Lista 38 - Plano cartesiano I

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Lista 38 
Plano cartesiano I 
Noções básicas 
 
Coordenadas cartesianas 
Texto retirado de BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 7º ano. 1ª edição. São Paulo: Scipione, 2015. Págs 196 - 198. 
 
 Localizar um ponto numa linha reta é relativamente simples. Há vários 
exemplos de localização desse tipo no cotidiano. Por exemplo: 
 
• Se estamos procurando uma casa em uma rua, precisamos saber onde 
começa a rua, qual é o lado par e o lado ímpar e ir em direção ao número 
que pretendemos localizar. 
• Quando viajamos por uma estrada, usamos como referência, para nos 
localizar, as placas que indicam a quilometragem a partir de um ponto inicial. 
 
 
 
Por exemplo, se acabamos de passar pela placa que indica km 131 e 
estamos indo a uma cidade que fica no quilômetro 143 dessa mesma 
estrada, sabemos que ainda faltam 12 km para chegar ao nosso destino. 
 
 Em geral, para localizar um ponto em uma linha reta, ou numa estrada, 
é necessário definir uma origem, um sentido e a distância entre o ponto e a 
origem. 
 Desse modo, como mostra o esquema abaixo basta uma única 
informação numérica para saber onde se localiza um ponto, como o posto de 
combustível que está a 7 km da divisa no sentido Rio-Bahia, ou o restaurante 
mais próximo, que fica 2 km adiante do posto. 
 
 
 
 Porém, quando precisamos localizar um ponto em um plano, apenas 
uma informação numérica não é suficiente. 
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 O esquema acima representa um plano determinado por dois eixos: um 
vertical e outro horizontal, que permitem determinar a posição P da abelha, 
pois não basta dizer que ela está a uma distância de 5 posições do eixo 
horizontal, pois A (aranha) também satisfaz essa condição, nem dizer que P 
está a uma distância de 6 posições do eixo vertical, pois B (joaninha) também 
está. Para que a posição de P fique bem determinada é necessário combinar 
as duas informações. 
 Considerando que a primeira informação indica a distância até o início 
do eixo horizontal e a segunda indica a distância até o início do eixo vertical, 
podemos dizer que o “endereço” de P é (6,5). 
 Agora acompanhe como locar um ponto P sobre o plano. 
1º) Tome como referência dois eixos perpendiculares, um horizontal e outro 
vertical, e um sentido para cada eixo, como na representação a seguir. O ponto 
em que os eixos se encontram, correspondente ao zero de cada eixo, é 
chamado de origem, que denominaremos de ponto O. 
 
 
 
2º) Projete o ponto P sobre o eixo horizontal e observe a distância desse ponto 
ao eixo vertical. Considere que o ponto P está afastado x unidades do eixo 
vertical. Nesse exemplo, x é um número positivo. 
 
 
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3º) Projete o ponto P sobre o eixo vertical e observe a distância desse ponto 
ao eixo horizontal. O ponto P está afastado y unidades do eixo horizontal. 
 
 
 
 Veja a localização de alguns pontos no plano. 
 
 
 
 Observe que as coordenadas dos pontos P e Q são parecidas. No ponto 
P(5,3), o 5 é a abcissa e o 3 é a ordenada, nesta ordem. E, no ponto Q(3,5), 3 
é a abcissa e 5 é a ordenada. 
 A fim de evitar confusões e distinguir um ponto de outro, os matemáticos 
adotaram uma ordem. Por isso a representação da localização de um ponto 
chama-se par ordenado (x,y). 
 Daqui em diante podemos utilizar pontos cartesianos como coordenadas 
para segmentos e figuras. Veja no exemplo abaixo: 
 
 
 
• Os pontos A(1,2), B(-1,1), C(2,1) e D(4,2) definem um paralelogramo. 
• E os pontos E(1,-1), F(3,-1) e G(2,-4) definem um triângulo isósceles. 
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• Os pontos A(1,2) e C(2,1), se unidos, determinam um segmento que é uma 
diagonal do paralelogramo. 
 
