente carga proveniente do peso das alvenarias. Salienta-se, 
no entanto, que este procedimento que simplifica e economiza a execução das lajes, 
deve ser cuidadosamente verificado quanto ao estado limite de utilização correspon-
dente à deformação plástica excessiva. Flechas grandes nas lajes podem produzir 
fissuras indesejáveis nas alvenarias nelas apoiadas. 
 
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 As espessuras das vigas foram obtidas a partir das espessuras das alvenarias. 
Assim, para as alvenarias externas de 20 cm, as vigas têm a largura de 15 cm e para 
as internas, com 15 cm, a largura é de 12 cm. Para as alvenarias da caixa da escada 
com espessura de 25 cm as vigas têm largura de 20 cm. As alturas h das vigas estão 
indicadas na figura 3.1. 
 
4 - Materiais e normas utilizadas 
 
 O concreto a ser utilizado em ambiente urbano deve ser no mínimo da classe 
C25, com resistência característica fck = 25 MPa. Esse é o concreto utilizado no pro-
jeto, produzido, para efeito de verificação de flechas, com brita calcário. Para esse 
concreto a resistência final a compressão deve ser: 
 
 fc = 0,85 fcd = 0,85x2,5 / 1,4 = 1,518 kN/cm2 
 
 Os aços utilizados no projeto são os da categoria CA 50 e CA 60, sendo este 
último apenas para lajes e estribos das vigas. As resistências e as deformações de 
cálculo ao escoamento para esses aços são dadas por: 
 
 CA 50 - fyd = fyk / 1,15 = 50 / 1,15 = 43,48 kN/cm2 ≈ 43,5 kN/cm2 
 - yd = fyd / Es = 43,48 / 21000 = 2,07 ‰ 
 
 CA 60 - fyd = fyk / 1,15 = 60 / 1,15 = 52,17 kN/cm2 ≈ 52,2 kN/cm2 
 - yd = fyd / Es = 52,17 / 21000 = 2,48 ‰ 
 
 As normas utilizadas para o desenvolvimento completo do projeto estrutural 
são: 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS –ABNT NBR 6118:2014 – 
Projeto de estruturas de concreto - Procedimento 
 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Projeto 
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ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS –ABNT NBR 6120:1980 – 
Versão corrigida de 2000 - Cargas para cálculo de estruturas de edificações – Pro-
cedimento 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT NBR 7480:1996 – 
Barras e fios de aço destinados a armadura para concreto armado – Especificação 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT NBR 12655:2006 – 
Concreto – Preparo, controle e recebimento – Procedimento 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT NBR 8681:2003 – 
Ações e segurança nas estruturas – Procedimento 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT NBR 6123:1988 – 
Versão corrigida 2:2013 - Forças devidas ao vento em edificações – Procedimento 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT NBR ISO 6892:2002 
– Materiais metálicos – Ensaio de tração à temperatura ambiente 
 
5 - Cálculo das lajes 
 
Para o cálculo das reações e momentos fletores (regime elástico) nas lajes são 
utilizadas as tabelas para lajes retangulares da apostila de Concreto I, transcritas nos 
anexos dessa apostila. 
 
5.1 - Cargas permanentes (g) 
 
As cargas permanentes que atuam nas lajes são o seu peso próprio, o revesti-
mento e eventualmente o peso das alvenarias. 
 
 g = pp + rev. + galv = 1x1x0,10x25 + 1,0 + galv = (3,5 + galv) kN/m2 
 
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A carga galv, devido às alvenarias (alv = 13 kN/m3), é considerada uniforme-
mente distribuída na área da laje considerada, mesmo no caso de lajes armadas em 
uma direção. O peso da alvenaria de espessura 15 cm e altura 2,80 m, por metro 
linear, é dado por: 
 
 galv/m = 1x0,15x2,80x13 = 5,46 kN/m 
 
5.2 - Cargas variáveis (q) 
 
As ações variáveis diretas (verticais) consideradas no projeto são constituídas 
pelas cargas acidentais previstas para o uso da construção, conforme a NBR 
6120:1980. 
 
Edifícios residenciais 
Dormitório, sala, copa, cozinha e banheiro q = 1,5 kN/m2 
Despensa, área de serviço e lavanderia q = 2,0 kN/m2 
Escadas 
Com acesso ao público q = 3,0 kN/m2 
Sem acesso ao público q = 2,5 kN/m2 
 
LAJE L1 
 
 
 Figura 5.1 – Reações e momentos da laje L1 
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Momento de serviço 
Ma,serv = Mg + 2 Mq = (g + 2q) a2 / ma = (5,24 + 0,3x1,50)x(3,125)2 / 22,6 
= 5,69x(3,125)2 / 22,6 = 2,46 kNm = 246 kNcm 
 
Momento de fissuração 
  kNcm 641x250,75x10f0,75h
6x10
h150f
M 2/32
2/3
ck
2
2
ctm
r  
 
Como Mserv < Mr a flecha é calculada no Estádio I (concreto não fissurado) com 
o auxílio da tabela 3.10 do anexo. Para laje tipo C com relação (b/a) = 1,4 o valor 
tabelado de f1 = 0,041. 
 
p = (1 + f) pi = (1 + f) (g+ 2 q) = 2,46 (g + 0,3 q) = 2,46g + 0,738q 
p = 2,46x5,24 + 0,738x1,50 = 14,00 kN/m2 = 14x10-4 kN/cm2 
 
 Para fck = 25 MPa (Grupo I) e concreto produzido com brita calcário (e = 0,9) 
o módulo elasticidade secante do concreto é dado por: 
 
MPa 21735x280000,8625x0,925x0,9x5600
80
25
0,20,8f5600E ckEics 






 
Ecs = 2173,5 kN/cm2 
 
A flecha é dada por: 
 
OK! cm 1,25
250
312,5
f cm 0,25
2173,5x10
x312,514x10
0,041
hE
ap
ff adm3
4-4
3
cs
4
1 

 
 
 
 
 
 
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LAJE L2 
 
 
 Figura 5.2 – Reações e momentos da laje L2 (alv. uniformemente distrib.) 
 
Momento de serviço 
 
Ma,serv = Mg + 2 Mq = (g + 2q) a2 / 14,22 = (6,80 + 0,3x1,81)x(3,125)2 / 14,22 
= 7,34x(3,125)2 / 14,22 = 5,04 kNm = 504 kNcm < Mr = 641 kNcm (Est. I) 
p = 2,46 g + 0,738 q = 2,46x6,80 + 0,738x1,81 = 18,06 kN/m2 
(Para faixa de 1m p = 18,06 kN/m = 0,181 kN/cm) 
 
A flecha no tempo infinito para uma viga apoiada-engastada é dada por: 
 
OK! cm 1,25
250
312,5
f cm 0,50
/12x100x10384x2173,5
2,52x0,181x31
384E
a2p
f adm3
4
cs
4
 
I
 
 
Obs.: 
1 - Como essa laje é armada em uma direção não interessa, para efeito do cálculo 
das reações e momentos, as condições de contorno dos lados menores (neste caso 
ambos engastados). Dessa forma os valores dos momentos calculados, positivo e 
negativo, ficam maiores e a favor da segurança. 
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14 
 
2 - Adotou-se carga de alvenaria uniformemente distribuída em toda a área da laje. 
Existem alternativas para o cálculo das reações, como por exemplo, dividir a área da 
laje em triângulos e trapézios, conforme a NBR 6118 e mostrado na figura 5.3. 
 
 
Figura 5.3 – Reações da laje L2 conforme NBR 6118 
 
 As dimensões dos triângulos e trapézios da figura 5.3 foram obtidas, adotando-
se conforme NBR 6118, ângulos de 45o, para vértices com os dois lados com mesmo 
tipo de apoio e de 60o, a partir do lado engastado, em vértices que tenham o outro 
lado simplesmente apoiado. 
 
Área A1 A1 = (3,125x1,98) / 2 = 3,10 m2 
 q = (1,5x0,7 + 2,0x2,4) / 3,10 = 1,89 kN/m2 
 galv = (1,69 + 0,41)x5,46 / 3,10 = 3,69 kN/m2 
 p = (3,50 + 3,69) + 1,89 = 9,08 kN/m2 
 Ra,A1 = (9,08x3,10) / 3,125 = 9,01 kN/m 
Área A2 A2 = A1 = 3,10 m2 
 q = (1,5x1,7 + 2,0x1,4) / 3,10 = 1,73 kN/m2 
 galv = (1,35 + 1,08)x5,46 / 3,10 = 4,28 kN/m2 
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15 
 
 p = (3,50 + 4,28) + 1,73 = 9,51 kN/m2 
 Ra,A2 = (9,51x3,10) / 3,125 = 9,43 kN/m 
Área A3 A3 = [(7,57 + 3,61) / 2] x 1,15 = 6,39 m2 
 q = [1,5x0,44 + 2,0x(6,39 - 0,44)] / 6,39 = 1,97 kN/m2 
 galv = (3,05 + 2x0,17 + 0,57 + 0,695)x5,46 / 6,39 = 3,98 kN/m2 
 p = (3,50 + 3,98) + 1,97 = 9,45 kN/m2 
 Rb,A3 = (9,45x6,39) / 7,565 = 7,98 kN/m 
Área A4 A4 = [(7,57 + 3,61) / 2] x 1,98 = 11,06 m2 
 q = [1,5x5,16 + 2,0x(11,06 - 5,16)] / 11,06 = 1,77 kN/m2 
 galv = (1,475 + 2x1,98)x5,46 / 11,06 = 2,68 kN/m2 
 p = (3,50 + 2,68) + 1,77 = 7,95 kN/m2 
 Rb,A4 = (7,95x11,06) / 7,565 = 11,62 kN/m 
 
 Observando as figuras 5.2 e 5.3 da laje L2 nota-se que, embora as reações nos 
lados sejam diferentes, isto não refletirá significativamente no cálculo futuro das rea-
ções nos pilares. O mesmo não acontecerá com a flexão das vigas em que essa laje 
se apoia (conforme visto no cálculo das vigas adiante). 
 
LAJE L3 
 
 
Figura 5.4 – Reações e momentos da laje L3 
 
O trecho de continuidade da laje L3 com a laje L4 é de 302,5 cm, que é maior 
que dois terços do lado “a” da laje L4 (0,67x407,5 = 272 cm). Nesse caso, pode-se 
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16 
 
considerar na prática, a laje L3 engastada em L4, sendo portanto uma laje retangular 
do tipo C. 
 
