MATRIZES- MATEMÁTICA

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DEFINIÇÃO 
Matriz é uma tabela de m x n (com núme-
ros reais), dispostos em m (linhas) e n (co-
lunas). Veja os exemplos abaixo: 
A= 
1 −2 3
0 4 2
 é uma matriz 2x3. 
B= 
4 0
−1 1
 é uma matriz 2x2. 
C= 
3 −2 5
1 0 2
0 4 7/8
1/2 −1 −6
 é uma matriz 4x3. 
Como mostrado acima, as matrizes podem 
ser representadas através de parênteses, 
colchetes ou por dois pares de barras 
verticais. 
REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ 
Consideramos uma matriz A do tipo m x n. 
Um elemento qualquer desta matriz é 
resentado por aij, onde “i” refere-se à linha 
e “j” refere-se à coluna onde se encontra 
este elemento. 
Representamos uma matriz A por A = (aij) m x n 
Note que 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. 
Exemplo 1: 
Seja a matriz A= 
2 3
4 −1
0 −2
 3x2 
 O elemento que está na linha 1 e coluna 1 é 
a11=2; 
 O elemento que está na linha 1 e coluna 2 é 
a12=3; 
 O elemento que está na linha 2 e coluna 1 é 
a21=4; 
 O elemento que está na linha 2 e coluna 2 é 
a22=-2; 
 O elemento que está na linha 3 e coluna 1 é 
a31=0; 
 O elemento que está na linha 3 e coluna 2 é 
a32=-2; 
Exemplo 2: Vamos escrever a matriz A= (aij)2x2, 
onde aij = 2i + j 
Uma matriz tipo 2x2 pode ser genericamente 
representada por A= 
𝑎11 𝑎12
𝑎21 a22
 . Utilizando a 
“regra de formação” dos elementos dessa 
matriz, temos: 
a11 = 2 . 1 + 1 + 1 = 3 a12 = 2 . 1 + 2 = 4 
a21 = 2 . 2 + 2 + 1 = 5 a22 = 2 . 2 + 2 = 6 
Assim: A = 
3 4
5 6
 
MATRIZES ESPECIAIS 
Vejamos a seguir os tipos de matrizes 
especiais: 
 Matriz linha: formada por uma única 
linha. Exemplo: A = 1 2 −3 , assim 
sendo uma matriz 1x3; 
 Matriz coluna: formada por uma única 
coluna. Exemplo: 
2
4
0
−1
 assim, formando 
uma matriz 4x1; 
 Matriz nula: é a matriz cujos 
elementos são todos iguais a zero. 
Exemplo: 
A= 
0 0
0 0
 é uma matriz nula 2x2; 
 Matriz quadrada: é a matriz que 
possui o número de colunas igual ao 
número de linhas. Exemplos: 
A= 
2 1
0 −3
 é uma matriz quadrada 
2x2. Podemos dizer também que A é 
quadrada de ordem 2. 
B= 
0 −1 8
1 1/5 2
−3 4 4
 é uma matriz 
quadrada de ordem 3; 
 
Sendo A, uma matriz QUADRADA de ordem 
qualquer, temos: 
 Diagonal principal: elementos de A 
cujo índice de linha (i) é igual ao índice 
de coluna (j) e constituem a 
DIAGONAL PRINCIPAL de A. 
Exemplo: 
2 
 
A= 
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
 
 Diagonal secundária: elementos de A 
cuja soma dos índices da linha (i) e da 
coluna (j) é igual a n+1. Se por 
exemplo, A é quadrada de ordem 3, os 
elementos a13, a22, e a31 formam a 
diagonal secundária de A, conforme 
exemplificado abaixo. 
A= 
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
 
 
IGUALDADE DE MATRIZES 
 ELEMENTOS CORRESPONDENTES: 
Dadas duas matrizes: 
A= 
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚𝑛 𝑎𝑚𝑛 … 𝑎𝑚𝑛
 m x n 
B= 
𝑏11 𝑏12 … 𝑏1𝑛
𝑏21 𝑏22 … 𝑏2𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑏𝑚𝑛 𝑏𝑚𝑛 … 𝑏𝑚𝑛
 m x n 
Dizemos que os elementos de mesmo índice 
(linha e coluna) são correspondentes. Assim: 
- a11 e b11, são correspondentes; 
- a12 e b12 são correspondentes; 
- ⋮ 
- amn e bmn são correspondentes. 
Exemplo: 
A= 
11 2
1 52
31 92
 B= 
−1 4
14 7
34 87
 
- 11 e -1 são correspondentes; 
- 2 e 4 são correspondentes; 
- 1 e 14 são correspondentes; 
- E assim por diante. 
 IGUALDADES: 
Duas matrizes do mesmo tipo m x n são 
iguais quando todos os seus elementos que 
correspondem são iguais. 
 
