Matematica-AULAS-11-e-12-Breviario

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295
BREVIÁRIO 
Competência 2
Habilidades 6, 8 e 9
Aulas 11 e 12
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Trapézio Área = (B + b)h _______ 2 
B = base maior
b = base menor
h = altura
Paralelogramo Área = b h b = baseh = altura
Losango Área = D d ____ 2 
D = diagonal maior
d = diagonal menor
Retângulo
 
Área = a b
a = base
b = altura
Quadrado Área = ø2 ø = lado
ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM PRISMA
Em todo prisma, consideramos:
 Superfície lateral: é formada pelas faces laterais;
 Superfície total: é formada pelas faces laterais e pelas bases;
 Área lateral (Al): é a área da superfície lateral;
 Área total (At): é a área da superfície total.
296
Teoria na prática
1. Uma indústria precisa fabricar 10 000 caixas de sabão com as medidas da figura abaixo. Desprezando as abas, 
calcule, aproximadamente, quantos metros quadrados de papelão serão necessários.
Resolução:
A caixa tem a forma de um paralelepípedo retângulo:
Todo paralelepípedo retângulo é formado por 6 faces:
 duas regiões retangulares de medidas a e b;
 duas regiões retangulares de medidas a e c;
 duas regiões retangulares de medidas b e c.
Daí, temos:
Área total = At = 2ab + 2ac + 2bc = 2(ab + ac + bc) 
No exercício dado:
Área de cada caixa = At = 2(14 20 + 20 40 + 14 40) = 2(280 + 800 + 560) = 3280 cm
2
Como são 10 000 caixas, temos:
A = 3280 10 000 = 32 800 000 cm2 = 3 280 m2
Se 1 m = 100 cm, então
1m2 = 10000 cm2
32800000
10000
 = 3280
Serão necessários pelo menos 3 280 m2 de papelão.
297
2. Dispondo de uma folha de cartolina de 50 cm de comprimento por 30 cm de largura, pode-se construir uma 
caixa aberta cortando um quadrado de 8 cm de lado em cada canto da folha (ver figura). Quantos centímetros qua-
drados de material são necessários para que seja construída essa caixa?
Montando a caixa, temos a figura abaixo:
Resolução:
Observando a caixa montada, verificamos que temos:
 Duas regiões retangulares de 34 cm por 8 cm 
A1 = 34 · 8 = 272 cm
2
 Duas regiões retangulares de 14 cm por 8 cm 
A2 = 14 · 8 = 112 cm
2
 Uma região retangular de 34 cm por 14 cm (fundo da caixa)
A3 = 34 · 14 = 476 cm
2
Portanto, a quantidade de material usado é:
2 A1 + 2 A2 + A3 = 2 · 272 + 2 · 112 + 476 = 544 + 224 + 476 = 1 244 cm
2
Outra resolução:
A região retangular de 50 cm por 30 cm tem área de 50 · 30 = 1 500 cm2.
Cada “canto” é um quadrado de 8 cm de lado e, portanto, com área de 8 · 8 = 64 cm2.
Como são 4 cantos, temos 4 · 64 = 256 cm2.
São necessários para fazer a caixa
1 500 – 256 = 1 244 cm2 de material.
298
Volume do paralelepípedo retângulo ou bloco retangular
V(a, b, c) = abc
O volume de um paralelepípedo retângulo é dado pelo produto das suas dimensões.
1. Como ab indica a área da base e c indica a altura, é possível também indicar o volume do paralelepípedo retân-
gulo assim:
V = Abh
Em que Ab = ab (área da base); h = c (altura correspondente).
Assim pode-se dizer que volume de um paralelepípedo retângulo é o produto da área da base pela altura.
2. Como o cubo é um caso particular de paralelepípedo retângulo com todas as arestas de medidas iguais, seu vo-
lume é dado por:
V = a a a ou V = a3
299
Teoria na prática
Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, 
mostradas na figura.
Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões de sua base 
sejam 25% maiores que as da lata atual.
Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em: 
a) 14,4%.
b) 20%.
c) 32,0%.
d) 36,0%.
e) 64,0%.
Resolução:
As novas dimensões da base são 25% maiores que as medidas originais, portanto:
24 1,25 = 30
O volume da lata original é:
40 24 24 = V
Não vamos efetuar as contas, para depois podermos simplificar.
O volume da nova lata é:
30 30 h = 40 24 24
h = 25,6
25,6/40 = 64 %
Portanto, a nova lata tem a altura igual a 64% da altura original; portanto, uma redução de 36,0%,
Alternativa D
300
Volume do prisma
Volume do prisma = área da base · altura
V = Abh
Teoria na prática
1. De uma viga de madeira de seção quadrada de lado ℓ = 10 cm extrai-se uma cunha de altura h = 15 cm, conforme 
a figura. O volume da cunha é:
 