Momento de serviço 
Ma,serv = Mg + 2 Mq = (g + 2q) a2 / ma = (4,37 + 0,3x1,50)x(4,075)2 / 34,2 
= 4,82x(4,075)2 / 34,2 = 2,34 kNm = 234 kNcm < Mr = 641 kNcm (Est. I) 
 
p = 2,46 g + 0,738 q = 2,46x4,37 + 0,738x1,50 = 11,86 kN/m2 = 11,86x10-4 kN/cm2 
 
Para laje tipo C com relação (b/a) = 1,05 o valor tabelado de f1 = 0,027, ver 
tabela 3.10. 
 
OK! cm 1,63
250
407,5
f cm 0,41
2173,5x10
x407,511,86x10
0,027f adm3
4-4
 
 
LAJE L4 
 
Figura 5.5 – Reações e momentos da laje L5 
 
Momento de serviço 
Ma,serv = Mg + 2 Mq = (g + 2q) a2 / ma = (3,50 + 0,3x1,50)x(3,025)2 / 17,5 
= 3,95x(3,025)2 / 17,5 = 2,07 kNm = 207 kNcm < Mr = 553 kNcm (Est. I) 
 
p = 2,46 g + 0,738 q = 2,46x3,50 + 0,738x1,50 = 9,72 kN/m2 = 9,72x10-4 kN/cm2 
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17 
 
Para laje tipo C com relação (b/a) = 2,0 o valor tabelado de f1 = 0,055, ver tabela 
3.10. 
OK! cm 1,21
250
302,5
f cm 0,21
2173,5x10
x302,59,72x10
0,055f adm3
4-4
 
 
COMPENSAÇÃO DOS MOMENTOS 
 
 Na figura 5.1 estão indicados todas as reações e momentos das quatro lajes 
acima calculadas, sem nenhuma compensação. Como as lajes retangulares foram 
calculadas isoladamente, os momentos negativos nos lados contíguos de duas lajes 
são normalmente diferentes. Usualmente considera-se que o momento negativo final 
compensado é o maior entre os dois valores: a média aritmética dos dois momentos 
negativos das lajes isoladas ou 80% do valor máximo. Já a compensação do momento 
positivo de uma determinada laje só será considerada, a favor da segurança, quando 
provocar aumento no valor final do momento compensado. Normalmente esse acrés-
cimo é dado por 30% da diferença, maior que zero, entre os negativos inicial e com-
pensado. Caso essa diferença seja negativa, não se usa reduzir o momento positivo 
nessa direção. 
 
 
 Figura 5.6 – Representação das reações e momentos (não compensados) 
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18 
 
 
 
Figura 5.7 – Representação dos momentos finais compensados 
 
DIMENSIONAMENTO 
 
 Para os momentos finais compensados, com seção transversal de 100x10 e d 
= 7,5 cm, os valores dos parâmetros K e da armadura simples (normalmente não se 
usa armadura dupla em lajes) estão fornecidos abaixo, tanto para aço CA 50 (fyd = 
43,48 kN/cm2) quanto para o aço CA 60 (fyd = 52,17 kN/cm2). 
 
K K' 0,295 K 
6099
M(kNcm)
7,51,518x100x
4M(kNcm)x1,
bdf
M
K L22
c
d  
CA 50 
     '2K1126,18'2K11
43,48
7,51,518x100x
2K'11
f
bdf
AA
yd
c
s1s 
CA 60 
     '2K1121,82'2K11
52,17
7,51,518x100x
2K'11
f
bdf
AA
yd
c
s1s  
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19 
 
 A armadura mínima para lajes deve ser As,min = s Ac. A taxa geométrica s = 
min é a mesma para as vigas (tabela 2.7, apostila Concreto I), quando se tratar de 
momentos negativos em geral, e apenas para momentos positivos de lajes armadas 
em uma direção. Para momentos positivos em lajes armadas em duas direções As,min 
= 0,67s Ac. Para uma relação (d/h) = (7,5 / 10) = 0,75 a tabela 2.7 indica tantopara 
aço CA 50 quanto para CA 60 uma taxa mínima min = 0,15%. Assim: 
 
As,min = 0,15%x100x10 = 1,5 cm2/m Para X e M (armada em uma direção) 
As,min = 0,67x0,15%x100x10 = 1,0 cm2/m Para M (armada em duas direções) 
 
 O espaçamento máximo da armadura é o menor entre os dois valores: 2h e 20 
cm, portanto smax = 20 cm. 
 
 A armadura de distribuição da laje L2 deve ser maior que (1/5) As,princ.= 0,2x2,98 
= 0,60 cm2 (ver tabela 5.1*), não menor que As,dist. = 0,9 cm2/m e ter espaçamento 
máximo de 33 cm. Dessa forma resulta em 5 c/21 cm, posição N3 da figura 5.8. 
 
 
Tabela 5.1 - Dimensionamento das armaduras das lajes 
 
 
Momento (kNcm) K As (cm2/m) 
bitola a cada 
(c/) 
841 (X) 0,138 3,90 (CA 50) 8 c/12 
687 (X) 0,113 3,14 (CA 50) 8 c/16 
654* (M) 0,107 2,98* (CA 50) 8 c/16 
561 (X) 0,092 2,53 (CA 50) 6,3 c/12 
418 (X) 0,069 1,86 (CA 50) 6,3 c/16 
306 (M) 0,050 1,12 (CA 60) 5 c/17 
303 (M) 0,050 1,11 (CA 60) 5 c/17 
291 (M) 0,048 1,07 (CA 60) 5 c/18 
261 (M) 0,043 1,00* (CA 60) 5 c/19 
188 (M) 0,031 1,00* (CA 60) 5 c/19 
73 (M) 0,012 1,00* (CA 60) 5 c/19 
 
 
 
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20 
 
 
 
Figura 5.8 – Lajes do pavimento tipo - Armação positiva 
 
 
 
Figura 5.9 – Lajes do pavimento tipo - Armação negativa 
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21 
 
A posição N13 é armadura negativa de borda sem continuidade, que tem valor 
mínimo As,min = 0,67ρminAc = 0,10%x100x10 = 1,00 cm2/m 5 mm c/19 cm). Adotou-
se o comprimento reto da maior das quatro lajes (que são todas de borda) reto = 
0,15x407,5 + 15 – 2,5 = 73 cm. 
 
Tabelas 5.2 - Listas de ferros das lajes e resumo das armaduras 
 
LISTA DE FERROS 
(LAJES DO PAVIMENTO TIPO) 
N 
Quanti-
dade 
Com-
pri-
mento 
(cm) 
1 5 39x2=78 445 
2 5 24x2=48 320 
3 5 2x15=30 765 
4 8 38x2=76 320 
5 8 2x9=18 345 
6 5 25x2=50 415 
7 5 16x2=32 620 
8 5 32x2=64 310 
9 6,3 19x2=38 170 
10 8 90x2=180 220 
11 6,3 27x2=54 220 
12 6,3 16x1=16 115 
13 5 153x2=306 85 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O consumo total de aço é de 572 kg, para um volume de concreto de 15,3 m3, 
dando um consumo médio de Caço /m3 = 37,4 kg / m3, valor normal para lajes deste 
porte, com estrutura convencional. 
 
RESUMO 
AÇO CA 60 
 Comprimento 
(m) 
Peso 
(kg) 
5 1595 245 
 
TOTAL 245 
 
RESUMO 
AÇO CA 50 
 Comprimento 
(m) 
Peso 
(kg) 
6,3 202 50 
8 702 277 
TOTAL 327 
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22 
 
6 - Cálculo das vigas 
 
 De acordo o item 14.6.6 da NBR 6118, sobre as aproximações permitidas no 
cálculo de vigas, pode ser usado o modelo clássico de viga contínua, simplesmente 
apoiada nos pilares, para o estudo das cargas verticais, desde que se observem al-
gumas correções. Dentre elas o item ‘c’, descrito abaixo: 
 
“c) quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares 
com a viga, deve ser considerado, nos apoios extremos, momento fletor igual ao mo-
mento de engastamento perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas se-
guintes relações: 
- na viga 
viginfsup
infsup
rrr
rr


 
- no tramo superior do pilar 
viginfsup
sup
rrr
r

 
- no tramo inferior do pilar 
viginfsup
inf
rrr
r

 
sendo: ri = (Ii / i) 
onde ri é a rigidez do elemento i considerado, avaliada conforme indicado na figura 
14.8” (figura 6.1). 
 
 
Figura 6.1 – Aproximação em apoios extremos (Figura 14.8 da NBR 6118:2014) 
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23 
 
VIGA V1 - 15/50 
 
 A viga V1 é uma viga contínua com quatro vãos, que devido a sua simetria, 
será calculada apenas com dois vãos com o apoio em P3 engastado, conforme figura 
6.2. De acordo com as aproximações descritas acima, essa viga pode ser calculada 
como viga contínua (ver figura 6.2), desprezando-se a solidariedade com os apoios 
intermediários, desde que no apoio extremo (P1) sejam considerados os momentos 
parciais de engaste na viga e nos pilares (superior e inferior). 
 
CARGAS E DIAGRAMAS DE ESFORÇOS 
 
 peso próprio pp = 0,15x0,50x25 ≈ 1,88 kN/m 
 reações da alvenaria Ralv1 = 0,20x(2,95 - 0,5)x13 = 6,37 kN/m 
 Ralv2 = 0,15x1,20x13 = 2,34 kN/m 
 reações das lajes RL1 = 4,95 kN/m 
 RL2 = 10,09 kN/m 
 
 p1 = pp + Ralv1 + RL1 = 1,88 + 6,37 + 4,95 = 13,20 kN/m 
 p2 = pp + Ralv1 + RL2 = 1,88 + 6,37 + 10,09 = 18,34 kN/m 
 p3 = pp + Ralv2 + RL2 = 1,88 + 2,34 + 10,09 = 14,31 kN/m 
 
 O momento de engaste no apoio P1 da viga é Meng = (p2/12) = 13,20x4,402 / 
12 = 21,3 kNm. As rigidezes das vigas e dos pilares são dadas por: rvig = (vig /vig) = 
(15x503/12) / 440 = 355,1 cm3 e rsup = rinf = (sup,inf /sup,inf) = (20x203/12) / 295 = 45,2 
cm3. Dessa forma os momentos parciais são dados por: 
 
kNm 4,3
355,145,2x2
45,2x2
21,3
rrr
rr
MM
viginfsup
infsup
engvig 





 
 
kNm 2,2
2
4,3
355,145,2x2
45,2
21,3
rrr
r
MMM
viginfsup
infsup,
enginfsup 



 
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24 
 
 Na figura 6.2 indicou-se, em destaque, apenas o momento na viga (Mvig = 4,3 
kNm). Como os pilares, superior e inferior, têm a mesma rigidez os momentos nos 
mesmos são iguais e dados por: Msup = Minf = (4,3 / 2) = 2,2 kNm. 
 
