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1 DEFINIÇÃO Matriz é uma tabela de m x n (com núme- ros reais), dispostos em m (linhas) e n (co- lunas). Veja os exemplos abaixo: A= 1 −2 3 0 4 2 é uma matriz 2x3. B= 4 0 −1 1 é uma matriz 2x2. C= 3 −2 5 1 0 2 0 4 7/8 1/2 −1 −6 é uma matriz 4x3. Como mostrado acima, as matrizes podem ser representadas através de parênteses, colchetes ou por dois pares de barras verticais. REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ Consideramos uma matriz A do tipo m x n. Um elemento qualquer desta matriz é resentado por aij, onde “i” refere-se à linha e “j” refere-se à coluna onde se encontra este elemento. Representamos uma matriz A por A = (aij) m x n Note que 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Exemplo 1: Seja a matriz A= 2 3 4 −1 0 −2 3x2 O elemento que está na linha 1 e coluna 1 é a11=2; O elemento que está na linha 1 e coluna 2 é a12=3; O elemento que está na linha 2 e coluna 1 é a21=4; O elemento que está na linha 2 e coluna 2 é a22=-2; O elemento que está na linha 3 e coluna 1 é a31=0; O elemento que está na linha 3 e coluna 2 é a32=-2; Exemplo 2: Vamos escrever a matriz A= (aij)2x2, onde aij = 2i + j Uma matriz tipo 2x2 pode ser genericamente representada por A= 𝑎11 𝑎12 𝑎21 a22 . Utilizando a “regra de formação” dos elementos dessa matriz, temos: a11 = 2 . 1 + 1 + 1 = 3 a12 = 2 . 1 + 2 = 4 a21 = 2 . 2 + 2 + 1 = 5 a22 = 2 . 2 + 2 = 6 Assim: A = 3 4 5 6 MATRIZES ESPECIAIS Vejamos a seguir os tipos de matrizes especiais: Matriz linha: formada por uma única linha. Exemplo: A = 1 2 −3 , assim sendo uma matriz 1x3; Matriz coluna: formada por uma única coluna. Exemplo: 2 4 0 −1 assim, formando uma matriz 4x1; Matriz nula: é a matriz cujos elementos são todos iguais a zero. Exemplo: A= 0 0 0 0 é uma matriz nula 2x2; Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de colunas igual ao número de linhas. Exemplos: A= 2 1 0 −3 é uma matriz quadrada 2x2. Podemos dizer também que A é quadrada de ordem 2. B= 0 −1 8 1 1/5 2 −3 4 4 é uma matriz quadrada de ordem 3; Sendo A, uma matriz QUADRADA de ordem qualquer, temos: Diagonal principal: elementos de A cujo índice de linha (i) é igual ao índice de coluna (j) e constituem a DIAGONAL PRINCIPAL de A. Exemplo: 2 A= 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 Diagonal secundária: elementos de A cuja soma dos índices da linha (i) e da coluna (j) é igual a n+1. Se por exemplo, A é quadrada de ordem 3, os elementos a13, a22, e a31 formam a diagonal secundária de A, conforme exemplificado abaixo. A= 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 IGUALDADE DE MATRIZES ELEMENTOS CORRESPONDENTES: Dadas duas matrizes: A= 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚𝑛 𝑎𝑚𝑛 … 𝑎𝑚𝑛 m x n B= 𝑏11 𝑏12 … 𝑏1𝑛 𝑏21 𝑏22 … 𝑏2𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑏𝑚𝑛 𝑏𝑚𝑛 … 𝑏𝑚𝑛 m x n Dizemos que os elementos de mesmo índice (linha e coluna) são