Lista 40 - Fatoração

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Lista 40 
Fatoração 
 
 Na lista anterior estudamos os casos de produtos notáveis, nos quais, 
através da propriedade distributiva da multiplicação transformávamos produtos 
em adições e subtrações. 
 Nesta lista, transformaremos expressões algébricas em produtos, isto é, 
faremos o caminho inverso e as escreveremos na forma fatorada. Fatorar uma 
expressão algébrica significa escrevê-la na forma de um produto de dois ou 
mais fatores. Assim, fatorar equivale a transformar em produto. 
 Existem sete casos de fatoração: 
 
Fator comum 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 9. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Págs 43 e 44. Adaptado. 
 
 
 Em uma expressão algébrica com operações de adição ou subtração, 
basta colocar o fator comum em evidência para fazer a fatoração. 
 Veja os exemplos a seguir: 
 
Exemplo 01: Fatore a expressão mx + my. 
 Observe que nos dois termos dessa expressão há um fator comum: a letra m. Vamos 
colocar esse fator comum em evidência. 
mx + my = m . x + m . y = m(x + y). 
 Observe que, para verificar se a fatoração está correta, basta utilizar a propriedade 
distributiva na forma fatorada. 
m(x + y) = mx + my. 
 
Exemplo 02: Fatore o polinômio 4x3 – 16x2 + 12x. 
 Nesse caso, os três termos do polinômio têm o fator x em comum, além de serem 
números múltiplos de 4 (assim apresentam o fator 4 também em comum). 
4x3 – 16x2 + 12x = 4x . x2 – 4x . 4x + 4x . 3 = 4x(x2 – 4x + 3). 
 
#DICADAVIVI 
• Para tornar a fatoração via fator comum algo mais visual, siga os seguintes passos: 
1º) Desmembre cada membro da expressão algébrica em várias multiplicações. 
4x3 – 16x2 + 12x = 4 . 1 . xxx – 4 . 4 xx + 4 . 3 x 
2º) Circule ou destaque aquilo em cada membro aquilo que está presente nele, e nos 
demais, ou seja, o fator que eles tem em comum. 
4 . 1 . xxx – 4 . 4 xx + 4 . 3 x 
3º) “Coloque para fora” aquilo que foi destacado ou circulado. Em seguida, abra um 
parêntesis e coloque em cada termo, aquilo que restou. 
4x(1xx – 4x + 3) 
4º) Retorne as formas desmembradas às suas formas resumidas. 
4x(x2 – 4x + 3). 
 
Exemplo 03: Escreva a forma fatorada da expressão algébrica 2 2 my - 8 2 y - 6 2. 
2 2 my - 8 2 y - 6 2 = 2 2(my – 4y – 3). 
 
ou 
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	 2 
2 2 my - 8 2 y - 6 2 
1º) 2 . 2 my – 4 . 2 . 2 y – 3 . 2 . 2 
2º) 2 . 2 my – 4 . 2 . 2 y – 3 . 2 . 2 
3º e 4º) 2 2(my – 4y – 3). 
 
Fator comum por agrupamento 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 9. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Pág 44. Adaptado. 
 
 
 Nesse caso, para obter a forma fatorada é preciso fazer a fatoração por 
agrupamento, isto é, fatorações sucessivas. 
 Veja os exemplos a seguir: 
 
Exemplo 04: Fatore a expressão ay + by + ar + br. 
 Note que não há um fator comum nos quatro termos da expressão algébrica. 
Entretanto, se considerarmos os dois primeiros, encontramos o fator y em comum, e nos dois 
últimos, o fator r. Assim, fatoramos de dois em dois. 
ay + by + ar + br = y(a + b) + r(a + b). 
 A soma agora tem duas parcelas e nas duas aparece o fator (a + b). Dessa forma, 
colocamos esse fator em evidência. 
ay + by + ar + br = y(a + b) + r (a + b) = (a +b)(y + r). 
 