 
 
Figura 6.2 – Viga V1 contínua 
 
 A viga V1 foi também calculada, segundo o modelo de pórtico plano da figura 
6.3, onde apenas foi acrescentado o pilar P1, com suas barras verticais correspon-
dentes aos vãos superior e inferior. 
 
Na figura 6.4 repetiu-se o modelo mais simplificado de pórtico plano da figura 
6.3, acrescentando-se também as barras verticais do pilar P2. 
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25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.3 – Viga V1 contínua, com os pilares no apoio extremo 
 
 
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26 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.4 – Viga V1 inserida no modelo de pórtico plano 
 
 
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27 
 
Pelos modelos representados nas figuras 6.2, 6.3 e 6.4 nota-se que os valores 
dos momentos na viga, são bem próximos. Nos modelos das figuras 6.2 e 6.3 como 
não foi considerada a influência dos pilares internos, pela NBR 6118, não se deve 
admitir momento positivo menor que o correspondente à condição de engaste perfeito 
dos apoios. Dessa forma no primeiro vão da viga da figura 6.2 o momento positivo 
deve ser no mínimo M = (13,20x4,402) / 14,22 = 18,0 kNm, maior que o obtido M = 
11,1 kNm. Já considerando o modelo da figura 6.3, o momento no mesmo vão deve 
ser M = (13,20x4,402) / 24 = 10,6 kNm, também maior que o encontrado M = 8,0 kNm. 
Os valores dos momentos finais positivos, no primeiro vão, dessas duas figuras estãoindicados entre parênteses com asterisco (*). 
 
No segundo vão o valor do momento, pelo mesmo critério da NBR 6118, deve 
ser M = 32,9 kN, menor que os valores encontrados nos três modelos. No segundo 
vão portanto, o valor do momento positivo adotado é o mesmo obtido em cada modelo 
analisado. 
 
Salienta-se que se o modelo adotado fosse o de um pórtico plano, com todos 
os pilares, os momentos encontrados na análise seriam os adotados no dimensiona-
mento, mesmo sendo menores que aqueles correspondentes aos momentos positivos 
da condição de engaste perfeito, como o apresentado na figura 6.4. 
 
Para efeito desta apostila, tanto nesta quanto nas demais vigas, o modelo ado-
tado será o correspondente ao da figura 6.2. Os dimensionamentos e detalhamentos 
para força cortante e momentos fletores são para os valores dos diagramas do modelo 
de viga contínua dessa figura. 
 
 
 
 
 
 
 
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28 
 
DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS PARA FLEXÃO SIMPLES 
 
 Seção 15/50 cm2, d = 46 cm, (d/h) = 0,90  As,min = 0,15%Ac = 1,13 cm2 
 
X = 77,5 kNm = 7750 kNcm 
 
K K' 0,295 K 0,225
61,518x15x4
7750x1,4
bdf
M
K L22
c
d  
 
    22
yd
c
s1s cm 1,13 cm 6,232x0,22511
43,48
61,518x15x4
2K'11
f
bdf
AA  
 
 Adotar 4 16 mm (Ase = 4x2,011 = 8,04 cm2) 
 
 
Verificação da fissuração 
 
 Considerando obra urbana (k = 0,3 mm), valor da tensão em serviço (si) da 
armadura tracionada calculada de forma aproximada (Tepedino) e adotando-se o me-
nor valor para f =1,4 (sabe-se que esse valor em serviço é sempre maior que 1,4) 
tem-se para aço CA 50: 
35
kf
5
w,16 2,804x10
1,4x0,3
16
107,361
W
107,361a  
γ

 
Pela primeira das equações da NBR 6118 para verificação do estado limite de 
abertura de fissuras obtém-se, com fctm = 0,3 (fck)2/3 = 2,56 MPa = 0,26 kN/cm2: 
 
 1,0
1,4x0,26
x43,483x2,804x10
f
f3a
A
A 3
ctmf
ydw
cals,
se 

γ
 
 
 Como a relação acima deu 1,0 significa que a armadura calculada é igual a 
armadura necessária ou existente (As,cal = As,e), para garantir abertura estimada má-
xima de fissura igual a k = 0,3 mm. Portanto, não será necessário verificar pela se-
gunda equação da NBR 6118. A armadura adotada no cálculo à flexão atende também 
a fissuração (Ase = 8,04 cm2). 
 
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29 
 
 
 X = 52,5 kNm = 5250 kNcm 
 
 
K = 0,153 < KL = 0,295 As = As1 = 4,01 cm2 > 1,13 cm2 
 Adotar 2 16 mm (Ase = 4,02 cm2) 
 
 Como no caso anterior (mesma bitola, abertura de fissura e coeficiente f), a 
fissuração também está atendida. 
 
 
M = 38,0 kNm = 3800 kNcm > 32,9 kNm 
 
 
K = 0,110 < KL = 0,295 As = As1 = 2,82 cm2 > 1,13 cm2 
 Adotar 3 12,5 mm (Ase = 3,68 cm2) 
 
 Como a bitola adotada diminuiu (16 mm para 12,5 mm) e os outros dados per-
maneceram iguais, automaticamente a fissuração está atendida. 
 
 
 M = 18* kNm = 1800* kNcm > 11,1 kNm (*) valor adotado 
 
 
K = 0,052 < KL = 0,295 As = As1 = 1,29 cm2 > 1,13 cm2 
 Adotar 2 10 mm (Ase = 1,57 cm2) 
 
 
X = 4,3 kNm = 430 kNcm Momento na viga sobre o pilar extremo 
 
 
K = 0,012 < KL = 0,295 As = As1 = 0,30 cm2 < As,min = 1,13 cm2 
 Adotar 2 10 mm (Ase = 1,57 cm2) 
 
DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS PARA FORÇA CORTANTE 
 
 Para fck = 25 MPa a taxa mínima da armadura de cisalhamento, conforme tabela 
5.1 da apostila Concreto I, é w,min = 0,103. O valor da tensão máxima convencional 
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30 
 
de cisalhamento é wd2 = 0,434 kN/cm2, conforme tabela 5.2 da mesma apostila. O 
valor da tensão convencional produzida pelos mecanismos complementares ao mo-
delo de treliça, utilizando o Modelo I da NBR 6118, é c0 = 0,0769 kN/cm2, conforme 
tabela 5.3. Segundo tabela 5.4, wd,min = 0,117 kN/cm2. 
 
Verificação do esmagamento diagonal do concreto 
 
Vmax = 61,8 kN Vmax,face = 61,8 - 0,15x18,34 = 59,05 kN 
 
OK! Concreto kN/cm 0,434 kN/cm 0,120
15x46
59,05x1,4
db
V 2
wd,2
2
w
maxd,
maxwd, 
 
Como o concreto foi verificado para o maior valor do cortante, os demais estão 
automaticamente verificados. Para esses, basta apenas calcular as armaduras de ci-
salhamento. 
 
Cálculo da armadura de cisalhamento 
 
V = 61,8 kN 
0,103ρ 0,111
39,15
0,07690,120
100
39,15
 100ρ minw,
c0wd
w 



 
Asw = wbw = 0,111x15 = 1,67 cm2/m 
 
Considerando estribo simples (dois ramos)  (Asw/2) = 0,83 cm2/m 
Adotando estribo  = 5mm (0,196 cm2)  5 c/23 cm 
(wd/wd2) = (0,120 / 0,434) = 0,28 < 0,67  smax = 0,6 d = 27 cm < 30 cm OK! 
 
V = 54,3 kN (segundo maior valor da força cortante) 
 
2
minwd,
2
facewd, kN/cm 0,117 kN/cm 0,105
15x46
)x1,40,15x18,34-(54,3
 
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31 
 
Asw = Asw,min =w,minbw = 0,103x15 = 1,55 cm2/m 
 
Considerando estribo simples (dois ramos)  (Asw/2) = 0,77 cm2/m 
Adotando estribo  = 5mm (0,196 cm2)  5 c/25 cm < 27 cm OK! 
 
Para as demais forças cortantes, menores que V = 54,3 kN, deve ser usada a 
armadura mínima. 
 
A armadura de cisalhamento em todo o vão “a” da V1 é mínima. No vão “b” 
apenas do lado direito a armadura calculada supera a mínima. 
 
Segundo a tabela 5.4, da apostila Concreto I, o valor da tensão convencional 
mínima de cisalhamento, abaixo da qual as forças de tração oriundas do cisalhamento 
são absorvidas com o estribo mínimo, é dada por wd,min = 0,117 kN/cm2, que resulta 
no valor da força cortante mínima: 
 
57,7kN
1,4
715x46x0,11
 V kN/cm 0,117
15x46
x1,4V
min
2min
minwd,  
 
 Esse valor (Vmin = 57,7 kN) ocorre a (0,22 m) antes do eixo do pilar P3. Em toda 
a viga, só nesse trecho de 22 cm o estribo é maior que o mínimo. Como 22 cm é 
menor que [(c + d) /2] = (30 + 46) /2 = 38 cm, ponto do diagrama de V correspondente 
ao VRed, pode-se ter estribo mínimo em toda a viga. 
 
 Conforme a NBR 6118 que permite, apenas para o cálculo da armadura de 
cisalhamento, reduzir a força cortante no apoio e confirmando o escrito acima, obtém-
se para o pilar P3, VRed = Veixo - 0,5(c + d)p = 61,8 - 0,5x(0,30 + 0,46)x18,34 = 54,8 kN 
< Vmin = 57,7 kN. Isto implica que, considerando a redução permitida pela norma NBR 
6118, toda a viga será armada com o estribo mínimo. 
 