a) 250 cm3.
b) 500 cm3.
c) 750 cm3.
d) 1000 cm3.
e) 1250 cm3.
Resolução:
O volume do prisma é dado por V = área da base x altura.
A área da base é a do triângulo, dada por A = (15 · 10)/2 = 75 cm2
Logo: V = 75 · 10 = 750 cm³
Alternativa C
2. Deseja-se construir um prédio para armazenamento de grãos em forma de um prisma regular de base triangular, 
cuja aresta da base meça 8 m e altura do prisma tenha 10 m. O volume interno desse armazém em m3 será:
a) 120 √
__
 3 
b) 130 √
__
 3 
c) 150 √
__
 3 
d) 160 √
__
 3 
e) 180 √
__
 3 
Resolução:
Se o prisma é regular de base triangular, podemos encontrar a área da base como A = 8
2 √
__
 3 _____ 
4
 = 16 √
__
 3 m²
V = 16 √
__
 3 · 10 = 160 √
__
 3 m³
Alternativa D
301
ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UMA PIRÂMIDE
Nas pirâmides temos:
 Superfície lateral: é formada pelas faces laterais (triangulares);
 Área lateral: é a área da superfície lateral;
 Superfície total: é formada pelas faces laterais e pela base;
 Área total: é a área da superfície total.
Teoria na prática
Uma pirâmide regular hexagonal tem 8 cm de altura e a aresta da sua base mede 3 dXX 3 cm. Calcule a área total.
Resolução:
Sabemos que:
Atotal = Abase + Alateral (At = Ab + Aø)
a1 = 
ø dXX 3 ____ 
2
 
Ab = 6 · 
ø2 dXX 3 ____ 
4
 
r = ø (pois o hexágono é composto por triângulos equiláteros)
r2 = ø2 = a 2 1 + ( ø __ 2 ) 2
a2 = h2 + a 2 1 
ø = 3 √
__
 3 
h = 8
 Cálculo de Ab (área da base):
Ab = 6 · 
(3 √
__
 3 )2 √
__
 3 _______ 
4
 = 6 · 9 · 3 
√
__
 3 _________ 
4
 = 162 
√
__
 3 ______ 
4
 70,15
 Cálculo de a1 (apótema da base):
a1 = 
3 √
__
 3 · √
__
 3 _______ 
2
 = 9 __ 
2
 
ou
(3 √
__
 3 )2 = a 2 1 + ( 3 √
__
 3 ____ 
2
 ) 
2
 a 2 1 = 27 – 
27 ___ 
4
 = 81 ___ 
4
 a1 = 
9 __ 
2
 
 Cálculo de a (apótema da pirâmide):
a2 = 82 + ( 9 __ 2 ) 
2
 = 64 + 81 ___ 
4
 = 337 ___ 
4
 = 84,25 a = √
_____
 84,25 = 9,1
 Cálculo de A
ø
 (área lateral):
A
ø
 = 6 · 𝓵
. a __ 
2
 = 3 · 3 √
__
 3 · 9,1 141,85
 Cálculo de At (área total):
At = Ab + Aø = 70,15 +141,85 = 212 cm
2
302
Volume da pirâmide
Dada uma pirâmide qualquer, consideramos uma pirâmide triangular que tenha a mesma área da base e a mesma 
altura que uma pirâmide qualquer.
O princípio de Cavalieri garante que duas pirâmides com áreas das bases iguais e com a mesma altura têm 
volumes iguais. Então:
Volume da pirâmide triangular = volume de uma pirâmide qualquer (de mesma área da base e mesma altura).
Como o volume da pirâmide triangular = área da base · altura ________________ 
3
 , concluímos que volume de uma pirâmide 
qualquer = área da base · altura ________________ 
3
 , ou seja:
V = 
Abh ___ 
3
 