Exemplo: Determine a, b, c e d de modo que 
se tenha: 
 
𝑎 1
1 𝑏 + 1
𝑐 − 2 𝑑
 = 
2 1
1 1
6 3
 
Observando os elementos correspondentes 
devemos ter: 
 
 
 
 
 
𝑎 = 2
𝑏 + 1 = 1, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑏 = 0
𝑐 − 2 = 6, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑐 = 8
𝑑 = 3
.
 
 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE 
MATRIZES: 
Para fazer a soma ou subtração de matrizes 
basta somar ou subtrair os elementos 
correspondentes e formar uma nova matriz. 
Exemplo: 
 
2 −1 3
0 5 2
 + 
1 3 −4
2 −2 3
 = 
3 2 −1
2 3 5
 
Exemplo 2: Determine a matriz X, tal que: 
 
2 3
−1 1
4 −2
 + 𝑋 = 
5 −1
4 −3
3 2
 
X= 
5 −1
4 −3
3 2
 - 
2 3
−1 1
4 −2
 X= 
3 −4
5 −4
−1 4
 
MATRIZES OPOSTAS 
A matriz oposta possui os mesmos elementos 
que a matriz “mãe” porém possui o sinal 
inverso em todos os elementos, fazendo com 
que, caso se some as duas matrizes, o 
resultado seja uma matriz nula. Exemplo: 
Seja a matriz A= 
2 1
4 −3
7 2
 , sua matriz oposta 
é - A= 
−2 −1
−4 +3
−7 −2
 . 
MATRIZ DIFERENÇA 
Para saber a diferença das matrizes basta 
subtraí-las ou utilizar a seguinte fórmula: 
3 
 
A – B = A +(-B) 
Veja o exemplo em que se utiliza a fórmula: 
(A) 
2 5
−1 6
4 −2
 – (B) 
−2 3
2 5
3 −1
 = 
(A) 
2 5
−1 6
4 −2
 – (-B) 
2 −3
−2 −5
−3 1
 = 
Ou seja, A – B = 
4 2
−3 1
1 −1
 . 
Veja o exemplo em que se utiliza apenas a 
subtração: 
(A) 
0 1
−3 2
 – (B) 
1 −1
−2 5
 = 
−1 2
−1 −3
 
*** Atente-se aos sinais da operação e do 
elemento. 
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO 
REAL POR UMA MATRIZ 
A multiplicação de um número real por uma 
matriz é feita da seguinte forma: multiplica-se 
o número real por cada um dos elementos 
presentes na matriz. Exemplo: 
Multiplique 2.A sendo A = 
3 1
7 2
 . 
2. 
3 1
7 2
 = 
6 2
14 4
 
 
MULTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES 
 A.B é diferente de B.A; 
 Sendo Am x n X Bp x q, ou seja, a 
quantidade de linhas e colunas 
divergem, é necessário que a COLUNA 
de A, seja o mesmo número que a 
LINHA de B; 
 A matriz resultante terá a mesma 
quantidade de LINHAS que a matriz A, 
porém terá a mesma quantidade de 
COLUNAS que a matriz B; 
Exemplo: A = 
2 3
1 4
 e B = 
1 2
3 5
 
1°) Devo constatar se a COLUNA de A, tem o 
mesmo número que a LINHA de B; 
2°) Você escreverá o tamanho de cada matriz 
(exemplo: 2x2 . 2x2), cortará o valor da coluna 
A e linha B, assim descobrindo qual será o 
tamanho da sua matriz (seguindo o exemplo 
anterior 2x2 . 2x2, temos uma matriz 2x2); 
3°) Fazemos o tabuleiro, informando a matriz 
A e B; 
4°) Multiplicamos linha x coluna; 
5°) Primeiro multiplica-se os correspondentes 
e depois soma-se os valores encontrados, 
obtendo os elementos da matriz A.B. 
Observe o passo a passo 
 
 
Aqui fizemos da seguinte forma: 
Multiplicação de cada correspondente + soma 
dos resultados que foram encontrados na 
multiplicação de correspondente = valor do 
elemento da matriz. 
1°) 2x1 + 3x3 = 2+9 = 11 
2°) 2x2 + 3x5 = 4+15 = 19 
3°) 1x1 + 4x3 = 1+12 = 13 
4°) 1x2 + 4x5 = 2+20 = 22 
Exemplo 2: Descubra a matriz X em A.X = B, 
sendo: A= 
2 −4
3 1
 e B= 
5
−3
 