Exemplo 05: Escreva a forma fatorada do polinômio x3 – 3x2 – x + 3. 
 Nos dois primeiros termos podemos colocar o fator comum x2 em evidência. Já nos 
dois últimos termos, colocamos – 1 em evidência para que apareça, nas duas fatorações, 
entre parênteses, um termo comum. 
x3 – 3x2 – x + 3 = x2(x – 3) – 1(x – 3). 
 
Fatoração por produtos notáveis 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 9. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Págs 45 e 46. Adaptado. 
 
 Os dois tipos de fatoração citados acima envolvem fatoração simples, 
quando há um termo em comum, e fatoração por agrupamento, quando o fator 
comum aparece em grupos de expressões algébricas. Existem ainda outros 
cinco casos de fatoração relacionados diretamente com os produtos notáveis. 
 
Trinômio quadrado perfeito da soma 
 
 O primeiro caso de produtos notáveis relacionado a fatoração é o 
quadrado da soma de dois termos. 
 
a2 + 2ab + b2 = a2 + ab + ab + b2 
 = a(a + b) + b(a + b) 
 = (a + b)(a + b) 
 = (a + b)2 
 
O quadrado da soma de dois termos representa a fatoração de um 
trinômio quadrado perfeito da soma. 
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2. 
 
 Veja alguns exemplos: 
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	 3 
Exemplo 06: Fatore a expressão x2 + 10x + 25. 
 Façamos passo a passo: 
1º) Desmembre o termo central do trinômio. 
x2 + 10x + 25 = x2 + 5x + 5x + 25. 
2º) Fatore a expressão desmembrada via fator comum por agrupamento. 
x2 + 5x + 5x + 25 = x(x + 5) + 5(x + 5) 
 = (x + 5)(x + 5) 
 = (x + 5)2. 
 
#DICADAVIVI 
• Sempre que você precisar fatorar uma expressão e você se deparar com um trinômio (ou 
seja, uma expressão algébrica formada por três termos) suspeite que o método de 
fatoração a ser aplicado pode ser o trinômio quadrado perfeito da soma ou o trinômio 
quadrado perfeito da diferença. 
• Você também pode fatorar um trinômio quadrado perfeito da soma ou um trinômio 
quadrado perfeito da diferença através dos seguintes passos: 
1º) Verifique se os termos das pontas (ou seja, o 1º e o 3º termos) tem raiz quadrada. 
x2 + 10x + 25 
¯ ¯ 
x2 = x 25 = 5 
2º) Verifique se o termo central (ou seja, o 2º termo) é resultado da multiplicação entre 2 
e as raízes encontradas. 
x2 + 10x + 25 
 ¯ 
 2 . 5. x 
3º) Verifique o sinal do termo central (ou seja, o 2º termo). 
x2 + 10x + 25 
4º) Monte a forma fatorada, seguindo a regra: 
 
(raiz do 1º termo sinal do 2º termo raiz do 3º termo)2 
 
x2 + 10x + 25 = (x + 5)2. 
 
Exemplo 07: Fatore a expressão 9m2 + 6m + 1. 
1º) 9m2 + 6m + 1 = 9m2 + 3m + 3m + 1 
2º) 9m2 + 3m + 3m + 1 = 3m(3m + 1) + 1(3m + 1) 
 = (3m + 1)(3m + 1) 
 = (3m + 1)2. 
 
ou 
 
1º) 9m2 + 6m + 1 
 ¯ ¯ 
9m2 = 3m 1 = 1 
2º) 9m2 + 6m + 1 
 ¯ 
 2 . 3m . 1 
3º) 9m2 + 6m + 1 
4º) (3m + 1)2. 
 