Teoria na prática
Em uma indústria de velas, a parafina é armazenada em caixas cúbicas, cujo lado mede a.
Depois de derretida, a parafina é derramada em moldes em formato de pirâmides de base quadrada, cuja 
altura e cuja aresta da base medem, cada uma, a __ 
2
 .
Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que, com a parafina armazenada em apenas uma 
dessas caixas, enche-se um total de: 
a) 6 moldes.
b) 8 moldes.
c) 24 moldes.
d) 32 moldes.
Resolução:
Volume do cubo = a3
Volume da pirâmide = 1 __ 
3
 ( a __ 2 ) 
2
 · a __ 
2
 = a
3
 ___ 
24
 
Número de moldes = Volume do cubo/ Volume da pirâmide
a3/ ( a3 ___ 24 ) = 24
Alternativa C
303
Volume do tronco de pirâmide
Consideremos o tronco de pirâmides representado pela figura abaixo.
AB = área da base maior
Ab = área da base menor
h = altura da pirâmide VABCD
d = altura da pirâmide VA’B’C’D’
h1 = altura do tronco
V = volume do tronco
Pela figura anterior,podemos observar que volume do tronco = volume da pirâmide VABCD – volume da 
pirâmide VA’B’C’D’
Volume da pirâmide VABCD = 1 __ 
3
 ABh
Volume da pirâmide VAB’C’D’ = 1 __ 
3
 Abd = 
1 __ 
3
 Ab(h – h1)
Então:
V = 1 __ 
3
 ABh – 
1 __ 
3
 Ab (h – h1) = 
1 __ 
3
 [ABh – Abh + Abh1] = 
1 __ 
3
 [(AB – Ab)h + Ab h1]
Calculando h em função de AB, Ab e h1 do tronco da pirâmide, substituindo na igualdade acima e simpli-
cando, obtemos:
V = 
 h1 ___ 
3
 (AB + √
____
 ABAb + Ab)
304
Teoria na prática
Um obelisco de granito tem a forma de um tronco de pirâmide de base triangular regular. Os lados das bases 
têm 3 m e 1 m. A altura do obelisco é de 15 m. Calcule o volume de granito usado para a construção do obelisco.
Resolução:
1º maneira: usando a fórmula
Sendo 3 m o lado da base maior, temos:
AB = 
32 √
__
 3 ____ 
4
 = 9 
√
__
 3 ____ 
4
 m2
Sendo 1 m o lado da base menor, temos:
Ab = 
12 √
__
 3 ____ 
4
 = 
√
__
 3 ___ 
4
 m2
Sendo h = 15 m, temos:
V = 
h1 __ 
3
 ( AB + √
____
 ABAb + Ab ) = 
= 15 ___ 
3
 ( 9 √
__
 3 ____ 
4
 + √
___
 27 ___ 
16
 + 
√
__
 3 ___ 
4
 ) = 5 ( 9 √
__
 3 ____ 
4
 + 3 
√
__
 3 ____ 
4
 + 
√
__
 3 ___ 
4
 ) = 5 · 13 √
__
 3 _____ 
4
 = 
65 · 1,7
 ______ 
4
 = 27,6m3
O volume de granito usado é 27,6 m3, aproximadamente.
2º maneira: sem usar a fórmula
A partir do tronco, consideremos as pirâmides original e menor, com suas alturas h e x. Temos que h = x + 15 e 
que a razão de semelhança entre as duas pirâmides semelhantes é:
k = 1 __ 
3
 = x __ 
h
 h = 3x x + 15 = 3x x = 15 ___ 
2
 = 7,5m e h = 45 ___ 
2
 = 22,5 m
O volume da pirâmide original é:
 1 __ 
3
 · 3
2 √
__
 3 _____ 
4
 · 45 ___ 
2
 = 135 
√
__
 3 ______ 
8
 m3
305
O volume da pirâmide menor é:
 1 __ 
3
 · 1
2 √
__
 3 _____ 
4
 · 15 ___ 
2
 = 5 
√
__
 3 ____ 
8
 m3
Então, o volume do granito é:
 135 
√
__
 3 ______ 
8
 – 5 
√
__
 3 ____ 
8
 = 65 
√
__
 3 _____ 
4
 = 27,6m3
ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM CILINDRO RETO
planificado
montado