Das equações às Tabelas e das tabelas aos gráficos 
Texto retirado de BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 8º ano. 1ª edição. São Paulo: Scipione, 2015. Págs 190 - 193. 
 
 Equações com duas variáveis podem ser representadas graficamente. 
Tal representação se faz, em geral, sobre um sistema de duas retas graduadas 
e perpendiculares, como está representado abaixo, que é conhecido como 
plano cartesiano. 
 
 
 
 Por exemplo, para obter a representação gráfica da equação: 
 
x + y = 6 
 
 Construímos uma tabela atribuindo valores para uma das variáveis e 
calculamos os valores correspondentes à outra variável. Assim obtemos pares 
ordenados. Cada um desses pares é uma solução da equação. 
 
 Valores para as variáveis 
x 0 1 1 1
2
 1 3
4
 2 3 4 5 6 
y = 6 - x 6 5 4 1
2
 4 1
4
 4 3 2 1 0 
(x,y) (0,6) (1,5) 1 12 , 4 
1
2 1 
3
4 , 4 
1
4 
(2,4) (3,3) (4,2) (5,1) (6,0) 
 
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 Depois, marcamos os pontos obtidos na tabela e traçamos um gráfico 
que liga seus pontos. Veja: 
 
 
 
 A respeito da tabela e do gráfico, cabem alguns comentários. 
• A cada par ordenado, obtido pelos dados da tabela, corresponde um ponto 
no gráfico. 
• Há infinitos pares ordenados que satisfazem a equação. 
• O gráfico da equação tem infinitos pontos. 
• Neste caso, todos os pontos do gráfico estão alinhados. 
 
O gráfico de uma equação do tipo ax + by = c, em que a e b são 
diferentes de zero, é uma reta. 
 
Gráficos de equações de duas variáveis 
 
 Já sabemos que para traçar uma reta bastam dois pontos. Então, para 
construir o gráfico de uma equação com duas variáveis, basta encontrar dois 
pontos deste gráfico. Para isso é suficiente fazer uma tabela com duas linhas, 
pois cada linha está relacionada a um par ordenado. 
 Veja no exemplo, como construir o gráfico da equação 2x – 3y = -6. 
 Vamos determinar o valor de x = 0 e y = 0 pela facilidade de cálculo: 
• Se x = 0, então y = 2 ® (0,2); 
• Se y = 0, então x = -3 ® (-3,0). 
 Assim, temos a tabela: 
 
2x – 3y = -6 
x y 
0 2 ® (0,2) 
-3 0 ® (-3,0) 
 
 Agora, devemos marcar esses pontos no gráfico e traçar a reta que 
passa por eles. 
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Veja: 
 
 
 
Representação gráfica de um sistema de duas equações e duas variáveis 
 
 Para representar graficamente um sistema de duas equações com duas 
variáveis, sobrepomos no mesmo plano cartesiano as retas correspondentes a 
cada equação do sistema. Veja: 
 
 
 
 Verifique que o ponto de intersecção corresponde ao par ordenado (2,4), 
que satisfaz as duas equações. 
 
2 + 4 = 6 
 
2 . 2 – 4 = 0 
 
 Isso sugere que, se um sistema de duas equações com duas variáveis 
tem uma única solução, então as retas correspondentes ao gráfico do sistema 
se interceptam em um ponto. Nesse caso o sistema correspondente é 
determinado. 
 Se não houver ponto de intersecção, o sistema correspondente é 
impossível, ou seja, não tem solução. 
 
 
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Exercícios 
 
1. Dê as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G e O, considerando que 
cada quadradinho na malha quadriculada mede 1 unidade. 
 
 
2. Localize no plano cartesiano os pontos: 
a. A(1,1) 
b. B(2,3) 
c. C(3,2) 
d. D(-1,-1) 
e. E(0,0) 
f. F(-4,1) 
g. G(4,-1) 
h. H(1,-4) 
i. I 1
2
,0 
j. J 0,	 3
4
 
k. K(0,5;-0,75) 
l. L - 1
2
, - 3
4
 
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3. Quais são as coordenadas cartesianas do ponto de intersecção dos eixos 
das abcissas e das ordenadas? 
 