Exemplo 08: Encontre a forma fatorada da expressão algébrica y2 + 2 2y + 2. 
1º) y2 + 2 2y + 2 = y2 + 2y + 2y + 2 
2º) y2 + 2y + 2y + 2 = y(y + 2) + 2(y + 2) 
 = (y + 2)(y + 2) 
 = (y + 2)2. 
 
ou 
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	 4 
1º) y2 + 2 2y + 2 
 ¯ ¯ 
y2 = y 2 = 2 
2º) y2 + 2 2y + 2 
 ¯ 
 2 . y . 2 
3º) y2 + 2 2y + 2 
4º) (y + 2)2. 
 
Trinômio quadrado perfeito da Diferença 
 
 O segundo caso de produtos notáveis relacionado a fatoração é o 
quadrado da diferença de dois termos. 
 
a2 - 2ab + b2 = a2 - ab - ab + b2 
 = a(a - b) - b(a - b) 
 = (a - b)(a - b) 
 = (a - b)2 
 
O quadrado da diferença de dois termos representa a fatoração de um 
trinômio quadrado perfeito da diferença. 
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2. 
 
 Veja o exemplo a seguir: 
 
Exemplo 09: Fatore a expressão 9y2 – 12y + 4. 
1º) 9y2 – 12y + 4 = 9y2 – 6y – 6y + 4 
2º) 9y2 – 6y – 6y + 4 = 3y(3y – 2) – 2(3y – 2) 
 = (3y – 2)(3y – 2) 
 = (3y – 2)2. 
 
ou 
 
1º) 9y2 – 12y + 4 
 ¯ ¯ 
9y2 = 3y 4 = 2 
2º) 9y2 – 12y + 4 
 ¯ 
 2 . 3y . 2 
3º) 9y2 – 12y + 4 
4º) (3y – 2)2. 
 
Diferença de dois quadrados 
 
 O terceiro caso de produtos notáveis também representa um importante 
método de fatoração. Nele, a diferença entre dois quadrados pode ser 
transformada no produto da soma pela diferença de dois termos. 
 Nesse caso a fatoração é imediata pela observação do produto notável. 
 
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	 5 
A diferença entre dois quadrados pode ser transformada emproduto, 
considerando a soma e a diferença de dois termos. 
a2 – b2 = (a + b)(a – b). 
 
 Veja alguns exemplos: 
 
Exemplo 10: Fatore a expressão 49 – 16x2. 
49 – 16x2 = (7 + 4x)(7 – 4x). 
 
#DICADAVIVI 
 
• Sempre que você precisar fatorar uma expressão e você se deparar com um binômio (ou 
seja, uma expressão algébrica formada por dois termos) cujo sinal central é negativo, 
suspeite que o método de fatoração a ser aplicado pode ser a diferença de quadrados. 
• Você pode fatorar uma diferença de quadrados através dos seguintes passos: 
1º) Confirme que o sinal central (ou seja, entre o 1º e o 2º termos) é negativo. 
49 – 16x2. 
2º) Verifique se ambos os termos tem raiz quadrada. 
49 – 16x2 
 ¯ ¯ 
49 = 7 16x2 = 4x 
3º) Monte a forma fatorada, seguindo a regra: 
 
(raiz do 1º termo sinal + raiz do 2º termo)(raiz do 1º termo – raiz do 2º termo) 
 
49 – 16x2 = (7 + 4x)(7 – 4x). 
 
Exemplo 11: Fatore a expressão 4 – m2. 
1º) 4 – m2. 
2º) 4 – m2 
 ¯ ¯ 
4 = 2 m2 = m 
3º) (2 + m)(2 – m). 
 
Exemplo 12: Escreva a forma fatorada da expressão 121y6 – 1. 
1º) 121y6 – 1. 
2º) 121y6 - 1 
 ¯ ¯ 
121y6 = 11y3 1 = 1 
3º) (11y3 + 1)(11y3 – 1). 
 
Soma de dois cubos 
 
 Além dos casos de fatoração que já estudamos até aqui, existem ainda 
duas situações muito interessantes. 
 Como podemos fatorar a3 + b3? Observe. 
 Já vimos que: 
 
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3. 
 