A superfície total do cilindro é formada pela superfície lateral mais as superfícies das duas bases.
Assim:
Área lateral = A
ø
 = (2pr)h = 2prh A
ø
= 2prh
Área das bases = 2Ab = 2pr
2
Área total = At = Aø + 2Ab = 2prh + 2pr = 2pr
2(h + r) At = 2pr(h + r)
306
Teoria na prática
1. Quantos centímetros quadrados de material são usados, aproximadamente, para fabricar a lata de óleo indicada 
ao lado?
Resolução:
Diâmetro = 8 cm; r = 4 cm; h = 19 cm
Logo, considerando p = 3,14, temos:
A
ø
 = 2prh = 2 · 3,14 · 4 · 19 = 477,28 cm2
2Ab = 2pr
2 = 2 · 3,14 · 42 = 100,48 cm2
At = 477,28 + 100,48 = 577,76 cm
2
São necessários, aproximadamente, 577,76 cm2 de material.
Podemos resolver esse exercício em função de p. Veja:
Aℓ = 2prh = 2p · 4 · 19 = 152p cm
2
2Ab = 2pr
2 = 2p · 42 = 32p cm2
At = 152p + 32p = 184p cm
2
2. Qual deve ser a altura de um tubo, de forma cilíndrica, se a sua superfície total pode ser coberta com 43,7088 cm2 
de plástico e o diâmetro de cada base tem 8 mm?
(Use p = 3,14)
Resolução:
O diâmetro da base é 8 mm = 0,8 cm. Logo, r = 0,4 cm,
2Ab = 2pr
2 = 2 · 3,14 . 0,42 = 1,0048
Aℓ = 2prh = 2 · 3,14 · 0,4x = 2,512x
At = 2Ab + Aø = 43,7088 
 1,0048 + 2,512x = 43,7088 
 2,512x = 42,704 x = 17
Portanto, a altura do tubo deve ser de 17 cm.
307
VOLUME DO CILINDRO
Pelo princípio de Cavalieri, concluímos que: volume do cilindro = volume do paralelepípedo retângulo. Como volu-
me do paralelepípedo retângulo = área da base . altura, segue que:
Volume do cilindro = área da base . altura
Sendo a base do cilindro um círculo de raio r e área pr2, temos:
Volume do cilindro = V = pr2h
Teoria na prática
1. Um cilindro circular reto tem 10 cm de altura e sua base tem 12 cm de diâmetro. Calcule a área lateral, a área 
total e o volume do cilindro.
Resolução:
Se o diâmetro é igual a 12 cm, então r = 6 cm.
Área da base = Ab = pr
2 = p · 62 = 36p cm2
Área lateral = A
ø
 = 2prh = 2p · 6 · 10 = 120 cm2
Área total = At = Aø + 2Ab = 120p + 2(36p) = 192p cm
2
Volume = V = Abh = pr
2h = p · 62 · 10 = 360p cm3
Portanto, a área lateral é 120p cm2, a área total é 192p cm2 e o volume é 360p cm3.
308
2. Um posto de combustível inaugurado recentemente em Fortaleza usa tanque subterrâneo que tem a forma de um 
cilindro circular reto na posição vertical como mostra a figura abaixo. O tanque está completamente cheio com 
42 m3 de gasolina e 30 m3 de álcool. Considerando que a altura do tanque é de 12 metros, a altura da camada de 
gasolina é:
a) 6 m.
b) 7 m.
c) 8 m.
d) 9 m.
e) 10 m.
Resolução:
Volume total: 42 + 30 = 72 m3
72 = 12 · Ab Ab = 6 m
2
Para a gasolina:
6 · h = 42 h = 7 m
Alternativa B
ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM CONE RETO
Montado Planificado
A superfície total do cone reto é formada pela superfície lateral (um setor circular) mais a superfície da base (um 
círculo), isto é, At = Aø + Ab.
Inicialmente, calculamos a área do setor (A
ø
).
A área de um setor circular é proporcional à área do círculo correspondente, de forma que:
 