 
 
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32 
 
VERIFICAÇÃO DA FLECHA 
 
 A flecha imediata máxima considerando o carregamento mostrado na figura 6.2 
e seção plena de concreto (15/50) ocorre no segundo vão e seu valor é de 0,44 cm 
(valor obtido no programa FTOOL). Esse valor é bem menor que o valor admissível 
pela NBR 6118 que é de fadm = ( / 250) = 747,5 / 250 = 2,99 cm. 
 
A flecha inicial calculada tem seu valor reduzido quando se usa, como no caso 
da verificação de flechas, a carga de serviço. Por outro lado, essa flecha é ampliada 
quando se leva em conta a seção fissurada (diminuição da rigidez à flexão) e a parcela 
diferida no tempo (f fi). Mesmo assim, a flecha inicial de 0,44 cm não deve chegar ao 
limite permitido de 2,99 cm. 
 
Apenas para efeito de uma verificação simples será avaliada a flecha final, no 
tempoinfinito, levando-se em conta o efeito da deformação lenta, f = 2,46 fi = 
2,46x0,44 = 1,08 cm. Considerando que a inércia da seção fissurada seja 40% da 
inércia da seção bruta de concreto (0,4 Ic <III < 0,6 Ic) a flecha final pode ser estimada 
em f = 1,08x2,5 = 2,71 cm < fadm = 2,99 cm. Nota-se que nessa avaliação simples foi 
considerada a flecha imediata nominal, obtida com as cargas de projeto. 
 
Na avaliação acima foi considerada uma flecha final obtida pela majoração da 
flecha imediata (com as cargas de projeto) pelo valor (2,46x2,5 = 6,15), que em con-
dições normais é exagerado, uma vez que a flecha de serviço é menor que a imediata, 
fi = (fg + fq) < fserv = (fg + 2fq). Evitou-se fazer o cálculo considerando-se a rigidez 
efetiva (momento de inércia em todas as seções do material composto, aço-concreto) 
ou conforme o permitido pela NBR 6118, pela rigidez equivalente de Branson (mo-
mento de inércia ponderada em cada vão), porque ainda não se tem o detalhamento 
definitivo da viga. 
 
 
 
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33 
 
DETALHAMENTO 
 
De acordo com a equação (5.34b) da apostila Concreto I, para estribos verticais 
( = 90o) a menor relação (a / d), em toda a viga, ocorre onde se tem Vmax = 61,8 kN, 
resultando uma tensão convencional de cisalhamento máxima wd,max = [61,8x1,4 / 
(15x46)] = 0,125 kN/cm2 < 2 c0 = 2x0,0769 = 0,154 kN/vm2. Quando isso ocorre, Vd,max 
< 2 Vc0, a relação (a / d) > 1. Portanto para esse valor da força cortante e para os 
demais, que são menores, a relação deve ser igual a 1, ou seja, a = d = 46 cm em 
toda a viga V1. 
 
 Valores dos comprimentos de ancoragem e das barras 
 
 Segundo a equação (6.5) da apostila Concreto I, o comprimento de ancoragem 
necessário é dado por minb,
se
s,cal
bnecb,
A
A
 α   , onde pela tabela 6.3 para fck = 25 
MPa, o comprimento de ancoragem básico para região de boa aderência é dado por 
b = 37,67 O coeficiente “” vale “1” para barras ancoradas sem gancho e “0,7” para 
barras ancoradas com gancho. Em uma região de má aderência esse comprimento 
de ancoragem é dado por b,nec,Má = [(b,nec,Boa) / 0,7]. Dessa forma calculam-se os 
comprimentos de ancoragens dos momentos negativos (má aderência) e positivos 
(boa aderência). Adicionalmente o comprimento de ancoragem necessário deve ser 
maior que o mínimo de norma (maior dos três valores, 0,3b, 10ou 10 cm). 
 
X = 77,5 kNm (má aderência) 
As,cal = 6,23 cm2 As,e = 8,04 cm2 (4  16 mm) 
 b,nec = 1,0x[(37,67x1,6) / 0,7]x(6,23 / 8,04) = 86x0,77 = 67* cm > b,min = 26* cm 
 (b,min é o maior entre 0,3x37,67x1,6 / 0,7 = 26* cm, 10x1,6 = 16 cm ou 10 cm cm) 
 
As posições N4 e N5 da figura 6.5 tem os seguintes comprimentos: 
N4 = 2x(166 + a + b,nec) = 2x(166 + 46 + 67) ≈ 2x280 = 560 cm 
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34 
 
N5 = 2x(166/2 + a + b,nec) = 2x(83 + 46 + 67) = 2x200 = 400 cm 
 
X = 52,5 kNm (má aderência) 
As,cal = 4,01 cm2 As,e = 4,02 cm2 (2  16 mm) 
 b,nec = 1,0x[(37,67x1,6) / 0,7]x(4,01 / 4,03) ≈ 86* cm > b,min = 26 cm 
 
N2 = 181+ 121 + 2x(a + b,nec) = 302 + 2x(46 + 86) = 566 ≈ 565 cm 
(começando a 181 + 46 + 86 ≈ 310 cm do eixo do P2) 
 
M = 38,0 kNm (boa aderência) 
As,cal = 2,82 cm2 As,e = 3,68 cm2 (3  12,5 mm) 
b,nec = 1,0x(37,67x1,25) (2,82 / 3,68) = 47x0,77 ≈ 36* cm > b,min = 14 cm 
 
No segundo vão, os pontos de momento nulo do diagrama de momentos, estão 
a 121 cm do pilar P2 e a 166 cm do P3. A partir desses pontos, deve-se deslocar no 
sentido mais desfavorável (sentido dos pilares) os valores a= 46 cm e b,nec = 36 cm, 
resultando (46 + 36) = 82 < 121 cm. Isto significa que se as barras fossem apenas 
estendidas de 82 cm para cada lado, atendendo ao diagrama deslocado de momento, 
não entrariam nos apoios P2 e P3, o que não é permitido pela NBR 6118. 
 
Em apoios extremos e intermediários, segundo a NBR 6118, deve-se prolongar 
uma parte da armadura de tração do vão (As,vão), correspondente ao máximo momento 
positivo do tramo de modo que: As,apoio ≥ (1/4) As,vão, para apoios intermediários e 
As,apoio ≥ (1/3) As,vão, para apoios extremos, respeitando o mínimo de duas barras. 
Além disto, as barras das armaduras devem ser ancoradas a partir da face do apoio, 
com comprimentos iguais ou superiores ao maior dos seguintes valores: b,nec con-
forme equação (6.5); (r + 5,5 ), onde r é o raio de curvatura dos ganchos, conforme 
tabela 6.2; ou 60 mm. Em apoios intermediários, quando não houver a possibilidade 
de ocorrer momento positivo, o comprimento de ancoragem sobre o apoio pode ser 
de 10, que é o caso dos apoios P2 e P3. 
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35 
 
 Foram adotadas 3 12,5 mm para combater M = 38 kNm do vão 2, portanto 
deve-se prolongar no mínimo duas dessas barras até os apoios. 
 
N8 = 717,5 + 2x(10) = 717,5 + 2x(10x1,25) = 742,5 cm, N8,adot = 750 cm 
N7 = 717,5 + 2x30 = 657,5 cm, N7,adot = 655 cm 
 
M = 18,0* kNm (boa aderência) 
As,cal = 1,29 cm2 As,e = 1,57 cm2 (2  10 mm) 
 b,nec = 1,0x(37,67x1,0)x(1,29 / 1,57) ≈ 31* cm > b,min = 11 cm 
 
 O comprimento de ancoragem acima se refere ao vão. No apoio da esquerda 
o comprimento necessário de ancoragem é obtido a partir da armadura de tração cal-
culada no apoio, conforme equação (7.3): 
 
 2
yd
apoioSd,apoio
cals, cm 0,5543,5
17,1x1,4
1
f
V
d
a
A   
 b,nec = 1,0x(37,67x1,0)x(0,55 / 1,57) ≈ 13 cm > b,min = 11 cm 
 
 Isto implica que a largura de 20 cm do P1 é suficiente para ancorar, sem gan-
cho, as duas bitolas de 10 mm do vão 1 no pilar P1. 
 
X = 4,3 kNm (má aderência) 
As,cal = 0,30 cm2 As,e = 1,57 cm2 (2  10 mm) 
 b,nec = 1,0x[(37,67x1,0) / 0,7]x(0,30 / 1,57) ≈ 10 cm < b,min = 11 / 0,7 = 16* cm 
 
Estribo 
 
 Para obra urbana (CAA II) o cobrimento mínimo para vigas e pilares é de 30 
mm, quando a tolerância de execução c = 10 mm. Segundo a NBR 6118 “Quando 
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36 
 
houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabili-
dade das medidas durante a execução pode ser adotado o valor Δc = 5 mm, mas a 
exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. Permite-
se, então, a redução dos cobrimentos nominais prescritos na tabela 7.2 em 5 mm.” 
 
 Dessa forma, o cobrimento adotado no projeto para vigas e pilares é de 2,5 cm. 
Para estribos com ganchos fazendo ângulo de 90o o valor da parte reta do gancho 
vale 10, não menor que 7 cm. Portanto, o comprimento do estribo com  = 5 mm é 
dado por: 
 
N9 = 2x[(15 - 2c) + (50 - 2c)] + 2x7 = 2x[(15 - 5) + (50 - 5)] + 14 = 124 ≈ 125 cm 
 
 
 
Figura 6.5 – Detalhamento da Viga V1 
 
VIGA V2 - 12/50 
 
CARGAS E DIAGRAMAS DE ESFORÇOS 
 
 peso próprio pp = 0,12x0,50 x 25 = 1,50 kN/m 
 reações da alvenaria Ralv = 0,15x(2,95 - 0,5)x13 = 4,78 kN/m 
 reações das lajes RL1 + RL3 = 8,59 + 7,94 = 16,53 kN/m 
 RL2 + RL4 = 16,82 + 7,18 = 24,00 kN/m 
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37 
 
 p1 = pp + RL1 + RL3 = 1,50 + 16,53 = 18,03 kN/m 
 p2 = pp + RL1 + RL3 + Ralv = 1,50 + 16,53 + 4,78 = 22,81 kN/m 
 p3 = pp + RL2 + RL4 + Ralv = 1,50 + 24,00 + 4,78 = 30,28 kN/mFigura 6.6 – Viga V2 contínua 
 
Momentos de engaste perfeito P6 Meng = 30,0 kNm 
 P8 Meng = 30,28x6,052 / 12 = 92,4 kNm 
 
 
 