 No primeiro membro dessa igualdade isolamos a soma dos dois cubos: 
 
a3 + b3 = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2 
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	 6 
 = (a + b)3 – 3ab(a + b) 
 = (a + b)[(a + b)2 – 3ab] 
 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 – 3ab) 
 = (a + b)(a2 – ab + b2) 
 
A soma de dois cubos pode ser transformada em produto. 
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2). 
 
 Veja os exemplos a seguir. 
 
Exemplo 13: Fatore a expressão 8 + x3. 
8 + x3 = (2 + x)(4 – 2x + x2). 
 
#DICADAVIVI 
 
• Sempre que você precisar fatorar uma expressão e você se deparar com um binômio (ou 
seja, uma expressão algébrica formada por dois termos) cujo sinal central é positivo, 
suspeite que o método de fatoração a ser aplicado pode ser a soma de cubos. 
• Você pode fatorar uma soma de cubos através dos seguintes passos: 
1º) Confirme que o sinal central (ou seja, entre o 1º e o 2º termos) é positivo. 
8 + x3. 
2º) Verifique se ambos os termos tem raiz cúbica. 
8 + x3 
¯ ¯ 
83 	=	2 x3
3
 = x 
3º) Monte a forma fatorada, seguindo a regra: 
 
(raiz do 1º termo + raiz do 2º termo)(raiz do 1º termo ao quadrado – raiz do 1º termo . 
raiz do 2º termo + raiz do 2º termo ao quadrado) 
 
8 + x3 = (2 + x)(4 – 2x + x2). 
 
Exemplo 14: Escreva a forma fatorada de z6 + 512. 
1º) z6 + 512. 
2º) z6 + 512 
 ¯ ¯ 
z6
3
 = z 5123 	=	8 
3º) (z + 8)(z2 – 8z + 64). 
 
Diferença de dois cubos 
 
 Observe a fatoração de a3 - b3. 
 Já vimos que: 
 
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3. 
 
 No primeiro membro dessa igualdade isolamos a diferença dos dois 
cubos: 
 
a3 - b3 = (a - b)3 + 3a2b – 3ab2 
 = (a - b)3 + 3ab(a - b) 
 = (a - b)[(a - b)2 + 3ab] 
 = (a - b)(a2 - 2ab + b2 + 3ab) 
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	 7 
 = (a - b)(a2 + ab + b2) 
 
A diferença de dois cubos pode ser transformada em produto. 
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2). 
 
 Veja alguns exemplos. 
 
Exemplo 15: Fatore a expressão k3 – x3. 
k3 – x3 = (k – x)(k2 + kx + x2). 
 
 
#DICADAVIVI 
 
• Sempre que você precisar fatorar uma expressão e você se deparar com um binômio (ou 
seja, uma expressão algébrica formada por dois termos) cujo sinal central é negativo, 
suspeite que o método de fatoração a ser aplicado pode ser a diferença de cubos (outra 
possibilidade é a diferença de quadrados). 
• Você pode fatorar uma diferença de cubos através dos seguintes passos: 
1º) Confirme que o sinal central (ou seja, entre o 1º e o 2º termos) é negativo. 
k3 - x3. 
2º) Verifique se ambos os termos tem raiz cúbica. 
k3 - x3 
¯ ¯ 
k3
3
 = k x3
3
 = x 
3º) Monte a forma fatorada, seguindo a regra: 
 
(raiz do 1º termo - raiz do 2º termo)(raiz do 1º termo ao quadrado + raiz do 1º termo . 
raiz do 2º termo + raiz do 2º termo ao quadrado) 
 
k3 - x3 = (k – x)(k2 + kx + x2). 
 
Exemplo 16: Escreva a forma fatorada da expressão 125 – 27w12. 
1º) 125 – 27w12. 
2º) 125 - 27w12 
 ¯ ¯ 
1253 	=	5 27w12
3
 = 3w4 
3º) (5 – 3w4)(25 + 15w4 + 9w8). 
 