Asetor ____ 
pR2
 = 
agraus ____ 
360º
 = 
arad ___ 
2p
 = ø ____ 
2pR
 
Assim, podemos calcular a área do setor como Asetor = 
ø ____ 
2pR
 · pR2.
309
No caso do cone, temos ø = 2pr e R = g. Logo:
A
ø
 = 2pr ____ 
2pg
 · pg2 = prg
A área da base é a área do círculo de raio r: Ab = pr
2.
Logo, área total do cone reto é:
At = prg + pr
2 = pr(g + r).
Resumindo, para um cone reto de geratriz g e raio da base r, temos:
A
ø
 = prg Ab = pr
2 At = pr(g + r)
Teoria na prática
Para revestir externamente chapéus em forma de cones com 12 cm de altura e diâmetro da base medindo 
10 cm, serão utilizados cortes retangulares de tecido, cujas dimensões são 67 cm por 50 cm. Admita que todo 
o tecido de cada corte poderá ser aproveitado.
O número mínimo dos referidos cortes necessários para forrar 50 chapéus é igual a: 
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
Resolução:
Do triângulo retângulo da figura, a geratriz g da pirâmide mede 13 cm (triângulo 5, 12, 13).
A área lateral de um cone é dado por πrg, onde r é o raio da base, g é a geratriz.
Al = π . 5 . 13 = 65π 204,1cm²
Como temos 50 chapéus, 50 . 204,1 = 10205 cm².
Um retângulo de tecido contém 67 . 50 = 3350 cm² de área.
h ≥ 10205/3350 3,04 h = 4
Alternativa B
310
Volume do cone
Para um cone circular de raio r e altura h, podemos dizer que:
V = 1 __ 
3
 Abh V= 
1 __ 
3
 pr2h
Teoria na prática
Qual é o volume de um cone de raio 7 cm e altura 12 cm?
Resolução:
V = 1 __ 
3
 pr2h = 1 __ 
3
 p · 72 . 12 = 196p = 615,44 cm3
O volume do cone é 615,44 cm3.
311
Volume do tronco de cone reto
Vtronco = Vcone maior – Vcone menor Vtronco = 
1 __ 
3
 pR2h – 1 __ 
3
 r2d =
= p __ 
3
 (R2h – r2d) = p __ 
3
 [R2h – r2(h – h1)] = 
p __ 
3
 [R2h – r2h + r2h1] = 
p __ 
3
 [(R2 – r2) h + r2h1] (I)
Analogamente ao tronco de pirâmide, calculando h em função de h1, substituindo na fórmula (I) e simpli-
ficando, temos:
Vtronco = 
ph1 ___ 
3
 (R2 + Rr + r2)
Teoria na prática
Os raios das bases de um tronco de cone são 3 m e 2 m.
A altura do tronco é 6 m. Calcule o seu volume (Use p = 3,14.).
Resolução:
Usando a fórmula
V = ph ___ 
3
 (R2 + Rr + r2) = 6p ___ 
3
 (32 + 3 · 2 + 22) = 38p = 119,32 cm3
312
ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA
Na figura abaixo estão desenhados três círculos máximos. A área da superfície esférica é dada pelo quádruplo da 
área de um dos círculos máximos, ou seja:
A = 4pR2
Por exemplo, se o raio de uma esfera é 9 cm, a área da superfície esférica será dada por:
A = 4pR2 = 4 · 3,14 · 92 = 1017,36 cm2
Volume da esfera
Se uma esfera t em raio R, seu volume é:
V = 4 __ 
3
 pR3
Teoria na prática
Em relação ao planeta Terra:
Qual é seu volume, quala área de sua superfície?
Resolução:
Sabe-se que a linha do Equador tem 40000 km, aproximadamente.
Modelo matemático
Considerando a Terra uma figura de forma esférica, temos V = 4 __ 
3
 pR3.
Como C = 40000 km e C = 2pR, vamos determinar R, considerando p = 3,14:
40000 = 2pR R = 40000 _____ 
2p
 = 6369 km
V = 4 __ 
3
 pR3 = 4 __ 
3
 · 3,14 · 63693 = 1,08 · 1012 km3
A área da superfície da esfera é dada por A = 4pR2. No caso do planeta Terra, como R = 6369 km, temos:
A = 4 · 3,14 · 63692 = 509 485 862 km2
Portanto, o volume aproximado da Terra é 1,08 · 1012 km3 e sua área aproximada é 5,09 · 108 km2.
313
FUSO ESFÉRICO
Se rotacionarmos uma semicircunferência ao redor do eixo que passa pelo diâmetro por um ângulo, obtemos uma 
superfície denominada fuso esférico:
Podemos calcular sua área da mesma forma que calculamos áreas de setores circulares – por meio de uma 
proporção. Se o ângulo u fosse 360°, teríamos uma circunferência completa de área 4πr2, logo:
 360º ____ 
u
 = 4πr
2
 ____ 
Afuso
 