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38 
 
Momentos nas extremidades da viga 
 
P6 rsup = rinf = (20x203/12) / 295 = 45,2 cm3 rvig = (12x503) / 437,5 = 295,7 cm3 
 Mvig = 30,0x[2x45,2 / (2x45,2+295,7)] = 7,0 kNm 
 Msup = Minf = 7,0 / 2 = 3,5 kNm 
 
P8 rsup = rinf = (35x203/12) / 295 = 79,1 cm3 rvig = (12x503) / 437,5 = 295,7 cm3 
 Mvig = 92,4x[2x79,1 / (2x79,1+295,7)] = 32,2 kNm 
 Msup = Minf = 32,2 / 2 = 16,1 kNm 
 
DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS PARA FLEXÃO SIMPLES 
 
 Seção 12/50 cm2, d = 46 cm, (d/h) = 0,90  As,min = 0,15%Ac = 0,90 cm2 
 
 
X = 99,6 kNm = 9960 kNcm 
 
K = 0,362 > KL = 0,295  K’ = KL 
    2
yd
c
s1 cm 6,9319,3x0,362x0,29511
43,48
61,518x12x4
2K'11
f
bdf
A  
 
2
yd
c
s2 cm 1,41
4/461
0,2950,362
43,48
61,518x12x4
dd'1
K'K
f
bdf
A 





 
 
As = As1 + As2 = 6,93 + 1,41 = 8,34 cm2 
(d´/d) = 4 / 46 = 0,087 < 0,184   = 1 A’s = As2 /  = 1,41 cm2 
 
Para As = 8,34 cm2, adotar 5 16 mm (2 na 1a, 2 na 2a e 1 na 3a camada) 
(Ase = 10,06 cm2) 
 Para c = 2,5 cm, t = 5 mm o novo d’’ = (2x3,8 + 2x7,4 + 1x11,0) / 5 = 6,68 cm 
 dreal = 50 - 6,68 ≈ 43 cm < dadot = 46 cm 
Kd=43 = 0,414 > KL = 0,295, As1 = 6,48 cm2, As2 = 2,36 cm2 
As = 8,84 cm2 (OK!) 
A’s = 2,36 cm2, adotar 2 12,5 mm (Ase = 2,45 cm2) 
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39 
 
Obs.: Para evitar armadura tracionada em três camadas pode-se ter as seguintes 
alternativas: 
 Escolher 2 20 mm na 1a camada e 216 mm na 2a, resultando As,e = 10,31 
cm2 e d” = 5,5 cm, d = 44,5, As = 8,58 cm2 , A’s = 1,87 cm2 (alternativa escolhida, 
embora 20 mm não seja uma bitola comum em vigas de edifícios desse porte). 
 Aumentar a largura da viga para 15 cm, maior que a espessura dos tijolos das 
paredes internas. Para seção 15x50, d = 45 cm resulta As = 8,67 cm2 (3 16 
mm na 1a e 2 16 mm na 2a camada), A’s = 0,19 cm2. 
 Manter a mesma largura e aumentar a altura para 55 cm. Para seção 12x55, d 
= 50 cm resulta As = 7,79 cm2 (2 16 mm na 1a e 216 mm na 2a camada), A’s 
= 0,25 cm2. 
 
Verificação da fissuração 
 
35
kf
5
w 3,505x10
1,4x0,3
20
107,361
W
107,361a  


γ
 
 
1a equação 
 1,12
1,4x0,26
x43,483x3,505x10
f
f3a
A
A 3
ctmf
ydw
cals,
se 

γ
 
 
2a equação 22,5 aw = 0,079, Acr = 12x(2,5+0,5+2+2+0,8+7,5x1,6) = 12x19,8 = 237,6 
cm2, calr,ρ = 8,84 / 237,8 = 0,0372 
  0,70
0,0372
4x3,505x10
0,0790,079
ρ
4a
22,5a22,5a
A
A 32
calr,
w2
ww
cals,
se 

 
 
 Portanto Ase = As,cal = 8,84 cm2 (2 20 mm na 1a e 2 16 mm na 2a camada). 
 
 
 M = 93,2 kNm = 9320 kNcm 
 
 Supondo armadura em duas camadas adotar d = 44 cm 
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40 
 
K = 0,370 > KL = 0,295  K’ = KL 
As1 = 6,63 cm2 As2 = 1,52 cm2 As = 8,15 cm2 (4 16 mm, Ase = 8,04 cm2) 
A’s = 1,52 cm2 (2 10 mm, A’se = 1,57 cm2) 
 
 Como a mesa está comprimida pode-se calcular a armadura de flexão consi-
derando viga de seção T. A distância entre pontos de momentos nulos do diagrama 
de momentos (M) pode ser obtida de forma simplificada por a = (0,75 )= 0,75x605 = 
454 cm, ou alternativamente de forma direta no diagrama (figura 6.6), resultando a 
distância a = (605 – 109) = 496 cm, valor a ser adotado. 
 
bw = 12 cm, bf = bw + bm,esq + bm,dir, hf = 10 cm, onde: 
 
 0,10 a = 0,10 x 496 ≈ 50* cm 0,10 a = 0,10 x 496 ≈ 50* cm 
bm,dir ≤ bm,esq ≤ 
 b2,dir / 2 = 279 / 2 ≈ 140 cm b2,esq / 2 = 289 / 2 ≈ 145 cm 
 bf = 12 + 2x50 = 112 cm 
 
 MRef = fc bf hf (d - hf / 2) = 1,518x112x10x(46 - 10/2) = 69701 kNcm 
 
 
 Como o momento de referência MRef é maior que o momento solicitante de cál-
culo Md = 9320x1,4 = 13048 kNcm, para efeito do cálculo da armadura de flexão, a 
seção pode ser considerada como uma seção retangular bf xh = 112x50. 
 
K K' 0,295 K 0,040
441,518x112x
13048
dbf
M
K L22
fc
d
112x50  
 
  0,  s2s1s A'cm 6,962x0,04011
43,5
441,518x112x
AA 
 
 Adotar 4 16 mm (2 camadas, armadura simples) - (Ase = 4x2,011 = 8,04 cm2) 
 
 
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41 
 
 
 M = 25,2 kNm = 2520 kNcm 
 
K = 0,092 < KL = 0,295  K’ = K 
As = As1 = 1,85 cm2 > As,min = 0,90 cm2 A’s = 0 
 Adotar 2 12,5 mm, armadura simples (Ase = 2x1,227 = 2,45 cm2) 
 
 
 Mvig = 7,0 kNm = 700 kNcm 
 
K = 0,025 < KL = 0,295  K’ = K 
As = As1 = 0,50 cm2 < As,min = 0,9* cm2 A’s = 0 
 Adotar 2 8 mm, armadura simples (Ase = 2x0,503 = 1,01 cm2) 
 
 
 Mvig = 32,2 kNm = 3220 kNcm 
 
K = 0,117 < KL = 0,295  K’ = K 
As = As1 = 2,40 cm2 > As,min = 0,90 cm2 A’s = 0 
 Adotar 2 12,5 mm, armadura simples (Ase = 2x1,227 = 2,45 cm2) 
 
 
DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS PARA FORÇA CORTANTE 
 
Vmax = 108,1 kN Vmax,face = 108,1 - 0,125x30,28 = 104,3 kN 
 
OK! Concreto kN/cm 0,434 kN/cm 0,265
12x46
104,3x1,4
db
V 2
wd,2
2
w
maxd,
maxwd,  
0,103 0,479
39,15
0,07690,265
100 minw,w 

 , (wd/wd2) = 0,61  smax = 27 cm 
 
Asw = wbw = 0,479x12 = 5,75 cm2/m 
 
Considerando estribo simples (dois ramos)  (Asw/2) = 2,88 cm2/m 
Adotando estribo  = 6,3mm (0,312 cm2)  6,3 c/10 cm 
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42 
 
V = 75,1 kN Vface = 75,1 - 0,10x30,28 = 72,1 kN 
wd = 0,183 kN/cm2 w = 0,270 > w,min = 0,103 
 
Asw = wbw = 0,270x12 = 3,25 cm2/m (wd/wd2) = 0,42  smax = 27 cm 
 
Considerando estribo simples (dois ramos)  (Asw/2) = 1,62 cm2/m 
Adotando estribo  = 5 mm (0,196 cm2)  5 c/12 cm 
 
V = 64,2 kN Vface = 64,2 - 0,125x18,03 = 61,9 kN 
 
wd = 0,157 kN/cm2 w = 0,205 > w,min = 0,103 
 
Asw = wbw = 0,205x12 = 2,46 cm2/m (wd/wd2) = 0,36  smax = 27 cm 
 
Considerando estribo simples (dois ramos)  (Asw/2) = 1,23 cm2/m 
Adotando estribo  = 5 mm (0,196 cm2)  5 c/15 cm 
 
V = 17,9 kN Vface = 17,9 - 0,10x18,03 = 16,1 kN 
 
wd = 0,041 kN/cm2 < wd,min = 0,117 kN/cm2  w = w,min = 0,103 
 
Asw = Asw,min = 0,103x12 = 1,24 cm2/m (wd/wd2) < 0,67  smax = 27 cm 
 
Considerando estribo simples (dois ramos)  (Asw/2) = 0,62 cm2/m 
Adotando estribo  = 5 mm (0,196 cm2)  5 c/27* cm 
 
 A partir do valor do wd,min determina-se o valor da força cortante mínima abaixo 
da qual se usa estribo mínimo: 46,1kN
1,4
712x46x0,11
Vmin  . Marcando-se esse 
valor no diagrama de V (figura 6.6), divide-se o mesmo em trechos onde se usa o 
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43 
 
estribo mínimo e nos demais trechos, os estribos já calculados. Dessa forma a distri-
buição dos estribos em toda a viga fica: 
 
 Vão “a” 1o trecho (de P6 a 1,00 m antes de P7)  5 c/25 cm 
 2o trecho (1,00 m à esquerda de P7)  5 c/15 cm 
 
 Vão “b” 1o trecho (2,05 m à direita de P7)  6,3 c/10 cm 
 2o trecho (do 1o trecho a 0,96m de P8)  5 c/25 cm 
 3o trecho(0,96 m à esquerda de P7)  5 c/10 cm 
 
VERIFICAÇÃO DA FLECHA 
 
 A flecha máxima considerando o carregamento (nominal) mostrado na figura 
6.6 e seção plena de concreto (12/50) ocorre no segundo vão e seu valor é de 1,11 
cm (valor obtido no programa FTOOL). Esse valor será corrigido para levar em conta 
cargas de serviço, seção fissurada e a parcela diferida no tempo devida a deformação 
lenta. 
 