4. Qual é a ordenada de um ponto qualquer que está sobre o eixo das 
ordenadas? 
 
5. Qual é a abcissa de um ponto qualquer que está sobre o eixo das ordenadas? 
 
6. Represente, no plano cartesiano, três pontos cuja abcissa seja 2. O que 
você observa? 
 
 
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	 9 
7. Represente, no plano cartesiano, três pontos cujaordenada seja 3. O que 
você observa? 
 
 
 
8. Desenhe um retângulo no plano cartesiano e dê as coordenadas dos 4 
pontos que representam os seus vértices. 
 
 
 
9. Desenhe e dê as coordenadas de 3 pontos que estejam alinhados com os 
pontos A(3,4) e B(1,2). 
 
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10. Marque os pontos A(1,2); B(1,4); C(2,3) e D(3,3) no plano cartesiano, 
trace os segmentos AB e CD. Dê as coordenadas de dois pontos distintos 
que pertençam: 
a. Ao segmento AB; b. Ao segmento CD. 
 
 
 
11. Construa as tabelas e os respectivos gráficos das equações a seguir. 
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a. x + y = 1 
b. 2x + y = 5 
c. x + 2y = 8 
d. 3x + 2y = 10 
e. x – y = 0 
f. x – 2y = 9 
g. y – 2x = 7 
h. x + y = 0 
 
12. Construa sobre um mesmo plano cartesiano os gráficos das equações: 
2x – y = 0 (a), 2x – y = 1 (b), 2x – y = 2 (c), 2x – y = 3 (d). Você observa 
alguma relação entre os pontos de intersecção com o eixo y e os 
coeficientes das equações? 
 
13. Represente graficamente o sistema: x	–	5	=	y (I)y	+	1	=	x (II) . O que você concluiu? 
 
14. Considere os gráficos abaixo em que r e s são representações gráficas 
das equações de sistemas. Em cada caso diga se o sistema é determinado, 
impossível ou indeterminado. 
a. 
 
b. 
 
c. 
 
d. 
 
 
15. (UFMG) Se A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1) são os vértices de um quadrado, 
então P 1
3
, 1
3
 pertence: 
a. Ao lado AB 
b. Ao lado BC 
c. Ao lado CD 
d. À diagonal AC 
e. À diagonal BD 
r=s 
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	 12 
16. (ENEM PPL 2016) Na figura estão representadas três retas no plano 
cartesiano, sendo P, Q e R os pontos de intersecções entre as retas, e A, B 
e C os pontos de intersecções dessas retas com o eixo x. 
 
 
 
Essa figura é a representação gráfica de um sistema linear de três equações 
e duas incógnitas que: 
a. Possui três soluções reais e distintas, representadas pelos pontos P, Q 
e R, pois eles indicam os as retas se intersectam. 
b. Possui três soluções reais e distintas, representadas pelos pontos A, B 
e C, pois eles indicam onde as retas intersectam o eixo das abcissas. 
c. Possui infinitas soluções reais, pois as retas se intersectam em mais de 
um ponto. 
d. Não possui solução real, pois não há ponto que pertença 
simultaneamente às três retas. 
e. Possui uma única solução real, pois as retas possuem pontos em que se 
intersectam. 
 
17. (ENEM 2010) A figura a seguir é a representação de uma região por 
meio de curvas de nível, que são curvas fechadas representando a altitude 
da região, com relação ao nível do mar. As coordenadas estão expressas 
em graus de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo 
vertical. A escala em tons de cinza desenhada à direita está associada à 
altitude da região. 
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Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região a 
partir do ponto X = (20;60). O helicóptero segue o percurso: 
0,8ºL ® 0,5ºN ® 0,2ºO ® 0,1ºS ® 0,4ºN ® 0,3ºL. Ao final, desce 
verticalmente até pousar no solo. De acordo com as orientações, o 
helicóptero pousou em um local cuja altitude é: 
a. Menor ou igual a 200 m. 
b. Maior que 200 m e menor ou igual a 400 m. 
c. Maior que 400 m e menor ou igual a 600 m. 
d. Maior que 600 m e menor ou igual a 800 m. 
e. Maior que 800 m. 
 