Afuso = 
u ____ 
360º
 ∙ 4πr2
CUNHA ESFÉRICA
Da mesma forma que obtemos uma superfície ao rotacionarmos uma semicircunferência, também obtemos um 
sólido denominado cunha esférica.
Da mesma forma que utilizamos uma proporção para calcular a área do fuso, utilizamos o mesmo recurso 
para calcularmos o volume da cunha esférica:
 360º ____ = 
 4 __ 
3
 πr3
 ____ 
Vcunha
 
Vcunha = 
u ____ 
360º
 ∙ 4 __ 
3
 πr3
314
Teoria na prática
Dado que um fuso esférico tem área de 3π ___ 
2
 m2 e ângulo central de 60°, calcule o volume da cunha esférica 
determinada por este fuso.
Resolução:
Como temos o ângulo central e a área podemos calcular o raio da esfera:
Afuso = 
u ____ 
360º
 ∙ 4πr2
 3 __ 
2
 π = 60º ____ 
360°
 ∙ 4πr2
 3 __ 
2
 π = 1 __ 
6
 ∙ 4πr2
r2 = 9 __ 
4
 
r = 3 __ 
2
 m
Logo, seu volume é dado por:
Vcunha = 
u ____ 
360º
 ∙ 4 __ 
3
 πr3 
Vcunha = 
60º ____ 
360°
 ∙ 4 __ 
3
 π ( 3 __ 2 ) 
3
Vcunha = 
1 __ 
6
 ∙ 4 __ 
3
 π 27 ___ 
8
 
Vcunha = 
3 __ 
4
 π m3.
*Em função do curto período de aplicação dos vestibulares UERJ, não existem dados quantitativos para uma análise estatística precisa.
Enem - Biologia
Enem - Física 
Ecologia, 28%Genética, 15%
Citologia, 13%
Fisiologia Animal e Humana, 12%
Reino Vegetal / Fungos / Proto..., 9% Reino Animal / Protoctistas, 6%
Evolução Biológica, 6%
Parasitologia, 5%
Histologia, 3%
Programas de Saúde, 3%
Mecânica, 30%
Eletricidade, 22%
Ondulatória, 20%
Termologia, 14%
Óptica, 7%
Temática, 3%
Magnetismo, 2%
Outros, 2%
Enem - Química
Enem - Matemática
Físico - Química, 32%
Geral, 27%
Orgânica, 19% Atomística, 13%
Meio Ambiente, 8%
Bioquímica, 1%
Grandezas Proporcionais, 22%
Funções, 12%
Geometria Plana, 9%
Geometria Espacial, 9%
Aritmética, 8%
Noções de Lógica Matemática, 6%
Estatística, 6%
Probabilidades, 5%
Análise Combinatória, 3%
Conjuntos Numéricos, 3%
Médias, 3%
Geometria Analítica, 2%
Trigonometria, 2%
Sistemas Lineares, 2%
Inequações, 2%
Progressão Aritmética, 1%
Progressão Geométrica, 1%
Logarítmos, 1%
Outros, 3%