 Como a viga foi analisada apenas com a hipótese de carga total, sem separá-
la em parcela permanente (g) e acidental (q), considerou-se que a parcela permanente 
da carga seja 80% da carga total e que a parcela acidental seja 20%. Assim a flecha 
inicial e o momento em serviço devem ser: 
 
 fi,serv = fg,serv + 2 fq,serv = 0,8x1,11 + 0,3x(0,2x1,11) = 0,95 cm 
 
 Mserv = Mg,serv + 2 Mq,serv = 0,8x93,2 + 0,3x(0,2x93,2) = 80,2 kNm 
 
 Para seção retangular e concreto do grupo I, o momento de fissuração é dado, 
em kNcm, por: Mr = 0,0075 b h2 (fck)2/3 = 0,0075x12x502x(25)2/3 = 1924 kNcm = 19,2 
kNm. Como esse valor é menor que o momento de serviço Mserv = 80,2 kNm, a flecha 
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44 
 
da viga no segundo vão deve ser avaliada considerando-se a seção fissurada, ou seja, 
Estádio II. 
 
 No trecho de momento positivo, onde ocorre a flecha máxima do segundo vão, 
a armadura de flexão calculada é de (4 16 mm = As = 8,04 cm2, tração), com d = 44 
cm. A armadura de compressão A’s = 0. Como no detalhamento deve ser prolongado 
os 2 12,5 mm, calculados para Mvig = 32,2 kNm, a armadura de compressão existente 
será A’s = 2,45 cm2, com d’≈ 4 cm. Com esses dados calcula-se o momento de inércia 
da seção fissurada III. 
 
 n = Es / Ec = 21000 / 2173,5 = 9,66 n’ = n - 1 = 8,66 
 Ic = 12x503 / 12 = 125000 cm4 
 A = (nAs + n’A’s) / b = (9,66x8,04 + 8,66x2,45) / 12 = 8,24 
 B = 2(dnAs + d’n’A’s) / b = 2x(44x9,66x8,04 + 4x8,66x2,45) / 12 = 583,70 
 
 xII = - A + (A2 + B)1/2 = - 8,24 + (8,242 + 583,70)1/2 = 17,29 cm 
 
 III = bx3/3 + nAs(d-xII)2 + n’A’s(xII-d’)2 = 79831 cm4 
 
 A rigidez equivalente de Branson leva em conta trechos com rigidez da seção 
bruta (Estádio I) e trechos com rigidez da seção fissurada (Estádio II). O valor da rigi-
dez equivalente de Branson, com (Mr / Mserv) = (19,2 / 80,2) = 0,239, é dado por: 
 
EIeq = Ecs[0,2393Ic + (1 – 0,2393)III = Ecs(0,0137x125000 + 0,986x79831) = Ecs(80448) 
 
 Quando a relação (Mr / Mserv) ≤ 0,5, o momento de inércia da rigidez equivalente 
de Branson fica praticamente igual ao da seção fissurada, como visto na equação 
acima. 
 
 A flecha final corrigida, no tempo infinito, pode ser dada por: 
 
f = 2,46 fi (Ic/Ieq) = 2,46x0,95x(125000/80448) = 3,63 cm > fadm = 605/250 = 2,42 cm 
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45 
 
 Aplicando-se uma contra-flecha cf = (3,63 – 2,42) = 1,21 cm < cfmax = (605 / 
350) = 1,73 cm, a flecha passa a ser verificada. 
 
 A solução para dispensar a contra-flecha seria aumentar a altura da seção 
transversal da viga, mesmo que apenas no segundo vão. No entanto, na região que 
ocorre a flecha máxima a viga funciona como viga de seção T, e assim foi calculada, 
aumentando substancialmente a rigidez à flexão, quando comparado com a seção 
retangular, como foi avaliada até então a flecha. 
 
A verificação da flecha considerando-se viga de seção T, com bw = 12 cm, bf = 
112 cm, hf = 10 cm, h = 50 cm e d = 44 cm, deve ser precedida do cálculo do momento 
de fissuração, 
t
cct
r
y
Iαf
M 
 
, com  = 1,2 para seção T, onde Ic é o momento de inércia 
da seção bruta (T) de concreto, yt é a distância do centro de gravidade da seção à 
fibra mais tracionada e fct = fctm = 0,26 kN/cm2 é a resistência à tração direta do con-
creto, no estado limite de deformação excessiva. 
 
Para os dados acima: 
ycg = yt = (112x10x45+12x40x20) / (112x10+12x40) = 37,5 cm (do fundo da nervura) 
 
Ic = [112x103/12+112x10x(12,5-5)2] + [12x403/12+12x40x(37,5-20)2] = 283333 cm4 
 
 kNm 23,6 kNcm 2357
37,5
833331,2x0,26x2
y
Iαf
M
t
cct
r  
 
 Como Mserv = 80,2 kNm > Mr = 23,6 kNm  Estádio II (Mr / Mserv)3 = 0,0255 
 
 Para seção T, BAAx 2II  , com: 
 
      91,57x10121128,66x2,459,66x8,04
12
1
hbbA'n'nA
b
1
A fwfss
w

 
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46 
 





 





 
 22f
wf
ss
w
x10
2
12112
54x8,66x2,40444x9,66x8,
12
2
h
2
bb
A'n'd'dnA
b
2
B
 
B = 1417 cm 7,44141791,5791,57x 2II  
 
       2IIs2IIs3fIIwf3IIfII d'xA'n'xdnAhxbbxb
3
1
I 
 
 
 
    2233II 4)7,448,66x2,45(7,44)-449,66x8,04(107,4412112112x7,44
3
1
I 
 
 
III = 119997 cm4 
 
EIeq = Ecs(0,0255x283333 + 0,975x119997 = Ecs(124164) kNcm2 
 
 A flecha final corrigida, no tempo infinito, considerando seção T, pode ser dada 
por: 
 
f = 2,46 fi (Ic/Ieq) = 2,46x0,95x(125000/124164)= 2,35 cm < fadm = 605/250 = 2,42 cm 
 
A flecha então, está verificada. 
 
DETALHAMENTO 
 
Para a força cortante máxima da V2, Vmax = 108,1 kN, a tensão convencional 
de cisalhamento máxima wd,max = [108,1x1,4 / (12x44)] = 0,287 kN/cm2 > 2 c0 = 
2x0,0769 = 0,154 kN/vm2. Nesse caso conforme a equação (5.34b) da apostila Con-
creto I, para estribos verticais ( = 90o) a relação (a / d) vale: 
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47 
 
 
0.68
2870
0769012
1
12
1
VV2
V
d
a
maxwd,
c0cmaxSd,
maxSd,



















































 
V = 75,1 kN, wd = 0,199 kN/cm2, (a / d) = 0,81 
V = 64,2 kN, wd = 0,170 kN/cm2, (a / d) = 0,91 
V = 17,9 kN, wd < 2c0 = 0,154 kN/cm2, (a / d) = 1,00 
 
 Valores dos comprimentos de ancoragem 
 
X = 99,6 kNm (má aderência) 
As,cal = 8,58 cm2 As,e = 10,31 cm2 (2 20 mm + 2 16 mm ) 
 b,nec,20 = 1,0x[(37,67x2,0) / 0,7]x(8,58 / 10,31) ≈ 90* cm > b,min = 32 cm 
 b,nec,16 = 1,0x[(37,67x1,6) / 0,7]x(8,58 / 10,31) ≈ 72* cm > b,min = 26 cm 
 
 Ao detalhar as duas barras de 20 mm da primeira camada, para X = 99,6 kNm, 
nota-se que elas têm início a (240 + 40 + 90) = 370 cm antes do eixo do pilar P7, ou 
a (437,5 – 370) = 67,5 cm do eixo do pilar P6. Como elas estão bem próximas do P6, 
recomenda-se que as mesmas sejam estendidas até este pilar, evitando-se as barras 
porta-estribo nesse trecho (ver posição N1 da figura 6.7). 
 
N1 = 7,5 + 437,5 + 109 + a + b,nec = 554 + 30 + 90 = 674 ≈ 675 cm 
N2 = (240/2 + a + b,nec) + (109/2 + a + b,nec) = (120 + 40 + 72) + (54,5 + 30 + 72) 
= 232 + 156,5 ≈ 235* + 155 = 390 cm 
(*) Início da posição N2 antes do P7 
 
M = 93,2 kNm (boa aderência) 
As,cal = 6,96 cm2 As,e = 8,04 cm2 (4 16 mm) 
 b,nec = 1,0x(37,67x1,6)x(6,96 / 8,04) ≈ 52* cm > b,min = 18 cm 
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48 
 
 Apoio P8 
 2
yd
apoioSd,P8
cals, cm 1,96
43,5
75,1x1,4
0,81
f
V
d
a
A   , levando-se 2 16 mm até P8 
 b,nec,c/ gancho = 1,0x(37,67x1,6)x(1,96 / 4,02) ≈ 29* cm > b,min = 18 cm (> 20 cm) 
 b,nec,s/ gancho = 0,7x(37,67x1,6)x(1,96 / 4,02) ≈ 20* cm > b,min = 18 cm 
 
 Apoio P7 (direita) 
109 - a - b,nec = 109 - 30 - 52 = 27 cm > (25 / 2) = 12,5 cmAs duas barras de 16mm (N6 da figura 6.7) da primeira camada devem entrar 
no mínimo 10 = 10x1,6 = 16 cm no pilar P7. 
 
N7 = 10 + 582,5 + (20 - 2,5 - 3) + 1,5+ 8 = (16 + 582,5 + 13) + 8 + 13 
 = 611,5 + 8 + 13 ≈ 612 + 8 + 15 = 635 cm 
 
 
M = 25,2 kNm (boa aderência) 
As,cal = 1,85 cm2 As,e = 2,45 cm2 (2 12,5 mm) 
 b,nec = 1,0x(37,67x1,25)x(1,85 / 2,45) ≈ 36* cm > b,min = 14 cm 
 2
yd
apoioSd,P6
cals, cm 0,58
43,5
17,9x1,4
1,0
f
V
d
a
A   , levando-se 2 12,5 mm até P9 
 b,nec = 1,0x(37,67x1,25)x(0,58 / 2,45) ≈ 11 cm < b,min = 14* cm (< 20 cm) 
 
 Apoio P7 (esquerda) 
240 - a - b,nec = 240 - 40 - 36 = 164 cm > (25 / 2) = 12,5 cm 
 As duas barras de 12,5 mm (N4 da figura 6.7) devem entrar no mínimo 10 = 
10x1,25 = 12,5 cm no pilar P7. 
 