18. (ENEM PPL 2010) Um foguete foi lançado do marco zero de uma 
estação e após alguns segundos atingiu a posição (6,6,7) no espaço, 
conforme mostra a figura. As distâncias são medidas em quilômetros. 
 
 
 
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Considerando que o foguete continuou sua trajetória, mas se deslocou 2 km 
para frente na direção do eixo-x, 3 km para trás na direção do eixo-y e 11 
km para frente, na direção do eixo-z, então o foguete atingiu a posição: 
a. (17,3,9) 
b. (8,3,18) 
c. (6,18,3) 
d. (4,9,-4) 
e. (3,8,18) 
 
19. (ENEM PPL 2014) Alunos de um curso de engenharia desenvolveram 
um robô “anfíbio” que executa saltos somente nas direções norte, sul, leste 
e oeste. Um dos alunos representou a posição inicial desse robô, no plano 
cartesiano, pela letra P, na ilustração. 
 
 
 
A direção norte-sul é a mesma do eixo y, sendo que o sentido norte é o 
sentido de crescimento de y e a direção leste-oeste é a mesma do eixo x, 
sendo que o sentido leste é o sentido de crescimento de x. 
Em seguida, esse aluno deu os seguintes comandos de movimentação para 
o robô: 4 norte, 2 leste e 3 sul, nos quais os coeficientes numéricos 
representam o número de saltos do robô nas direções correspondentes, e 
cada salto corresponde a uma unidade do plano cartesiano. 
Depois de realizar os comandos dados pelo aluno, a posição do robô, no 
plano cartesiano, será: 
a. (0;2) b. (0;3) c. (1;2) d. (1;4) e. (2;1) 
 
20. (ENEM 2016) Uma família resolveu comprar um imóvel num bairro cujas 
ruas estão representadas na figura. As ruas com nomes de letras são 
paralelas entre si e perpendiculares às ruas identificadas com números. 
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	 15 
Todos os quarteirões são quadrados, com as mesmas medidas, e todas as 
ruas têm a mesma largura, permitindo caminhar somente nas direções 
vertical e horizontal. Desconsidere a largura das ruas. 
 
 
 
A família pretende que esse imóvel tenha a mesma distância de percurso 
até o local de trabalho da mãe, localizado na rua 6 com a rua E, e o 
consultório do pai, na rua 2 com a rua E, e a escola das crianças, na rua 4 
com a rua A. 
Com base nesses dados, o imóvel que atende as pretensões da família 
deverá ser localizado no encontro das ruas: 
g. 3 e C 
h. 4 e C 
i. 4 e D 
j. 4 e E 
k. 5 e C 
 
21. (ENEM 3ª aplicação 2016) Observou-se que todas as formigas de um 
formigueiro trabalham de maneira organizada. Foi feito um experimento 
com duas formigas e os resultados obtidos foram esboçados em um plano 
cartesiano no qual os eixos estão graduados em quilômetros. As duas 
formigas partiram juntas do ponto O, origem do plano cartesiano xOy. Uma 
delas caminhou horizontalmente para o lado direito, a uma velocidade de 4 
km/h. A outra caminhou verticalmente para cima, à velocidade de 3 km/h. 
Após 2 horas de movimento, quais as coordenadas cartesianas das 
posições de cada formiga? 
g. (8;0) e (0;6) 
h. (4;0) e (0;6) 
i. (4;0) e (0;3) 
j. (0;8) e (6;0) 
k. (0;4) e (3;0) 
 
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Quer praticar um pouco mais? 
Exercícios extras 
 
22. Dê as coordenadas, dos 4 pontos que representam os vértices de um 
quadrado. 
 
 
 
23. Desenhe e dê as coordenadas de 5 pontos em linha reta. 
 
 
 
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	 17 
24. Marque em um plano cartesiano os pontos A(1,5); B(2,6); C(3,6); D(4,5); 
E(5,6); F(6,6); G(7,5); H(7,3); I(4,0) e J(1,3). Ligue os pontos e veja que 
figura aparece. 
 