Simplificacão de Frações Algébricas 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 8. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Pág 163. Adaptado. 
 
Fração algébrica é o quociente de dois polinômios, escrito na forma de 
uma fração, em que aparecem uma ou mais variáveis no denominador. 
 
 São frações algébricas: 2
x
 , 5 + y
x - 2
, a
2	-	3
a
 . 
 
 Não são frações algébricas: x
2
 , 6n - 3
9
 . 
 
 Uma das finalidades de aprendermos a fatorar expressões está na 
simplificação das frações algébricas. Você certamente já efetuou a 
simplificação de frações numéricas quando trabalhou com frações equivalentes. 
 
24
64
 = 8 . 3
8 . 8
 = 3
8
 
 8 é um fator comum 
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	 8 
 Assim, no exemplo da página anterior, o numerador foi fatorado e o 
denominador também. Como os dois têm em comum o fator 8, eles foram 
simplificados (dividimos o numerador e o denominador por 8). 
 E como simplificar frações algébricas? 
 
Para simplificar uma fração algébrica, transforme o numerador e o 
denominador na forma fatorada. Caso seja possível, divida o numerador 
e o denominador por um fator comum. 
 
 Veja um exemplo: 
 
Exemplo 17: Simplifique a fração algébrica formada pela divisão de polinômios: x
4	-	3x3	+ x2	-	3x
x2	-	6x	+	9
 . 
 
 Para simplificar esta fração algébrica, no numerador temos de fazer uma fatoração 
por agrupamento, enquanto no denominador aparece um trinômio quadrado perfeito, que 
pode ser transformada em quadrado de uma diferença: 
 
x4	-	3x3	+ x2	-	3x
x2	-	6x	+	9
 = x
3(x – 3)	+ x(x – 3)
(x – 3)2
 = (x
3+ x)(x – 3)
(x – 3)(x – 3)
 = x
3+ x
x – 3
 . 
 
Observações 
• Para fatorar o numerador e o denominador, devemos utilizar os sacos de 
fatoração vistos nos tópicos anteriores. 
• Como o denominador de uma fração deve ser diferente de zero, devemos 
estabelecer, em uma fração algébrica, os valores que a variável não pode 
assumir. Nas frações algébricas 5
x
 , 7 - y
x - 3
, b
2	-	11
a
 , temos x ¹ 0, x ¹ 3 e a ¹ 0, 
respectivamente. 
 
 
Exercícios 
 
1. Fatore as expressões algébricas a seguir. 
a. 4x + 4y + px + py 
b. 25 – 10x + x2 
c. 4 – 2m 
d. 36 + 24y + 4y2 
e. 2m – 2y + bm - by 
f. 15 x – 5 
g. 9y2 – 100 
h. 24 – 12y 
i. ab + b + 12a + 12 
j. 49x2 + 14x + 1 
k. px + 11x 
l. y2 – 18y + 81 
m. 3m + 3x – mp - xp 
n. 9x3 + 3x2 – 12x 
o. 900 – 25x2 
p. 5x3 – 10x2 + 25x 
q. a3b3 + 27c6 
r. 64x2 – 32x + 4 
s. 12m2 + 14m - 18 
t. n2 + 32n + 256 
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	 9 
u. 25p2x2 + 5p2x – 50p2x3 v. 1
64
 – 8x3 
 
2. Escreva a forma fatorada completa de cada polinômio abaixo. 
a. 5x2 – 5y2 
b. m4 – n4 
c. 7x2 + 14xy + 7y2 
d. 4x3 – 20x2 + 25x 
e. 18x3 + 60x2y + 50xy2 
f. 2x2 – 50y2 
g. 3a2 – 3b2 
h. x2 – 10xy + 25y2 – 4 
i. m2 + x2 + 2mx – 1 
j. a2 + 2ab + b2 – 1 
 