correspondentes. Assim: - a11 e b11, são correspondentes; - a12 e b12 são correspondentes; - ⋮ - amn e bmn são correspondentes. Exemplo: A= 11 2 1 52 31 92 B= −1 4 14 7 34 87 - 11 e -1 são correspondentes; - 2 e 4 são correspondentes; - 1 e 14 são correspondentes; - E assim por diante. IGUALDADES: Duas matrizes do mesmo tipo m x n são iguais quando todos os seus elementos que correspondem são iguais. Exemplo: Determine a, b, c e d de modo que se tenha: 𝑎 1 1 𝑏 + 1 𝑐 − 2 𝑑 = 2 1 1 1 6 3 Observando os elementos correspondentes devemos ter: 𝑎 = 2 𝑏 + 1 = 1, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑏 = 0 𝑐 − 2 = 6, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑐 = 8 𝑑 = 3 . ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES: Para fazer a soma ou subtração de matrizes basta somar ou subtrair os elementos correspondentes e formar uma nova matriz. Exemplo: 2 −1 3 0 5 2 + 1 3 −4 2 −2 3 = 3 2 −1 2 3 5 Exemplo 2: Determine a matriz X, tal que: 2 3 −1 1 4 −2 + 𝑋 = 5 −1 4 −3 3 2 X= 5 −1 4 −3 3 2 - 2 3 −1 1 4 −2 X= 3 −4 5 −4 −1 4 MATRIZES OPOSTAS A matriz oposta possui os mesmos elementos que a matriz “mãe” porém possui o sinal inverso em todos os elementos, fazendo com que, caso se some as duas matrizes, o resultado seja uma matriz nula. Exemplo: Seja a matriz A= 2 1 4 −3 7 2 , sua matriz oposta é - A= −2 −1 −4 +3 −7 −2 . MATRIZ DIFERENÇA Para saber a diferença das matrizes basta subtraí-las ou utilizar a seguinte fórmula: 3 A – B = A +(-B) Veja o exemplo em que se utiliza a fórmula: (A) 2 5 −1 6 4 −2 – (B) −2 3 2 5 3 −1 = (A) 2 5 −1 6 4 −2 – (-B) 2 −3 −2 −5 −3 1 = Ou seja, A – B = 4 2 −3 1 1 −1 . Veja o exemplo em que se utiliza apenas a subtração: (A) 0 1 −3 2 – (B) 1 −1 −2 5 = −1 2 −1 −3 *** Atente-se aos sinais da operação e do elemento. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ A multiplicação de um número real por uma matriz é feita da seguinte forma: multiplica-se o número real por cada um dos elementos presentes na matriz. Exemplo: Multiplique 2.A sendo A = 3 1 7 2 . 2. 3 1 7 2 = 6 2 14 4 MULTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES A.B é diferente de B.A; Sendo Am x n X Bp x q, ou seja, a quantidade de linhas e colunas divergem, é necessário que a COLUNA de A, seja o mesmo número que a LINHA de B; A matriz resultante terá a mesma quantidade de LINHAS que a matriz A, porém terá a mesma quantidade de COLUNAS que a matriz B; Exemplo: A = 2 3 1 4 e B = 1 2 3 5 1°) Devo constatar se a COLUNA de A, tem o mesmo número que a LINHA de B; 2°) Você escreverá o tamanho de cada matriz (exemplo: 2x2 . 2x2), cortará o valor da coluna A e linha B, assim descobrindo qual será o tamanho da sua matriz (seguindo o exemplo anterior 2x2 . 2x2, temos uma matriz 2x2); 3°) Fazemos o tabuleiro, informando a matriz A e B; 4°) Multiplicamos linha x coluna; 5°) Primeiro multiplica-se os correspondentes e depois soma-se os valores encontrados, obtendo os elementos da matriz A.B. Observe o passo a passo Aqui fizemos da seguinte forma: Multiplicação de cada correspondente + soma dos resultados que foram encontrados na multiplicação de correspondente = valor do elemento da matriz. 