Unidade 7 - Produtos Notáveis e Fatoração

Prévia do material em texto

Unidade 7 – Produtos Notáveis e Fatoração 
Os conceitos sobre os produtos notáveis merecem muita atenção, pois seu uso 
facilita cálculos, reduz o tempo de resolução e facilita o aprendizado. O 
conhecimento dessa ferramenta não implica dizer que não necessitamos saber 
o desenvolvimento do cálculo proposto, apenas que temos mais caminhos 
convergentes à solução final. Utilizamos o termo notável para apontar sua 
importância, sua notabilidade e sua carência de atenção. 
Nesta unidade estudaremos apenas alguns produtos notáveis e alguns casos 
de fatoração, aqueles que são mais utilizados e que tem mais aplicações em 
outros tópicos da matemática como na resolução de equações e simplificação 
de polinômios. 
1. O quadrado da soma de dois termos. 
Verifiquem a representação e utilização da propriedade da potenciação em seu 
desenvolvimento. 
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) 
Onde a é o primeiro termo e b é o segundo. 
Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da 
multiplicação, teremos: 
 
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, 
mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado 
do segundo termo. 
Exemplos 
(𝑥 + 3)2 = 𝑥2 + 2. 𝑥. 3 + 32 = 𝑥2 + 6𝑥 + 9 
(2𝑥 + 𝑦)2 = (2𝑥)2 + 2.2𝑥. 𝑦 + 𝑦2 = 4𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 𝑦2 
 
 
2. O quadrado da diferença de dois termos. 
Seguindo o critério do item anterior, temos: 
(a - b)2 = (a - b) . (a - b) 
Onde a é o primeiro termo e b é o segundo. 
 Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da 
multiplicação, teremos: 
 
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, 
menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado 
do segundo termo. 
 
Exemplos: 
(𝑥 − 5)2 = 𝑥2 + 2. 𝑥. 5 + 52 = 𝑥2 − 10𝑥 + 25 
(𝑥 + 3𝑦)2 = 𝑥2 − 2. 𝑥. 3𝑦 + (3𝑦)2 = 𝑥2 − 6𝑥𝑦 + 9𝑦2 
 
3. O produto da soma pela diferença de dois termos. 
Se tivermos o produto da soma pela diferença de dois termos, poderemos 
transformá-lo numa diferença de quadrados. 
 
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do 
primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. 
 
Exemplos 
(𝑥 + 7). (𝑥 − 7) = 𝑥2 − 72 = 𝑥2 − 49 
(4𝑚 − 3𝑛). (4𝑚 + 3𝑛) = (4𝑚)2 − (3𝑛)2 = 16𝑚2 − 9𝑛2 
 Fatoração 
A fatoração é a transformação da soma e/ou subtração de vários termos em um 
produto de diversos fatores. 
A fatoração é um recurso que utilizamos na simplificação de sentenças 
matemáticas. Quando for o caso, podemos utilizá-la na simplificação de uma 
fração ou de uma equação, por exemplo. 
 
 
 Fator Comum 
 ax + bx = x(a + b) 
 
A forma mais básica de fatoração é a colocação de fatores comuns em 
evidência. 
No exemplo abaixo o fator 5 é comum a todos os termos e por isto é possível 
colocá-lo em evidência: 
 
Colocamos o fator 5 em evidência o destacando e o multiplicando pela a 
expressão quociente da divisão da sentença original por tal fator, inserida entre 
parênteses: 
 
 
Exemplos 
 
 
 
 
 Diferença de Dois Quadrados 
 
 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 
 
Este os próximos quatro tipos de fatoração que veremos estão relacionados 
aos produtos notáveis. Aos estudá-los vimos que o produto da soma pela 
diferença de dois termos nos leva à diferença de dois quadrados, então 
podemos utilizar de forma inversa este conhecimento na fatoração da diferença 
de dois quadrados. 
 
Vejamos este exemplo na sequência: 
𝑥2 − 25 
Visto que a2 - b2 = (a + b)(a - b), podemos realizar a fatoração como a seguir: 
𝑥2 − 25 = (𝑥)2 − 52 = (𝑥 + 5). (𝑥 − 5) 
 
Tal fatoração foi realizada se encontrando o valor de a e b, que são 
respectivamente a raiz quadrada do primeiro e do segundo termo e então os 
substituindo em (a + b)(a - b), ou seja, √𝑥2 = 𝑥 e √25 = 5 
Logo: 
𝑥2 − 25 = (𝑥 + 5). (𝑥 − 5) 
 
Exemplos 
 
 
 
 
Trinômio Quadrado Perfeito - Soma: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
 
Quando desenvolvemos o quadrado da soma de dois termos chegamos a 
um trinômio quadrado perfeito, que é o que demonstra a sentença acima, só 
que temos os membros em ordem inversa. Então o quadrado da soma de dois 
termos é a forma fatorada de um trinômio quadrado perfeito. 
 