3. Simplifique as frações a seguir. 
a. mx - x
x2	-	x
 
b. x
2	-	2xy + y2
x2	-	y2	
 
c. 8
4x - 16
 
d. x
2	-	y2
x2	+	2xy + y2
 
e. 2r
3
r3	-	2r6	
 
f. x
2	–	16x + 64
x2	- 64
 
g. 2x - y
4x2	–	2xy
 
h. 9 - y
2
81 -	18y2	+ y4
 
i. x - xy
	–x + xy
 
j. x
2 + 20x + 100
x2	+ 10x
 
k. ax + bx + ay + by
	3a + 3b
 
l. x
2 – 16y2
x2 + 8xy + 16y2
 
 
4. (UFV) Simplificando-se aexpressão x
2	+	xy
x2	-	y2
1
y
	- 1
x
, em que x e y são número 
positivos e distintos, obtém-se: 
a. 1
x
 b. 2y c. xy d. 1
y
 e. 2x 
 
5. (MACKENZIE) Se a
1
2	+ a-
1
2 = 10
3
, então a + a-1 vale: 
a. 100
9
 b. 82
3
 c. 82
9
 d. 100
82
 e. 16
9
 
 
6. (FATEC) Sabe-se que a2 – 2bc – b2 – c2 = 40 e a – b – c = 10 e que a, b e 
c são números reais. Então, o valor de a + b + c é igual a: 
a. 1 b. 2 c. 4 d. 10 e. 20 
 
7. (UFV) Sabendo-se que x + y = 15
7
 e x – y = 1
14
 , qual é o valor da expressão 
seguinte? 
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	 10 
(x2	+	2xy	+ y2)(x3	- y3)
(x2	- y2)(x2	+	xy	+ y2) ÷ 
(x2	-	xy)
2x 
 
a. 30 b. 30
7
 c. 60 d. 60
7
 e. 25 
 
8. (PUC/MG) O resultado simplificado da expressão 1
m2
	- 1
n2
 ÷ 1
m
	- 1
n
 ÷ m	+	n
mn
 
é: 
a. 1
m2
 b. m	+	nn c. 
m
n
 d. m	+	n
m
 e. 1 
 
9. (FATEC) Se a, x, y, z são números reais tais que z = 2x	-	2y	+	ax	-	ay 
a3	- a2	–	a	+	1
 ÷ 2	+	a
a2	-	1
, 
então z é igual a: 
a. x	-	y
	a - 1
 b. x	-	y
a2	-	1
 c. x + y
	a + 1
 d. x + y
	a - 1
 e. (x – y)(a + 1)
	a - 1
 
 
10. (FGV) O valor da expressão y = 0,49	- x
2
0,7	+	x
 para x = -1,3 é: 
a. 2 b. -2 c. 2,6 d. 1,3 e. -1,3 
 
 
Quer praticar um pouco mais? 
Exercícios extras 
 
Nos exercícios 11 - 58, fatore as expressões algébricas. 
 
11. x3 + y3 
12. 4 – 4x + x2 
13. x2 - 9 
14. 4m – 8 
15. 7(m – n) – x(m – n) 
16. x2 – 6x + 9 
17. 3x – 9 
18. 64 + 16y + y2 
19. a2 - 16 
20. x(a + b) – 4(a + b) 
21. 16 – 4y 
22. a2 – 16a + 64 
23. 9(x – 2) + y(x – 2) 
24. 9y2 – 25 
25. 9y2 - 1 
26. mx + 2x 
27. 50(2m + 1) – y(2m + 1) 
28. 9y2 – 6y + 1 
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	 11 
29. mn + 3n 
30. x2 + 10x + 25 
31. m2 - 2 
32. 8x(y + 3x) – 5(y + 3x) 
33. 7x – 49y 
34. m2 - 2 2m + 2 
35. m(x + y) + 10 (x + y) 
36. y2 + 12y + 36 
37. 3x3 + 2x2 – 4x 
38. 3x + 3y + bx + by 
39. 2x3 + 4x2 – 16x 
40. 100 – 4x2 
41. x2 – 4x + 2x - 8 
42. 6m2 – 4m + 8 
43. ay – by + ax – bx 
44. x2 + 4x + 4 
45. 15a2x2 + 10a2x – 20a2x3 
46. mn + n + 2m + 2 
47. 12r3 + 4r2 – 24r4 
48. a2 + 14a + 49 
49. mp + xp – mr - xr 
50. x3y3 – x2y2 + 3xy 
51. 9 – 3x + 3m - mx 
52. 4y2 + 4y + 1 
53. 5r2x2 + 10r2x – 100 r2x3 
54. n2 + 18n + 81 
55. 12y3 – 24y2 + 48y4 
56. 9m2 + 6 2m + 2 
57. y2 – 24y + 144 
58. a3 - 1 
 