1°) Determinar qual será o tipo da matriz X. 
Temos: 
4 
 
 
Devemos ter: 
p = 2, para garantir a possibilidade de 
multiplicação; 
q = 1, pois o número de colunas de X é igual 
ao número de colunas de B. 
Assim, descubro que minha matriz será 1x2, 
ou seja, 
𝑎
𝑏
 . Desta forma, faço a seguinte 
multiplicação: 
2 −4
3 1
 . 
𝑎
𝑏
 = 
5
−3
 . 
Após fazer a tabela da multiplicação de 
matrizes mostrada anteriormente, 
obtivemos: 
2𝑎 − 4𝑏
3𝑎 + 𝑏
 = 
5
−3
 . 
Separamos para formar um sistema e fica da 
seguinte forma: 
2𝑎 − 4𝑏 = 5
3𝑎 + 𝑏 = −3
 
Já aprendemos como resolver sistemas, no 
1° ano. Então resolveremos: 
 
2𝑎 − 4𝑏 = 5
3𝑎 + 𝑏 = −3 . (4)
 
2𝑎 − 4𝑏 = 5
12𝑎 + 4𝑏 = −12
 
 
2𝑎 − 4𝑏 = 5
12𝑎 + 4𝑏 = −12
 
 
2𝑎 = 5
12𝑎 = −12
 
Agora, para descobrir o valor de b, basta 
substituir o a pelo valor encontrado, separar a 
variável dos números, isolar o b e descobrir 
seu valor, veja como fazer: 
 
2𝑎 − 4𝑏 = 5
3𝑎 + 𝑏 = −3
 
2. (−1/2)− 4𝑏 = 5
3𝑎 + 𝑏 = −3
 
2. (-1/2) – 4b = 5 - 4b = 5 + 1 
-4b = 6 .(-1) 4b = -6 b = -6/4 
Aqui temos que a= -1/2 e b= -3/2, logo temos 
que a matriz X é: 
−1/2
−3/2
 . 
MATRIZ IDENTIDADE 
Seja A, uma matriz quadrada de ordem n, A é 
dita matriz identidade de ordem n (indica-sepor In) quando os elementos de sua diagonal 
principal são todos iguais a 1 e os demais 
igual a zero, veja o exemplo: 
 I2 = 
1 0
0 1
 é a matriz identidade de 
ordem 2; 
 I3 = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 é a matriz identidade de 
ordem 3; 
 ln = 
1 0 … 0
1 1 ⋯ ⋮
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 … ⋯ 1
 é matriz identidade 
de ordem n. 
 
MATRIZ INVERSA 
Seja A, uma matriz quadrada de ordem n, A é 
dita inversível se existir uma matriz B, tal que: 
A . B = B . A = In 
Neste caso, B é dita inversa de A e indicada 
por A-1. Exemplo: 
A inversa de A = 
2 0
4 −3
 é A-1 = 
1/2 0
2/3 −1/3
 , 
isso, pois: A . A-1 
= 
2 0
4 −3
 X 
1/2 0
2/3 −1/3
 = 
1 0
0 1
 , assim 
como A-1 . A = 
1/2 0
2/3 −1/3
 X 
2 0
4 −3
 = 
1 0
0 1
 
Exemplo 2: Encontre a matriz inversa de 
A= 
4 −5
3 1
 . 
1°) Determine A-1 como 
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
 
2°) Faça a multiplicação utilizando conceitos 
já aprendidos, tal que A . A-1 = I2, portanto 
temos: 
 
4 −5
3 1
 X 
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
 = 
1 0
0 1
 
 
4𝑎 − 5𝑐 4𝑏 − 5𝑑
3𝑎 + 𝑐 3𝑏 + 𝑑
 = 
1 0
0 1
 
Cortar o b, já que se 
equivalem e somar os demais 
valores. 
14a = -7 a = 14/-7 
a= -1/2 ou -0,5 
5 
 
3°) Monte dois sistemas separados; 
 
4𝑎 − 5𝑐 = 1
3𝑎 + 𝑐 = 0
 
 
4𝑏 − 5𝑑 = 0
3𝑏 + 𝑑 = 1
 
Assim: A-1 = 
1/19 5/19
−3/19 4/19
 = 1/19 
1 5
−3 4
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a = 1/19 e c = -3/19 
b= 5/19 e d = 4/19