Como fatorar o trinômio abaixo? 
 
Dessa forma temos que: 
 
Portanto: 
 
 
Se o polinômio em questão não fosse um trinômio quadrado perfeito, não 
poderíamos realizar a fatoração desta forma, visto que a conversão 
de x2 + 14x + 49 em a2 + 2ab + b2 levaria a um polinômio diferente do original. 
Por exemplo, se o trinômio fosse x2 + 15x + 49, o segundo termo 15x iria diferir 
do segundo termo obtido via substituição de a e b que é 14x, portanto não 
teríamos um trinômio quadrado perfeito. 
 
Exemplos 
𝑥2 + 10𝑥 + 25 = 𝑥2 + 2. 𝑥. 5 + 52 = (𝑥 + 5)2 
 
4𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦2 = (2𝑥)2 + 2.2𝑥. 3𝑦 + (3𝑦)2 = (2𝑥 + 3𝑦)2 
 
Trinômio Quadrado Perfeito - Diferença: a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 
 
Assim como o caso da soma visto acima, de forma análoga temos o caso 
da diferença. 
 
Vejamos este outro trinômio: 
 
Podemos escrever o trinômio da seguinte forma 
 
 
Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são 
iguais, temos um trinômio quadrado perfeito: 
 
 
Portanto, temos realmente um trinômio quadrado perfeito que pode ser escrito 
na forma a2 - 2ab + b2 = (a - b)2: 
 
Logo: 
 
 
Exemplos 
 
𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 𝑥2 − 2. 𝑥. 5 + 52 = (𝑥 − 5)2 
4𝑥2 − 12𝑥𝑦 + 9𝑦2 = (2𝑥)2 − 2.2𝑥. 3𝑦 + (3𝑦)2 = (2𝑥 − 3𝑦)2 
 
 Simplificação de expressões algébricas 
Utilizamos os produtos notáveis e os casos de fatoração para simplificar 
expressões através do cancelamento de um dos fatores. Numa divisão, 
podemos cancelar alguns termos do numerador ou do denominador quando 
estes estão multiplicando, porque isto não altera o resultado da operação, por 
exemplo: 
 
Observe que 
2.5
2
=
10
2
= 5 
Este cancelamento não é válido para adição. Observe o exemplo abaixo: 
2+4
2
=
6
2
= 3 
Neste caso, o cancelamento não é valido porque não verifica a igualdade. 
Observe: 
 
Esta expressão é falsa, pois o resultado correto é 3. 
Dessa forma, para simplificar expressões algébricas em uma divisão, devemos 
transformá-las em um produto de dois ou mais fatores, ou seja, devemos 
fatorar essas expressões e cancelar os fatores iguais se existirem. 
 
Exercícios Resolvidos 
1 – Simplifique a expressão abaixo: 
𝑥+𝑥𝑦
𝑥+𝑥𝑧
 
Resolução: 
 
 
2 - Simplifique a expressão abaixo: 
𝑎2−9
5𝑎+15
 
 
Resolução: 
 
 
3 - Qual é a forma simplificada da expressão algébrica abaixo? 
(x2 + 14x + 49)·( x2 – 49) 
x2 – 14x + 49 
 
Observe que existem três polinômios que podem ser fatorados nessa 
expressão algébrica. Para fatorá-los, utilizaremos os casos de trinômio 
quadrado perfeitoe diferença de dois quadrados. Observe: 
(x2 + 14x + 49)·( x2 – 49) 
x2 – 14x + 49 
(x + 7)2·(x – 7)·(x + 7) 
(x – 7)2 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/3-caso-fatoracao-trinomio-quadrado-perfeito.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/3-caso-fatoracao-trinomio-quadrado-perfeito.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/5-caso-fatoracao-diferenca-dois-quadrados.htm
(x + 7)·(x + 7)·(x – 7)·(x + 7) 
(x – 7)·(x – 7) 
Agora basta “cortar” os termos idênticos no numerador e denominador. 
Nessa questão, existe apenas um termo idêntico, a saber, (x – 7). O 
resultado final será: 
(x + 7)·(x + 7)·(x + 7) 
x – 7 
Esse resultado pode ser reescrito da seguinte maneira: 
(x + 7)3 
x – 7