59. Fatore completamente cada polinômio abaixo. 
a. a4 – b4 
b. 3x2 – 6x + 3 
c. m2x – x 
d. 5a2 + 30ab + 45b2 
e. x3y – xy3 
f. m8 – n8 
g. x3 – xy2 + x2y – y3 
h. a4 – ax3 
i. a - 1
16
 p4 
j. y3 + 4
3
 y2 + 4
9
 y 
k. x3y – y 
l. ax2 – a + bx2 – b 
m. x4 – 16 
n. x3 – 4x2 + 4x 
o. a4b + ab4 
 
60. Simplifique as expressões: 
a. x
4	+	3x2
x2	+	3
 
b. x
7	+ x5	+ x3
x4	+	x2	+	1	
 
c. x
2	- 4
	x + 2
 
d. x
2	- 4
	x2 – 4x + 4
 
e. 7ax + ay + 7bx + by
	ax – ay + bx - by
 
f. a
3	+	a2b + ab2	-	b3 
a3	-	a2b - ab2	+	b3
 
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	 12 
Lista 40 
Gabarito 
 
Exercícios 
 
1. 
a. (x + y)(4 + p) 
b. (5 – x)2 
c. 2(2 – m) 
d. (6 + 2y)2 
e. (m – y)(2 + b) 
f. 5(3x – 1) 
g. (3y + 10)(3y – 10) 
h. 12(2 – y) 
i. (a + 1)(b + 12) 
j. (7x + 1)2 
k. x(p + 11) 
l. (y – 9)2 
m. (m + x)(3 – p) 
n. 3x(3x2 + x – 4) 
o. (30 + 5x)(30 – 5x) 
p. 5x(x2 – 2x + 5) 
q. (ab + 3c2)(a2b2 – 3abc2 + 9c4) 
r. (8x – 2)2 
s. 2(6m2 + 7m – 9) 
t. (n + 16)2 
u. 5p2x(5x + 1 – 10x2) 
v. 1
4
	-	2x 1
16
	+ x
2
	+ 4x2 
2. 
a. 5(x – y)(x + y) 
b. (m2 + n2)(m + n)(m – n) 
c. 7(x + y)2 
d. x(2x – 5)2 
e. 2x(3x + 5y)2 
f. 2(x + 5y)(x – 5y) 
g. 3(a + m)(a – m) 
h. (x – 5y – 2)(x – 5y + 2) 
i. (m + x -1)(m +x + 1) 
j. (a + b – 1)(a + b + 1) 
3. 
a. m	-	1
x	-	1
 