N5 = (20 - 2,5) + 415 + 10 = 17,5 + 415 + 12,5 = 445 cm 
 
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49 
 
 
 
Figura 6.7 – Detalhamento da Viga V2 
 
VIGA V4 - 15/50 
 
 A viga V4 é uma viga isostática sobre dois apoios, descarregando nas 
vigas V7 e V8. O esquema estrutural com as cargas, assim como os diagra-
mas de força cortante e de momento fletor, estão apresentados à esquerda 
da figura 6.8. 
 
 peso próprio pp = 0,15x0,50x25 ≈ 1,88 kN/m 
 reação da alvenaria Ralv = 0,20x(2,95 - 0,5)x13 = 6,37 kN/m 
 reação da laje RL4 = 4,16 kN/m (Rg = 2,91 – Rq = 1,25) 
 carga total p = (1,88 + 6,37 + 2,91) + 1,25 = g + q 
 = 11,16 + 1,25 = 12,41 kN/m 
 
 R = p/ 2 = 12,41x6,10 / 2 = 37,9 kN 
M = p2 / 8 = 12,41x6,102 / 8 = 57,7 kNm 
 
 Seção 15/50 cm2, d = 46 cm, (d/h) = 0,90  As,min = 0,15%Ac = 1,13 cm2 
 
 
 M = 57,7 kNm = 5770 kNcm 
 
K = 0,168 < KL = 0,295 As = As1 = 4,45 cm2 A’s = 0 
Adotar 4 12,5 mm (Ase = 4x1,227 = 4,91 cm2) 
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50 
 
Vmax,face = 37,9 – 12,41x(0,15 / 2) = 37,0 kN 
wd,max = 37,0x1,4 / (15x46) = 0,0751 kN/cm2 < c0 = 0,0769 kN/cm2 
a = d = 46 cm, Asw = Asw,min = 0,103x15 = 1,55 cm2/m, (wd/wd2) < 0,67, smax = 27 cm 
 
Considerando estribo simples (dois ramos)  (Asw/2) = 0,77 cm2/m 
Adotando estribo  = 5 mm (0,196 cm2)  5 c/ 25 cm 
 
2
yd
apoioSd,apoio
cals, cm 1,2243,5
37,9x1,4
1,0
f
V
d
a
A   levando-se 2 12,5 mm até os 
apoios 
 b,nec,s/ gancho = 1,0x(37,67x1,25)x(1,22 / 2,45) ≈ 23* cm > b,min = 14 cm (> 15 cm) 
 b,nec,c/ gancho = 0,7xb,nec,s/ gancho = 0,7x23 = 16 cm > 15 cm 
 
 Por simplicidade e a favor da segurança as duas barras de 12,5 mm da primeira 
camada, posição N3 da figura 6.8, vão ser levadas até aos extremos da viga onde 
serão dobradas, com ponta reta maior que a mínima necessária, conforme figura 6.8. 
 
Mr = 0,0075 b h2 (fck)2/3 = 0,0075x15x502x(25)2/3 = 2405 kNcm = 24,1 kNm 
Ma = Mserv = pserv2 / 8 = (11,16 + 0,3x1,25)x6,102 / 8 = 11,54 x6,102 / 8 = 53,65 kNm 
 Ma > Mr, Estádio II, As = 4,91 cm2, A’s = 0,39 cm2, n = 9,66, n’ = 8,66 
 XII = 14,05 cm III = 62626 cm4 Ic = 156250 cm4 (Mr / Ma)3 = 0,091 
 Ecs = 2173,5 kN/cm2 EIeq = 2173,5x71146 = 1,55x108 kNcm2 
  








 




 8
4
i
1,55x10384x
x610
100
11,545x
2,462,46ff = 3,30 cm > fadm = 610 / 250 = 2,44 cm 
 
 Aplicando, por exemplo, uma contra-flecha cf = 1 cm < cfmax = (610 / 350) = 1,74 
cm a flecha final fica igual a 2,3 cm < 2,44 cm, OK! 
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51 
 
 Como a mesa está comprimida essa viga pode funcionar como viga de seção 
L, em que bf = (15 + 0,10x610) = 76 cm, As.L = 4,11 cm2 (4 12,5mm = 4,91 cm2), A’s 
= 0, XII = 7,33 cm, III = 81328 cm4, Ic = 295892 cm4, Ieq = 100853 cm4, 
EIeq = 2,19x108 kNcm2 
  








 




 8
4
i
2,19x10384x
x610
100
11,545x
2,462,46ff = 2,34 cm < fadm = 610 / 250 = 2,44 cm 
 
Obs.: Esse exemplo mostra que como viga de seção retangular, a flecha só é aceitá-
vel aplicando-se uma contra-flecha. Usando-se o recurso possível da viga de seção T 
ou L, a flecha é aceitável mesmo sem aplicar a contra-flecha. 
 
 
 
Figura 6.8 – Diagramas e Detalhamento da Viga V4 
 
VIGA V5 - 15/50 
 
 A viga V5 é uma viga sobre dois apoios, descarregando nos pilares P12 e P13. 
O esquema estrutural com as cargas assim como os diagramas de força cortante e 
de momento fletor estão apresentados à esquerda da figura 6.9. 
 
 peso próprio pp = 0,15x0,50x25 ≈ 1,88 kN/m 
 reação da alvenaria Ralv = 0,20x(2,95 - 0,5)x13 = 6,37 kN/m 
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52 
 
 reação da laje RL3 = 4,59 kN/m 
 carga total p = 1,88 + 6,37 + 4,59 = 12,84 kN/m 
 
 R = p/ 2 = 12,84x4,30 / 2 = 27,6 kN 
M = p2 / 8 = 12,84x4,302 / 8 = 29,7 kNm 
 
 Seção 15/50 cm2, d = 46 cm, (d/h) = 0,90  As,min = 0,15%Ac = 1,13 cm2 
 
Meng = p2 / 12 = 12,84x4,302 / 12 = 19,8 kNm 
 
 rsup = rinf = (20x203 / 12) / 295 = 45,2 
 
 rvig = (15x503 / 12) / 430 = 363,4 
 
 Mvig = 19,8x(2x45,2) / (363,4 + 2x45,2) = 3,9 kNm, Msup = Minf = 3,9 / 2 = 2,0 kNm 
 
 
 M = 29,7 kNm = 2970 kNcm 
 
K = 0,086 < KL = 0,295 As = As1 = 2,18 cm2 A’s = 0 
Adotar 2 12,5 mm (Ase = 2x1,227 = 2,45 cm2) 
 
VSd,max = 27,6x1,4 = 38,6 kN < Vc0 = 0,0769x15x46 = 53,1 kN a = d = 46 cm 
wd,max = (27,6x1,4) / (15x46) = 0,0560 kN/cm2 < wd,min = 0,117 kN/cm2 
 
Asw = Asw,min = 0,103x15 = 1,55 cm2/m (wd/wd2) < 0,67  smax = 27 cm 
 
Considerando estribo simples (dois ramos) (Asw/2) = 0,77 cm2/m 
Adotando estribo  = 5 mm (0,196 cm2)  5 c/ 25 cm 
 
2
yd
apoioSd,apoio
cals, cm 0,8943,5
27,6x1,4
1,0
f
V
d
a
A   , levando-se 2 12,5 mm até os apoios
 
b,nec = 1,0x(37,67x1,25)x(0,89 / 2,45) ≈ 17* cm > b,min = 14 cm (não precisa dobrar) 
 
 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Projeto 
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53 
 
 
 Mvig = 3,9 kNm = 390 kNcm 
 
K = 0,011 < KL = 0,295 As = As1 = 0,28 cm2 < As,min = 1,13* cm2, A’s = 0 
Adotar 2 8 mm (Ase = 2x0,503 = 1,01 cm2 ≈ 1,13 cm2) 
 
 
 
Figura 6.9 – Diagramas e Detalhamento da Viga V5 
 
VIGA V6 - 15/50 
 
 peso próprio pp = 0,15x0,50x25 ≈ 1,88 kN/m 
 reação da alvenaria Ralv = 0,20x(2,95 - 0,5)x13 = 6,37 kN/m 
 reação das lajes RL1 = 3,85 kN/m 
 RL3 = 4,38 kN/m 
 cargas totais p1 = 1,88 + 6,37 + (RL3 = 4,38) = 12,63 kN/m 
 p2 = 1,88 + 6,37 + (RL1 = 3,85 = 12,10 kN/m 
 
 
 X = 20,8 kNm = 2080 kNcm 
 
K = 0,060 < KL = 0,295 As = As1 = 1,50 cm2 > As,min = 1,13 cm2, A’s = 0 
Adotar 2 10 mm (Ase = 2x0,785 = 1,57 cm2) 
 b,nec = 1,0x[(37,67x1,0) / 0,7]x(1,50 / 1,57) ≈ 51* cm > b,min = 16 cm 
 
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54 
 
 M = 16,1 kNm = 1610 kNcm 
 
K = 0,047 < KL = 0,295 As = As1 = 1,15 cm2 > As,min = 1,13 cm2 
 
Adotar 2 10 mm (Ase = 2x0,785 = 1,57 cm2) 
 b,nec = 1,0x(37,67x1,0)x(1,15 / 1,57) ≈ 28* cm > b,min = 11 cm 
 
 
 M = 8,4* kNm = 840* kNcm 
 
K = 0,024 < KL = 0,295 As = As1 = 0,60 cm2 < As,min = 1,13 cm2 
Adotar 2 10 mm (Ase = 2x0,785 = 1,57 cm2) 
 
 b,nec = 1,0x(37,67x1,0)x(0,60 / 1,57) ≈ 14* cm > b,min = 11 cm 
 
VSd,max = 30,5x1,4 = 42,7 kN < Vc0 = 0,0769x15x46 = 53,1 kNa = d = 46 cm 
wd,max = (30,5x1,4) / (15x46) = 0,0619 kN/cm2 < wd,min = 0,117 kN/cm2 
 