1°) 2x1 + 3x3 = 2+9 = 11 2°) 2x2 + 3x5 = 4+15 = 19 3°) 1x1 + 4x3 = 1+12 = 13 4°) 1x2 + 4x5 = 2+20 = 22 Exemplo 2: Descubra a matriz X em A.X = B, sendo: A= 2 −4 3 1 e B= 5 −3 1°) Determinar qual será o tipo da matriz X. Temos: 4 Devemos ter: p = 2, para garantir a possibilidade de multiplicação; q = 1, pois o número de colunas de X é igual ao número de colunas de B. Assim, descubro que minha matriz será 1x2, ou seja, 𝑎 𝑏 . Desta forma, faço a seguinte multiplicação: 2 −4 3 1 . 𝑎 𝑏 = 5 −3 . Após fazer a tabela da multiplicação de matrizes mostrada anteriormente, obtivemos: 2𝑎 − 4𝑏 3𝑎 + 𝑏 = 5 −3 . Separamos para formar um sistema e fica da seguinte forma: 2𝑎 − 4𝑏 = 5 3𝑎 + 𝑏 = −3 Já aprendemos como resolver sistemas, no 1° ano. Então resolveremos: 2𝑎 − 4𝑏 = 5 3𝑎 + 𝑏 = −3 . (4) 2𝑎 − 4𝑏 = 5 12𝑎 + 4𝑏 = −12 2𝑎 − 4𝑏 = 5 12𝑎 + 4𝑏 = −12 2𝑎 = 5 12𝑎 = −12 Agora, para descobrir o valor de b, basta substituir o a pelo valor encontrado, separar a variável dos números, isolar o b e descobrir seu valor, veja como fazer: 2𝑎 − 4𝑏 = 5 3𝑎 + 𝑏 = −3 2. (−1/2)− 4𝑏 = 5 3𝑎 + 𝑏 = −3 2. (-1/2) – 4b = 5 - 4b = 5 + 1 -4b = 6 .(-1) 4b = -6 b = -6/4 Aqui temos que a= -1/2 e b= -3/2, logo temos que a matriz X é: −1/2 −3/2 . MATRIZ IDENTIDADE Seja A, uma matriz quadrada de ordem n, A é dita matriz identidade de ordem n (indica-sepor In) quando os elementos de sua diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais igual a zero, veja o exemplo: I2 = 1 0 0 1 é a matriz identidade de ordem 2; I3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 é a matriz identidade de ordem 3; ln = 1 0 … 0 1 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 … ⋯ 1 é matriz identidade de ordem n. MATRIZ INVERSA Seja A, uma matriz quadrada de ordem n, A é dita inversível se existir uma matriz B, tal que: A . B = B . A = In Neste caso, B é dita inversa de A e indicada por A-1. Exemplo: A inversa de A = 2 0 4 −3 é A-1 = 1/2 0 2/3 −1/3 , isso, pois: A . A-1 = 2 0 4 −3 X 1/2 0 2/3 −1/3 = 1 0 0 1 , assim como A-1 . A = 1/2 0 2/3 −1/3 X 2 0 4 −3 = 1 0 0 1 Exemplo 2: Encontre a matriz inversa de A= 4 −5 3 1 . 1°) Determine A-1 como 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 2°) Faça a multiplicação utilizando conceitos já aprendidos, tal que A . A-1 = I2, portanto temos: 4 −5 3 1 X 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 1 0 0 1 4𝑎 − 5𝑐 4𝑏 − 5𝑑 3𝑎 + 𝑐 3𝑏 + 𝑑 = 1 0 0 1 Cortar o b, já que se equivalem e somar os demais valores. 14a = -7 a = 14/-7 a= -1/2 ou -0,5 5 3°) Monte dois sistemas separados; 4𝑎 − 5𝑐 = 1 3𝑎 + 𝑐 = 0 4𝑏 − 5𝑑 = 0 3𝑏 + 𝑑 = 1 Assim: A-1 = 1/19 5/19 −3/19 4/19 = 1/19 1 5 −3 4 . a = 1/19 e c = -3/19 b= 5/19 e d = 4/19
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