b. x - y
x + y
 
c. 2
x	-	4
 
d. x – y
x + y
 
e. 2
1 -	2r3 
 
f. x - 8
x + 8
 
g. 1
2x
 
h. 1
9 -	y2 
 
i. 1 - y
-1 + y
 = -1 
j. x + 10
x
 
k. x + y
3
 
l. x – 4y
x + 4y
 
4. D 5. C 6. C 7. C 8. E 9. A 10. A 
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	 13 
Exercícios extras 
 
11. (x + y)(x2 – xy + y2) 
12. (2 – x)2 
13. (x + 3)(x – 3) 
14. 4(m – 2) 
15. (m – n)(7 – x) 
16. (x – 3)2 
17. 3(x – 3) 
18. (8 + y)2 
19. (a + 4)(a – 4) 
20. (a + b)(x – 4) 
21. 4(4 – y) 
22. (a – 8)2 
23. (x – 2)(9 + y) 
24. (3y – 5)(3y + 5) 
25. (3y + 1)(3y – 1) 
26. x(m + 2) 
27. (2m + 1)(50 – y) 
28. (3y – 1)2 
29. n(m + 3) 
30. (x + 5)2 
31. (m + 2)(m - 2) 
32. (y + 3x)(8x – 5) 
33. 7(x – 7y) 
34. (m - 2)2 
35. (x + y)(m + 10) 
36. (y + 6)2 
37. x(3x2 + 2x – 4) 
38. (3 + b)(x + y) 
39. 2x(x2 + 2x – 8) 
40. (10 – 2x)(10 + 2x) 
41. (x – 4)(x + 2) 
42. 2(3m2 – 2m + 4) 
43. (a – b)(y + x) 
44. (x + 2)2 
45. 5a2x(3x + 2 – 4x2) 
46. (m + 1)(n + 2) 
47. 4r2(3r + 1 – 6r2) 
48. (a + 7)2 
49. (m + x)(p – r) 
50. xy(x2y2 – xy + 3) 
51. (3 + m)(3 – x) 
52. (2y + 1)2 
53. 5r2x(x + 2 – 20x2) 
54. (n + 9)2 
55. 12y2(y – 2 + 4y2) 
56. (3m + 2)2 
57. (y – 12)2 
58. (a – 1)(a2 + a + 1) 
59. 
a. (a2 + b2)(a + b)(a – b) 
b. 3(x – 1)2 
c. x(m – 1)(m +1) 
d. 5(a + 3b)2 
e. xy(x – y)(x + y) 
f. (m – n)(m + n)(m2 + n2)(m4 + n4) 
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	 14 
g. (x – y)(x + y)2 
h. a(a – x)(a2 + ax + x2) 
i. 1 + 1
4
p4 1	- 1
2
p 1	+ 1
2
p 
j. 1
9
 y(3y + 2)2 
k. (x – 1)(x2 + x + 1)y 
l. (x – 1)(x + 1)(a + b) 
m. (x2 + 4)(x + 2)(x – 2) 
n. x(x -2)2 
o. ab(a + b)(a2 – ab + b2) 
60. 
a. x2 
b. x3 
c. x – 2 
d. x + 2
x - 2
 
e. 7x + y
x - y
 
f. a + b
a - b
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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	 15 
Lista 40 
Bibliografia 
 
• GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 8. 2ª edição. São Paulo: 
Editora do Brasil, 2015. 
• GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 9. 2ª edição. São Paulo: 
Editora do Brasil, 2015. 
• BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 8º ano. 1ª edição. 
São Paulo: Scipione, 2015. 
• Apostila de Matemática: Volume 01. Editora Bernoulli: Belo Horizonte, 
2012. 
• http://www.infoescola.com/matematica/fatoracao/. Acesso em: 31 de agosto 
de 2017. 
• http://eadcampus.spo.ifsp.edu.br/pluginfile.php/940/mod_label/intro/Soma_
ou_diferenca_de_cubos.pdf. Acesso em: 31 de agosto de 2017. 
• http://www.auladoguto.com.br/exercicios-online-de-matematica/exercicio-
online-fatoracao-de-polinomios-fatorando-mais-de-uma-vez. Acesso em: 31 
de agosto de 2017. 
• http://eadcampus.spo.ifsp.edu.br/pluginfile.php/942/mod_label/intro/Fatora
cao_Completa.pdf. Acesso em: 31 de agosto de 2017.