 
 
25. Construa sobre um mesmo plano cartesiano os gráficos das equações 
3x – y = 0 (a), 4x – y = 0 (b) e 5x – y = 0 (c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista 38 
Gabarito 
 
Exercícios 
 
1. A(2,5); B(3,-1); C(-2,0); D(-3,3); E(0,-3); F(-3,-3); G(3,3) e O(0,0). 
2. 
 
3. (0,0). 
4. Zero. 
5. Zero. 
6. As respostas podem variar; abaixo temos apenas sugestões. 
 
 
 
Os pontos estão alinhados e a reta que os contém é paralela ao eixo das 
ordenadas. 
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	 19 
7. As respostas podem variar; abaixo temos apenas sugestões. 
 
 
 
Os pontos estão alinhados a reta que os contém é paralela ao eixo das 
abcissas.8. As respostas podem variar; abaixo temos apenas sugestões. 
 
 
As coordenadas dos vértices do retângulo são A(0,1), B(3,1), C(3,3) e 
D(0,3). 
9. As respostas podem variar; abaixo temos apenas sugestões. 
 
 
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	 20 
Os pontos C(2,3), D(0,1) e E(4,5) estão alinhados com os pontos A(3,4) e 
B(1,2). 
10. 
 
 
As respostas podem variar; abaixo temos apenas sugestões. 
a. Os pontos E 1, 5
2
 e F 1, 7
2
 pertencem ao segmento AB. 
b. Os pontos G(2,25;3) e H(2,8;3) pertencem ao segmento CD. 
11. 
a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. 
 
 
 
 
 
 
 
x + y = 1 
x y 
0 1 ® (0,1) 
1 0 ® (1,0) 
2x + y = 5 
x y 
0 5 ® (0,5) 
5
2 
0 ® 
5
2
,0 
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	 21 
c. 
 
 
 
 
 
 
d. 
 
 
 
 
 
 
e. 
 
 
 
 
 
f. a
 
 
 
 
g. 
 
x + 2y = 8 
x y 
0 4 ® (0,4) 
8 0 ® (8,0) 
3x + 2y = 10 
x y 
0 5 ® (0,5) 
10
3 
0 ® 
10
3
,0 
x – y = 0 
x y 
0 0 ® (0,0) 
0 0 ® (0,0) 
x - 2y = 9 
x y 
0 -
9
2 
® 0,- 9
2
 
9 0 
® (9,0) 
y – 2x = 7 
x y 
0 7 ® (0,7) 
-
7
2 
0 ® -
7
2
,0 
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	 22 
h.
 
 
 
 
 
 
 
12. 
 
 
A ordenada do ponto de intersecção é o número do 2º membro de cada 
equação. 
13. 
 
 
No gráfico acima temos duas retas paralelas, portanto este sistema não tem 
solução. 
x + y = 0 
x y 
0 0 ® (0,0) 
0 0 ® (0,0) 
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	 23 
14. 
a. Impossível 
b. Determinado 
c. Indeterminado 
d. Determinado 
15. D 16. D 17. A 18. B 19. C 20. C 21. A 
 
 
Exercícios extras 
 
22. As respostas podem variar; abaixo temos apenas sugestões. 
 
 
As coordenadas dos vértices do quadrado são A(0,0), B(2,0), C(2,2) e 
D(0,2). 
23. As respostas podem variar; abaixo temos apenas sugestões. 
 
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	 24 
24. 
 
25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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	 25 
Lista 38 
Bibliografia 
 
• BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 7º ano. 1ª edição. 
São Paulo: Scipione, 2015. 
• BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 8º ano. 1ª edição. 
São Paulo: Scipione, 2015. 
• Apostila de Matemática: Volume 02. Editora Bernoulli: Belo Horizonte, 
2012. 
• http://portal.inep.gov.br/provas-e-gabaritos. Acesso em: 29 de agosto de 
2017.