Asw = Asw,min = 0,103x15 = 1,55 cm2/m (wd/wd2) < 0,67  smax = 27 cm 
 
Considerando estribo simples (dois ramos)  (Asw/2) = 0,77 cm2/m 
Adotando estribo  = 5 mm (0,196 cm2)  5 c/25 cm 
 
2
yd
apoioSd,P12
cals, cm 0,65
43,5
20,1x1,4
1,0
f
V
d
a
A   , levando-se 2 10 mm até os apoios 
 b,nec = 1,0x(37,67x1,0)x(0,65 / 1,57) ≈ 16* cm > b,min = 11 cm 
 
2
yd
apoioSd,P1
cals, cm 0,40
43,5
12,4x1,4
1,0
f
V
d
a
A   , levando-se 2 10 mm até os apoios 
 b,nec = 1,0x(37,67x1,0)x(0,40 / 1,57) ≈ 10 cm < b,min = 11* cm 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Projeto 
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55 
 
 
 
Figura 6.10 – Diagramas da Viga V6 
 
 
 
Figura 6.11 – Detalhamento da Viga V6 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Projeto 
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56 
 
VIGA V7 - a-15/50 e 12/50, b-12/50 
 
 peso próprio pp = 0,15x0,50x25 ≈ 1,88 kN/m 
 pp = 0,12x0,50x25 = 1,50 kN/m 
 reação da alvenaria Ralv = 0,20x(2,95 - 0,5)x13 = 6,37 kN/m 
 Ralv = 0,15x(2,95 - 0,5)x13 = 4,78 kN/m 
 reação das lajes RL1 = 6,68 kN/m RL1+L2 = 6,68 kN/m 
RL2 = 0 
 RL3 = 7,58 kN/m RL3+L4 = 12,37 kN/m 
RL4 = 4,79 kN/m 
cargas totais p1 = pp+Alv.+RL3 = 1,88 + 6,37 + 7,58 = 15,83 kN/m 
 p2 = pp+Alv.+ RL3+L4 = 1,50 + 4,78 + 12,37 = 18,65 kN/m 
 p3 = pp+Alv.+ RL1+L2 = 1,50 + 4,78 + 6,68 = 12,96 kN/m 
 p4 = pp+ RL1+L2 = 1,50 + 6,68 = 8,18 kN/m 
 
 
 
Figura 6.12 – Diagramas da viga V7 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Projeto 
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57 
 
 X = 39,3 kNm = 3930 kNcm 12/50, d = 46 cm As,min = 0,9 cm2 
 
K = 0,143 < KL = 0,295 As = As1 = 2,98 cm2 A’s = 0 
Adotar 2 16 mm (Ase = 2x2,011 = 4,02 cm2) 
 b,nec = 1,0 x [(37,67x1,6) / 0,7]x(2,98 / 4,02) ≈ 64* cm > b,min = 26 cm 
 
 
 M = 48,8 kNm = 4880 kNcm 12/50, d = 46 cm As,min = 0,9 cm2 
 
K = 0,177 < KL = 0,295 As = As1 = 3,79 cm2 A’s = 0 
Adotar 2 16 mm (Ase = 2x2,011 = 4,02 cm2) 
 b,nec = 1,0x(37,67x1,6)x(3,79 / 4,02) ≈ 57* cm > b,min = 18 cm 
 
 
 M = 4,4* kNm = 440* kNcm 12/50, d = 46 cm As,min = 0,9 cm2 
 
K = 0,016 < KL = 0,295 As = As1 = 0,31 cm2 < As,min = 0,90 cm2 
Adotar 2 10 mm (Ase = 2x0,785 = 1,57 cm2) 
 b,nec = 1,0x(37,67x1,0)x(0,31 / 1,57) ≈ 8 cm < b,min = 11* cm 
 
Pilar P13 (20 / 20) rup = rinf = 45,2 rvig = (15x503 / 12) / 419 = 372,9 
 
 Meng = 51,8 kNm Mvig = [90,4 / (90,4 + 372,9)]x51,8 = 10,1 kNm (As,min=1,13 cm2) 
 Msup = Minf = 10,1 / 2 = 5,1 kNm 
 
Pilar P2 (30 / 20) rup = rinf = 67,8 rvig = (12x503 / 12) / 296 = 422,3 
 
 Meng = 7,9 kNm Mvig = [135,6 / (135,6 + 422,3)]x7,9 = 1,9 kNm (As,min= 0,90 cm2) 
 Msup = Minf = 1,9 / 2 = 1,0 kNm 
 
Vmax = 57,3 kN Vmax,face = 57,3 - 0,20x18,53 = 53,6 kN 
wd,max = [(53,6x1,4) / (12x46)] = 0,136 kN/cm2 < wd2 = 0,434 kN/cm2 OK! 
 
 Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Projeto 
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58 
 
Asw = w bw = [100 (0,136 - 0,0769) / 39.15]x12 = 0,151x12 = 1,81 cm2/m 
 (wd/wd2) < 0,67  smax = 27 cm 
 
Considerando estribo simples (dois ramos)  (Asw/2) = 0,90 cm2/m 
Adotando estribo  = 5 mm (0,196 cm2)  5 c/ 21 cm 
 
V = 55,8 kN Vface = 55,8 - 0,10x15,83 = 54,2 kN (15x50), d = 46 cm 
wd = (54,2x1,4) / (15 x 46) = 0,110 kN/cm2 < wd,min = 0,117 kN/cm2 
 
Asw = Asw,min = w,min bw = 1,76 cm2/m (wd/wd2) < 0,67  smax = 27 cm 
 
Considerando estribo simples (dois ramos)  (Asw/2) = 0,88 cm2/m 
Adotando estribo  = 5 mm (0,196 cm2)  5 c/ 22 cm 
 
Apoio P13 
V = 55,8 kN wd = 55,8x1,4 / 14x46 = 0,142 < 2c0 = 0,154 kN/cm2 (a/d) = 1 
2
yd
apoioSd,P13
cals, cm 1,80
43,5
55,8x1,4
1,0
f
V
d
a
A   , levando-se 2 16 mm até P13 
 b,nec = 1,0x(37,67x1,6)x(1,80 / 4,02) ≈ 27* cm > b,min = 18 cm (> 20 cm) 
 b,nec,c/ gancho = 0,7b,nec,s/ gancho = 0,7x27 = 19 cm 
 
Apoio P7 
V = 57,8 kN wd = 57,3x1,4 / 12x46 = 0,145 < 2c0 = 0,154 kN/cm2 (a/d) = 1 
 
 Portanto em toda a viga a relação (a/d) = 1. 
 
 No vão “a”, o diagrama de momentos se anula a 78 cm do eixo do P7 (ver figura 
6.12). Para o momento M = 48,8 kNm, conforme já calculado, b,nec = 57 cm e a relação 
(a/d) = 1 para V = 57,3 kN. Portanto os 2 16 mm adotados (N4 da figura 6.13), para 
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59 
 
combater M = 48,8 kNm, devem entrar no P7 o valor mínimo dado por: b,nec + a - (78 
– 40/2) = 57 + 46 - 58 = 45 cm (a partir da sua face esquerda). No outro apoio desse 
vão “a” (pilar P13), como as barras N4 só podem entrar dentro dele no máximo (20 – 
2,5) = 17,5 cm, com ancoragem reta, deve-se usar ancoragem com gancho (90o), com 
comprimento de ancoragem b,nec = 19 cm. As barras N4 da figura 6.13 ficam com o 
comprimento: 
 N4 = (12 + 8 + 15)* + 389 + 45 = 469 ≈ 470 cm 
 
 (*) os valores 12, 8, 15 são os mesmos mostrados anteriormente (N6 da figura 6.7) 
no esquema de dobramento das barras de 16 mm. 
 
 
 
 Figura 6.13 – Detalhamento da viga V7 
 
Armadura de suspensão 
 
Conforme o item 18.3.6 da NBR 6118 “Nas proximidades de cargas concentra-
das transmitidas à viga por outras vigas ou elementos discretos que nela se apoiem 
ao longo ou em parte de sua altura, ou fiquem nela pendurados, deve ser colocada 
armadura de suspensão.” 
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60 
 
 A reação concentrada da viga V4 (RV4 = 37,9 kN) na viga V7 se dá ao longo da 
altura das mesmas. Neste caso a armadura de suspensão As,susp = RV4,d / fyd = 37,9x1,4 
/ 43,5 = 1,22 cm2. A distribuição dessa armadura deve acontecer tanto na viga suporte 
(V7) quanto na viga apoiada (V4). Pelo menos 70% da armadura de suspensão deve 
ser colocada na viga suporte, em um trecho de comprimento pelo menos igual à altura 
(h) dessa viga, centrado no eixo da viga apoiada. 
 
Dessa forma em um trecho de comprimento h = 50 cm, centrado no ponto de 
aplicação da reação da V4, deve ser acrescentado [0,7xAs,susp] = 0,85 cm2 à armadura 
de cisalhamento calculada para este ponto. Para uma força cortante V = 39,7 kN (di-
agrama de V na figura 6.12), wd = (39,7x1,4) / (15x46) = 0,081 kN/cm2, seção 15 / 50 
cm2 (antes da carga), a armadura de cisalhamento vale Asw,cal = wbw = [100(0,081 - 
0,0769) / 39,15]x15 = 0,009x15 = 0,14 cm2/m (armadura por metro de comprimento da 
viga). 
 
Portanto no trecho de comprimento 50 cm, centrado no eixo da carga concen-
trada, deve ter uma armadura total (por metro de viga) dada por: 
 
As,total = 2x(0,7xAs,susp) + Asw,cal = 2x0,85 + 0,14 = 1,84 cm2/m 
 
Considerando estribo simples com bitola de 5 mm, fica (As,total / 2) = 0,92 cm2/m, 
que implica em 5 c/ 21 cm, espaçamento menor que o encontrado para VP13 = 55,8 
kN (c/ 25 cm). Como o trecho entre P13 e a carga concentrada é pequeno justifica-se 
adotar neste trecho o estribo 5 c/ 21 cm (que atende simultaneamente os estribos 
para o cisalhamento e a armadura de suspensão). 
 
A parte da armadura de suspensão que vai para a viga apoiada V4 (30%) vale 
As,susp = 0,3x1,22 = 0,37 cm2, distribuída em um trecho de comprimento igual a metade 
da altura de V4, a partir do eixo da V7.